Ing. Yacimientos II - Mod III Ecuaciones de Flujo de Fluidos

Modulo III FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIO POROSO

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TIPOS DE FLUIDOS Dependiendo de la variación en volumen con presión (compresibilidad isotérmica), los fluidos de yacimientos se clasifican en tres grupos: - Fluidos Incompresibles: Para estos se cumple que no hay cambio en el volumen con la presión. Ej. Yacimientos de petróleo con muy baja Rs

- Fluidos Ligeramente Compresibles: Pequeños cambios en volumen con grandes cambios en presión (c es pequeña). Ej: Petróleo negro y agua entran en esta clasificación

Si c es pequeña,

se puede aproximar a 

, quedando

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TIPOS DE FLUIDOS (Cont.) - Fluidos Compresibles: La variación en volumen con cambios de presión es muy grande. Ej. Gases.

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REGIMENES DE FLUJO Existen tres tipos de regimenes de flujo: - Flujo de Estado Estable: En este caso la presión del yacimiento, en cualquier punto, se mantiene constante en el tiempo. Matemáticamente se expresa asi:

- Flujo de Estado No Estable: Es el regimen de flujo en el cual la variación de la presión con el tiempo es una función tanto de la posición en el yacimiento, como del tiempo. Es llamado tambien Flujo Transiente

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REGIMENES DE FLUJO (Cont.) Flujo de Estado Pseudo-Estable: En este caso la presión del yacimiento declina linealmente con el tiempo, para cualquier posición dentro del yacimiento. También es denominado Flujo de Estado Semi-estable. Matemáticamente se expresa asi:

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REGIMENES DE FLUJO (Cont.) Comportamiento de la Presión dependiendo del Regimen de Flujo

Estado Estable

Estado Pseudo-Estable

Estado No Estable

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ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS Dependiendo del tipo de fluido y el regimen de flujo, las ecuaciones que gobiernan el movimiento de fluidos en el medio poroso serán diferentes. Sin embargo, la mayor parte de ellas están basadas en la Ley de Darcy, combinada con ecuaciones de estado y de conservación de la masa

En el caso de flujo radial y horizontal, el gradiente de presión es positivo y la ecuación de Darcy queda asi:

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ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS Flujo de Estado Estable: Para flujo radial, Fluido Incompresible

Q

7.082hk(Pe  Pw) µ ln(re /rw )

Q en barriles por día (Bls/dia) h en pies Pe , Pw Presión en los límites (lpca) re , rw Radios externo e interno,

en unidades consistentes

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ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS Flujo de Estado Estable: Craft y Hawkins establecieron que la presión promedio de un yacimiento se ubica a un 61% del radio de drenaje (re)

7.082hk(Pr  Pw) Qo  µ Bo ln(0.61re /rw )

Qo 

7.082hk(Pe  Pw) µ Bo ln(re /rw )  0.5

Solo para Flujo de Estado Estable

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r = 0.61re Pr

ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS Flujo de Estado No Estable (Transiente): Si se supone que se tiene un pozo en el centro de un yacimiento circular, de radio re , homogéneo, con una Pi uniforme.

El pozo se empieza a producir a una tasa constante “q”, con lo cual se crea una disturbancia de presión. La presión en el pozo caerá instantáneamente y la disturbancia se moverá alejandose del pozo.

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ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS Flujo de Estado No Estable (Transiente): Mientras la disturbancia de presión se mantenga lejos del límite externo del yacimiento, se puede considerar que el yacimiento actúa como si fuese infinito en tamaño (re =∞ ). Se denomina entonces Flujo Transiente como aquel período de tiempo durante el cual ell borde externo del yacimiento no afecta el comportamiento de la presión y el yacimiento actuará como si fuese infinito.

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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE Esta derivación matemática toma en cuenta tres ecuaciones independientes: -Ecuación de continuidad (Balance de masa) -Ecuación de transporte (Darcy generalizada) -Ecuación de compresibilidad (Ec. de Estado) Adicionalmente, deben existir una (1) condición inicial y dos (2) condiciones de borde Condición Inicial: Presión uniforme en todo el yacimiento para t=0

Condiciones de Borde: a) El yacimiento produce con una tasa de flujo constante hacia el pozo b) No existe flujo a través del límite externo y el yacimiento se comporta como infinito (Estado No Estable, re =∞ )

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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE (q)r+dr

