Informe Terminado PENDULO SIMPLE

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

EL PÉNDULO SIMPLE Castañeda Gómez H.1, Orozco De la Cruz L.1, Polo Cano K.1, Roa Escobar E.1, Robles Montoya G.1 Martín Morales Fontalvo 2 Universidad Del Atlántico Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Mecánica Martes, Marzo 29 del 2011, 12:30 P.M

RESUMEN

E

n el presente informe se realiza un detallado análisis cuantitativo y cualitativo de la práctica número dos, titulada, “Péndulo Simple”. Ésta fue desarrollada el día quince de marzo del año lectivo en las instalaciones del laboratorio de física de la Universidad Del Atlántico.

El objetivo primordial de dicha experiencia, fue comprobar la primera y segunda ley del péndulo simple y consiguientemente, calcular el valor de la aceleración debida a la gravedad. Para ello, se contó con un sistema que constaba de un soporte universal, un hilo inextensible, una cinta métrica, un juego de tres masas diferentes, un transportador y un cronómetro.

1. INTRODUCCIÓN Todo movimiento o suceso que se repite a intervalos regulares se dice que es periódico. En ciertos movimientos periódicos, un cuerpo se mueve hacia adelante y hacia atrás siguiendo una trayectoria determinada, entre una posición fija (sobre la cual pasa un eje perpendicular) y dos posiciones extremas, tal es el caso del péndulo simple, un sistema idealizado en el que una masa puntual está suspendida del extremo de una cuerda inextensible de masa despreciable (cotejada con la masa del cuerpo). El motivo que estímulo el desarrollo de este sucinto informe, fue reconocer los factores y variables que intervienen en este sistema mecánico, estudiar sí efectivamente su comportamiento cumple con las características para catalogársele como oscilador armónico simple (poder establecer comparaciones entre el movimiento del péndulo simple con el sistema físico masa – resorte, ambos movimientos periódicos oscilatorios) y determinar

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad, aprovechando la relación entre el período y la longitud del mismo.

2. DISCUSIÓN TEÓRICA Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sometidos a una fuerza restauradora, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple o matemático es uno de estos. Se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse. Éste sistema, como se había mencionado anteriormente, se compone de una pequeña pesa de masa m suspendida de un cordel fino de longitud L fijo por su extremo superior. (Cordel fino significa suponer que la masa del cordel es muy pequeña en comparación con la masa de la pesa y que, por tanto, es posible no tomarla en cuenta.) Cuando se deja en libertad, la masa se balancea hacia un lado y otro sobre la misma trayectoria, este movimiento ocurre en un plano vertical y es accionado por la fuerza gravitacional. Examinando la fuerza que actúa como fuerza restauradora sobre el péndulo (componente tangencial de la fuerza gravitacional), se puede aseverar que este describe un movimiento armónico simple, pues esta fuerza es proporcional al desplazamiento s, y es de la forma de la ley de Hooke, . Por otra parte, puesto que en este caso, se observa que el movimiento es armónico simple si es proporcional al ángulo La componente de la fuerza de gravedad tangencial a la trayectoria circular es la fuerza que devuelve el péndulo a su posición de equilibrio. Por tanto, la fuerza restauradora es

Con base en esta ecuación se aprecia que la fuerza restauradora es proporcional a , no a Ello conduce a concluir que el movimiento de un péndulo no es armónico simple. Sin embargo, cuando el ángulo es significativamente pequeño, menor a quince grados, el ángulo

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

medido en radianes y el seno del ángulo son aproximadamente iguales. En definitiva, si restringimos el movimiento a ángulos pequeños (menores a quince grados), la fuerza restauradora se puede escribir como

Y teniendo en cuenta

se puede denotar (

)

Esta ecuación sigue la forma general de la fuerza de la ley de Hooke, dada por con

,

. Por esto, se justifica afirmar que un péndulo experimenta un movimiento

armónico simple sólo cuando oscila de un lado a otro con amplitudes muy pequeñas (o, en este caso, valores pequeños de , de modo que ). El período de un péndulo se puede determinar si se recuerda en primer lugar que el período de un sistema de masa-resorte es √ Si se sustituye

por su equivalente,

, se nota claramente que el período de un péndulo

simple es √

√

Esta ecuación pone de manifiesto el resultado, sorprendente en alguna medida, de que el período de un péndulo simple no depende de la masa sino de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad. Por otro lado, la amplitud no es un factor importante en tanto sea relativamente pequeño. En la siguiente figura se ilustra la analogía entre el movimiento de un péndulo simple y el sistema de masa-resorte.

