Informe Teorema de Thevenin y Norton

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre” Vice-Rectorado Puerto Ordaz Departamento de Ingeniería Eléctrica Laboratorios de Circuitos Eléctricos

Profesor

Bachiller

Perfecto García

Maryury Tineo C.I 20886698

Puerto Ordaz, Enero de 2012

INTRODUCCION Las técnicas de análisis nodal y de malla representan métodos muy confiables y extremadamente poderosos. Sin embargo, ambos requieren de desarrollo de un conjunto completo de ecuaciones a fin de describir un circuito particular como regla general, aun cuando solo sea de interés un valor de corriente, de tensión o de potencia. En este informe se hace referencia a las diferentes técnicas para aislar partes específicas de un circuito a fin de simplificar el análisis, tales como el Teorema de Thevenin y Norton. El primer teorema establece que cualquier circuito eléctrico o red eléctrica lineal que contenga una o más fuentes de voltaje (tensión) o corriente (intensidad) puede ser reemplazado por una fuente equivalente de voltaje y una resistencia equivalente en serie. A la fuente equivalente de voltaje se le llamara “Voltaje Equivalente de Thevenin” y a la resistencia equivalente se le llamara “Resistencia Equivalente de Thevenin”. Este teorema es el dual del Teorema de Norton, el cual establece que un circuito eléctrico o red lineal puede ser reemplazado por una fuente de corriente o intensidad equivalente y una resistencia equivalente en paralelo. Por otra parte el Teorema de Transferencia máxima de potencia establece que la potencia máxima será desarrollada en la carga cuando la resistencia RL sea igual a la resistencia de Thevenin RTH. El objetivo de esta práctica es estudiar la validez de estos teoremas para las fuentes que se tengan disponibles en el laboratorio y analizar el comportamiento de un circuito de un circuito DC mediante la aplicación del principio de la Máxima Transferencia de Potencia.

Objetivos 

Demostrar experimentalmente el cumplimiento del teorema de Thevenin y el principio del teorema de Transferencia de máxima potencia.

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Demostrar experimentalmente el cumplimiento del teorema de Norton y el principio del teorema de Transferencia máxima de potencia.

Materiales Utilizados 

Fuente de alimentación Volt DC Power Supply Gp 3003

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Resistencias de: 20Ω(0.45A), 10Ω(0.64A) y 87Ω(0.20A) y 50Ω(0.28A)

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Cables

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Protoboard

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Multimetro digital Excel DT9205A

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Potenciometro con resistencia variable de 0-500Ω

Marco Teórico Teorema de Thevenin Cualquier parte de un circuito formada por fuentes y resistencias puede ser reemplazado por una única fuente de tensión con una resistencia en serie. Esto quiere decir que si una resistencia está conectada a un circuito entre los puntos A y B y reemplazamos el circuito por el otro equivalente, por la resistencia circula la misma corriente.

El valor de la fuente del circuito equivalente se denomina tensión de Thevenin y se obtiene calculando la tensión del circuito entre A y B sin la resistencia de carga (circuito abierto).

El valor de la resistencia en serie se denomina resistencia de Thevenin y se calcula como la resistencia que existiría entre los puntos A y B sin la resistencia de carga y poniendo en cortocircuito a todas las fuentes (reemplazándolas por un conductor).

Teorema de Norton Existe otro circuito equivalente muy simple que igualmente puede sustituir a cualquier circuito lineal hecho de fuentes de voltaje y resistencias. Recibe el nombre de circuito equivalente de Norton y consiste en una fuente de corriente, IN, conectada en paralelo con una resistencia, RN. Una fuente de corriente ideal suministra una corriente de valor constante, independientemente de cuál sea la resistencia de carga RL que se conecte al circuito. El circuito de Norton tiene la forma mostrada en la siguiente figura

Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia. Cualquier circuito o fuente de alimentación posee una resistencia interna. Si consideramos que el valor de tensión y el valor de la resistencia interna permanecen constantes, podemos calcular cuando la potencia entregada a la carga es máxima. Esto ocurre cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia interna de la fuente.

Ri = RL

Ri = Resistencia interna RL = Resistencia de carga

Si la resistencia de carga es más baja que la interna, aumenta la corriente por el circuito pero la resistencia interna en serie disipa más potencia (al estar en la misma rama la corriente que pasa por ambas es la misma por lo tanto la resistencia de mayor valor disipa mayor potencia). Si la resistencia de carga es más alta, disipa mayor potencia que la resistencia interna, pero disminuye la corriente total de tal forma de ser menos a la que circula cuando ambas resistencias son del mismo valor y por lo tanto la potencia entregada a la carga es menor.

