1.
ASPECTOS GENERALES...................................... ......................................................... ...................................... ...................................... ...................................... ......................... ...... 3
1.1
INTRODUCCION AL ANALISIS HIDROLOGICO ...................................... ......................................................... ...................................... ...................3
1.2
NOMBRE DE PROYECTO ...................................... ......................................................... ...................................... ...................................... ...................................... ...................... ... 3
1.3
UBICACIÓN.
1.4
OBJETIVOS
1.4.1
GENERAL ...................................... ......................................................... ...................................... ...................................... ...................................... ....................................... ................................ ............3
1.4.2
ESPECIFICO ..................................... ........................................................ ...................................... ...................................... ...................................... ....................................... ............................. ......... 3
1.3
METODOLOGIA .................................... ....................................................... ...................................... ...................................... ...................................... ...................................... ...................... ... 4
1.4
INFORMACION BASICA ................................... ....................................................... ....................................... ...................................... ...................................... ......................... ...... 4
1.4.1
INFORMACION CARTOGRAFICA .................................... ....................................................... ...................................... ...................................... ............................ ......... 4
1.4.2
INFORMACION PLUVIOMETRICA ..................................... ........................................................ ...................................... ...................................... ......................... ...... 4
2.
HIDROLOGIA SUPERFICIAL .................................... ....................................................... ...................................... ...................................... ...................................... ...................7
2.1
PARAMETROS DE LA MICROCUENCA ...................................... ......................................................... ...................................... ................................... ................7
2.1.1
PARAMETROS MORFOLOGICOS ................................... ...................................................... ...................................... ....................................... ............................. ......... 7
2.1
MODELAMIENTO DE AGUA SUPERFICIAL ..................................... ........................................................ ...................................... ......................... ...... 11
2.1
ANALISIS ESTADISTICO DE PRECIPITACIONES MAXIMAS. .................................................. .................................................. 14
2.1.1
METODOS DE ESTIMACION DE PARAMETROS DE LAS FUNCIONES PROBABILISTICAS ..................................... ........................................................ ...................................... ...................................... ...................................... ................................ ............. 14
2.2
METODO DE MOMENTOS ...................................... ......................................................... ...................................... ...................................... ................................... ................ 14
2.2.1
DISTRIBUCION NORMAL ..................................... ........................................................ ...................................... ...................................... ...................................... ................... 14
2.2.2
DISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO I .................................... ....................................................... ...................................... ...................... ... 17
2.2.3
DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE II PARAMETROS. ................................................... ............................................................ ......... 22
2.2.4
DISTRIBUCION PEARSON TIPO III .................................... ....................................................... ...................................... ...................................... ...................... ... 26
2.3
VERIFICACION ESTADISTICA DE LAS DISTRIBUCIONES..................................... ........................................................ ................... 29
2.3.1
PRUEBAS DE AJUSTE ..................................... ........................................................ ...................................... ...................................... ...................................... .......................... ....... 30
2.3.2
PRUEBA DE SMIRNOV KOLMOGOROV .................................... ....................................................... ...................................... ................................ ............. 30
2.3.3
METODO DEL ERROR CUADRÁTICO MINIMO .................................... ....................................................... ...................................... ................... 31
2.3.4
SELECCIÓN DEL METODO ESTADÍSTICO APROPIADO..................................... ........................................................ ...................... ... 55
2.3.1
REGIONALIZACION DE PRECIPITACIONES PARA SUBCUENCA SIN DATOS ................... 55
3.
CAUDAL MAXIMO DE DISEÑO ...................................... ......................................................... ...................................... ....................................... .......................... ...... 58
3.1
COEFICIENTE DE ESCORRENTIA .................................... ....................................................... ...................................... ....................................... .......................... ...... 58
3.2
TIEMPO DE CONCENTRACION ...................................... ......................................................... ...................................... ....................................... .......................... ...... 58
3.3
CURVA DE INTENSIDAD DURACION Y FRECUENCIA (IDF) ..................................... .................................................. ............. 59
3.4
METODO MAC MATH. ....................................... .......................................................... ...................................... ...................................... ...................................... ...................... ... 60
4.
SIMULACION HIDRAULICA DE CAUCE ..................................... ........................................................ ...................................... ................................ ............. 61
4.3
RUGOSIDAD DE LAS CORRIENTES NATURALES ...................................... ......................................................... ................................ ............. 62
...................................... ......................................................... ...................................... ...................................... ...................................... ....................................... .......................... ...... 3
..................................... ........................................................ ...................................... ...................................... ...................................... ....................................... ............................. ......... 3
1
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Cel. 959876465
4.3.1
CAUDAL FORMATIVO O DOMINANTE: ...................................... ......................................................... ...................................... ............................. .......... 62
1.1.
MODELAMIENTO HIDRÁULICO EN HEC RAS. ..................................... ........................................................ ...................................... ................... 62
1.2.
RESULTADOS DE LA SIMULACION ...................................... ......................................................... ...................................... ...................................... ................... 63
5.
