Informe_3

Informe Tarea 3 Código Curso: CI4203

Nombre Alumno: Pablo Rafael Jara Mora Auxiliar: Diego Diaz S. Fecha Entrega: 06/11/16

Contenido

1. Introducción.................................................................................................... 3 2. Marco teórico.................................................................................................. 4

3.

1.

Series y transformadas de Fourier.............................................................4

2.

Acelerómetros y geófonos.........................................................................5 Resultados.................................................................................................... 7

3.1. P1.............................................................................................................. 7 3.1.1. Diferencias entre métodos numéricos................................................7 3.1.2. Identificación de acelerómetros y geófonos.......................................7 3.1.3. Determinar cuál aproxima mejor la aceleración.................................8 3.2. 3.2.1. 4.

P2........................................................................................................... 9 Activación de dispositivos...................................................................9

Análisis de los resultados............................................................................10 4.1.

Pregunta 1............................................................................................ 10

4.2.

Pregunta 2............................................................................................ 11

5.

Conclusiones y comentarios.......................................................................12

6.

Referencias................................................................................................. 13

7.

Anexos........................................................................................................ 14

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1. Introducción El presente informe muestra los resultados y conclusiones obtenidas mediante la Tarea N°3 del curso CI4203, cuyo objetivo es analizar la respuesta de distintos osciladores y dispositivos ante un sismo, utilizando los datos recogidos en Talca del terremoto del Maule de 2010 La primera parte del informe, trata sobre el análisis de la respuesta de cuatro osciladores debido al terremoto. Para ello, se utilizó el canal L de aceleraciones, y con estos datos, se compararon las respuestas de los cuatro osciladores para desplazamiento, velocidad y aceleración para dos métodos de cálculo. El primero de estos métodos de cálculo es el algoritmo de Nigam y Jennings, el cual se basa en un método de diferencias finitas, y el segundo método es el Fast Fourier Transform, el cual se basa en el uso de la transformada de Fourier, trabajando en el espacio de la frecuencia para obtener la respuesta. Al final de esta sección, se comparan los métodos, se determina si se comportan como acelerómetros o geófonos, y se determina cual es el mejor oscilador dado el sismo. La segunda parte busca conectar lo realizado en la anterior tarea del curso, buscando identificar si los dispositivos alcanzan, para distintas escalas del sismo, su desplazamiento máximo, momento en el cual estos se activan Finalmente, se concluye respecto a los datos y gráficos obtenidos a lo largo del informe. Nota: Para ejecutar el programa, es necesario instalar en el archivo de Matlab los siguientes archivos: Fourier.m (archivo donde está el método de la transformada de Fourier) MetodoJenningyNigam22.m (archivo donde está programado el método de Nigam y Jennings) Talca1.txt (archivo donde se encuentra el registro de aceleración del canal L) Talca2.txt (archivo donde se encuentran las velocidades del canal L) Tarea3Dinamica.m (Archivo que calcula los errores entre los métodos y despliega los gráficos del informe de la pregunta 1). Tarea3Dinamicap2.m (archivo que despliega los resultados de la pregunta 2)

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2. Marco teórico La teoría necesaria para desarrollar la actividad se resume en las siguientes secciones:

1. Series y transformadas de Fourier La teoría de series de Fourier establece que cualquier tipo de onda o excitación periódica, puede ser escrita como una suma infinita de senos y cosenos. Si la excitación es

P(t) , entonces su serie de Fourier es:

∞

P (t )=a0 + ∑ a n ∙ cos n=1

(

∞

2 ∙ π ∙ n∙ t 2∙ π ∙n ∙ t + ∑ b n ∙ sin Tp Tp n=1

)

(

)

Donde: Tp

1 a0 = ∙∫ P ( t ) dt Tp 0 Tp

2 2∙ π ∙ n ∙t an = ∙∫ P ( t ) ∙ cos dt Tp 0 Tp Tp

(

)

2 2 ∙ π ∙ n∙ t bn = ∙∫ P ( t ) ∙ sin dt Tp 0 Tp

(

)

A pesar que esta teoría es muy útil para excitaciones periódicas, en la práctica estas no existen, y por ende, debemos encontrar otra forma de representarlas. Para esto último, se desarrolló la teoría de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier es el resultado de analizar la serie de Fourier para una onda “periódica” de periodo infinito. Realizando esto, la transformada de Fourier nos permite trabajar en el espacio de frecuencias en vez de trabajar en el espacio del tiempo, de donde obtenemos que el desplazamiento es (aplicando anti-transformada de Fourier):

