Informe Sistema de Coordenadas Polares

COORDENADAS POLARES I.

DEFINICIÓN. Sea O un punto fijo, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura No. 01. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ), como sigue. Donde r  distancia dirigida de O a P, radio !ector. θ  "ngulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde eleje polar #asta el segmento OP.

Figura No. 01

$%as coordenadas polares de un punto se indican dentro de un par&ntesis, escri'i&ndose primero el radio !ector. As, las coordenadas de P se escri'en (r,θ). l "ngulo polar θ se mide como en trigonometra considerando el eje polar como lado inicial y el radio !ector como lado final del "ngulo, es decir, partiendo del eje polar #acia el radio !ector* se considera positi!o o negati!o seg+n ue el sentido seguido sea opuesto al de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo los con!enios #ec#os en trigonometra, consideran ue el radio !ector nunca de'e ser considerado como negati!o* otros autores, en cam'io, admiten ue el radio !ector puede tomar todos los !ectores reales. -osotros seguiremos este +ltimo con!enio. Seg+n esto, si un punto tiene un radio !ector negati!o, se mide primero el "ngulo polar de la manera ordinaria, y despu&s se toma el radio !ector en la prolongación del lado final. As pues el punto P tendra como coordenadas (r, θ)/.

jemplo. 0omo se muestra en la figura No. 02, muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. O's&r!ese ue en este sistema es con!eniente localizar los puntos con respecto a una retcula de circunferencias conc&ntricas intersecadas por rectas radiales ue pasan por el polo.

Figura No. 02

n coordenadas rectangulares, cada punto tiene una representación +nica. sto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, θ) y (r, 123 θ) representan el mismo punto 4!er los apartados ') y c) de la figura -o. 516.7am'i&n, como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, θ) y (r, θ32) representan el mismo punto. n general, el punto (r, θ) puede e8presarse como (r, θ) = (r, 2π+ θ) ó (r, θ) = (r, θ+ (2!+1)π),

Donde n es cualuier entero. Adem"s, el polo est" representado por (5, θ) donde θ es cualuier "ngulo.

$l trazo de puntos en el sistema polar se facilita considera'lemente usando papel coordenado polar, ue consiste en una serie de circunferencias conc&ntricas y rectas concurrentes. %a circunferencia tiene su centro com+n en el polo y sus radios son m+ltiplos enteros del radio m"s peue9o, tomados como unidad de medidas. 7odas las rectas pasan por el polo, y los "ngulos formados por cada par de rectas consecuti!as son iguales/. :n ejemplo de este papel est" representado en la siguiente figura donde se #an trazado los puntos P;< (=, 12>?), P1 < (=, 2>@), P? < (1, 2>;1), P < (?, 2>?)

P;

P

1

P

P

=

Figura No. 0"

?

II. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Y VICEVERSA. Para esta'lecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se #ace coincidir el eje polar con el eje 8 positi!o y el polo con el origen, como se ilustra en %a figura No.0#. Puesto ue (8, y) se encuentra en un crculo de radio r, se sigue ue Figura No. 0#

r1 < 813 y1. Para r  5, la definición de las funciones trigonom&tricas implica ue tanθ< y>8 ,

cosθr ,

senθr.

Si r B 5, estas relaciones tam'i&n son !"lidas, como se puede !erificar. Si el polo y eje polar del sise!a de "oordenadas polares "oin"iden# respe"i$a!ene# "on el ori%en y pare posii$a del eje & de 'n sise!a de "oordenadas o "aresianas el paso de 'no a oro de esos dos sise!as p'ede e(e"'arse por !edio de las si%'ienes ()r!'las de rans(or!a"i)n* TEOREMA 01:

C < r cosθ, y < r senθ, 8 13 y1 < r1, θ < arctg(y>8), r < 

jemplos ;. ncuentre las coordenadas polares del punto P< (;, ;). Eesolución

De la gr"fica :sando las transformaciones

$r%fi&a No. 01

A dem"s se podra utilizar otras eui!alencias polares

1. ncontrar una ecuación cartesiana de la gr"fica cuya ecuación polar es  r 1 < 1 senθ Eesolución

III. EC+ACIONES CANÓNICAS DE LAS SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES. %a ecuación polar de una cónica toma una forma particularmente sencilla y +til cuando uno de los dos focos (Fig. No. 0') est" en el polo y el eje focal coincide con el eje polar. Sea la recta ,l- la directriz correspondiente del foco O* esta recta es perpendicular al eje polar, sea D el punto de intersección. Designemos la distancia

l 

, entre el

foco y la directriz, por la cantidad

P(r, θ)

C r

D

θ

d

O 

positi!a $d-. Sea P(r, θ) un punto cualuiera de la cónica. Desde P tracemos las perpendiculares FPOF y  PCal eje polar y a la directriz, respecti!amente.

Figura No. 0'

Seg+n ella el punto P de'e satisfacer la condición

en donde e es la e8centricidad. A#ora 'ien,

FPOF< r  y 

FP0 F< FDGF