Experiencia 1: Demostrar experimentalmente el cumplimiento del teorema de Thevenin y el principio del teorema de Máxima Transferencia de Potencia. Para la experiencia 1 elaboramos el siguiente circuito con 4 resistencias distintas en serie-paralelo y evaluamos el circuito original, midiendo la caída de tensión y la intensidad de corriente en cada una de las resistencias. Sabiendo que la suma de la caída de tensión de todas las resistencias es igual al voltaje que manda la fuente. A 20Ω

Vf

87Ω 10Ω

+ -

RL= 50Ω

B Es importante ser precavidos antes de suministrarle las diferentes tensiones a las resistencias, es decir, se debe conocer cuál es el voltaje máximo que se le puede aplicar a cada una de las resistencias, ya que así se evita quemarlas o dañarlas. Para ello se utiliza la Ley de Ohm V=IXR; cada resistencia teórica tiene un valor de corriente máximo que es el que se utilizará en la ecuación anterior, de tal manera que nos quedaría que Vmax= Imax X R. Vmax para la resistencia de 20Ω

Vmax para la resistencia de 10 Ω

Vmax= (0.45)(20)

Vmax=(0.64)(10)

Vmax=9V

Vmax=6.4V

Vmax para la resistencia de 87Ω

Vmax para la resistencia de 50Ω

Vmax= (O.20)(87)

Vmax=(0.28)(50)

Vmax=17.4 V

Vmax=14V

Voltaje Máximo (V) Corriente Imax (A))

20Ω 9 0.45

10Ω 6.4 0.64

87Ω 17.4 0.20

Tabla N°1. Valores máximos de tensión y corriente.

50Ω 14 0.28

Conociendo el voltaje máximo que se le puede suministrar al circuito, partimos a alimentar todo el circuito con un voltaje de 4 voltios, para que de esta manera no haya un exceso de tensión en los elementos resistivos. Al realizar el procedimiento antes explicado se obtuvieron los siguientes datos: 20Ω 2,8 0.13

Vf=4V Voltaje (V) Corriente (A)

10Ω 1.2 0.12

87Ω 0.8 0.0085

50Ω 0.4 0.0085

Tabla N°2. Valores experimentales.

Para hallar los valores teóricos se procede a usar la Ley de Kirchhoff de Voltaje. 20Ω

4v

+ -

I1

87Ω

10Ω

I2

50Ω

Malla I1: 20I1+10(I1-I2)-4=0 30I1-10I2=4 ………..(i) Malla I2: 87I2+50I2+10(I2-I1)=0 -10I1+147I2=0 …….(ii) Haciendo un sistema de ecuaciones y multiplicando por (3) a (ii)

30I1-10I2=4 (3) -10I1+147I2=0 30I1-10I2=4 + -30I1+441I2=0 431I2=4 I2=4/441=9.070 mA(iii)

Sustituyendo (iii) en (i) tenemos: 30I1-10(9.070

)=4

30I1=(40/441)+4 I1=(1804/441)/(30) I1=0.136 A Cabe resaltar que la I! es la corriente que pasa por la resistencia de 20Ω y la I2 es la corriente que pasa por las resistencia de 87Ω y 50Ω, mientras que por la resistencia de 10Ω pasa la corriente que resulta de la resta de I1-I2= 0.126 Teniendo los valores teóricos de las corrientes que pasan por cada resistencia se procede a usar la Ley de Ohm para hallar los voltajes teóricos Voltaje 1 V1=(0.136)(20) V1=2.72V Voltaje 2 V2=(0.126)(10) V2=1.26V Voltaje 3 V3=(9.070X

(87)

V3=0.789V Voltaje 4 V4=(9.070X

(50)

V4=0.4535V

20Ω 2.72 0.136

Vf=4V Voltaje (V) Corriente (A)

10Ω 1.26 0.126

87Ω 0.789 0.009

50Ω 0.4535 0.009

Tabla N°3. Valores Teóricos.

Para calcular los errores de voltaje y corriente se utiliza la siguiente expresión respectivamente: | |

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Cálculo de errores de V e I de R1=20Ω respectivamente: Para un voltaje de 4V |

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Cálculo de errores de V e I de R2=10Ω respectivamente: Para un voltaje de 4V |

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Cálculo de errores de V e I de R3=87Ω respectivamente: Para un voltaje de 4V |

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Cálculo de errores de V e I de R4=50Ω |

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Vf=4V E%Voltaje (V) E%Corriente (A)

20Ω 2.94 4.41

10Ω 4.76 4.76

87Ω 1.39 5.55

Tabla N°4. Errores Porcentuales de voltajes y corrientes

50Ω 11.78 5.55

Luego de evaluar el circuito original, procedemos a hacer la evaluación del mismo utilizando el Teorema de Thevenin. Que consiste en retirar la resistencia variable para realizar el cálculo del voltaje de Thevenin mientras que para el cálculo de RTH se retira la fuente y por ella se sustituye un cortocircuito para el desarrollo de la equivalente en los extremos A y B.

