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Informe Capacitancia

0.1.

F´ısica Experimental

TRATAMIENTO DE DATOS

Vc en funci´ on del tiempo 1. Mediante un an´alisis de regresi´on de la Tabla 2 de la Hoja de Datos, determinamos y dibujamos la relaci´on experimental VCd = f (t). Comparar las constantes de la regresi´on con los valores esperados (tomar en cuenta Ro ).

Figura 1: Gr´afico de la relaci´on experimental VCd = f (t). La relaci´on experimental es: VCd = 5,9656e−0,02t . Ahora comparamos las constantes con los valores esperados: • Voltaje Vteo = 6[V ], Vexp = 5,9656 comparado mediante la ecuaci´on: xexp − xteo ∗ 100 Dif.( %) = xteo Reemplazando los valores de Vexp y Vteo en la ecuaci´on 1. 5,9656 − 6 ∗ 100 6 Dif.( %) = −0,57 % Dif.( %) =

• Constante de tiempo De la relaci´on experimental, igualamos: − τ1 = −0,02 τexp = 50[s] ahora hallamos τteo con los siguientes datos: RT = R + R0 RT = 2,17[KΩ] + 50[Ω] RT = 2220[Ω] 0.1. TRATAMIENTO DE DATOS

1

(1)

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F´ısica Experimental

Entonces τteo = RT ∗ C τteo = 2220[Ω] ∗ 22,7[nF ] τteo = 50,394[s] τteo = 50,394[s] Ahora comparamos τexp y τteo con la ecuaci´on 1.

Dif.( %) =

50 − 50,394 ∗ 100 50,394

Dif.( %) = −0,78 % 2. Combinando las tablas 1 y 2, elaborar una tabla VCd − VCc y, mediante un an´alisis de regresi´on, determinar la relaci´on experimental VCc = f (VCd ). Comparar las constantes de la regresi´on con los valores esperados.

−t

VCc = V (1 − e τ )

(2)

−t τ

VCd = V e −t VCd eτ = V VCc VCc

(3) −t

despejamos e τ de la ecuaci´on 3 y reemplazamos en 2.

VCd = V 1− . V = V − VCd 

Relaci´on VCc − VCd

(4)

De la ecuaci´on 4 obtenemos los valores esperados. Bteo

z }| {

VCc = |{z} V + (−1) VCd Ateo

Ateo = V = 6[V ] y Bteo = −1. Ahora hallamos los valores Aexp y Bexp mediante una regresi´on lineal con los datos de la siguiente tabla. Ver Figura 2.

0.1. TRATAMIENTO DE DATOS

2

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Figura 2: Tabla VCc−VCd Ahora graficamos la relaci´on VCc − VCd . Ver Figura 3.

Figura 3: Gr´afica VCc − VCd

Cuya ecuaci´on es: Bexp

z

}|

{

VCc = 5,9853 + (−1,0041) VCd | {z } Aexp

Aexp = 5,9853 Bexp = −1,0041

0.1. TRATAMIENTO DE DATOS

3

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F´ısica Experimental

La Figura 4 muestra la diferencia porcentual entre los valores.

Figura 4: Tabla comparativa entre valores te´oricos y experimentales 3. Reemplazando la relaci´on obtenida en el punto 1. en la relaci´on obtenida en el punto anterior, obtener la relaci´on experimental VCc = f (t) y escribirla en la forma VCc = a+bect ; dibujar esta relaci´on junto con los puntos experimentales y comparar las constantes a, byc con los valores esperados. VCd = 5,9656e−0,02t VCc = 5,9853 − 1,0041VCd entonces VCc = 5,9853 − 1,0041 ∗ 5,9656e−0,02t |

{z

VCd

}

La nueva relaci´on VCc = f (t) ser´a:

VCc = 5,9853 − 5,99e−0,02t La Figura 5 muestra la gr´afica de la anterior relaci´on.

Figura 5: Gr´afica T iempo[µs] vs V oltaje[V oltios]

0.1. TRATAMIENTO DE DATOS

4

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A continuaci´on se comparar´an las constantes a, b y c. Ver Figura 6. cteo

z}|{

VCc

1 = |{z} V + (−V ) e τ ateo

t

| {z } bteo

cexp

z }| {

VCc = 5,9853 + (−5,99) e−0,02 | {z } aexp

|

{z

bexp

t

}

Figura 6: Diferencia porcentual entre valores te´oricos y experimentales

Relaci´ on entre τ y C. 4. En base a la tabla 3, mediante un an´alisis de regresi´on, determinar y dibujar la relaci´on τexp = f (C). Comparar la constante de la regresi´on con el valor esperado. Ver figura 7

Figura 7: Gr´afica τexp = f (C) Cuya ecuaci´on es: τexp = 0,069 + 2,2732 C

0.1. TRATAMIENTO DE DATOS

5

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La relaci´on te´orica correspondiente es: τ = (R + R0 ) C |

{z

RTteo

}

Figura 8: Diferencia entre RTteo y RTexp

Relaci´ on entre τ y RT . 5. En base a la tabla 4, elaborar una tabla RT − τexp y, mediante un an´alisis de regresi´on, determinar y dibujar la relaci´on τexp = f (RT ). Comparar la constante de la regresi´on con el valor esperado. . tomando en cuenta que RT = R + R0 , tenemos el gr´afico a continuaci´on:

Figura 9: Gr´afica RT vs τ

0.1. TRATAMIENTO DE DATOS

6

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Ahora determinamos la diferencia entre Cexp y Cteo , considerando que: τ = C ∗ RT

Figura 10: Diferencia entre Cexp y Cteo

0.2.

CUESTIONARIO

1. Demostrar que, en el proceso de carga, τ es el tiempo en que el voltaje sobre el capacitor llega a 0,632V . Resp. Reemplazando τ en lugar de t en la ecuaci´on: VCc = V (1 − e−t/τ ), obtenemos: VCc = V (1 − e−τ /τ ) 1 e ≈ 0,632V. 

VCc = V 1 − VCc



2. ¿C´ omo podr´ıa determinarse directamente la relaci´ on experimental VCc = f (t)? Resp. Mediante un an´alisis de regresi´on exponencial. 3. ¿C´ omo cambiar´ıa la constante de tiempo si se disminuyera la frecuencia de la onda cuadrada? Resp. La constante de tiempo disminuir´ıa su valor. El capacitor tardar´ıa menos en cargarse. 4. ¿C´ omo cambiar´ıa la constante de tiempo si se aumentara el valor de V? Explicar. Resp. Al aumentar el valor de V, el valor de la constante de tiempo no cambiar´ıa. Esto debido a que la constante de tiempo no depende del voltaje m´aximo.

0.2. CUESTIONARIO

7