Informe Numero II de Laboratorio de Fisica II

 

UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE

PENDULO SIMPLE I.

OBJETIVO(S):    

 

II.

Estudiar el movimiento de un péndulo simple. Verificar si el período de un péndulo depende de varias propiedades del Verificar  péndulo simple. Medir la aceleración de la gravedad local utilizando un péndulo simple y un cronómetro.

MARCO T TE EÓICO Y CONCEPTUAL: El péndul péndulo o simple simple es un sistema sistema mecáni mecánico co que exhie exhie movimi movimient ento o periód periódico ico oscilatorio. El péndulo simple consiste en una ola de masa m suspendida de un  punto fi!o mediante una cuerda flexile e inextensile de longitud  L   L  como se muestra en la figura ".#a. $i la masa se desplaza un ángulo peque peque%o %o & a partir de la posición vertical y se liera desde el reposo se oserva que la masa descrie un movimiento armónico simple siempre y cuando se desprecie la fricción entre ella y el aire.

(a)  

(b) (b)

Figura Figura 2. 2... 'a) Representación de un péndulo simple, (b) diagrama de

cuerpo libre de m.

(el diagrama de cuerpo lire de la partícula de masa m se oserva que sore ésta act)an act )an** la tensión tensión T  + a lo largo largo del del hilo y el pe peso so W = m⃗g   de la masa  pendular. ,a componente tangencial del peso

mgsenθ siempre se encuentra

dirigida hacia la posición dirigida posición de equilirio+ equilirio+ de dirección opuesta al desplazamient desplazamiento o ⃗s . -or tanto+ la fuerza tangencial es una fuerza de restitución+ de tal manera que cuando se aplica la segunda ley de e/ton en dirección tangencial+ se tiene 1

 

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∑ F

t

= mat 

'".#0 "

− mgsenθ  = m

d s dt "

'"."0

(onde ⃗s  es el desplazamiento medido a lo largo del arco de circunferencia de descr scrit ito o po porr el pé pénd ndul ulo o y el si sign gno o ne nega gativ tivo o '10 '10 in indi dica ca el he hech cho o de qu quee la componente tangencial mgsenθ  act)a en dirección opuesta al desplazamiento 'es decir está dirigida hacia la posición de equilirio0. -or otro lado la magnitud del desplazamiento es s = Lθ + siendo la longitud del péndulo L péndulo  L constante+ la ecuación ".# se escrie d " ( Lθ )       d "θ  m = mL " = − mgsenθ  dt " dt  

&+ θ&

 g   senθ  = 3  L

'".20

'".40

Esta es ecuación diferencial no lineal+ cuya solución exacta es un desarrollo en serie de infinitos términos. $in emargo+ si las oscilaciones son peque%as+ es senθ ≅ θ + decir el ángulo & es peque%o+ se puede utilizar la aproximación donde el ángulo & se expresa en radianes. -or lo tanto la ecuación diferencial '".40 se escrie &+ θ&

 g 

θ 

 L

=3

'".50

,a ecuación '".20 es la ecuación deferencial de un movimiento armónico simple+ es decir+ m descrie un M.6.$. y la solución de la ecuación '".50 es de la forma θ = θ 3 sen ( ωt  + ϕ )  

'".70

(onde &3  es el máximo desplazamiento angular+ 8 es el desfasa!e y 9 es la frecuencia natural circular+ la misma que queda expresada como

ω   =

"π 

T

 

=

g  L

'".:0 El período del movimiento pendular está dado por 

2

 