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∞

v ( t )=

1 ´ c ( ω) ´ ∙ exp ⁡( i ω ´ t)d ω ´ ∫ H (ω)∙ 2 π −∞

Donde:

∞

c ( ω)= ´

1 ∫ P(t )∙ exp ⁡(i ω´ t )dt 2 π −∞

En donde, P (t) es la excitación externa del sistema. Desde el punto de vista de la programación del método, lo que se realiza a grandes rasgos es lo siguiente: 

Aplicamos la transformada de Fourier al vector de aceleraciones externo:

T ( p ( t )) =P(ω) 

Calculamos la Fracción de respuesta en frecuencia (que viene a reemplazar al factor de amplificación dinámica):

1 ´ )= ∙ H (ω k



[

1 2

1−

´ ´ ω ω +2 iβ ω ω

( )

( )

]

Aplicamos anti-transformada de Fourier de tal forma de obtener el desplazamiento, la velocidad y la aceleración :

v ( t )=T −1 ( H ( ω ´ ) P ( ω ) ) ; v´ ( t ) =T −1 ( H ( ω ´ ) P ( ω ) (iω ) ) ; ´v ( t )=T −1 ( H ( ω ´ ) P ( ω )( iω ) ) ;

2. Acelerómetros y geófonos Los acelerómetros y geófonos son dispositivos que permiten medir la excitación externa que sufre un sistema. En el caso de los acelerómetros, estos son sensores de aceleración, que funcionan hoy en día mediante un dispositivo que posee un piezoeléctrico que dependiendo de la aceleración, permite registrar una cierta cantidad de voltaje. En cambio, los geófonos son sensores de velocidad inerciales, es decir, buscan obtener los datos de la excitación a través de la velocidad.

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Para que un dispositivo funciones como un acelerómetro, necesitamos que el desplazamiento del dispositivo mediante una excitación sea similar a la que posee el sismo, puesto que, se busca que la información entregada sea lo más similar a la aceleración externa. Para ello, vemos que utilizando la ecuación diferencial dada una aceleración externa del tipo sinusoidal:

m∙ v´ + c ∙ v´ +k ∙ v=−´v go ∙ m ∙sin ( ω ´ ∙t) Donde la solución a esta ecuación es:

v ( t )=−´v go ∙

D ∙sin ( ω ´ ∙ t−θ ) 2 ω

Luego, queremos que este desplazamiento máximo sea proporcional a la aceleración, para ello, debemos hacer que el factor de desplazamiento dinámico sea lo menor posible y que omega sea lo más grande posible. Esto último se debe a que si omega grande:

m∙ v´ + c ∙ v´ +k ∙ v=−´v g ∙m ⇔ ´v + 2∙ β ∙ ω ∙ v´ +ω 2 ∙ v =−´v g Luego, si omega grande:

ω2 ∙ v=− ´v g Ahora bien, para que D sea pequeño y no afecte a la proporcionalidad, es necesario además que

β 0,6−0,7 .

Para el caso del geófono, el análisis es levemente distinto. Primero, este lee velocidades, por lo tanto, primero, vemos que la ecuación dinámica del sistema es:

m∙ v´ + c ∙ v´ +k ∙ v=−p0 ∙ m∙ sin ( ω ´ ∙t ) Cuya solución particular es:

v ( t )=−´v go ∙

m ∙ Dsin ( ω ´ ∙ t −θ ) k

En este caso, se tiene la velocidad de la carcasa como incógnita. Si suponemos que la velocidad de la carcasa la podemos escribir como:

v´ ( t )=´v go cos ( ω ´ ∙t ) Derivamos y obtenemos que:

v´ ( t )=−´v go ω ´ sin ( ω ´ ∙t) 6

Reemplazando en la ecuación de movimiento:

v ( t )=´v go ω ´∙

m ∙ D sin ( ω ´ ∙ t −θ ) k

Luego, esto se puede escribir también como:

v ( t )=´v go

Dγ ∙sin ( ω ´ ∙ t−θ ) ω ´

Así, para que el resultado no dependa de D, es necesario que el amortiguamiento sea muy alto y que la rigidez sea muy baja en comparación con la masa.

