UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, Sede Bogotá, Circuitos Eléctricos II
Análisis de nodos, mallas y teorema de Superposición (Práctica 3). Andrés Felipe Patacón Arroyo Código: 223190, David Andrés Moreno Código: 261730, Jhoan Sebastián Moreno Código: 261729
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ABSTRACT: in practice it is important to use the principles of analysis nodes, meshes, and superposition theorem, for that reason in this practice certain electrical circuits were implemented to provide us with the information necessary to understand the practical operation of these methods in addition give us a clear vision of its advantages as a way of serving to solve theoretical and analyze circuits on paper, help analyze in practice. RESUMEN: en la práctica es importante el uso de los principios de Análisis de nodos, mallas, y teorema de superposición, por dicha razón en esta práctica se implementaron ciertos circuitos eléctricos que nos proveen de la información necesaria para entender el funcionamiento practico de estos métodos, además de darnos una clara visión de sus ventajas que al igual de servir de modo teórico para resolver y analizar circuitos en el papel, ayudan a analizarlos también en la práctica. PALABRAS CLAVE: Nodos, Mallas, Superposición.
forma análoga dice "La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier lazo (camino cerrado) en un circuito, es igual a cero en todo instante"[2], dando a entender que el voltaje o tensión suministrada a un circuito es equivalente a la suma de las caídas en los elementos pasivos que compongan un lazo cerrado.
1. INTRODUCCIÓN. Después de haber revisado durante la primera parte del curso la teoría sobre la ley de Ohm y la ley de Kirchhoff aplicaremos estos conocimientos para obtener información sobre el voltaje, corriente o la potencia asociados a los elementos de un circuito lineal Con los métodos que analizaremos a continuación podremos analizar los circuitos de una manera metódica y coherente aplicando las técnicas fundamentales de análisis, en este caso el teorema de superposición, las mallas y los nodos.
2. MARCO TEÓRICO[1] Las técnicas de análisis de circuitos eléctricos lineales, podría decirse que tuvieron origen con la contribución hecha por el físico alemán experto en espectrografía y circuitos eléctricos, Gustav Kirchhoff, cuando hacia el año 1845 enuncio dos de las leyes del comportamiento eléctrico en un circuito las cuales son pilares fundamentales para las técnicas de análisis de nodos y mallas, la ley de corrientes y la ley de tensiones respectivamente. La primera de estas enuncia que "La suma algebraica de las corrientes que entran o salen de un nodo es igual a cero en todo instante" [2], lo que significa que la cantidad de corriente que entra es equivalente a la cantidad de que sale de un nodo en un circuito eléctrico, en tanto que la ley de tensiones de
Figura 1. Ley de corrientes de Kirchhoff.[2]
Figura 2, Ley de tensiones de Kirchhoff.[2]
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Ahora bien, ¿qué sucede si necesitamos analizar un circuito eléctrico con múltiples nodos y lazos cerrados?; acá es donde hace aparición las dos técnicas poderosas, en análisis nodal y de mallas.
3. RESULTADOS Y ANALISIS. Diseño con fuentes DC
Análisis nodal Un circuito compuesto con varios nodos o puntos de unión de dos o más elementos puede ser solucionado y analizado utilizando la ley de corrientes de Kirchhoff como se muestra en la Figura 1, en donde se aprecia el análisis individual de cada nodo, de los cuales la incógnita va a ser la tensión del punto de unión con un nodo de referencia al cual comúnmente se le llama tierra. El elemento adicional está en que por nodo sale una ecuación algebraica, no obstante el pertenecer todas y cada una al mismo sistema, se toman como ecuaciones simultáneas, es decir un sistema de ecuaciones lineales que se pueden resolver por cualquiera de los métodos algebraicos disponibles.
Figura 3. Diseño de circuito con fuentes DC.