CONCLUCIONES Y RECOMENDACIONES .................................... ....................................................... ....................................... ............................. ......... 66
5.3
CONCLUCIONES...................................... ......................................................... ...................................... ...................................... ...................................... ................................... ................ 66
2
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Cel. 959876465
1. ASPECTOS GENERALES 1.1 INTRODUCCION AL ANALISIS HIDROLOGICO Los análisis se efectúan para obtener información espacial y temporal acerca de ciertas variables, generalizaciones regionales y relaciones entre las variables. Los componentes pertinentes, con frecuencia, no se miden directamente. Los análisis se pueden llevar a cabo a través de diferentes enfoques, como son el determinístico, paramétrico, probabilístico y estocástico. El análisis que se basa en el enfoque determinístico sigue las leyes que describen los procesos físicos y químicos. En el enfoque paramétrico, el análisis se efectúa por intercomparación de datos hidrológicos registrados en diferentes lugares y tiempos. En el enfoque probabilístico, se analiza la frecuencia de la ocurrencia de diferentes magnitudes de las variables hidrológicas. En el enfoque estocástico, se analizan tanto el orden secuencial como la frecuencia de ocurrencia de las diferentes magnitudes. El grado de detalle y precisión en el análisis debe ser consistente con la calidad y el muestreo adecuado de los datos disponibles, y con la exactitud que requiere la aplicación del análisis. Se ha de tener en cuenta la relación que existe entre el costo y el tiempo dedicado a un análisis y los beneficios esperados. esperados. En muchos casos, los los métodos gráficos y otros otros métodos de cálculo relativamente simples son más efectivos en costo que los métodos más complicados, y pueden ser suficientemente exactos para los datos y los fines que se persiguen. 1.2 NOMBRE DE PROYECTO “INFORME DE EVALUACION DE RIESGOS EN LA TERCERA TORRENTERA TRAMO PUENTE DOLORES HASTA LIMITE CON EL DISTRITO DE SOCABAYA EN EL DISTRITO DE JOSE LUIS BUSTAMANTE Y RIVERO- AREQUIPA 1.3 UBICACIÓN. El Proyecto se ubica en el distrito de José Luis Bustamante y Rivero, Provincia de Arequipa El tramo de estudio es en las en la Tercera Torrentera en el Tramo Puente Dolores – Av. San Martin 1.4 OBJETIVOS 1.4.1 GENERAL Generar los caudales máximos para diferentes periodos de retorno con fines de diseño de estructuras hidráulicas para evacuar las aguas pluviales. 1.4.2 ESPECIFICO Estudio de la precipitación en las cuencas, como una base para la modelación matemática precipitación – escorrentía. Determinación de parámetros hidrológicos para Microcuenca. 3
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1.3 METODOLOGIA El presente trabajo ha sido orientado y realizado mediante la ejecución secuencial de las siguientes actividades y con la participación de un equipo técnico-profesional especialista en trabajos de esta naturaleza.
Recolección de Información Básica Reconocimiento de de la Cuenca en Campo. Delimitación hidrográfica, Fisiografía, geomorfología. Identificación de los principales agentes consumidores de agua. Trabajos de gabinete : Procesamiento de la Información. Cálculos e inferencias hidrológicas. Elaboración de Mapas Temáticos de las Cuencas. Informe Final de Resultados.
Cabe resaltar que las dos anteriores actividades de campo y gabinete han sido llevadas de forma alternada, considerando considerando que todo estudio hidrológico está validado con información de campo. Las metodologías y/o técnicas de recolección de datos y manejo de información que han contribuido de sobremanera en el desarrollo del estudio son:
Métodos de recolección de Información:
Observación sistemática, Técnica documental, Análisis bibliográfico, Entrevista
Herramientas:
Software de Sistema de Información Geográfica. Software Estandarizado de tratamiento y procesamiento de información hidrológica. 1.4 INFORMACION BASICA 1.4.1 INFORMACION CARTOGRAFICA La información cartográfica básica para la realización del estudio hidrológico y la generación de mapas temáticos:
Mapas de la Carta Nacional a escala 1/100,000 del IGN digitalizados bajo el entorno de GIS con equidistancia mínima mínima de curvas de nivel de 50 m. 33s y 33t Mapa de Red de Estaciones Meteorológicas administradas por SENAMHI
1.4.2 INFORMACION PLUVIOMETRICA Todas las estaciones son administradas por el SENAMHI. Para el presente reporte, se cuenta con información de precipitación total mensual y precipitación máxima en 24 horas mensual, con series de datos entre los años 1999 – 2016, con un promedio de 20 años de registro de observación, tal como se presenta en los cuadros de precipitaciones. ESTACION HUASACACHE LAT: 16°27’12.2” LONG: 71°33’3.1” ALT: 2242msnm 2242msnm 4
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ESTACION CHIGUATA LAT: 16°24’1” LONG: 71°24’1” ALT: 2943msnm ESTACION PAMPILLA LAT:16°24’18.22”LONG:71° LAT:16°24’18.22”LONG:71°31’24”ALT:23 31’24”ALT:2365msnm. 65msnm.
5
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Figura 1. Delimitación de las subcuencas para el tramo Geometría para la simulación hidráulica del tramo de la Av. Dolores – Av. Socabaya 6
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2. HIDROLOGIA SUPERFICIAL 2.1 PARAMETROS DE LA MICROCUENCA Para un análisis detallado la cuenca de la morfología de la cuenca para ello se han utilizado Cartas Nacionales a escala 1:100,000 elaboradas por el Instituto Geográfico Nacional, cuya identificación es la siguiente: Arequipa : ( 33S ). Characato : ( 33T ). 2.1.1 PARAMETROS MORFOLOGICOS AREA DE LA CUENCA La superficie de la cuenca delimitada por el divisor topográfico, corresponde a la superficie de la misma proyectada en un plano horizontal, y su tamaño influye en forma directa sobre las características de los escurrimientos fluviales y sobre la amplitud de las fluctuaciones (km2). Para la delimitación de las subcuenca se ha recabado información histórica de los pobladores en los que indicaron la dirección del flujo de caudal durante las lluvias. Según a ello se ha identificado cauces principales y/o calles por los que escurre el caudal y cada línea de corriente se le asigna un área tributaria de acumulación de caudal en base a la pendiente topográfica y visual y de tal forma se realizó la delimitación de las subcuencas en ARGIS 10.3 PERIMETRO DE LA CUENCA El perímetro de la cuenca está definido por la longitud de la línea de división de aguas (DivortiumAquarium). (km) LONGITUD MAYOR DEL RIO (L) Recibe este nombre, el mayor cauce longitudinal que tiene una cuenca determinada, es decir, el mayor recorrido que realiza el río desde la cabecera de la cuenca, siguiendo todos los cambios de dirección o sinuosidades hasta un punto fijo de interés, que puede ser una estación de aforo o desembocadura. AV. DOLORES
‐ AV.