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

3.

PROCEDIMIENTOS.

En la realización de la práctica de Laboratorio de Física II concerniente a “Péndulo Simple”, en primera instancia se llevo a cabo la fase de instalación de los instrumentos con la finalidad de demostrar experimentalmente la independencia del Periodo con la masa oscilante en el Péndulo, para ello, se emplearon los siguientes instrumentos:  Un soporte universal.  Una cuerda inextensible de longitud no menor a 150 cms.  Bloques de masa de 50, 100 y 200 grms.  Cinta métrica.  Transportador.  Cronómetro.

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

La instalación se realizó tomando una medida exacta de longitud de la cuerda valorada desde el extremo superior del soporte universal hasta el centro de masa del bloque colgante de 50 gramos. La longitud tomada fue de 51 cms, y el procedimiento de medición se realizo en primera instancia con un bloque de 50 gramos, luego con uno de 100 gramos y finalmente con uno de 200 gramos, manteniendo invariable el valor de la longitud. La medición del periodo se hizo posible, halando la masa colgante con un ángulo aproximadamente igual o mayor a 15° respecto a la vertical, soltándose para que empezara a oscilar. Se tomó el tiempo transcurrido en 10 oscilaciones para lograr finalmente la relación T = t/10. Los resultados fueron tabulados y el procedimiento se realizo sucesivamente diez veces para obtener un valor promedio. Así mismo se realizó aumentando el valor de la masa, con una de 100 y 200 gramos. Para la segunda etapa de la medición se realizó exactamente lo mismo que en la etapa anterior, lo que marcó la diferencia fue el valor fijo de la masa, y el aumento durante la medición del valor de la longitud de la cuerda para calcular el periodo respectivo. Se inició con 30 cms de longitud, se fue aumentando en 20 cms hasta llegar finalmente a 150 cms. Los parámetros de medición fueron exactamente los mismos.

4.

ANÁLISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS.

En la realización de los cálculos correspondientes en la determinación experimental de los fundamentos del M.A.S. asociado a un Péndulo simple se tomaron los siguientes datos iniciales:

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

Tabla 1: Determinación experimental de los valores del Periodo para un “Péndulo simple” variando la masa colgante, y dejando constante la longitud de la cuerda. M1 M2 M3 t T(s) t T(s) t T(s) 14.10 1.41 14.23 1.42 14.40 1.44 14.12 1.41 14.40 1.44 14.46 1.45 14.60 1.46 14.50 1.45 14.50 1.45 14.30 1.43 13.93 1.40 14.43 1.44 14.60 1.46 14.30 1.43 14.51 1.45 ̅ = 1.43 ̅ = 1.43 ̅ = 1.45

En la fase de medición respectiva hay que tener en cuenta que el valor del periodo con cada Masa colgante se determinó tomando el tiempo de diez oscilaciones para disminuir el índice de error, de esta forma el valor registrado fue dividido entre diez (10) obteniéndose asi la magnitud de un periodo de oscilación, los valores de las masas son respectivamente M1 = 50g, M2 = 100g y M3 = 200 g. podemos notar que aunque se varió la masa el valor del Periodo presentó pequeñísimas desviaciones, independientemente de la amplitud utilizada, se procuró siempre empezar las mediciones con el mismo valor; pero la tendencia es a un valor de Periodo perfectamente constante. A partir de estos resultados es posible comprobar el valor de la aceleración de gravedad que actúa siempre sobre un sistema en oscilación, la fuerza de gravedad acciona el movimiento y siempre que sea un ángulo pequeño éste será Armónico simple, este requisito fue tenido en cuenta debido al valor de amplitud pequeño utilizado para la toma de mediciones. La longitud medida de la cuerda fue de 51 cms. Partimos entonces de la ecuación que define al Periodo de un Péndulo simple:

√

Donde L es la longitud de la cuerda del péndulo y g la aceleración de la gravedad. De esta forma si despejamos g de la ecuación anterior tenemos:

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

Si aplicamos la formula en cada uno de los casos anteriores obtenemos los siguientes valores: Tabla 2: Determinación de los valores experimentales de la aceleración de gravedad teniendo en cuenta los vales promedios de los Periodos con cada Masa correspondiente. ̅ MASA (Gramos) PERIODO PROMEDIO (S) g GRAVEDAD ( ) 50 100 200

1.43 1.43 1.45

Sabemos que el valor científico de la gravedad es de 980.66

984.59 984.59 976.39

. Con estos valores entonces

podemos encontrar los porcentajes de desviación entre uno y otro valor y de esta forma analizar el índice de error en la práctica: |

|

Donde el valor teórico corresponde al valor científico de la gravedad y los valores experimentales aquellos tomados en el laboratorio, la siguiente tabla muestra los resultados una vez aplicada la fórmula anterior: Tabla 3: Determinación de los valores de los %Desv. Para cada valor experimental obtenido en el cálculo de la aceleración de la gravedad. Valor experimental: g %Desviación Valor Teórico (Científico) ( ) (

)

984.59 984.59 976.39

980.66

0.43% 0.43% 0.38%

Es apreciable una vez vistos los resultados de la tabla, que los valores de la aceleración de gravedad obtenidos experimentalmente son muy aproximados al valor científico de la misma, lo que garantiza un porcentaje de desviación bastante insignificante demostrando que la práctica se realizó bajo procedimientos acertados y correctos.

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

La segunda parte de la experiencia consistió en determinar los valores del Periodo para diferentes longitudes, es decir la magnitud de ésta fue variable para cada etapa de medición manteniendo constante el valor de la masa colgante. Los datos obtenidos se ilustran el la siguiente tabla:

Tabla 4: determinación del Periodo de osilación variando la longitud de la cuerda. LONGITUD Tiempo 10 oscilaciones (s) Periodo T(s) Cuadrado Periodo T 2(s2) (Cms) 30 11.20 11.09 11.10 11.02 11.09 1.11 1.23 50 14.44 14.50 14.35 14.60 14.46 1.45 2.10 70 16.84 16.80 16.80 17.10 16.74 1.69 2.86 90 19.18 19.20 19.25 19.30 19.10 1.92 3.69 110 21.03 21.30 21.20 21.06 21.10 2.11 4.45 130 23.09 23.00 23.08 23.20 23.10 2.31 5.34 150 25.00 24.86 24.91 24.60 24.90 2.48 6.15 Si analizamos los resultados obtenidos, en primera noción podemos observar que si variamos los valores de la longitud de la cuerda asi mismo varía el valor del periodo no de una forma directa debido a la relación entre T y L. Para poder comprender mejor la información que proporciona la gráfica es conveniente realizar una representación gráfica de T Vs. L, y T 2 vs L para observar su comportamiento:

Periodo T(s) vs Longitud (Cms) 3 Periodo T (seg)

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

20

40

60

80 Longitud (Cms)

100

120

140

160

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

Realizando un análisis gráfico podemos observar que la gráfica representa una curva cóncava hacia abajo que indica que a medida que aumenta la Longitud de la cuerda del Péndula aumenta también el valor del periodo de oscilación pero no de manera proporcional debido a la relación entre T y L. Podemos apreciar, que la curva tiene la forma de una función que lleva un termino de raíz cuadrada, y esto es justificable ya que T ascendente también.

, por lo tanto la gráfica no puede ser lineal, es

Ahora podemos apreciar la gráfica del Periodo al Cuadrad contra la Longitud:

Cuadrado Perido T 2(s2) vs Longitud (Cms) Cuadrado Perido T 2(s2)

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

LONGITUD (Cms)

El ideal de realizar un gráfico que relacione el Cuadrado del Periodo contra la Longitud es linealizar los puntos obtenidos en la gráfica anterior. Si apreciamos la gráfica vemos que la rectitud aumenta respecto a la primera gráfica, sin embargo existe una pequeña desviación debida al índice de error por tratarse de una práctica experimental, sin embargo la tendencia es significativa. Si se unieran los puntos extremos, los puntos que se encuentran entre éstos quedarían dispersos y de esta forma se pueden inferir que esto es posible por la fuente de error, que pudo deberse a perturbaciones externas, variación brusca en la precisión a la hora de soltar la masa colgante con un valor de amplitud específico, si esto fuera asi, el sistema podría experimentar pérdida de energía mecánica en el cambio de la trayectoria y de esta forma el movimiento no sería Armónico simple, sin embargo el ángulo de amplitud fue mayor o igual a 15°.