Del anterior circuito, utilizando las leyes de Kirchhoff dentro del análisis nodal encontramos que tenemos 4 nodos, dos de los cuales corresponden a las fuentes de tensión que alimentan el circuito. Aplicando la ley de corrientes a cada nodo por separado encontramos las siguientes ecuaciones:
Análisis de mallas ; Análogo al análisis nodal, la técnica de análisis de mallas se utiliza para circuitos que cuenten con uno, dos o varios lazos cerrados; en cada uno se aplica la ley de tensiones de Kirchhoff como se ilustra en la figura 2, obteniendo varias ecuaciones simultaneas (una por cada lazo cerrado), las cuales nuevamente se pueden solucionar por métodos algebraicos. En este tipo de análisis las incógnitas son las corrientes que circulan por cada lazo, por medio de las cuales podemos obtener el resto de información del circuito eléctrico.
Ecuación 1. Ecuación correspondiente al nodo 1.
) Ecuación 2. Ecuación correspondiente al nodo 2.
Solucionando las dos ecuaciones lineales simultaneas, se obtienen los siguientes valores de tensión para cada nodo y de corrientes para cada resistencia:
Teorema de superposición Cuando en un circuito eléctrico, encontramos que la alimentación proviene de dos o más fuentes, es posible utilizar las dos técnicas expuestas anteriormente; sin embargo en muchas ocasiones el análisis puede resultar simplificado si se utiliza el nombrado teorema de superposición, el cual establece que el efecto de dos o más fuentes en un componente eléctrico pasivo es igual a la suma de cada uno de los efectos provocados por cada fuente tomados por separado, es decir, es equivalente analizar el circuito con las dos fuentes a si se analiza con cada fuente por separado posteriormente sumando cada uno de los resultados obtenidos para cada elemento de circuito, tanto en corriente como en tensión. Es importante saber que este teorema es aplicable únicamente para circuitos lineales (son aquellos cuyo comportamiento se puede expresar mediante ecuaciones lineales, como en el caso de cargas netamente resistivas, o ecuaciones diferenciales lineales, en caso de elementos almacenadores de energía).
V. teórico
V. practico
V1
11.55 V
11.79
V2 V3 V0
8.71 V 25 V 5V
8.69 25.03 5.01
Tabla 1. Tensiones obtenidas por leyes de Kirchhoff y valores prácticos en el circuito original.
Corriente en cada resistencia
Valor Teórico
Valor Practico
I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
-6.55 mA 5.77 mA 0.56 mA -13.45 mA -8.14 mA 8.71 mA 12.5 mA
6.79mA 5.8mA 0.62mA 13.23mA 8.14mA 8.86mA 12.6mA
Tabla 2. Corrientes que circulan por cada resistencia.
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Ahora analizando los datos logrados en el laboratorio consignados en las tablas 1 y 2 y poniéndolos en contraparte con los datos teóricos consignados en las mismas tablas, podemos observar que la LCK y la LVK se cumplen, por el método usado, este resultado se podría predecir casi con exactitud, pues al ser un circuito puramente resistivo los valores en el margen de error solo dependen de las tolerancias de las resistencias, y de que tan ideales no son las fuentes, otro factor a influir en las variaciones entre las mediciones y los resultados es la precisión de los equipos de medición que se usaron para medir las tensión y las corrientes, ya que estos instrumentos también dan cierto margen de error. Los valores constatados en las tablas se pueden verificar en la Simulación 1, donde veremos únicamente las tensiones en los nodos principales pues ya se vio con anterioridad la linealidad de las resistencias y se comprobó la verificación de la ley de tensiones de Kirchhoff.
Figura 4. Circuito resultante al cortocircuitar la fuente de tensión 2.
Para este caso, igualmente aplicando análisis nodal, obtenemos las siguientes ecuaciones:
Ecuación 3. Ecuación de nodo 1.
Ecuación 4. Ecuación de nodo 2.
Solucionándolas por el respectivo método algebraico, se obtuvieron los siguientes valores:
V1 V2 V3 V0
V. calculado 1.85 V 0.21 V 0V 5V
V. Real 1.92V 0.233V 0V 5.01v
Tabla 3. Tensiones obtenidas en primer circuito por superposición
Corriente de resistencia I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
Simulación 1, LCK para circuito diseñado .