SUBCUENCA
SOCABAYA
AREA
(km2)
17.396
AREA
(has)
1739.611
PERIMETRO
(km.)
21.717
LONGITUD CAUCE PRINCIPAL
(km.)
10.859
(m/km)
53.4
PENDIENTE DEL CAUCE PRINCIPAL
7
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FORMA DE CUENCA Es la que determina la distribución de las descargas de agua a lo largo del curso principal o cursos principales, y es en gran parte responsable de las características de las crecientes que se presentan en la cuenca. Es expresada por parámetros, tales como el Ancho Promedio, Coeficiente de Compacidad y el Factor de forma ANCHO PROMEDIO Es la relación entre el área de la cuenca y la longitud mayor del curso del río, la expresión es la siguiente: Ap
A L
Dónde: Ap = Ancho promedio de Ia cuenca (Km) A = Área de la cuenca COEFICIENTE DE COMPACIDAD (Kc) O índice de Gravelius, constituye la relación entre el perímetro de la cuenca y el perímetro de una circunferencia cuya área - igual a la de un círculo - es equivalente al área de la cuenca en estudio. Su fórmula es la siguiente: P
Kc 2
P * A
Kc
0 .28 *
P / A
Siendo: Kc = Coeficiente de Compacidad (Km/Km2) P = Perímetro de la cuenca (Km) A = Área de la cuenca (Km2) Una cuenca se aproximará a una forma circular cuando el valor Kc se acerque a la unidad Cuando se aleja de la unidad, presente una relación irregular con relación al círculo. Si este coeficiente fuera igual a la unidad, significa que habrá mayores oportunidades de crecientes debido a que los tiempos de Concentración, Tc (duración necesaria para que una gota de agua que cae en el punto más alejado de aquella, llegue a la salida o desembocadura), de los diferentes puntos de la cuenca serían iguales. De igual modo, cuanto mayor sea el valor de Kc, también será mayor el tiempo de concentración de las aguas y. por tanto, estará menos propensa a una inundación. Generalmente en cuencas muy alargadas el valor de Kc, es mayor que 2.
8
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Un valor de Kc. menor que 1. Nos indica una cuenca de forma circular, siguiendo el desarrollo de su curso principal, debiendo estar más expuesta a las crecientes que una cuenca de forma redondeada. FACTOR DE FORMA (Ff) Es otro índice numérico con el que se puede expresar la forma y la mayor o menor tendencia a crecientes de una cuenca. Es la relación entre el ancho promedio de la cuenca (Am) y la longitud del curso de agua mas largo (L). La expresión es la siguiente Ff
Ap L
Siendo: Ff = Factor de Forma Ap = Ancho promedio de la cuenca (Km) L = Longitud del curso más largo (Km) Una cuenca con Factor de Forma bajo, está sujeta a menos crecientes que otra del mismo tamaño pero con un Factor de Forma mayor. Este valor es adimensional SISTEMA DE DRENAJE El sistema de drenaje de una cuenca está conformado por un curso de agua principal y sus tributarios: observándose por lo general, que cuanto más largo sea el curso de agua principal, más llena de bifurcaciones será la red de drenaje. Con la finalidad de determinar las características de dicha red, se definen los siguientes índices: GRADO DE RAMIFICACION Para definir el grado de ramificación de un curso de agua principal (Según Horton), se ha considerado el número de bifurcaciones que presentan sus tributarios, asignándole un orden a cada uno de ellos en forma creciente desde el curso principal hasta el encuentro con la divisoria de la cuenca. DENSIDAD DE DRENAJE Indica la relación entre la longitud total de los cursos de agua: efímeros, intermitentes o perennes de una cuenca (Li) y el área total de la misma (A). Valores altos de densidad refleja una cuenca muy bien drenada que debería responder relativamente rápido al influjo de la precipitación, es decir que las precipitaciones influirán inmediatamente sobre las descargas de los ríos (Tiempos de Concentración cortos). Una cuenca con baja densidad de drenaje refleja un área pobremente drenada con respuesta hidrológica muy lenta. Una baja densidad de drenaje es favorecida en regiones donde el material 9
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del subsuelo es altamente resistente bajo una cubierta de vegetación muy densa y de relieve plano. La densidad de drenaje tiende a uno en ciertas regiones desérticas de topografía plana y terrenos arenosos, y a un valor alto en regiones húmedas, montañosas y de terrenos impermeables. Esta última situación es la más favorable, pues si una cuenca posee una red de drenaje bien desarrollada, la extensión medía de los terrenos a través de los cuales se produce el escurrimiento superficial es corto y el tiempo en alcanzar los cursos de agua también será corto; por consiguiente la intensidad de las precipitaciones influirá inmediatamente sobre el volumen de las descargas de los ríos. La expresión es la siguiente: Li
Dd
A
Siendo: Dd = Densidad de drenaje (Km/Km2) Li = Longitud total de los cursos de agua (Km/Km2) A = Área de la cuenca (Km2) Monsalve, refiere que Dd usualmente toma los siguientes valores: Entre 0.5 Km/Km2 para hoyas con drenaje pobre. Hasta 3.5 Km/Km2 para hoyas excepcionalmente bien drenados. PENDIENTE MEDIA DEL RIO El agua superficial concentrada en los lechos fluviales escurre con una velocidad que depende directamente de la declividad de éstos, así a mayor declividad habrá mayor velocidad de escurrimiento. La pendiente Media del río es un parámetro empleado para determinar la declividad de un curso de agua entre dos puntos. Se determina mediante la siguiente expresión: Ic
( HM 1000
Hm ) * L
Siendo: Ic = Pendiente media del río L = longitud del río HM y Hm = Altitud Máxima y mínima del lecho del río, referidas al nivel medio de las aguas del mar.
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AV. DOLORES ‐ AV.