(q)r

- Ecuación de Continuidad Masa que entra al volumen durante un tiempo t

Masa que sale del - volumen durante un tiempo t

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=

Masa acumulada dentro del volumen de control

ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE Masa que entra al volumen durante un tiempo t = t[Av]r+dr Donde: A: Area a un radio r+dr, pies2

Ar+dr=2(r+dr)h

: Densidad del fluido a un radio r+dr, lb/pie3 t:Tiempo, dias v: Velocidad de flujo, pies/dia Masa Entra = 2t (r+dr)h(v)r+dr Masa que sale del volumen durante un tiempo t = t[Av]r Ar=2rh Masa Sale = 2t rh(v)r

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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE Masa acumulada en volumen de control durante un tiempo t Masa Acumulada = dV[(tt()t]

Donde dV=(2rh)dr

= (2rh)dr[(tt()t]

El balance de materiales para un tiempo t quedaría así 2t (r+dr)h(v)r+dr - 2t rh(v)r = (2rh)dr[(tt()t] Dividiendo por (2rh)dr

1 1 [(r  dr)(vρr r dr  r(vρ( r ]  [(ρ) t Δt  (ρ) t ] rdr Δt 1  [r(v )]  (ρ) r r t

Ecuación de Continuidad (1)

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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE - Ecuación de Transporte (Ec. de Darcy): Se requiere para relacionar la velocidad de flujo con el gradiente de presión dentro del volumen de control (dV)

v  0.006328

k p  r

Ecuación de Transporte (2)

Combinando las Ecs. (1) y (2), se obtiene:

0.006328   k p    ( r )   (ρ) r r   r  t

Pero, por la definición de compresibilidad

El término de la derecha

   (ρ)    t t t Aplicando regla de la cadena al termino d/dt

  p p   c f t p t t Ingeniería de Yacimientos II - 2009-II

cf 

1     c f  p p

ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE

  p (ρ)    c f t t t Sustituyendo

0.006328   k p   p  ( r )     c f r r   r  t t Esta es la ecuación general que describe el flujo radial de cualquier fluido en un medio poroso La ecuación variará dependiendo del tipo de fluido a la que se aplique -Fluidos Ligeramente Compresibles -Fluidos Compresibles

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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE -Fluidos Ligeramente Compresibles Luego de realizar simplificaciones y reordenando la ecuación general, se obtiene

 2 p 1 p ct p   2 r r r 0.006328k t

Ecuación de Difusividad para fluidos ligeramente compresibles

Donde: k: Permeabilidad, md t: Tiempo, dias ct: Compresibilidad Total, lpc-1 La mayoría de los análisis de pruebas de pozo se toma el tiempo en hora, por lo que la Ec queda asi:

 2 p 1 p ct p   2 r r r 0.0002637k t Ingeniería de Yacimientos II - 2009-II

Donde: t: Tiempo, horas

ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE -Fluidos Ligeramente Compresibles Si en el yacimiento existe más de un fluido, la compresibilidad total (ct) se puede expresar asi:

ct  co S o  cw S w  c g S g  c f Adicionalmente, se define la Constante de Difusividad, denotada como 



0.0002637k ct

Por lo cual la Ecuación de Difusividad queda así:

 2 p 1 p 1 p   2 r r r  t

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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE Soluciones a la Ecuación de Difusividad Existen dos soluciones generales: -Solución de Presión Terminal Constante: Se considera la presión constante en el limite externo, y se cuantifica el flujo acumulado para un tiempo “t”. Se usa frecuentemente para cálculos de influjo de agua. -Solución de Tasa Terminal Constante: En este caso se considera una tasa constante a un determinado radio (rw), y se hallan los cambios en la presión (Pwf) con el tiempo. Hay dos formas de solución comunmente usadas:

- Solución de la Función Ei: Propuesta por Matthews y Russell en 1967 Supone: -Yacimiento Infinito -Tasa de flujo constante -Presión Uniforme Pi para t=0 -El pozo productor se encuentra en el centro de un yacimiento cilíndrico de radio re -No existe flujo a través del límite externo

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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE Solución de la Función Ei

Donde: p (r,t): Presión al radio “r” desde el pozo, para un tiempo “t”, lpc t: Tiempo, horas

k: Permeabilidad, md Qo: Tasa de Flujo, BND Ei es una función llamada Integral Exponencial y esta definida como

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ECUACIÓN BÁSICA DE FLUJO TRANSIENTE Solución de la Función Ei Para valores de x