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

Es un gráfico aproximadamente lineal, que indica que a medida que aumenta la longitud idealmente aumenta el cuadrado del periodo de una forma proporcional. Aunque experimentalmente esta apreciación es significativamente aproximada. Todo esto debido a que:

Como la relación es directamente proporcional, y la grafica entre el cuadrado del periodo y la longitud es lineal, podemos hallar entonces el valor de la pendiente.

Si tomamos el valor científico de g, y sustituimos su valor obtenemos que m = 0.040. Y este valor es consistente, ya que por ser una línea recta la pendiente también puede hallarse como el cociente entre la diferencia de los valores mayor y menor del cuadrado del periodo, y la diferencia de los valores mayor y menor de la longitud; entonces el valor de dicha operación es 0.041, muy aproximado al primer valor (Véase Tabla 4) El valor de la gravedad también puede ser determinado utilizando los valores experimentales tomados en la segunda parte de la práctica, para de esta forma lograr la comparación con el valor científico y calcular el índice de error:

Tabla 5: Determinación del valor de la aceleración de gravedad con los datos experimentales tomasdos en la medición. Longitud (Cms) Periodo T(s) Gravedad g ( ) 30 50 70 90 110 130 150

1.11 1.45 1.69 1.92 2.11 2.31 2.48

961.24 938.84 967.57 963.83 975.41 961.79 962.83

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

Si observamos la tabla vemos una aproximación bastante cercana de la magnitud de la aceleración de la gravedad respecto al valor científico de la misma. Sin embargo el índice de error puede ser conocido mediante el porcentaje de desviación entre dichos valores. Se usa entonces la siguiente fórmula: |

|

. Los valores obtenidos son los que se muestran en la siguiente tabla que se muestra

Tabla 3: Determinación de los valores de los %Desv. Para cada valor experimental obtenido en el cálculo de la aceleración de la gravedad. Valor experimental: g %Desviación Valor Teórico (Científico) ( ) (

)

961.24 938.84 967.57 963.83 975.41 961.79 962.83

980.66

1.98% 4.26% 1.34% 1.72% 0.53% 1.92% 1.82%

Si apreciamos los valores de los porcentajes de desviación para esta segunda etapa de la práctica observamos una tendencia mayor del índice de error, sin embargo, los valores de la aceleración de la gravedad respecto al valor científico son bastante próximos pues oscila ente 0.5% y 4%, lo que puede garantizar éxito a la práctica. El índice de error es debido a la imprecisión a la hora de soltar la masa oscilante desde su amplitud pequeña, o la variación de su ángulo por encima de los 15°, lo que puede hacer que el sistema no describa un Movimiento armónico Simple.

5. CONCLUSIONES A través de esta experiencia de laboratorio de Física II podemos deducir que el periodo medido en un Péndulo simple no depende para nada de la masa colgante del sistema ni de la amplitud, sin embargo ésta no debe tener un valor elevado pues modifica el ángulo de elongación que no puede ser superior a 15°. Con ángulos mayores el sistema no se mueve con M.A.S. y la energía mecánica

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

del mismo se disipa alterándose así su sentido físico. La relación entre Periodo y Longitud no es lineal como apreciamos en el gráfico, pero entre el cuadrado del periodo y la longitud es directamente proporcional. El valor de la aceleración de la gravedad fue comprobado experimentalmente con una proximidad bastante significativa, sin embargo el error debido a la imprecisión en la determinación empírica del valor del ángulo de elongación produjo pequeñas desviaciones, haciéndose su magnitud físicamente despreciable.

REFERENCIAS   

RAYMOND A. Serway. J Jewett. Física: Para ciencias e ingeniería, Vol 1, 4ª edición. Editorial MC GRAW-HILL. México D.F., México, 2003. Web Física de Franco: acienciasgalilei.com http://www.meteored.com/