SUBCUENCA
An ch o Pro med io
SOCABAYA
(Km)
Coef. De Compacidad
1.60
Fac. Forma
0.25
Coef. De Esco rren tia
6.78
Densidad de Drenaje
0.30 (1/km)
0.62
Tc: Kirpich
(horas)
1.29
Tc: Temez
(horas)
0.86
Tc: Promedio
(min)
64.46
2.1 MODELAMIENTO DE AGUA SUPERFICIAL Se ha utilizado la información disponible de precipitaciones máximas anuales en 24 horas correspondiente al periodo de 1997 al 2016. La información pluviométrica proviene de 03 estaciones pluviométricas, tal como se presenta en la tabla siguiente, se podrá apreciar que los valores de los registros históricos no son continuos.
11
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REGISTRO DE PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS (mm) Estacio n
:
CHIGUATA
Latitud
:
16°24'01.00"
S
Departamento
:
Arequipa
Tipo
:
CP
Longitud
:
71°24'01.00"
W
Provincia
:
Arequipa
Altitud
:
2,943.00
msnm
Distrito
:
Arequipa
N° REG.
AÑO
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
MAX
1
1.997
14.90
44.00
28.50
0.00
0.00
0.00
0.00
19.00
4.80
0.00
0.00
16.40
44.00
2
1998
10.40
12.60
3.90
1.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
6.40
12.60
3
1999
10.20
19.90
25.00
3.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
13.20
25.00
4
2000
14.30
22.10
36.20
1.40
0.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.20
36.20
5
2001
11.40
19.40
20.90
2.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.60
20.90
6
2002
10.40
0.00
21.70
6.10
0.00
8.90
8.90
0.00
0.00
0.00
0.00
4.00
21.70
7
2003
8.40
2.50
9.20
0.00
0.30
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.30
9.20
8
2004
17.70
18.70
0.60
0.00
0.00
4.40
4.40
0.00
0.00
0.00
0.00
2.60
18.70
9
2005
11.10
13.00
7.70
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.30
0.00
0.00
0.00
13.00
10
2006
5.50
14.40
13.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.30
0.00
0.80
14.40
11
2007
23.40
9.60
5.10
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.50
23.40
12
2008
20.70
14.60
4.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.50
20.70
13
2009
2.40
9.90
6.40
4.20
0.00
0.40
0.40
0.00
0.20
0.00
0.40
0.00
9.90
14
2010
3.30
9.70
2.90
2.60
0.30
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.70
9.70
15
2011
16.50
19.20
2.30
2.30
0.10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
7.80
19.20
16
2012
25.30
39.30
36.60
16.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.80
39.30
17
2013
28.50
18.00
21.50
0.00
2.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.60
28.50
18
2014
16.30
0.80
2.00
0.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
16.30
19
2015
4.40
20.00
14.30
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
20.00
20
2016
0.00
17.20
2.50
7.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
17.20
N° Datos
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
Media
12.76
16.25
13.24
2.50
0.20
0.69
0.69
0.95
0.37
0.07
0.02
3.57
4.27
Desv. Estandar
7.82
10.86
11.71
3.94
0.65
2.17
2.17
4.25
1.16
0.29
0.09
4.54
9.70
Coef. Variacion
0.61
0.67
0.88
1.58
3.24
3.17
3.17
4.47
3.19
4.47
4.47
1.27
2.27
Prec. Max.
28.50
44.00
36.60
16.50
2.90
8.90
8.90
19.00
4.80
1.30
0.40
16.40
44.00
12
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REGISTRO DE PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS (mm) Estacio n
:
HUASACACHE
Latitud
:
16°27'12.2"
Tipo
:
CP
Longitud
:
Altitud
:
S
Departamento
:
Arequipa
71°33'3.1"
W
Provincia
:
Arequipa
2,242.00
msnm
Distrito
:
Arequipa
MAY
JUN
N° REG.
AÑO
ENE
1
1996
10.20
9.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
20.10
2
1997
19.70
75.50
58.40
0.00
0.00
0.00
0.00
9.20
2.90
0.00
0.00
5.50
171.20
3
1998
26.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.50
28.00
4
1999
4.00
41.90
19.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.30
0.00
1.60
67.40
5
2000
42.30
14.70
33.00
0.00
0.60
0.20
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
90.80
6
2001
7.00
41.60
25.70
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
74.30
7
2002
3.40
29.00
21.70
0.30
0.00
0.00
5.10
0.00
0.00
0.00
0.00
2.60
62.10
8
2003
8.70
0.40
3.20
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
12.30
9
2004
10.50
15.70
0.00
0.00
0.00
0.00
4.60
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
31.80
10
2005
6.70
6.70
1.80
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.20
0.00
0.00
2.50
17.90
11
2006
14.10
21.50
9.20
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
44.80
12
2007
10.00
13.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
23.00
13
2008
86.50
13.30
1.30
0.00
0.00
0.00
0.00
0.40
0.00
0.00
0.00
2.30
103.80
14
2009
5.20
22.70
5.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
33.50
15
2010
0.60
6.40
0.00
0.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
7.40
16
2011
20.70
88.80
1.20
5.30
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.20
126.20
17
2012
94.80
148.00
41.20
13.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
297.50
18
2013
18.40
43.30
16.60
0.00
2.10
0.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.70
81.50
19
2014
25.70
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
25.70
20
2015
12.80
67.00
40.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
119.80
N° Datos
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
Media
21.39
32.97
13.93
0.98
0.14
0.03
0.49
0.48
0.16
0.02
0.00
1.40
6.00
Desv. Estandar
25.68
37.28
17.54
3.18
0.48
0.10
1.50
2.05
0.65
0.07
0.00
2.51
69.27
1.80
11.55
0.00
10.20
297.50
FEB
MAR
ABR
JUL
AGO
SEP
OCT
Coef. Variacion
1.20
1.13
1.26
3.26
3.57
3.26
3.08
4.28
4.18
4.47
Prec. Max.