Valor Calculado 3.15 mA 0.929 mA 0.328 mA 1.85 mA 0.105 mA 0.21 mA 0 mA
Valor medido 3.03mA 0.96mA 0.33mA 1.92mA 0.116mA 0.211mA 0mA
Tabla 4. Corrientes obtenidas por el primer análisis por superposición.
Por última verificación se puede ver los resultados de la simulación del circuito que coinciden con los valores calculados por medio de las ecuaciones y además están muy cerca de los valores medidos en el laboratorio.
El segundo circuito obtenido por superposición únicamente está alimentado por la fuente de 25V, como se muestra en la figura 5.
Posteriormente, si realizamos un análisis por superposición para el mismo circuito, surgen 2 circuitos más de los cuales toca extraer la información correspondiente para comprobar el teorema. Los circuitos son los siguientes:
Figura 5. Circuito resultante al cortocircuitar la fuente de tensión 1.
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Nuevamente, las ecuaciones obtenidas para este circuito, corresponden a los nodos 1 y 2:
Como podemos observar el contenido final de los datos en las tablas 7 y 8 podemos ver las diferencias entre los valores calculados por leyes de Kirchhoff, los valores que se obtuvieron por superposición y los valores que se lograron medir en el laboratorio, se pueden observar un cambio mínimo entre el valor calculado y el valor por superposición esto se debe a que no se tomaron en cuenta todos los decimales al hacer los cálculos, la variación entre los valores que se calcularon y los medidos se deben a la imprecisión de los equipos de medición y a la tolerancia de los elementos usados en la práctica, estas variaciones se encuentran entre el porcentaje de tolerancia que poseen dichos elementos por lo tanto se comprueba nuevamente el teorema de superposición para dejar más claro se dejan los gráficos en las simulaciones 2 y 3 donde se pueden ver las tensiones en los nodos al momento de hacer la superposición:
Ecuación 5. Ecuación de nodo 1. Ecuación 6. Ecuación de nodo 2
Teniendo como resultados las siguientes tensiones y corrientes: V. calculado 9.71 V 8.49 V 25 V 0V
V1 V2 V3 V0
V. medido 10V 8.38V 25V 0V
Tabla 5. Tensiones del segundo análisis por superposición
. Corrientes de resistencia I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
Valor. Calculado -9.71 mA 4.855 mA 0.244 mA -15.29 mA -8.255 mA 8.49 mA 12.5 mA
Valor Medido -9.61mA 4.85mA 0.23mA -15.1mA -8.31mA 8.35mA 12.3mA
Tabla 6. Corrientes obtenidas en el segundo circuito por superposición.
Ahora, para comprobar el teorema basta con sumar los resultados obtenidos por separado, cuyo resultado tiene que ser equivalente a lo obtenido en el circuito inicial. Tensión V1 V2 V3 V
Valor por Kirchhoff 11.55 V 8.71 V 25 V 5V
Valor por superposición 11.56 V 8.7 V 25 V 5V
Valor medido 11.92V 8.61V 25V 5V
Simulación 2, Superposición fuente de 5V.
Tabla 7. Comparación de tensiones obtenidas en el circuito original y la suma de los circuitos independientes para las fuentes DC.
Corriente s de resistenci a I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
Valor por Kirchhoff
Valor por superposición
Valor Medi do
-6.55 mA 5.77 mA 0.56 mA -13.45 mA -8.14 mA 8.71 mA 12.5 mA
-6.56 mA 5.78 mA 0.57 mA -13.44 mA -8.15 mA 8.70 mA 12.5 mA
6.58 mA 5.54mA 0.56mA 13.18mA 8.19mA 8.6mA 12.3mA
Tabla 8. Comparación de las corrientes obtenidas del circuito original y la suma de los circuitos independientes para las fuentes DC .