3. Resultados 3.1. P1 3.1.1. Diferencias entre métodos numéricos Los métodos utilizados son el método de Nigam y Jennings, y el método de la transformada de Fourier. Para ello, ejecutamos el programa “Tarea3Dinamica.m”, el cual nos entrega los gráficos de cada método, los cuales están incluidos en los anexos (Gráficos del 1 al 12), lo que nos permite comparar gráficamente la diferencia entre los métodos, ya sea en desplazamiento, velocidad o aceleración. Además, usamos un criterio de comparación más directo, que se basa en el análisis de los valores absolutos de las diferencias entre los métodos, obteniendo un error promedio normalizado por la escala de la oscilación, la cual está dada por el máximo dado por el método de Nigam y Jennings. Los valores obtenidos son:

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Tabla 1: Error de métodos

Oscilador Oscilador Oscilador Oscilador

1 2 3 4

Error – Desplazamiento 0.0002 0.0002 0.0001 2.2*10-5

Error - Velocidad

Error - Aceleración

0.0004 0.0008 0.004 5.9*10-5

0.014 0.11 6.99 2.5*10-5

3.1.2. Identificación de acelerómetros y geófonos En primer lugar, verificamos si cumplimos la condición básica para un acelerómetro, es decir, para frecuencias angulares grandes cumplimos que: 2

ω ∙ v ( t ) ≈ v´ g . Los resultados obtenidos se resumen en la siguiente tabla:

Tabla 2: ¿Es acelerómetro?

Oscilador Oscilador 1 Oscilador 2 Oscilador 3 Oscilador 4

¿Es acelerómetro? Si Si Si No

En segundo lugar, analizamos cual oscilador se comporta como un geófono, es decir, cual permite medir, de cierta forma, la velocidad de la forzante, en otras palabras, cual permite obtener una proporcionalidad entre la respuesta y la velocidad de la excitación externa. Sin embargo, no se pudo observar esto para ningún oscilador.

3.1.3. Determinar cuál aproxima mejor la aceleración Desde el punto de vista de los resultados, si vemos el error entre los osciladores y la aceleración externa, error que podemos ver como la diferencia de la aceleración externa menos la aceleración del oscilador, normalizado por 8

el máximo valor de la aceleración externa. Los errores se resumen en la siguiente tabla:

Tabla 3: Errores de aproximación de los acelerómetros

Oscilador Oscilador 1 Oscilador 2 Oscilador 3 Oscilador 4

Error [-] 0.0046 0.0047 0.0045 0.006

Por lo tanto, el oscilador que permite aproximar mejor el valor de la aceleración externa, es el oscilador 3.

3.2. P2 3.2.1.

Activación de dispositivos

Los dispositivos se resumen en la siguiente tabla:

Tabla 4: Modelos de interruptor

Modelo

Frecuencia Natural f [Hz]

1 2

4.5 7.5

β

[%] 50 70

Deformación límite ulim [mm] 3 1

Utilizando los resultados de desplazamientos del interruptor mediante un el algoritmo Nigam y Jennings para las distintas normalizaciones de la aceleración externa sugerida, es decir, 0.7 g, 0.4 g y 0.1 g, obtenemos el siguiente resultado (Ejecutar el archivo P2Tarea3.m):

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Tabla 5: Desplazamiento máximo de interruptores

Normalizació n Dispositivo 1 Dispositivo 2

Desplazamiento para normalización [m] 0.7 g 0.4 g 0.1 g 0.0069 [m] 0.0027 [m]

0.0039 [m] 0.0015 [m]

0.00098 [m] 0.00038 [m]

Donde podemos apreciar que los dispositivos se activan para los sismos normalizados para 0.7 g y 0.4 g. Mientras que, para el sismo de 0.1 g ninguno de los dos dispositivos se activará.

4. Análisis de los resultados

4.1. Pregunta 1 En primer lugar, podemos apreciar que el método de Nigam y Jennings es claramente similar al método de Fourier en desplazamiento, velocidad y aceleración. Sin embargo, los métodos difieren para los osciladores 2 y 3 en el cálculo de la aceleración. Esto puede ser consecuencia de la frecuencia natural de los osciladores. Pues, analizando los errores de la tabla 1, estos son directamente proporcionales a la frecuencia natural. Luego, posiblemente el error se debe a que el método de Nigam y Jennings es un método de diferencias finitas, y por lo tanto, su comportamiento dependerá de la relación entre la frecuencia de muestreo y la frecuencia natural del sistema, sin embargo, no se pudo determinar con certeza la causa del error. En segundo lugar, al momento de clasificar los distintos osciladores entre geófonos y acelerómetros, vemos que en principio, observando los gráficos del 13 al 16, tenemos que los primeros tres osciladores, debido a la magnitud de 10

su frecuencia, aproximan bien la aceleración externa, sin embargo, el oscilador 1 no cumple con una de las condiciones para ser llamado acelerómetro, esto es, que su

