Informe Poisson Lab. Calidad (1)

UNIVERSIDAD DE LA COSTA

FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL MÉTODOS Y TIEMPOS

DISTRIBUCCION DE POISSON

 J uan uan Camilo Camilo Di azgr anad nados, J enifer Galofr Galofre e, Ana Seve Severi ri che che, Angie Valle Valle Profesor: José Jinete Torres  –  Me  M esa y Gr upo 3  Sep  Septiemb iembre 7 2016 2016 L aborato aboratorr i o control control de la cali calida dad, d, Corporación C orporación Uni U nive verr sida si dad d de de la costa costa C UC . B arran arr anq quilla ui lla - Atlantico Atlantico

Resumen Para la realización de esta experiencia fue necesaria la utilización de los siguientes insumos: 1. 98 canicas de colores 2. 2 Canicas blancas 3. Caja binomial La caja binomial se agito 100 veces y se tomó como muestra 10 canicas que salían de blancas y con esta información se completaron las tablas y se hallaron los cálculos y resultados.

Palabras claves: Distribución de poisson, Frecuencia experimental, Probabilidad, Binomial.

Abstract For the realization of this experience it was necessary to use the following inputs: 1. 98 colored marbles 2. 2 white marbles 3. Binomial Box The binomial box is stirred 100 times and was sampled from 10 marbles out the number of white and with this information tables and calculations were completed and results were found.

Keywords Poisson distribution, Experimental Frequency, Probability, Binomial.

1. INTRODUCCIÓN  Al introducirnos al concepto de distribución de probabilidades, es posible que ocurra un determinado evento o no, esta iniciativa se amplía con la distribución de poisson o también llamada la distribución de los eventos raros. La distribución de poisson es una de las distribuciones más importantes para las variables discretas y que ella solo toma valor desde 0, 1, 2 hasta n. En el mundo de hoy casi todos los campos de investigación nos muestran que hay que realizar análisis, comparar situaciones y esto no es ajeno a la distribución de poisson. La distribución de poisson son el control de calidad, la aceptación de muestras, el aseguramiento de la calidad es decir de esta manera la probabilidad de que un suceso raro pase y que sea representada en una variable discreta. Existen diversas situaciones donde es aplicado este tipo de distribución y la más representativa son las de modelación de situaciones en donde nos interesa determinar números de hechos que pueden producirse en un determinado tiempo.

2. OBJETTIVOS 

Demostrar la convergencia de una distribución binomial binomial a la distribución de poisson de acuerdo al aumento del tamaño de la muestra (n) y la distribución de la proporción de la población (p) que posee un atributo dado.

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3. FUNDAMENTOS TEORICOS Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña.

3.1. Características de la Distribución de Poisson: Un modelo de probabilidad de Poisson tiene las siguientes características: El espacio muestral se genera por un número muy grande (puede considerarse infinito) de repeticiones de un experimento cuyo modelo de probabilidad es el de Bernoulli, con probabilidad de éxito muy pequeña. Por esta razón, a la distribución de Poisson suele llamársele de eventos raros. Las repeticiones del experimento de Bernoulli se realizan en cada uno de los puntos de un intervalo de tiempo o espacio. El número de éxitos en el intervalo li es ajeno al número de éxitos en el intervalo lk, por lo que li Ç lk = f. La probabilidad de que se tengan dos o más éxitos en el mismo punto del intervalo es cero. El número promedio de éxitos en un intervalo es una constante l, que no cambia de intervalo a intervalo. 







3.2. Proceso experimental del que se deriva: Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características: Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo o a lo largo de un espacio de observación. Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria; pueden producirse o no de una manera no determinística. La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud). La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo es prácticamente proporcional a la amplitud del intervalo. La probabilidad de que se produzcan 2 o más hechos en un intervalo infinitésimo es un infinitésimo de orden superior a dos. 









