Informe N°2 Fisica I

UNIVERSIDAD NACIONALMAYOR NACIONALMAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América)

Informe de Laboratorio de Física I

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS 

CURSO:

LABORATORIO DE FÍSICA I

EXPERIENCIA: INFORME N°2 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES HORARIO:

8:00-10:00 am

ALUMNOS: -Mejía Enriquez, Bryan

11140391

-Gutarra Napan, Maria Minori

12140482

-Espinar Torres, Jam Armando

11140350

FECHA DE ENTREGA:

pág. 1

24/04/13

INDICE Introducción Objetivos Materiales Fundamento Teórico Procedimiento Aplicaciones Solución de problemas Conclusión Bibliografía

pág. 2

I.

INTRODUCCIÓN Tener datos experimentales sin análisis es como tener un vaso vacío en medio del desierto, el tratamiento de los datos recabados durante una experiencia es de suma importancia ya que nos permite ver su comportamiento y de los factores de los que depende. No solamente eso, sino de cómo el experimentador puede optimizar el proceso para los fines que vea necesario. Pero para un mejor análisis es preferible que este se vea esquematizado en diferentes recopiladores de datos entre los cuales tenemos a los papeles milimetrados, logarítmicos semilogarítmicos. En el presente trabajo he incluido graficas en papel milimetrado, logarítmico y semilogarítmico de las diferentes aplicaciones el cual lo encontramos en la página 29 del material de trabajo llamado Laboratorio de Física I del departamento de Física de la UNMSM así como la resolución del cuestionario ubicado en la página 31. Mis agradecimientos, a quienes quite para escribir este trabajo, por su comprensión durante ese tiempo.

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II.

OBJETIVOS 1. Aprende a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas y papeles gráficos. 2. Aprender técnicas de ajustes de curvas principalmente el método de regresión lineal y el método de mínimos cuadrados. 3. Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenómeno físico e interpretarlas.

III.

MATERIALES El alumno portara: Calculadora científica Hojas de papel milimetrado Hojas de papel logarítmico Hojas de papel semialogarítmico

IV.

FUNDAMENTO TEÓRICO Los datos teóricos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas, según sea el caso, con el fin de encontrar gráficas lineales (rectas) para facilitar la construcción de las formulas experimentales que representan las leyes que gobiernan el fenómeno.

USO DEL PAPEL MILIMETRADO Empezaremos graficando los valores de la tabla de datos en el  papel milimetrado 1. Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el eje de las abscisas y las variables dependientes en el eje de las ordenadas. 2. La distribución de puntos así obtenida mediante una curva, usando una regla curva o un trazo a mano alzada. 3. Las representaciones gráficas que aparecen con más frecuencia son:

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Veamos el  primer caso, si la distribución de puntos en el papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces se realizara el ajuste de la recta mediante el método de regresión lineal por  mínimos cuadrados. Esto significa que la relación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es:

Y=mx + b En donde las contantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación. Primero se construye una tabla de la forma:

Luego se calculan la pendiente y el intercepto.

En el segundo caso, cuando la distribución de puntos en el papel milimetrado no es de tendencia lineal; se pasan los datos de la tabla a un papel logarítmico o semilogarítmico, en alguno de estos papeles la distribución de los puntos saldrá una recta.

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USO DEL PAPEL LOGARÍTMICO Las relaciones de la forma

, son funciones potenciales y sus gráficos en el papel logarítmicos son rectas de pendientes m=n , que cortan el eje vertical en b = log k . Se recomienda preferentemente usar papel logarítmico 3x3; en donde cada ciclo está asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede empezar con Al tomar logaritmo decimal a la ecuación obtenemos , que el método lineal Y = m X +b, en donde  X = log x , Y = log y  y ‘ b=log k. Concluimos entonces, que el método de regresión lineal puede ser aplicado a una distribución potencial de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla. Construya la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna.