Circuito para el cálculo de Thevenin 20Ω

87Ω A

+ + -

4v

10Ω

Vth

B Al calcular el voltaje de Thevenin experimentalmente en los terminales A y B y la resistencia de Thevenin el circuito se reduce de esta manera :

Dónde: 

Vth experimentalmente: 1.33 Volts



Rth experimentalmente 93Ω

Tabla de valores experimentales y teóricos del voltaje y corriente de la resistencia variable. Resistencia RL 50Ω

Voltaje AB EXP(V) 0.4

Voltaje Teó (V) 0.4

Corriente RL Exp(mA) 8.926

Corriente RL Teo(mA) 9.26

Cálculo de los errores: |

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Resistencia RL 50Ω

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Error % en VAB 0

ERROR % en I 3.9

Tabla de error de voltaje y corriente.

La potencia absorbida por la carga RL:

Para el cálculo de la potencia absorbida por la carga RL se sustituyen los valores experimentales del cálculo de Thevenin, donde: VTH=1.33 RTH=93 RL=50Ω, RL=60Ω, RL=93Ω

Resistencia RL 50Ω 60Ω 93Ω

Potencia Carga RL(mW) 4.32 4.53 4.75

La máxima transferencia de Potencia es 4.75, ya que ésta se da cuando la RL toma el valor de la RTH.

Experiencia 2: Demostrar experimentalmente del cumplimiento del Teorema de Norton y el principio de la máxima transferencia de potencia. El equivalente de Thevenin para el circuito lineal, para cada caso con el voltaje de la fuente aplicado, como lo antes planteado en el marco teórico, es una fuente de voltaje Vthe, conectada en serie con Rthe, que son equivalentes del circuito lineal, pero este circuito equivalente es más reducido, pero resulta ser el mismo, por lo que la caída de tensión en RL es la misma para el circuito lineal, como para el circuito de Thevenin, y sabiendo que:

Con esta relación, también se puede obtener un circuito equivalente de NORTON, el cual consiste en una fuente de corriente conectada en paralelo con Rthe.

Al calcular la corriente de Norton el circuito equivalente nos queda:

Dónde: 

IN experimentalmente= 0.014A



RN experimentalmente=93Ω

Tabla de valores experimentales y teóricos del voltaje y la corriente de la resistencia variable.

Resistencia RL 50Ω

Voltaje AB EXP(V) 0.45

Para el cálculo de los errores:

Voltaje AB Teó (V) 0.46

Corriente RL Exp(mA) 9.090

Corriente RL Teo(mA) 9.26

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Tabla de Errores de voltaje e intensidad de corriente Resistencia RL 50Ω

Error % en VAB 2.17

ERROR % en I 1.84

La Potencia absorbida por la carga RL:

Para el cálculo de la potencia absorbida por la carga RL se sustituyen los valores experimentales de la experiencia 2 donde: 

IN=0.014 A



RN=93Ω



RL=50Ω, RL=60Ω, RL=93Ω

Watts

Watts Watts

Resistencia RL 50Ω 60Ω 93Ω

Potencia Carga RL(mW) 4.14 4.34 4.557

La Máxima Transferencia de Potencia es: 4.557

mW ya que la máxima

transferencia se da cuando el valor de la RL es igual a la RN.

Conclusión Un gran circuito puede ser sustituido por uno equivalente (más pequeño), aplicando el Teorema de Thevenin o Norton antes expuesto, con el cálculo de un Voltaje de Thevenin y una Resistencia de Thevenin, el cual nos permite mantener la caída de tensión y corriente en determinados terminales y sustituir el circuito a simplificar por estos valores de Vthe y Rthe De igual manera un gran circuito puedo ser sustituido, por una Corriente de Norton y una Resistencia de Norton, en vez de un Vth y una Rth; que nos permita mantener la misma caída de tensión y corriente en dichos terminales y sustituir el circuito a simplificar por estos valores de I y R de Norton. Cundo realizamos este tipo de cambio nos damos cuenta que aquí lo que ocurre es una transformación de fuente, ya que si transformamos la V y R de Thevenin a una fuente de corriente nos damos cuenta que esa fuente de corriente es la misma de Norton y que la Resistencia de Thevenin y la resistencia de Norton son iguales. La máxima transferencia de potencia se obtiene cuando en un circuito formado por la Vth, Rth (o en su defecto, un circuito de Norton, que resulta equivalente al de Thevenin)

y una resistencia de carga RL, el valor de la

potencia absorbida por la RL es máximo, y esto ocurre cuando Rth y RL son iguales, ya que para valores menores y mayores que Rth la potencia absorbida por RL disminuye. En toda practica de laboratorio existe cierto margen de error, en este caso hubo pequeños porcentajes los cuales son causados generalmente por la mala lectura de los diversos instrumentos, también la exactitud de los equipos, perdida en los cable, resistencia internas en los instrumentos, desgastes en las resistencias, mal contacto en los conectores, etc. Pudimos comprobar que aplicándole el Teorema de Thevenin y Norton a un circuito dado, los cálculos son equivalentes a los del circuito original.