Informe Previo de Circuito RC

LABORATORIO LABORATORIO # 6 CARGA CAR GA DESCARGA DE CIRCUITO R-C OBJETIVO

Analizar en forma experimental las características de carga y descarga de un circuito en serie R – C. FUNDAMENTO TEORICO CIRCUITOS RC

Hasta ahora se han considerado circuitos con corriente constante, o sea los llamados circu circuito itoss de estad estado o estac estacio iona nari rio. o. Ahor Ahoraa se estu estudi diar arán án circu circuit itos os que que cont contie iene nen n condensadores, en los cuales la corriente puede ariar con el tiempo. Cuando una diferencia de potencial se aplica por ez primera a un capacitor, la rapidez con que se carga depende de su capacitancia y de la resistencia del circuito. Carga De Un Capacitor  Cons Consid id!re !rese se el circ circui uito to en seri seriee de la figu figura. ra. "up# "up#ng ngase ase que que el capac capacit itor or está está inicialmente descargado. $o existe corriente cuando el interruptor " está a%ierto &'ig.(. "i el interruptor se cierra al t)*, la carga comenzará a fluir, produciendo una corriente en el circuito, y el capacitor comenzará a cargarse. +%s!rese que durante el proceso de carga, las cargas no saltan a tra!s de las placas del capacitor ya que el espacio entre las  placas representa un circuito a%ierto. or el e l contrario, la carga ca rga se transfiere de una placa a la otra a tra!s de la resistencia, el interruptor y la %atería hasta que el capacitor está totalmente cargado. -l alor de la carga máxima depende de la fem de la %atería. na ez que se alcanza la carga máxima, la corriente en el circuito es cero. R

S

V

C

ara esta%lecer esta discusi#n so%re una %ase cuantitatia, se aplica la segunda regla de /irchhoff al circuito despu!s de que el interruptor es cerrado. -sto da  

  IR 

q C 

*

donde 0R es la caída de potencial a tra!s de la resistencia y q1C es la caída de potencial a tra!s del capacitor. +%s!rese que q e 0 son alores instantáneos de la carga y la corriente, respectiamente, cuando el capacitor está siendo cargado. "e puede utilizar la ecuaci#n para determinar la corriente inicial en el circuito y la máxima carga en el capacitor. Al t)*, cuando el interruptor es cerrado, la carga en el

capacitor es cero, y de la ecuaci#n se encuentra que la corriente inicial en el circuito, e0o, es máxima e igual a Corriente máxima  I * 

 

¶ corriente  t  *(

 R

A este tiempo, la caída de potencial es íntegramente a tra!s de la resistencia. 2espu!s, cuando el capacitor está cargado a su máxima carga 3, las cargas cesan de fluir y la carga en el circuito es cero y l caída de potencial es enteramente a tra!s del capacitor. "ustituyendo 0)* en la ecuaci#n se o%tiene la siguiente expresi#n para 3 Carga máxima en el capacitor  3)C &carga máxima( ara determinar una expresi#n analítica para la dependencia del tiempo de carga y la corriente, se de%e resoler la ecuaci#n, una ecuaci#n que contiene las aria%les q e 0. ara hacer esto, se deria la ecuaci#n con respecto al tiempo. Como es constante, d 1dt ) * y y se o%tiene d   

q 4 dq dI      R *       IR   * 5 dt    C  C dt dt   

Recordando que 0)dq1dt, se puede expresar esta ecuaci#n en la forma  R

dI  dt 

dI   I 



 I  C 



*

4  RC 

dt

Como R y C son constantes, esto puede ser integrado utilizando las condiciones iniciales de que para t)*, 0)0*6  I 

dI 

i*

 I 





4  RC 



t 

*

dt 

   I    t      RC    I *  

 In

 I &t (   I * e5 t1RC 

 

 R

e5 t1RC

donde e es l %ase de los logaritmos naturales e 0*)1R es la corriente inicial. ara determinar la carga en el capacitor como funci#n del tiempo, se puede sustituir  0)dq1dt en la ecuaci#n e integrar una ez más6

dq dt 



dq 

 

 R  

 R

e 5 t1RC

e 5 t1RC dt 

Al integrar esta expresi#n puede utilizarse la condici#n de que q)* para t)*6



q

o

dq 

 

 R 

t 

o

e  t  1 RC dt 

Al integrar el lado derecho de la expresi#n, se utiliza el hecho de que



e

  x

dx

5

4 a

e

5 ax

. -l resultado de la integraci#n da

t  1  RC   Q 4  e  t  1  RC  q &t (  C   4  e 

donde 3 ) C  es la máxima carga en el capacitor. 7as gráficas de las ecuaciones se muestran en la figura. +%s!rese que la carga es cero  para t)* y que tiende al alor máximo C para t  . or otro lado, la corriente tiene su alor máximo 0*)1R para t)* y decae exponencialmente hasta cero cuando t  . 7a cantidad RC, que aparece en el exponencial de las ecuaciones, se llama la constante de tiempo, , del circuito. -sta representa el tiempo que tomará la corriente para decrecer  hasta 41e de su alor inicial, es decir, en un tiempo ,0)e540o ) *,890 *. -n un tiempo : , 0 ) e5:0o ) *.48;   Q 1 T   3

-l tra%a?o realizado por la %atería durante el proceso de carga es 3)C-:. 2espu!s de que el capacitor está totalmente cargado, la energía almacenada en el capacitor es @ 3) @ C:, la que es ?usto la mitad del tra%a?o realizado por la %atería. "e de?a como  pro%lema demostrar que la otra mitad de la energía suministrada por la %atería se transforma en color ?oule en la resistencia.  Descarga De Un Capacitor  Ahora consid!rese el circuito de la figura, que consta de un capacitor con una carga inicial 3, una resistencia y un interrruptor. Cuando el interruptor está a%ierto &'ig. a(, existe una diferencia de potencial 31C a tra!s del capacitor y una diferencia de  potencial cero a tra!s de la resistencia ya que 0)*. "i el interruptor se cierra al tiempo t)*, el capacitor comienza a descargarse a tra!s de la resistencia. -n algBn tiempo durante la descarga, la corriente en el circuito es 0 y la carga en el capacitor es q &'ig. %(. 2e la segunda regla de /irchhoff, se e que la caída de potencial a tra!s de la resistencia, 0R, de%e ser igual a la diferencia de potencial a tra!s del capacitor, q1C6  IR 

q C 

R

S

V

C

a(Capacitor cargado conectado a una resistencia y a un interruptor a%ierto para t*. %( 2espu!s de que el interruptor se cierra, una corriente no esta%le circula por  el circuito en al direcci#n que se muestra y la carga del capacitor decrece exponencialmente con el tiempo. "in em%argo, la corriente en el circuito de%e ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. -s decir 0)5dq1dt, y así la ecuaci#n iene a dar 

  R

dq dt 



q C 

dq 4  dt q  RC 

0ntegrando esta expresi#n y utilizando el hecho de que q)3 para t)* se o%tiene6



dq 4  q  RC 

q

Q



t

*

dt 

  q   t      RC   Q  

 In

q &t (  Q e 5t1RC

2iferenciando la ecuaci#n con respecto al tiempo se tiene la corriente como funci#n del tiempo6  I &t (  

dq dt 



Q  RC 

e 5 t1RC   I o e5 t1RC

donde la corriente inicial 0* ) 31RC. or lo tanto, se e que la carga del capacitor y l corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada por la constante de tiempo )RC.