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  L T  = "π   g  '".;0< (onde  L es la longitud medida (onde  medida desde el punto punto de suspensión suspensión hasta el centro de masa de la esfera y g y  g es la aceleración aceleración de la gravedad local. (ee (ee oservarse oservarse además que la masa m de la esfera y la amplitud amplitud máxima de las oscilaciones oscilaciones & 3+ no aparecen en esta expresión. El período de un péndulo 'dada nuestra hipótesis0 no es dependiente de m y &3  al menos d dee acuerdo a la teoría. $in $in emargo+ emargo+ si nuestras hipótesis no se aplican al estudio del péndulo 'el cale es pesado+ la esfera tiene una gran y complicad forma+ la amplitud es grande+ etc.0+ podría esperarse que esta fórmula no predice correctamente el período del péndulo. =na investigación científica correcta trata de incluir todos menos uno de los factores que influyen constantemente. ,os factores que permanecen constantes son llamados controles controles.. El )nico factor que camia durante la experimentación se llam llamaa variable independiente. independiente. ,a propiedad del sistema físico que se mide  para determinar el efecto de camio de la variale independiente es llamada variable varia ble dependient dependientee. $i logra logramo moss mant manten ener er to todo doss lo loss de demá máss fa fact ctor ores es constantes+ cualquier camio en el resultado de un experimento deería provenir  de la variale independiente. (e este modo+ tratamos de de!ar fuera los efectos individuales que cada uno de los factores e!erce sore el fenómeno que estamos estudiando. En este experimento+ =d. podrá determinar experimentalmente la validez de la fórmula teórica para el período el período '>0  '>0 de  de un péndulo simple. simple . Va a estudiar la forma en que el período de un péndulo simple 'la variale dependiente0 es afectada cuand cua ndo o se varía tanto tanto la masa masa m de la esfera+ así como la amplitud & 3  de las osci oscila laci cion ones es++ o la lo long ngit itud ud del del pénd péndul ulo o 'la 'la va vari ria ale le in inde depe pend ndie ient nte0 e0 y manteniendo los otros factores 'los controles0 constantes. >amién se utilizará los resultados de estos experimentos para medir el valor de la aceleración de la gravedad g  gravedad  g  experimentalmente.  experimentalmente.

III.

MATERIAL A UTILI! I!A AR  . =n soporte universal con dos varillas de acero y una nuez. 2. =na prensa. ". =na regla graduada en mm. #. =n péndulo simple. $. =n cronómetro. %. =n nivel de uru!as. &. =n vernier o un micrómetro '. =na alanza

IV.

METOOLO*A: #. E+PERIME E+PERIMENTO NTO . I,- I,-/0iga /0iga1i, 1i, /3br /3br 4a 56 56,5, ,5,1ia 1ia 54 6r7 6r7353 353 (T) 5 4a a864i0u5 5 4a 3/1i4a1i, (9).

3

 

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En este experimento se trata de medir los períodos '> i0 del péndulo para diversas amplitudes &i+3+ manteniendo una longitud ',0 fi!a así como una masa tamién constante m# durante el experimento y representar en una gráfi ráfica ca la re rela laci ció ón en entr tree amo amos. s. -ara -ara el ello lo se sigu siguee el sigu siguie ien nte  procedimiento.

a) =tiliza =tilizando ndo la esfera de acero+ realizamos realizamos la instalación instalación mostrada mostrada en la figura ".". En la parte superior+ el hilo se amarro de tal manera que se  pueda camiar la longitud con facilidad.

(a) Fi Figu gura ra 2.2 2.2..

(b) (b)

I, I,/0 /0a4 a4a1 a1i i, , 54 54 6; 6;,5 ,5u4 u433 //i86 i864 4

longitud L del  del péndulo a un valor de # m aproximadamente b) ?i!amos la longitud L midiendo la longitud del hilo con la regla y con el micrómetro el diámetro de la esfera '   L= Lhilo + R E 0. @egistramos dicho valor con su respectivo error. Aon la alan alanza za medimos medimos la masa m de la esfera. @egistramos dicho 1) valor con su error.

5) (es (espla plazam zamos os lateralm lateralment entee a la masa pendu pendular lar m  un ángulo de 5B a  partir de la posición de equilirio y lo lieramos desde el reposo+ midiendo el ángulo con un transportador. tra nsportador.

) Aon el cronómetro medimos el tiempo requerido para 10 oscilaciones. @epetimos este paso por tres veces y registramos sus datos en la tala C.

ala CC.

5) Aonsideramos una amplitud constante medimos con el transportador  un ángulo ángulo entre θ ≅ 5 ° −10 ° . @egistramos el valor escogido en la >ala CC.

5

 

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E=6ri8,03 II: L  L0 ! "L >18?88@ Ti863 (/) Masa 'g0 0 02 0" T 3.; #3.34 45.25

#.;7 "3 "3.2#

#.;; "3.3 "3.2:

#." "3.## "3.24

θ0  

#.;7 " ".32#

θ

 ! "   θ0

 > ' ?  Pr385i3

o

Pr7353 T2

T"

#.;; ".33 ".32:

#." ".3## 2.034

 

T  prom  promedio edio #.; ".33: ".324

(esp spla lazam zamos os latera lateralm lmen ente te a la esfera esfera ha hasta sta el án ángu gulo lo escog escogid ido o y ) (e de!amos oscilar liremente.

ala CC.

g) (eterminamos el período del péndulo para dicho ángulo usando la ( T =t / n ) + donde t es el tiempo y n el n) ecu ecuació ación n n)me mero ro de oscilaciones.