β=0.1 , y no alcanza los valores de 0.6 y 0.7 que se ven en la

teoría. Por otra parte, vemos que el oscilador 4 posee una frecuencia que debería permitir que se comporte como un geófono (es decir, una frecuencia baja), sin embargo, no se encontró una relación entre las velocidades de este y la aceleración, además, es necesario que el factor de amortiguamiento critico (

β ), se encuentre entre 0.6 y 0.7. Por lo tanto, claramente los osciladores 2 y 3 son acelerómetros, sin embargo, es difícil decir que el 1 y el 4 son geófonos. Por último, notamos que de los tres métodos, la diferencia es muy poca entre los osciladores 2,3 y 4 para estimar el valor de la aceleración externa. También, el oscilador 4 es el que presenta una mejor aproximación, debido a que, como se ve en el marco teórico, a mayor frecuencia natural (o menor rigidez), es mejor la aproximación. Sin embargo, los resultados de los osciladores 2 y 3 son similares a la entregada por el oscilador 4, por lo tanto, estos sistemas podrían ser preferidos al 4 si analizáramos los precios de los dispositivos.

4.2. Pregunta 2 Esta sección no requiere un mayor análisis, sin embargo, podemos decir que los dos dispositivos se activaron para dos normalizaciones de sismos (casos 1 y 2) y no lo hicieron para el máximo más bajo de 0.1 [g]. Además, relacionado las aceleraciones sísmicas con la escala de Mercalli (ver Referencia 1), obtenemos lo siguiente:

Aceleración Sísmica [g] 0.1 0.4

Escala Mercalli VI VIII

Percepción del Temblor Fuerte Severo

0.7

IX

Violento

Potencial de Daño Leve Moderado a Fuerte Fuerte

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Podemos apreciar que la aceleración sísmica está ligado al potencial de daño del temblor. Dado que los dispositivos de la Tarea 2 están diseñados para funcionar como interruptor de un sistema de gas debido a un sismo, vemos que el hecho que el dispositivo no se active cuando el potencial de daño se define como Leve, es razonable pensar que no es necesario activar el sistema. De la misma forma, si el potencial de daño es Moderado a Fuerte o Fuerte, un sistema de gas es potencialmente peligroso y es preferible que los dispositivos se activen.

5. Conclusiones y comentarios En primer lugar, la tarea fue capaz de mostrar las diferencias entre dos métodos numéricos, y según lo que se dijo anteriormente, mostró que el método de Nigam y Jennings comete errores al calcular la aceleración propia del sistema. En segundo lugar, vemos que obtener buenos aparatos para registrar la forzante durante un sismo, es deseable que tengan mucho amortiguamiento y mucha rigidez, lo que explica lo complicada de su construcción durante el siglo pasado, sin embargo, hoy en dia estos acelerómetro son fáciles de hacer y tienen precios bajos.

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Finalmente, vemos que muy ser muy útil colocar interruptores anti-sísmicos ahora sistemas que funcionen con sustancias peligrosas, debido a que las aceleraciones horizontales pueden ser casi similares a una caída libre horizontal.

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6. Referencias 1- https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_s%C3%ADsmica

7. Anexos 14

Gráfico 1: Comparación de métodos para oscilador 1 en desplazamiento

15

Gráfico 2: Comparación de métodos para oscilador 1 en velocidad

16

Gráfico 3: Comparación de métodos para oscilador 1 en aceleración

17

Gráfico 4: Comparación de métodos para oscilador 2 en desplazamiento

18

Gráfico 5: Comparación de métodos para oscilador 2 en velocidad

19

Gráfico 6: Comparación de métodos para oscilador 2 en aceleración

20

Gráfico 7: Comparación de métodos para oscilador 3 en desplazamiento

21

Gráfico 8: Comparación de métodos para oscilador 3 en velocidad

22

Gráfico 9: Comparación de métodos para oscilador 3 en aceleración

23

Gráfico 10: Comparación de métodos para oscilador 4 en desplazamiento

24

Gráfico 11: Comparación de métodos para oscilador 4 en velocidad

25

Gráfico 12: Comparación de métodos para oscilador 4 en aceleración

26

Gráfico 13: Verificación si es Acelerómetro o no, para oscilador 1

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Gráfico 14: Verificación si es Acelerómetro o no, para oscilador 2

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Gráfico 15: Verificación si es Acelerómetro o no, para oscilador 3

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Gráfico 16: Verificación si es Acelerómetro o no, para oscilador 4

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