94.80
148.00
58.40
13.50
2.10
0.40
5.10
9.20
2.90
0.30
NOV
DIC
TOTAL
13
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2.1 ANALISIS ESTADISTICO DE PRECIPITACIONES MAXIMAS FUNCION DE PROBABILIDAD Una función f(x) es llamada función de probabilidad o función de densidad de la variable aleatoria continúa X si cumple con las siguientes condiciones: f ( x) 0, x R
f ( x)dx 1
Cuando se encuentra en los límites y
P( A) P( x A) P(a x b) f ( x)dx Sea el evento A ( x / a x b) ; luego, Cuando se encuentra entre los límites a y b En la estadística existen decenas de funciones de distribución de probabilidad teórica; y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular, por lo tanto es necesario escoger uno de esos modelos, el que se adapte mejor al problema bajo análisis.
Para el análisis de las precipitaciones máximas de la microcuenca afluentes a la calle Jerusalen – San Juan de Dios se han utilizado los últimos registros históricos máximos de 24 horas de 10 años (1996-2016), para ello se ajustaron a 6 Distribuciones de probabilidades las cuales son: Distribución Normal Estándar. Distribución Gumbel (Distribución extrema Tipo I). Distribución Log Pearson Tipo III. Distribución Log Normal II Parámetros. Distribución Log Normal III Parámetros. Distribución Pearson tipo III.
2.1.1 METODOS DE ESTIMACION DE PARAMETROS DE LAS FUNCIONES PROBABILISTICAS Existen varias técnicas para la estimación de los parámetros de una distribución entre otras estas son: Método de Momentos El objetivo de la estimación de los parámetros es de relacionar los registros observados (media, variancia, sesgo, etc.) de un fenómeno aleatorio con el modelo probabilística seleccionado. En este trabajo se desarrollara los dos primeros métodos. 2.2 METODO DE MOMENTOS 2.2.1 DISTRIBUCION NORMAL El método de momentos fue desarrollado por primera vez por Karl Pearson en 1902. Él consideró que unos buenos estimativos de los parámetros de una función de probabilidad son aquellos para los cuales los momentos de la función de densidad de probabilidad alrededor del origen son iguales a los momentos correspondientes de la información de la muestra.
14
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El método de momentos selecciona valores para los parámetros de la función de densidad de probabilidad de tal manera que sus momentos son iguales a aquellos de la información de la muestra. n X i 1 n X i X n n i 1 i 1 La media o promedio es el estimador que corresponde a la función teórica de probabilidad que es:
u
xf ( x)dx
Originalmente Pearson consideró solamente momentos alrededor del origen, pero posteriormente se volvió común el uso de la varianza como el segundo momento central,
2 E (( x u ) 2 , y el coeficiente de asimetría como el tercer momento central estandarizado,
E (( x u ) 3 / 3 , Para determinar el segundo y el tercer parámetro de la distribución. Cuando la distribución de probabilidad, a la que se estima los parámetros por este método es simétrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este método es muy eficiente, pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo tanto sesgadas, como ocurre muy a menudo con las variables hidrológicas, el utilizar este método representa una pérdida de eficiencia en la estimación. ESTACION CHIGUATA DISTRIBUCION NORMAL O GAUSIANA
GRÁFICO DISTRIBUCION NORMAL O GAUSIANA
Tiempo de retorno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas 300
ESTIMACION DE PARAMETROS Promedio (Xi) = Desvest (Xi) = Numero de Dato (i) =
m= a=
101.06 53.32 20.00
77.053 41.592 250
ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS )
T
P
1-P
w
1000 500 250 100 50 40 25 10 5
0.999 0.998 0.996 0.990 0.980 0.975 0.960 0.900 0.8000
0.001 0.002 0.004 0.010 0.020 0.025 0.040 0.100 0.200
3.7169 3.5255 3.3231 3.0349 2.7971 2.7162 2.5373 2.1460 1.7941
z
m m 200
x
(
3.091 2.879 2.652 2.327 2.054 1.960 1.751 1.282 0.841
x á m
265.86 254.55 242.50 225.13 210.60 205.60 194.43 169.41 145.93
p P
150
100 1
10
100
1000
10000
Tr (años)
15
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Cel. 959876465
ESTACION HUASACACHE DISTRIBUCION NORMAL O GAUSIANA
GRÁFICO DISTRIBUCION NORMAL O GAUSIANA Tiempo de retorno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas 160
ESTIMACION DE PARAMETROS Promedio (Xi) = Desvest (Xi) = Numero de Dato (i) =
150
m= a=
41.05 36.11 20.00
140
24.794 28.164
130 120
ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS
T
P
1000 500 250 100 50 40 25 10 5
1-P
0.999 0.998 0.996 0.990 0.980 0.975 0.960 0.900 0.8000
w
110
z
100
x
)
0.001 0.002 0.004 0.010 0.020 0.025 0.040 0.100 0.200
3.7169 3.5255 3.3231 3.0349 2.7971 2.7162 2.5373 2.1460 1.7941
3.091 2.879 2.652 2.327 2.054 1.960 1.751 1.282 0.841
152.64 144.99 136.82 125.06 115.22 111.84 104.28 87.33 71.43
m 90 m
(
x á 80 m
p P70 60 50 40 30 1
10
100
1000
10000
Tr (años)
ESTACION PAMPILLA DISTRIBUCION NORMAL O GAUSIANA
GRÁFICO DISTRIBUCION NORMAL O GAUSIANA Tiempo de retorno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas 230