En consecuencia, en un intervalo infinitésimo podrán producirse O ó 1 hecho pero nunca más de uno: Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria X signifique o designe el "número de hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio", la variable X se distribuye con una distribución de parámetro.   Así, 



El parámetro de la distribución es, en principio, el factor de proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo infinitésimo. Se le suele designar como parámetro de intensidad, aunque más tarde veremos que se corresponde con el número medio de

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hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución); y que también coincide con la varianza de la distribución. Por otro lado es evidente que se trata de un modelo discreto y que el campo de variación de la variable será el conjunto del número natural, incluido el cero:

3.3. Función de cuantía:  A partir de las hipótesis del proceso, se obtiene una ecuación diferencial de definición del mismo que puede integrarse con facilidad para obtener la función de cuantía de la variable "número de hechos que ocurren en un intervalo unitario de tiempo o espacio"

Que sería:

Obsérvense los valores próximos en la media y su forma parecida a la campana de Gauss, en definitiva, a la distribución normal. La función de distribución vendrá dada por:

3.4. Función Generatriz de Momentos: Su expresión será:

Dado que:

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Tendremos que:

Luego, Para la obtención de la media y la varianza aplicaríamos la F.G.M.; derivándola sucesivamente e igualando t a cero (0).  Así:

Una vez obtenida la media, obtendríamos la varianza en base a:

Haciendo t = 0 Por lo que: =  Así se observa que media y varianza coinciden con el parámetro del modelo siendo, en cuanto a la moda del modelo tendremos que será el valor de la variable que tenga mayor probabilidad, por tanto si Mo es el valor modal se cumplirá que:

Y en particular:

 A partir de estas dos desigualdades, es muy sencillo probar que la moda tiene que verificar:

De manera que la moda será la parte entera del parámetro o dicho de otra forma, la parte entera de la media. Podemos observar como el intervalo al que debe pertenecer la moda tiene una amplitud de una unidad, de manera que la única posibilidad de que una distribución tenga dos modas será que los extremos de este intervalo sean números naturales, o lo que es lo mismo que el parámetro sea entero, en cuyo caso las dos modas serán -1 y 1.

3.5. Teorema de adición:

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La distribución de Poisson verifica el teorema de adición para el parámetro. “La variable suma de dos o más variables independientes que tengan una distribución de poisson de distintos parámetros (de distintas medias) se distribuirá, también con una distribución de Poisson con parámetro la suma de los parámetros (con media, la suma de las medias). En efecto: Sean x e y dos variables aleatorias que se distribuyen con dos distribuciones de Poisson de distinto parámetros siendo además x e y independientes.  Así:

E Debemos probar que la variable Z = x + y seguirá una Poisson con parámetro igual a la suma de los de ambas: En base a las F.G.M. para x:

Para y:

De manera que la función generatriz de momentos Z será el producto de ambas ya que son independientes.

Siendo la F.G.M. de una Poisson:

3.6. Convergencia de la distribución binomial a la Poisson. Se puede probar que la distribución binomial tiende a converger a la distribución de Poisson cuando el parámetro n tiende a infinito y el parámetro p tiende a ser cero, de manera que el producto de n por p sea una cantidad constante. De ocurrir esto la distribución binomial tiende a un modelo de Poisson de parámetro igual a n por p. Este resultado es importante a la hora del cálculo de probabilidades, o , incluso a la hora de inferir características de la distribución binomial cuando el número de pruebas sea muy grande Y la probabilidad de éxito sea muy pequeña El resultado se prueba, comprobando como la función de cuantia de una distribuccion binomial con Y

Tiende a una función de cuantía de una distribución de Poisson con

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Siempre que este producto sea una cantidad constante (un valor finito). En efecto la función de la cuantia binomial es

Y llamamos Tendremos que:

Realizando

Que es la función de cuantía de una distribución de Poisson.