) @epita los pasos desde 'a0 hasta 'g0 para las demás esferas. @egistre sus valores en la >ala >ala CC.

Tab4a Ta b4a II II:: Relación período (T) – masa (m) para el movimiento movimiento pendular 

#." E=6ri8, E=6ri8,03 03 III. I,-/0iga I,-/0iga1i, 1i, 5 4a 56,5, 56,5,1ia 1ia 54 6r 6r7353 7353 (T) 5 4a 43,gi0u5 (L) 54 6;,5u43. En este experimento se trata de medir los períodos ' T i0 del péndulo para diversas masa ,i  manteniendo constantes la amplitud & 3  y la masa masa de dell  péndulo 'm0 durante todo el experimento y representar en una gráfica la relación que aparece entre el período y la longitud del péndulo. -ara ello se sigue el siguiente procedimiento.

a) =tilizando la esfera de acero de mayor diámetro+ realizamos la instalación mostrada en la figura "."a.

b) Aon la alanza medimos la masa de la esfera. @egistramos sus valores con su respectivo error en la >a >ala la CCC. Aonsid sidera eramos mos una amplit amplitud ud constan constante te midien midiendo do con el tra transp nsport ortado adorr un 1) Aon ángulo entre

θ ≅ 5 ° −10 ° . @egistramos el valor escogido en la >ala CCC.

?i!amo moss lalalongitud longi tud , péndul pén dulo o regla a un yvalor demicrómetro 120 m  m  aproximadamente 5) ?i!a midiendo longitud deldel hilo con la con el el diámetro de

6

 

UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE la esfera '   L= Lhilo + R E 0. @egistramos dicho valor con su respectivo error  en la tala CCC.

) (esplazamos lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y dé!amos oscilar liremente. oscilaciones. @egistramos ala >ala CCC. CCC.

g) (eterminamos el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación ( T =t / n ) + donde t es el tiempo y n el n)mero de oscilaciones. @epetim timos os lo loss pa paso soss de desde sde 'a0 'a0 ha hast staa 'g0 'g0 pa para ra las las demás demás long longit itud udes es.. ) @epe @egistramos sus valores en la >a >ala la CCC.

Tab4a Ta b4a IIII: II: Relación período período (T) – longitud (L) (L) para el movimiento movimiento pendular  E=6ri8,03 I:

θ0  

,ongitud 'm0 #+"3 #+#3 #+33 3+3 3+;3 3+:3 3+73 3+53

0

Ti863 (/) 02

0"

T

"".43 "#.24 "3.25 #.23 #;.4; #7.;2 #5.# #4.#5

"".57 "#.42 "3.22 #.#7 #;.54 #7.77 #5.:; #4."2

"".54 "#.2 "3.2 #.#: #;.47 #7.:: #5.;2 #4.#

"."43 ".#24 ".325 #.23 #.;4; #.7;2 #.5# #.4#5

θ

 ! "

o

  θ0

  >  ?  @ m  mo ! "m "m  > #$."$g ?  Pr7353 T2 "."57 ".#42 ".322 #.#7 #.;54 #.777 #.5:; #.4"2

T"

6r385i3 T promedio

"."54 ".#2 ".32 #.#: #.;47 #.7:: #.5;2 #.4#

"."5 ".#2 ".327 #."# #.;4 #.7:5 #.5;4 #.4#

#.# M3543 M3543 8a0 8a08D0i13 8D0i13 En las las seccio seccione ness an anter terio iores res pu pudi dimo moss en enco cont ntrar rar qu quee el pe perí ríod odo o de un  péndulo depende de su longitud pero no de su masa. 6hora vamos a tratar  de de dete term rmin inar ar de qu quéé mane manera ra el pe perí ríod odo o de depe pend ndee de la lo long ngitu itud d de  péndulo. -ara entender detalladamente como el período y la longitud están relac relacio iona nado doss ne nece cesit sitam amos os co cons nstr trui uirr un mode modelo lo matem matemáti ático co.. En es esta ta ecuació ecu ación n nuestr nuestro o modelo modelo sería sería una ecuaci ecuación ón que exprese exprese la relació relación n detallada entre el período del péndulo y la longitud del mismo. >endremos en cuenta dos modelos para evaluar cómo el período del péndulo está relacionado con su longitud.