ESTIMACION DE PARAMETROS
220 210
Promedio (Xi) = Desvest (Xi) = Numero de Dato (i) =
m= a=
61.45 48.98 20.00
200
39.395 38.202
190 180 170 160
ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS
T
P
1-P
w
1000 500 250 100 50 40 25 10 5
0.999 0.998 0.996 0.990 0.980 0.975 0.960 0.900 0.8000
0.001 0.002 0.004 0.010 0.020 0.025 0.040 0.100 0.200
3.7169 3.5255 3.3231 3.0349 2.7971 2.7162 2.5373 2.1460 1.7941
z
3.091 2.879 2.652 2.327 2.054 1.960 1.751 1.282 0.841
150 140
x
130 m 120 m
)
212.81 202.42 191.35 175.40 162.05 157.46 147.21 124.22 102.66
(
x 110 á m
100 p P 90 80 70 60 50 40 30 1
10
100
1000
10000
Tr (años)
16
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2.2.2 DISTRIBUCION DE VALOR EXTREMO TIPO I Función de distribución acumulada. La función de distribución acumulada, tiene la forma: F ( x) ee Para: , x 0 Donde: El parámetro α se le conoce como parámetro de escala. El parámetro β se le conoce como parámetro de posición. Función densidad de probabilidad. Derivando la función de distribución acumulada, con respecto a x, se obtiene la función de densidad de probabilidad, es decir: x
f ( x)
dF ( x) dx
f ( x) * e x e Para x ,
z x
El signo (+) se aplica para valores mínimos y el signo (-) se aplica para valores máximos (distribución Gumbel o Tipo I). Si se hace la transformación: Y x
Con lo cual, la función densidad reducida es: f ( y ) e y e El signo (+) se emplea para eventos mínimos y el signo (-) para eventos máximos. La función de distribución acumulada es: F ( y) ee (Máximo) F ( y) 1 ee (Mínimo) y
y
y
F ( y)min 1 F ( y) max
Los valores correspondientes de x e y, están relacionadas por: F(x) = F(y) y la relación: Y x
x
y
ó Método de Gumbel (Valor extremo tipo I) Según Paulet, 1974, El método de Gumbel se utiliza para predecir magnitudes máximas de variables hidrológicas asumiendo que estos valores son independientes entre sí, también son usadas frecuentemente para el estudio de magnitud - duración - frecuencias de lluvias (Hershfiel 1961). Según Linsley 1971, aplicó al río Clear Water en Idaho Estados Unidos. Este método es adecuado cuando se utiliza como datos las descargas máximas anuales en un punto de control de una vertiente o un Río. La función de densidad reducida de Gumbel (Tipo I) tiene la forma de la ecuación anterior pero con signo negativo. Estimación de parámetros 17
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Para la estimación de los parámetros y de la Función Acumulada F(x) ecuación se utilizaron 2 métodos de estimación. Método de momentos Según Lowery y Nash, 1970 utilizando el método de momentos se obtienen las siguientes relaciones: Media: x
c
E(x)= Donde c, es la constante de Euler, cuyo valor es:
c Limn 1
1 2
1
.......... . 3
Ln(n) n
1
c = 0.5772156649 Por lo tanto : 0.57721 X
Varianza:
E X E ( x ) S 2
2
2
2 * 6
De donde se obtienen:
1.2825
X
S 0.57721
Reemplazando en las ecuaciones anteriores se tiene lo siguiente: X 0.45 * S ==>Máximo X 0.45 * S ==>Mínimo
Para muestras muy grandes, o bien como:
y S
x
y
a
Para muestras relativamente pequeñas, los valores de y y y se muestran en la tabla siguiente tabla Por otro lado, conocemos que la ecuación de GUMBEL se expresa como: X
y
De las ecuaciones se puede escribir la ecuación como: X X
y
y * S
y
18
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X X
X X
y * S
y * S
y
y
S
Y
y
y
Se sabe que la función de distribución Acumulada ecuación es: e y
F(y) = e Por otro lado se tiene: F ( y) 1
1 T
Entonces se tiene que. 1
1 T
y
ee F ( y)
Tabla de Medias esperadas y Desviaciones estándar de extremos reducidos N
my
sy
N
my
sy
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
0.524 0.525 0.527 0.528 0.53 0.531 0.532 0 .533 0.534 0.535 0.536 0.537 0.538 0.539 0.54 0.541 0.541 0.542 0.542 0.543 0.544 0.544 0.545 0.545 0.546 0.546 0.547 0.547 0.548 0.548
1.063 1.07 1.076 1.081 1.087 1.092 1.096 1.1 1.105 1.109 1.112 1.116 1.119 1.123 1.126 1.129 1.131 1.134 1.136 1.139 1.141 1.144 1.146 1.148 1.15 1.152 1.154 1.156 1.157 1.159
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98
0.549 0.549 0.549 0.55 0.55 0.55 0.551 0.551 0.552 0.552 0.552 0.553 0.533 0.554 0.554 0.555 0.555 0.556 0.556 0.557 0.557 0.557 0.558 0.558 0.558 0.559 0.559 0.559 0.56 0.56
1.161 1.162 1.164 1.165 1.167 1.168 1.17 1.171 1.172 1.173 1.175 1.177 1.179 1.181 1.183 1.185 1.187 1.189 1.191 1.192 1.194 1.195 1.197 1.198 1.199 1.201 1.202 1.203 1.204 1.206
Tomando dos veces Ln a la ecuación a ambos miembros se obtiene lo siguiente: T 1 y Ln Ln T Reemplazando el valor de y en la ecuación se obtiene: 19
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T 1 y Ln Ln y T 1 T X X S LnLn y y T 1 K
X X
S
1
6
S i consideramos que para valores grandes de N, la expresión y tiende a y que y tiende a c =0.5772 entonces hemos comprobado que la ecuación general para expresar un valor de una X X K * S serie hidrológica es:
ESTACION DE CHIGUATA GRÁFICO DISTRIBUCION TIPO I "LEY DE GUMBEL"
DISTRIBUCION GUMBEL