3.7. Estimación Bayesiana sobre muestras de Poisson:  Análogamente a como planteábamos el problema de necesitar estimar la proporción de una característica, en el caso de un modelo binomial, en alguna situación práctica , podemos estar interesados en determinar el parámetro desconocido de una distribución de Poisson. Por ejemplo podríamos estar interesados en determinar el número medio de clientes que acuden a una ventanilla de una oficina pública. El planteamiento de la estimación podría hacerse utilizando información suministrada por una experiencia {la observación de cuántos hechos se producen en un intervalo experimental), conjuntamente con algún otro tipo de información a priori .En este caso, estaríamos, como ya comentábamos en el caso binomial ante un planteamiento bayesiano del problema. La solución requerirá que dispongamos de una información inicial que puede especificarse a través de una distribución a priori de probabilidad. De manera que la función de cuantía de esta distribución a priori (o su f. de densidad si fuera continua) nos asigne probabilidades a cada posible valor del parámetro. Utilizando únicamente la información inicial la estimación sería la media de la distribución. Pero realizando una experiencia podremos mejorar la información acerca de. Si observamos la realización de hechos durante un intervalo experimental y se producen x hechos, para cada posible valor de podremos calcular su verosimilitud definida como la probabilidad de que se dé ese resultado si el valor de es el considerado: Obviamente esta probabilidad condicionada será la función de cuantía de una distribución de Poisson con Para el valor de la variable x. Finalmente podemos calcular las probabilidades de cada valor alternativo de, condicionada al resultado de la experiencia aplicando el teorema de Bayes:

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Estas probabilidades finales (a posteriori) constituirán la función de cuantía de la distribución a posteriori que nos dará cuenta de toda la información disponible (tanto muestral como no muestral). La estimación mejorada del parámetro será, entonces, la media de la distribución a posterior. Planteamos un ejemplo: Tres ejecutivos del Insalud opinan que el número medio de pacientes que llegan a cierto servicio nocturno de guardia durante una hora es 2, según el primero, 3, según el segundo, y 5 según el tercero. Sus opiniones pueden ponderarse teniendo en cuenta que el primero tiene el doble de experiencia profesional que los otros dos. Para tomar una decisión de asignación de personal en ese servicio quieren estimar el número medio de pacientes, sin despreciar sus opiniones , por lo que rea liza una experiencia controlando una hora de actividad en el servicio en la que acuden 3 pacientes .Esta información la van a combinar con la inicial a través de un proceso Bayesiano :¿cómo lo harían? La distribución a priori será tal que deberá asignarse el doble de probabilidad a la alternativa propuesta por el primer experto que a las de los otros dos. Así que será:

P( i) 0,5 0,25 0,25

i

2 3 4

De manera que la estimación inicial de sería, la media de la distribución a priori:

Realizada la experiencia, las verosimilitudes de las tres alternativas nos vendrán dadas por la función de cuantía de la distribución de Poisson, con

i

2

0,180447

3

0,224042

5

0,140374

La función de cuantía de la distribución a posteriori la obtendremos aplicando el Teorema de Bayes y resultará ser:

i

2

0,497572

3

0,308891

5

0,193536

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Esta distribución a posteriori nos dará cuenta de toda la información disponible acerca del parámetro desconocido, (número m edio de pacientes por hora); tanto de la inform ación subjetiva de los expertos (convenientemente ponderada) como de la información empírica suministrada por la observación.  A partir de esta distribución a posteriori podemos plantear nos dar un valor concreto para la estimación de considerando una función de pérdida cu adrática. La estimación adecuada sería la media de la distribución a posteriori:

Pacientes la hora.

3.8. Media y Varianza: La distribución de Poisson tiene la característica de que la esperanza y la varinancia son iguales, esto es:

4. DESARROLLO EXPERIMENTAL 4.1. Procedimiento: Usando la caja binomial tomar 100 muestras de tamaño 10, anotar en la tabla No.1. El número de bolas de color diferente en cada muestra, proporción de bolas de color diferente en la población p = 0,02.

5. ACTIVIDADES INDEPENDIENTES 5.1 Cálculos y resultados: 

Resumir los datos experimentales en forma de distribución de la frecuencia de las bolas de colores diferentes halladas en la muestra en la tabla No.2 y comparar la probabilidad teórica de Poisson y la probabilidad teórica binomial dadas.

Trazar los histogramas de la probabilidad experimental y teórica de poisson (media = 0,02) con los datos de la tabla No.2. 

Utilizando los datos del ejercicio No.1 y la tabla No.3 comparar la probabilidad experimental con la probabilidad binomial y de Poisson (media = 1,5). Trazar los histogramas de ambas probabilidades de Poisson, la teórica (media = 1,5) y la experimental con los datos de la tabla No.3.

Nota: Los histogramas se deben realizar en la misma figura con colores diferentes para cada curva. ¿Qué conclusiones y recomendaciones se pueden hacer de la experiencia?