Simulación 3, Superposición Fuente de 25V
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Diseño con cambio por generador de señal sinusoidal
Figura 7. Circuito resultante al aplicar superposición en el circuito de la figura 6. Figura 6. Mismo diseño de la figura 3, pero con generador de señal sinusoidal en lugar de fuente de tensión DC de 5V.
Las ecuaciones resultantes son:
Igualmente se repite el mismo procedimiento que en el circuito con fuentes DC. Por practicidad en los cálculos y coherencia con los dispositivos de medición en el laboratorio, se trabajo con valores RMS, por lo que el valor de la fuente 5sen (2ᴨ10000t) se sustituye por Vrms= 3.535 V.
Ecuación 9. Ecuación de nodo 1 para el circuito por superposición.
Ecuación 10. Ecuación de nodo 2.
Para el circuito, las ecuaciones obtenidas fueron:
La solución obtenida es: Tensión
Ecuación 7. Ecuación del nodo 1 para el circuito con generador de señales (los valores están en rms).
V1 V2 V3 V0
Ecuación 8. Ecuación de nodo 2 con las mismas condiciones de la ecuación 7.
V1 V2 V3 V0
Valor [Vrms] 1.39 0.155 V 0V 3.535 V
Valor AC Medido 1.32V 0.153V 0V 3.5V
Corrientes en Valor [mA Valor medido resistencia (mA) rms ] I1 2.23 2.18 I2 0.65 0.66 I3 0.229 0.23 I4 1.3 1.32 I5 0.077 0.0765 I6 0.154 0.153 I7 0 0 Tabla 12. Valores de corriente para el primer circuito por superposición.
Valor DC 9.8v 8.5V 25V 0V
Tabla 9. Resultados de tensión del circuito AC.
Corrientes en resistencia I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
Valor [mA rms ] -7.66 5.60 0.50 -13.80 -8.16 8.67 12.5
Valor medido(Vrms) 1.32 0.153 0 3.5
Tabla 11. Valores obtenidos del primer circuito por superposición.
Para las cuales los resultados fueron: Tensión
Valor [Vrms] 1.30 0.154 0 3.535
Valor medido -7.62 5.4 0.48 -13.9 -8.4 8.78 12.3
Al realizar superposición se obtienen los resultados, naturalmente coherentes con el análisis del circuito inicial. Tensión
Tabla 10. Resultados de corriente en el circuito AC.
V1 V2 V3 V0
Ahora, al realizar superposición únicamente es necesario hacer el análisis para el primer circuito, puesto que el segundo es equivalente al solucionado en la parte 4.1.
Valor por Kirchhoff [Vrms] 11.01 8.64 25 3.535
Valor por Superposición [Vrms] 11.20 8.67 25 3.535
Valor por mediciones [Vrms] 11.12 8.65 25 3.235
Tabla 13. Comparación entre los valores de tensión obtenidos por Kirchhoff y teorema de superposición.
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Corrientes en resistenci as I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
Valor por Kirchho ff [mA rms ] -7.66 5.60 0.50 -13.80 -8.16 8.67 12.5
Valor por superposici ón [mA rms]
Valor por mediciones[m A rms]
-7.68 5.50 0.47 -13.99 -8.17 8.64 12.5
-7.58 5.41 0.44 -14.1 -8.23 8.65 12.4
Tabla 14. Comparación entres los valores de corriente obtenidos por superposición y leyes de Kirchhoff. Circuito 3
Al observar los resultados exitosos de la superposición se comprueba una de sus principales utilidades que es resolver circuitos con fuentes AC Y DC combinadas de manera más sencilla, resumiendo los cálculos a resolver dos circuitos cada uno de manera independiente y observar la incidencia de cada fuente en cada una de las resistencias, de nuevo los errores están entre los rangos esperados y los valores se acercaron a los valores calculados por medio de los cálculos matemáticos y las simulaciones 4 y 5 que se muestran a continuación:
Simulación 5, Superposición Fuente Ac
Simulación 6, Superposición Fuente DC
Como podemos observar en las simulaciones por separado y en la total se pueden verificar los valores que con anterioridad se mostraron en las tablas, para poder ver el efecto en conjunto de de las fuentes en cada carga se debe hacer uso de un osciloscopio las imágenes no se pudieron tomar por cuestiones de tiempo en el laboratorio y por decisión del grupo se decidió que no era necesaria dicha evidencia para poder concluir exitosamente la práctica y suplir todas las preguntas que se dispongan a partir de los datos ya mencionados en este informe.