Para determinar la ecuación de la recta en el papel logarítmico, se calculan ahora los valores de:

Para encontrar la ecuación de la función potencial graficada en el papel milimetrado debemos determinar los valores de m y k. Del párrafo anterior se tiene que

USO DEL PAPEL SEMILOGARÍTMICO Para relaciones exponenciales de la forma se utiliza papel semilogarítmico, ¿por qué? Construya adecuadamente su tabla para aplicar el método de regresión lineal.

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EXTENCIÓN DEL MÉTODO DE REGRESIÓN LINEAL. El estudio de este método relativamente sencillo y tiene doble interés: de un lado este tipo de dependencia es frecuente entre magnitudes físicas; por otro lado, muchas otras dependencias más complicadas pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio adecuado de variables, algunos casos se muestra en la siguiente tabla:

USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA. Estas calculadoras presentan la función LR del inglés linear regresión lo cual nos permite obtener en forma directa los valores del intercepto (A) y la pendiente (B) de la recta y el factor de correlación (r) usando el método de regresión lineal por mínimos cuadrados. Existen calculadoras modernas que grafican la tabla de datos y presentan otros modos de regresión tales como: lineal, logarítmica, exponencial, inversa y cuadrática, aquí el concepto del coeficiente de correlación juega un rol muy importante. Para hallar la fórmula de la curva obtenida en papel milimetrado haga uso de la siguiente tabla:

USO DEL COMPUTADOR Se pueden construir programas en C. Fortran. Pascal o Basic para hacer los ajustes que se requieran. También se puede usar programas como Gnuplot, Microcal Origin, entre otros. Pero el más accesible es EXCEL que nos permite hacer gráficas y presentar las curvas de regresión con sus respectivas fórmulas de correspondencia y c oeficiente de correlación.

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V.

PROCEDIMIENTO Se analizarán tres experimentos: la conducción de corriente por un hilo con ductor de micrón, la evacuación de agua de un depósito y la actividad radiactiva de radón. 5.1 En la Tabla 1 se tiene de intensidad de corriente eléctrica i conducida por un hilo conductor de micrón y la diferencia de potencial V aplicada entre sus extremos.

5.2 La Tabla 2 muestra las medidas del tiempo de vaciado (t) de un depósito con agua y las medidas de las alturas del nivel de agua para cuatro llaves de salida de diferentes diámetros ( D).

5.3 La Tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radioactiva del radón. El día cero se detectó una desintegración de4.3 x 10 18 núcleos.

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VI.

APLICACIONES

1. Grafique las siguientes distribuciones: De la Tabla 1:

a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V vs i. De la Tabla 2:

b) c) d) e) f)

En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D, para cada una de las alturas. En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. h, para cada diámetro. En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. D, para cada una de las alturas. En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. h, para cada diámetro. Haga el siguiente cambio de variables z = 1/D2 y grafique t = t (z) en papel milimetrado.

Obs. En cada hoja deberán presentar cinco gráficas. De la Tabla 3:

g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs. T. h) En una hoja de papel semilogarítmico grafique A vs. T.

2. Hallar las fórmulas experimentales: a) Obtenga las fórmulas experimentales usando el método de regresión lineal para las gráficas obtenidas en los casos a),d),e) y f). b) Haciendo uso de la calculadora científica encuentre las fórmulas experimentales e indique el factor de correlación para todas las gráficas obtenidas en los casos desde a) hasta la h). c) Haciendo uso de MS EXCEL grafique y presente fórmulas experimentales y el factor de correlación para todos los casos desde la a) hasta la h). d) Compare sus resultados. ¿Cuál(es) de los métodos de regresión le parece confiable?

3. Interpolación y extrapolación: Considerando sus gráficos (en donde ha obtenido rectas): a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50 % de los núcleos de radón según tabla 2.

b) Halle los tiempos de vaciado del agua sí:

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c) Compare resultados obtenidos en la parte a) y b) con los obtenidos con las fórmulas experimentales.