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TABLA No.1 Resultados del número de bolas de colores diferentes . 1-10

0

0

0

0

1

0

2

1

0

1

11-20

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

 21-30

0

1

0

2

0

1

0

0

0

0

 31-40

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

41-50

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

 51-60

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

61-70

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

71-80

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

81-90

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

91-100

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

RESUMEN DE GRUPO

G1 G2 G3 G4 TOTA L

0

1

2

80 81 84 80

19 18 13 20

1 1 3 0

325

70

3

TAB LA No 2. Probabilidad experimental y teórica GRUPO INDIVIDUAL No. D e bolas Frecuencia Probabilidad Probabilidad Probabilidad de colores experimental experimental teórica de teórica diferentes Poisson Binomial 0 1 2

84 13 3

0.84 0.13 0.03

0.818730 0.16374615 0.00109164

0.817072807 0.166749552 0.015313734

TOTA L

100

1

0.98356779

0.99913609

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TABLA No 3. Probabilidades experimentales y teóricas de todos los grupos. No. D e bolas de colores diferentes

Frecuencia experimental

Probabilidad experimental

Probabilidad teórica de  pois s on

Probabilidad teórica binomial

0 1 2

325 70 5

0.8125 0.175 0.01

0.818730 0.16374615 0.00109164

0.817072807 0.166749552 0.015313734

TOTA L

400

0.9975

0.98356779

0.99913609

GRAFICA No 1. No de bolas de color diferente Vs Frecuencia experimental 

En este grafico logramos observar frecuencia en la que sale cada una de las bolas de colores, podemos ver que en mayor cantidad esta la opción de que no sale ni una sola bolita de color diferente (Blanca). También observamos que de 400 datos, la probabilidad de que nos salieran dos bolitas en cada uno de los movimientos que se le hacían a la caja binomial es del 3%. El mayor porcentaje de probabilidad se lo llevo la o pción de no salir ninguna bolita de color d iferente (blanca 84%).

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GRAFICA No 2. Probabilidad experimental VS Probabilidad teórica de Poisson

En este grafico logramos observar el resultado experimental de las probabilidades existentes (0, 1, 2). Vemos que de color Anaranjado tenemos la probabilidad Teórica de Poisson y de color verde la probabilidad experimental. Posterior a eso, vemos y analizamos que entre más aumentemos el número de bolitas de color diferente, las probabilidades tenderán a ser más iguales y en este grafico tenderán más a ser cero (0).

GRAFICA No 3. Probabilidad teórica de Poisson VS Probabilidad teórica Binomial

En este grafico logramos observar casi lo mismo que en el grafico anterior, las probabilidades son muy pero muy parecidas la una con la otra, tenemos que de color rojo esta la barra de la Probabilidad teórica Binomial, y de color azul esta la Probabilidad teórica de Poisson. Vuelve a suceder el caso que ambas tienden a cero (0) a medida que aumentamos el número de bolitas diferentes. Estas son las probabilidades que estamos esperando al momento de realizar el experimento. La línea color amarillo, significa la media= 0.02 y la línea de color verde la media= 1.5. Si colocamos diferencias entre estas dos medias tenemos que al tener un a media de 1.5, se estaría muy lejos de los datos que realmente tenemos solo unos pocos se acercarían a esta, el resto serian datos atípicos por ser de menor valor.

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6. CONCLUSIONES En el estudio de la probabilidad, específicamente de las distribuciones binomiales, y de Poisson se pueden apreciar distintas curvas de distribución que dependen de los valores que se obtengan en la experiencia, dependiendo de las características de los valores estudiados. Y la relación entre las diferentes probabilidades dependiendo del número de éxitos y de fracasos, que arroja el experimento. Este este tipo de estudios son de gran importancia en nuestra formación como ingenieros industriales y más aún si se desea desempeñarse en el área de calidad, pues para garantizar que los productos que una empresa ofrece al mercado, sean conformes se deben aplicar pruebas que muy seguramente arrojaran resultados asociados a una distribución de poisson.

7. BIBLIOGRAFIA -

(Cesaes) Estadístico. Probab. Leton.23 21-25 https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/poisson.htm (Polilibros):http://148.204.211.134/polilibros/portal/polilibros/P_Terminados/Probabilidad /doc/Unidad%202/2.9.htm

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