Simulación 4, simulación Circuito 2 superposición
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Para la parte final de esta práctica se propuso el circuito que se presenta en la figura 8.
Las mediciones tomaron de dicho procedimiento fueron consignados en la siguiente tabla: Resistencia 10 130 630 1630 2630 6630
Ahora los valores prácticos que encontramos inicialmente con la resistencia de 10 ohm son:
24.66V
24.9
V resistencia 0.3 2.72 8.52 13.56 16.59 19.86
Con el resultado que se obtuvo en la tabla 15 podemos ver el valor de resistencia que fue necesario para que se pudieran observar los valores simulados y los calculados, este comportamiento se debe a que ambas fuentes poseen una resistencia interna, y el valor pequeño de resistencia de 10 ohm hace “pensar ” a las dos fuentes que están en paralelo por lo tanto una fuente obliga a la otra a tomar su valor en este caso la fuente más grande que es la de 25, el valor que alcanzamos de 6630 es el valor necesario para que el circuito se pueda ver como un circuito en serie es decir para que se pueda trabajar de manera ideal como en el papel y las ecuaciones de malla funcionen adecuadamente.
La solución del circuito es:
Tensión F 25 v
V fuente de 25 24.96 24.96 24.96 24.96 24.96 24.96
Tabla 15. Tabla de Valores con resistencia variable para el circuito de la figura 8.
Figura 8. Diseño simple de circuito resistivo.
Tensión F 5v
V. fuente de 5 24.66 22.24 16.44 11.4 8.37 5.1
Tensión en Resistencia 0.24
Por análisis del grupo y los resultados que se supone se observarían por los cálculos matemáticos observamos que los resultados no concuerdan:
4. RESULTADOS Y ANÁLISIS.
4.1. ¿En la teoría existen diferencias entre los valores obtenidos con nodos y los obtenidos con mallas? No, los valores son exactamente los mismos, pues en ambos se están teniendo en cuenta dos leyes físicas, las cuales son la ley de la conservación de la energía y la conservación de la carga, además, para ambos casos siempre se utiliza de forma implícita la ley de Ohm, por lo tanto tienen un componente en común en el análisis que incorpora la relación entre la tensión y la corriente, teniendo como resultados los mismos valores numéricos.
4.2. ¿Existen diferencias entre los obtenidos en la teoría y los experimentales?
Simulación 7, circuito 3
En la simulación 7 podemos observar que los resultados como se menciono no concuerdan por lo tanto se decidió aumentar el valor de la resistencia hasta que la diferencia de potencial en sus terminales fuera la de las simulaciones o al menos un valor cercano es decir 20v.
valores valores
Si, esto es a causa de que siempre existe un error en todo proceso experimental, dado ya sea por causas aleatorias (precisión del observador) o sistemáticas, más convenientes en este caso, pues cuando nosotros
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realizamos los cálculos utilizamos valores nominales en las resistencias y los componentes de circuitos, cuando verdaderamente estos poseen un rango de tolerancia que efectivamente hace que los valores reales estén desfasados de los experimentales además de los modelos de los diferentes dispositivos que estemos considerando.
circuito como una resistencia en serie con la fuente, esto depende de la cantidad de corriente que pueden suministrar las fuentes. 4.6. En qué casos es conveniente usar superposición para el análisis de circuitos?