4. Haga

para las alturas y diámetros correspondientes y complete la tabla:

5. Grafique t = t (w) en papel milimetrado. Si la distribución es lineal haga el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación experimental correspondiente t = t (h.d).

6. Para investigar: Para obtener la fórmula de una distribución de puntos en donde solo se relacionan dos variables y=y(x), se utilizó la regresión simple. Cuando se tiene tres o más variables, y = y (v,w,…,z) se tendrá que realizar la regresión múltiple. a) Encuentre la fórmula t = t (h.d), utilice la Tabla 2. b) Hallar t para h=15cm y D=6cm. c) Hallar t para h=40cm y D=1cm.

VII.

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SOLUCION DE PROBLEMAS

Tomamos un papel milimetrado y trabajamos el punto 4.1 (aplicaciones) de acuerdo a las tablas 1, 2 y 3 Para ellos requerimos materiales de trabajo en este caso son:   

Hojas de papel milimetradas Hojas de papel logarítmicas Hojas de papel semilogarítmico

El primer evento que trataremos será: La medida de la intensidad de corriente eléctrica conducida por un hilo conductor de nicrón, y de la diferencia de potencial aplicada entre los extremos de este. La Tabla 1 muestra datos de este experimento. Tabla 1

I

V(I)

0.5

2.18

1.0

4.36

2.0

8.72

4.0

17.44

Al analizar la gráfica del punto 4.1 se nota que es una recta por lo tanto planteo para hacer mis ajustes una recta y=mx+b

A l

 x i

 y i

 x i  y i

 x 2 i

0.5 1.0 2.0 4.0

2.18 4.36 8.72 17.44

1.09 4.36 17.34 69.76

0.25 1.0 4.0 16.0

 xi

 yi

 32.70

 xi yi

 x

2

i  21.25 a al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales hallare la ecuación de la recta.

 7.5

m

b

 92.65

492 .65  7.65 32.70  421 .25   7.5

2

 4.36

21 .25 32 .70   7.592 .65 0 2 421 .25  7.5

De acuerdo a estos resultados la ecuación que obtengo es igual a: V(I)=4.36I

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El segundo evento que trataremos será:

La medida del tiempo de evacuación de agua de un depósito a través de una llave de cierto diámetro de salida. La Tabla 2 muestra datos de este experimento, tomadas para cuatro llaves de diferentes diámetros y todas medidas a igual altura de agua del mismo depósito. Tabla 2

30

h (cm.)

10

d (cm.)

4

1

Tiempo de vaciado t(s)

1.5

73.0

43.0

26.7

13.5

A 2.0 l

41.2

23.7

15.0

7.2

3.0

18.4

10.5

6.8

3.7

a 5.0 6.8 3.9 2.2 1.5 n alizar la gráfica del punto 4.1 se nota que es una función exponencial t (d) por lo tanto planteo para hacer mis ajustes una función igual a: y=kxn  Ahora analizare para el caso en el que h=1 2

 x i

 y i

log x i

log  y i

log xi log yi

log  xi

1.5 2.0 3.0 5.0

13.5 7.2 3.7 1.5

0.1761 0.3010 0.4771 0.6989

1.1303 0.8573 0.5682 0.1761

0.1990 0.2580 0.2711 0.1231

0.0310 0.0906 0.2276 0.9885

 xi

 11.5 yi  9  log xi  1.6532 log xi log yi  0.8512 log x log yi  2.7319

2

i

 0.8377

Al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales armare mi función exponencial. n

pág. 12

40.8512   1.6532 2.7319  40.8377   1.6532 

2

 1.7995

log k  

0.8377 2.7319   1.6532 0.8512   1.4267 2 40.8377   1.6532 

 k   26.7116

De acuerdo a estos resultados la ecuación que obtengo es igual a:  y  26 .7116 x 1.7995

 y  kx

n



log  y  log kx

n

  

log  y  log k   log  x

n

log  y  log k   n log  x  y   k   n x   y   1.4267  1.7967 x   Ahora analizare para el caso en el que h=4