Tiempo de retorno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas
ESTIMACION DE PARAMETROS Nº Datos 20 Prom. (Xi) = 21.00 m= Desvest (Xi) = 9.70 a=
120
16.63 7.563
ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS
Tr
P
Yt
Xt
1000 500 250 100 50 40 25 10 5
0.001 0.002 0.004 0.010 0.020 0.025 0.040 0.100 0.200
6.907 6.214 5.519 4.600 3.902 3.676 3.199 2.250 1.500
68.868 63.626 58.370 51.420 46.141 44.432 40.824 33.647 27.975
70 m m
)
(
x á m
p P
20 1
10
100
1000
10000
Tr (años)
20
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Cel. 959876465
ESTACION DE HUASACACHE DISTRIBUCION GUMBEL
GUMBEL" Tie mpo de retorno v s. Precipitacion Máxima e n 24 horas
ESTIMACION DE PAR AMETROS Nº Datos 20 Prom. (Xi) = 41.05 m= Desvest (Xi) = 36.11 a=
230 220
24.8 28.153
210 200 190 180 170 160
ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS
150
Tr
P
Yt
Xt
1000
0.001
6.907
219.253
130
500
0.002
6.214
199.743
250
0.004
5.519
180.176
120 m m 110
100
0.010
4.600
154.304
50
0.020
3.902
134.653
40
0.025
3.676
128.290
70
25
0.040
3.199
114.861
60
10
0.100
2.250
88.144
50
5
0.200
1.500
67.030
40
140 )
(
x á 100 m
p90 P 80
30 20 1
10
100
1000
10000
Tr (años)
ESTACION LA PAMPILLA GRÁFICO DISTRIBUCION TIPO I "LEY DE
DISTRIBUCION GUMB EL ESTIMACION DE PARAMETROS Nº Datos 20 Prom. (Xi) = 22.70 m= Desvest (Xi) = 25.94 a=
GUMBEL" Tiempo de retorno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas 170
11.025 20.227
ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS
Tr
P
Yt
Xt
1000
0.001
6.907
150.733
500
0.002
6.214
136.716
250
0.004
5.519
122.658
100
0.010
4.600
104.069
50
0.020
3.902
89.951
40
0.025
3.676
85.379
25
0.040
3.199
75.731
10
0.100
2.250
56.536
5
0.200
1.500
41.366
120
)
m m
(
x á m
p P70
20 1
10
100
1000
10000
Tr (años)
21
[email protected]
Cel. 959876465
2.2.3 DISTRIBUCION LOG – NORMAL DE II PARAMETROS Si la variable aleatoria Y = log X está normalmente distribuida, entonces se dice que X está distribuida en forma lognormal. Esta función fue estudiada por primera vez por Galtón en el año de 1875, por eso es que se le llama también función de Galtón. Por el teorema del límite central, tenemos que si X es una variable aleatoria con distribución normal, se puede esperar una variable y=lnx, también con distribución normal con media μy y varianza σy2, se usan estos parámetros para especificar que la distribución es logarítmica, puesto que también puede usarse la media y la varianza de x. Función de densidad de probabilidad La función densidad de distribución normal para Y es: f ( y )
1 y 2
e
2 1 y y 2 y
Para -∞ < y < +∞ Refiriendo la función de distribución de f(y) con f(x), se tiene: f ( x) f ( y)
Como Y=lnx
f ( x)
d y d x
d y d x
1 x
, X>0
1 2 x y
e
1 ln x y 2
y
Para X>0 f(y) = Es la función de densidad de la distribución normal para y con media μy y variancia σy2. f(x) = Es la función de densidad de la distribución Log - Normal para X con parámetro μy y σy2. Las tablas de distribución normal estándar pueden ser usadas para evaluar la distribución Log Normal. Como f(x) = f(y)/x; pero f(y) es una distribución normal tenemos: f(x)=f(z)/xσy. Función de distribución acumulada La función de distribución acumulada para X e Y es: F ( x)
1
x
1
2 0 x y
e
2 1 Lnx y 2 y
dx
22
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F ( x)
1 y y 2 y
y
1 2
e
2
dy
y
Los valores de la función de distribución de probabilidad F(y) se obtienen usando la fórmula de Abramowitz y Stegún si la variable estandarizada se define como: Z
F ( x )
y
y
y x
1 2
e
z2 2
dz
Para la estimación de los parámetros y y estimaron por 2 Métodos de estimación:
y
de la función de Distribución Acumulada F(x) se
Método de Momentos Utilizando el método de momentos de las relaciones entre la media y la varianza de la variable x y y
2
los parámetros y , pueden ser estimados por y y Sy2 mediante la transformación yi = LnXi. Se sabe que y = Lnx tiene distribución normal, mientras que x tiene distribución Log-Normal. y
y
n
i 1
y1
n
2 n 2 yi n y i 1 2 S y n 1
Los valores de y y Sy2 se estiman a partir de n observaciones Xi, i=1,2,3,4....n Según Chow (1954), se presento la siguiente relación para calcular y y Sy2 sin que sea necesario transformar los datos previamente en sus logaritmos. x 2 y Ln 2 2 Cv 1 1
S y2 Ln(Cv2 1)
Donde Cv es el coeficiente de variación de los datos originales
C v
Sx x
Existen las siguientes relaciones para obtener la Media y Varianza de la distribución Log Normal. x E ( x) e
1 y y 2 2
23
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Cel. 959876465
2
y
2
Var(x)= x e Cv=
e
y
2
1
1
1/ 2
Coeficiente de Asimetría: g = 3Cv+Cv3 Para valores prácticos de por: g=0.52 + 4.85*
y
y
2
; 0.1<
y2 0.6,
la relación es casi lineal y puede ser aproximada
2
Que es correcta dentro del 2%, en el rango mencionado. ESTACION CHIGUATA DISTRIBUCION LOG - NORMAL DE 2 PARAMETROS
GRÁFICO DISTRIBUCION LOG NORMAL 2 Tiempo de re torno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas
80
ESTADISTO
X
LogX
N
20
20
Media
21.00
1.28
Desv.Est.
9.70
0.19
Coef.asim.