4.3. ¿En la práctica para realizar superposición, es lo mismo poner la fuente DC o el generador de señales en cero voltios que ponerlos en corto?, ¿concuerda con la teoría?.
En principio, obviamente en casos en que el circuito dado contenga varias fuentes de alimentación tanto DC como AC, sean de corriente o tensión, además del tamaño del mismo, es decir, si el circuito es extenso y contiene múltiples fuentes. En la superposición la visualización de la red se simplifica únicamente en caso de que hayan componentes de AC y DC, para justificar sencillamente el análisis por separado en circuitos donde las señales alternas tengan componentes de corriente directa. La desventaja de este teorema es que tiene como consecuencia un aumento en los cálculos y procedimientos para solucionar los circuitos, como se pudo ver en esta práctica fue de mucha ayuda el principio de superposición para la resolución del circuito con fuentes combinadas.
No, no es lo mismo, cuando en la teoría se apagan las fuentes o se conectan, realmente no se tiene en consideración factores como las impedancias internas de los dispositivos de alimentación, por lo tanto, si se desconectan las fuentes se estaría más acertado en cuanto al modelo manejado teóricamente en lugar de simplemente poner en cero las fuentes sin tener en cuenta los efectos internos de impedancia para con el circuito externo. Teóricamente si es lo mismo, puesto que hay una diferencia de potencial cero entre nodo y nodo.
4.4. ¿Hay diferencias en la curva (V vs I) de una fuente real con una teórica?
5. CONCLUSIONES 1. Uutilizando las leyes de Kirchhoff, es decir los métodos de Nodos y Mallas se facilita la forma de analizar un circuito, y es una forma sistemática de ver las corrientes y las tensiones para resolver circuitos de manera eficaz y rápida.
Si, en una fuente teórica, falsamente se asume que para cualquier tipo o magnitud de carga la fuente va a suministrar una cantidad de corriente acorde a la resistencia con la misma cantidad de Voltaje aplicado por ley de Ohm; no obstante lo anterior, se estaría diciendo que la fuente puede suministrar energía infinita, es decir, si a una fuente de 9 V le conectamos una carga resistiva de 1 k teóricamente obtenemos que por el circuito recorre una corriente de 9 mA, y si le conectamos una carga de 0.1 en este caso suministraríamos una corriente de 90 A, lo cual implicaría que podemos entregar la cantidad de potencia que deseemos cuando en realidad no es así. La “curva” teórica sería una línea recta constante en el valor de tensión asignado, mientras que la curva real, o modelo más real seria asignando una pendiente negativa que corresponde a diferentes puntos de operación para diferentes cargas conectadas.
2. El principio de superposición es un método muy útil que nos permite hacer el análisis de un circuito fuente por fuente y luego computar los resultados y sumarlos para hallar la respuesta total en todo el circuito, además de ser útil en circuitos con varias fuentes Dc es muy útil con combinaciones de fuentes Dc y Ac, logrando resultados con mucha precisión. 3. Las fuentes de laboratorio no son ideales, al igual que todos los elementos del laboratorio, se debe recordar que todos los cálculos que se hacen sobre el papel son modelos de los elementos en la práctica y por lo tanto se debe tener en cuenta que hay un margen de error, y que hay otras consideraciones a tener como la resistencia interna de una fuente.
4.5. ¿Cuál sería el modelo adecuado para la fuente de tensión DC y el generador de señales? El modelo adecuado sería la fuente de alimentación, con una impedancia interna, la cual se integraría en el
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6. REFERENCIAS [1] Biografías y vidas. Gustav Kirchhoff. Consultado el día 7 de abril del 2013. Autor y fecha de publicación no disponible en el sitio. Disponible en: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/k/kirchhoff.ht m
[2] Universidad Nacional de Colombia, UN Virtual, Circuitos Eléctricos I, Capitulo 2. Autor: Ing. Ciro Delvasto, fecha de publicación no disponible. Imágenes extraídas el día 7 de abril del 2013. Disponible en:ww.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001601/cap 02/Cap2tem2.html
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