  #odelo lineal : T = AL + B + donde 6 y F son constantes. 2

cuadr$tico: T  = CL+ D + donde A y ( son constantes.   #odelo cuadr$tico 7

 

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 uestro o!etivo es determinar dos cosas

 Pri8r3:  Gninguno de los dos modelos descrien correctamente los datos 'dentro de las incertidumres0H.

 Sgu,53: en caso afirmativo+ Gcuáles son los valores de las constantes en el modeloH -ara evaluar la situación presentada construimos dos gráficas usando el  programa Excel. =na será una gráfica de T  'en   'en el e!e de las y las  y00 frente a L a  L 'en el e!e de las x las x0. 0. El modelo lineal predice que los datos se encuentran a lo largo largo de de una línea línea recta en un gráfico gráfico T   vs  L.  L. El segundo gráfico 2 corresponde a una relación T    vs vs L  L.. El modelo cuadrático predice que los datos dat os podrían podrían fi!arse fi!arse sore sore una línea línea recta en el gráfico gráfico T 2  vs  L.  L. -ara construir estos gráficos ara el programa Excel y construya una tala de datos dat os con columnas columnas para  L+  L+ T   y T 2. Iraficando los puntos cada vez que midió el período 'tal que para cada longitud podría graficar tres valores del  período0. 6 continuación puede crear las gráficas T  vs L  vs L y  y T 2 vs  vs L  L y  y usando el Excel construir la Jme!or línea rectaK 'la recta que me!or se a!usta a los datos experimentales0. (ee estar seguro además que las unidades han sido sido util utiliz izad adas as ad adec ecua uada dame ment ntee y qu quee la líne líneaa re rect ctaa es gr graf afic icad adaa adecuadamente y a partir de ella se otiene el coeficiente de regresión lineal así como la ecuación de la recta de a!uste que no permita determinar  la pendiente y las intersecciones con los e!es coordenados.

#.$ CD41u43 5 4a a14ra1 a14ra1i, i, 5 4a gra-5a5 ,o más más inme inmedi diato ato sería sería ap apli licar car la ec ecua uació ción n '" '".; .;0< 0< de dell pe perí ríod odo o de un 2 2  péndulo en función de su longitud  L   L  pa para ra hall hallar ar g= 4 π   L / T  . $in emargo+ emarg o+ aunque aunque el períod período o puede puede medirse medirse con astant astantee precisi precisión+ ón+ su longitud 'distancia desde el centro de masa de la masa pendular hasta el  punto de suspensión0 no es ien determinada. -or el contrario+ los incrementos en la longitud del péndulo se miden con un error tan peque%o como la sensiilidad de la escala graduada de la que se dispone+ ya que en esta medida no influye la posición del centro de masas de la esfera. -ara esto consider consideremo emoss una longitud longitud l = L + L0 + dond dondee r    es una longitud 0

cualquiera. Entonces se tiene

 "  L + L3   T = 4π   g "

"

"

=

4π 

g

L+

4π 

L3

g 

6 partir partir de esta ecuación podemos podemos determinar determinar la pendiente pendiente de la recta la misma que está dada por 

8

 

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 A =

4π

"

 g

"

⇒ g  =

4π 

A

Aomo la co Aomo cons nsta tant ntee 6 se pu pued edee ex expr presa esarr co con n tanta tanta pr prec ecisi isión ón como como se requiera+ el error relativo de la aceleración de la gravedad  g es el mismo de la pendiente 6

∆ g

 g V.

=

∆A

A

CALCULOS Y RESULTAOS: $. $.. . P P3r 3r u; u; / ,1 ,1/a /ari ri33  u u 4a 4a// a86 a864i 4i0u 0u5 5// 5 5 4a/ 4a/ 3/1i 3/1i4a 4a1i 1i3, 3,/ / 5b 5b, , /r 6uGa/H  or !ué en ellas la energía mec"nica !ue se utili#a es pe!ue$a y a si  podemos demostrar experimentalmente en el laboratorio !ue la masa no intervienen el periodo de la oscilaci%n. &ientras !ue si la amplitud lo tomamos demasiado grande 'abría demasiada variaci%n( y no se cumpliría !ue el periodo es independiente de la masa.

$.2. $.2. C3 C3, , 443/ 3/ 5a03 5a03// 5 5 4a 4a Ta Tab4a b4a II 5ib 5ibu u u u,a ,a grD grD