1.04
0.12
ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS PARA T = AÑOS Tr
P
W
1000
0.001
3.717
Z 3.091
Y 1.881
Xt 76.03
500
0.002
3.526
2.879
1.839
69.02
250
0.004
3.323
2.652
1.795
62.37
100
0.010
3.035
2.327
1.732
53.95
50
0.020
2.797
2.054
1.679
47.75
40
0.025
2.716
1.96
1.661
45.81
25
0.040
2.537
1.751
1.621
41.78
10
0.100
2.146
1.282
1.530
33.88
5
0.200
1.794
0.841
1.444
27.80
)
m m
(
x á m
p P
30 1
10
100
1000
10000
Tr (años)
24
[email protected]
Cel. 959876465
ESTACION HUASACACHE DISTRIBUCION LOG - NORMAL DE 2 PARAMETROS
GRÁFICO DISTRIBUCION LOG NORMAL 2
Tiempo de retorno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas
680
ESTADISTO
X
LogX
N
20
20
Media
61.45
1.65
Desv.Est.
48.98
0.37
Coef.asim.
1.26
-0.24
630 580 530 480 430
ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS PARA T = AÑOS
Tr
P
W
1000 500 250 100 50 40 25 10 5
0.001
380 )
m 330 m (
3.717
Z 3.091
Y 2.807
Xt 641.21
0.002
3.526
2.879
2.728
534.56
p 230 P
0.004
3.323
2.652
2.643
439.54
180
0.010
3.035
2.327
2.521
331.89
0.020
2.797
2.054
2.419
262.42
0.025
2.716
1.96
2.384
242.10
80
0.040
2.537
1.751
2.306
202.30
30
0.100
2.146
1.282
2.130
134.90
0.200
1.794
0.841
1.965
92.26
x
280 á
m
130
1
10
100
1000
10000
Tr (años)
ESTACION LA PAMPILLA DISTRIBUCION LOG - NORMAL DE 2 PARAMETROS
GRÁFICO DISTRIBUCION LOG NORMAL 2 Tiempo de re torno vs. Precipitacion Máxima en 24 horas
230
ESTADISTO
X
LogX
N
20
20
Media
22.70
1.20
Desv.Est.
25.94
0.35
Coef.asim.
3.45
0.54
180
ESTIMACION DE LA PRECIPITACION MAXIMA EN 24 HORAS PARA T = AÑOS Tr
P
W
1000
0.001
500
3.717
Z 3.091
Y 2.286
Xt 193.20
0.002
3.526
2.879
2.212
162.93
250
0.004
3.323
2.652
2.132
135.52
100
0.010
3.035
2.327
2.019
104.47
50
0.020
2.797
2.054
1.923
83.75
40
0.025
2.716
1.96
1.890
77.62
25
0.040
2.537
1.751
1.817
65.61
10
0.100
2.146
1.282
1.652
44.87
5
0.200
1.794
0.841
1.498
31.48
130 m m )
(
x á m
p P 80
30 1
10
100
1000
10000
Tr (años)
25
[email protected]
Cel. 959876465
2.2.4 DISTRIBUCION PEARSON TIPO III Según Chow, la distribución Pearson Tipo III se aplicó por primera vez en la Hidrología por Foster (1924) para describir la distribución de probabilidad de picos crecientes máximos anuales. Cuando la información es muy asimétrica positivamente, se utiliza una transformación Log para reducir la asimetría. La distribución Pearson Tipo III, También llamada la distribución gamma de tres parámetros, introduce un tercer parámetro, el límite inferior o parámetro de posición ε, de tal manera que por el método de los momentos, los tres momentos de la muestra (la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría) pueden transformarse en los tres parámetros λ, β, ε de la distribución de probabilidad. Función de densidad de probabilidad Pearson Tipo III 1 x
f ( x) ( x
e
) / parax
El sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos; todos son soluciones para f(x) en una ecuación de la forma: d ( f ( x) / dx ( f ( x) * ( x d )) /(C 0 C 1 * x C 2 * x 2 )
Donde d es la moda de la distribución (el valor de x para la cual f(x) es un máximo) y C0, C1 y C2 son coeficientes que deben determinarse. Cuando C2 = 0 es la solución de la ecuación anterior, es una distribución Pearson tipo III, con una función de densidad de probabilidad según la ecuación anterior Para C1 = C2 = 0, la solución de la ecuación anterior es una distribución normal. Según Markovick, 1965, mostró que no hay diferencia entre el ajuste de una distribución Gamma y una Log Normal, esta función de distribución es muy popular debido a que cuando el coeficiente de asimetría se iguala a cero se obtiene la distribución Normal. Función de densidad de probabilidad Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución Tipo III si su función densidad de probabilidades con origen en la moda, está dada por: x 1 f ( x ) 1 1 1 1
1 1
*e
x 1 1
Donde α1, β1 y δ1, son los parámetros de la función Γ(β1) es la función Gamma. En la tabla de función gama se halla las propiedades básicas y la tabla de valores de la función Gamma. Para: 1 x Donde: δ1 = Parámetro de Posición α1 = Parámetro de escala 26
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β1 = Parámetro de forma
La variable reducida. x 1
y
1
Por lo que f ( y )
1
1
1
y
* e y
Función de distribución acumulada. La función de distribución acumulada de la distribución Pearson Tipo III es: F ( x )
x
1
e 1
1
x 1 1
0
x 1 dx 1
*
Combinando las ecuaciones anteriores se tiene: F ( y )
y
1
y 1
1
e
y
dy
0
La ecuación anterior es una función de distribución Ji cuadrada con 2 β1 grados de libertad y X2=2y
F ( y) F x 2 / F x 2 2 y / 2 1
En las tablas de estadística se encuentra la función de distribución X
2
Según Aparicio 1996, manifiesta que la manera de usar la función de distribución Pearson Tipo III es estrictamente válida cuando β1=n/2, donde n es un entero positivo cualquiera si, como es común, 2β1 es no entero, puede tomarse como el entero más próximo o bien interpolar en la tabla Nº A.2 del apéndice A. Cuando β1