 x i

 y i

log x i

log  y i

log x i log y i

log 2  xi

1.5 2.0 3.0 5.0

26.7 15.0 6.8 2.2

0.1761 0.3010 0.4771 0.6989

1.4265 0.1761 0.8325 0.3424

0.2512 0.3540 0.3972 0.2393

0.0310 0.0906 0.2276 0.9885

 xi

 11.5 yi  50.7log xi  1.6532 log xi log yi  1.2417 log x log yi  3.7775

2

i

 0.8377

Al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales encontraremos la función exponencial. n

log k  

41.2417   1.6532 3.7775  40.8377   1.6532 

2

 2.069

0.8377 3.7775   1.6532 1.2417   1.7996 2 40.8377   1.6532 

 k   63 .0396

De acuerdo a estos resultados la ecuación que obtengo es igual a:  y  63.0396 x 2.069

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 y  kx

n



log  y  log kx n

  

log  y  log k   log  x

n

log  y  log k   n log  x  y   k   n x   y   1.7996  2.069 x 

Asimismo se efectuara: Para h=10 cm. de donde se obtendrá esta función:

 y  95 .27 x 1.99

 y  kx

n

 

log  y  log kx

n

 

log  y  log k   log  x

n

log  y  log k   n log  x  y   k   n x   y   1.9651 1.99 x 

Para h=30 cm. de donde se obtendrá esta función:

 y  162 .18 x 1.97

 y  kx

n

 

log  y  log kx

n

 

log  y  log k   log  x

n

log  y  log k   n log  x  y   k   n x   y   2.2099  1.97 x 

El tercer evento que trataremos será:

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Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día cero se detectó una desintegración de 4,3 x 1018 núcleos. Los porcentajes de experimentación de los demás días se muestran en la Tabla 3. Tabla 3

T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (días) A 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 (%) Requerimiento: Una hoja de papel milimetrado y una hoja de papel semilogarítmico.

10 17

t dias

 A% 

t i

log  Ai

t i log Ai

t i2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 1.9243 1.8451 1.7706 1.6902 1.6128 1.5315 1.4314 1.3102 1.3010 1.2304

0 1.9243 3.6902 5.3126 6.7608 8.0632 9.1889 10.0195 11.0417 11.7093 12.3045

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

ti

 55

 Ai

 245

ti

 55

n

log k  

 logA i

 17.7175 t i log  Ai  80.150 t i  385 2

1180 .015   5517 .7175  11385   55 

2

 0.0779

385 17 .7175   5580 .0150   2.0003 2 11385   55 

 A(%)  100 .069 10 0.0779 x El tiempo de desintegración del 50% de los núcleos de radón es igual a:

50  100 .069  10 0.0779 x t   3.8681 dias

Para hacer la parte D) necesitare hacer una nueva tabla. Cuando h=1

pág. 15

t (z)

z=1/d

13.5 7.2 3.7 1.5

2

d

0.4444 0.25 0.1111 0.04

1.5 2.0 3.0 5.0

 x i

 y i

 x i y i

 x i2

0.4444 0.25 0.1111 0.04

13.5 7.2 3.7 1.5

5.9994 1.8 0.4111 0.06

19.75 0.0625 0.0123 0.0016

xi

 yi

 0.8455

m

b

 x i yi

 25.9

 8.2705

48.2705   0.8455 25 .9  40.2739   0.8455 

2

t 



2

 0.2739

 29 .39

0.2739 25 .9  0.8455 8.270  2 40.2739   0.8455 

xi

 0.266

1

29.37

2

d 

Cuando h=4 la ecuación resulta ser t 



59.84

1 2

d 

Cuando h=10 la ecuación resulta ser

t  96.81 

1

d 2

Cuando h=30 la ecuación resulta ser

t  163.81 

1

d  2

1. CUESTIONARIO

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

La pregunta numero 3 la he respondido en el tercer evento



Haga w = √  h/d2 para las alturas y diámetros con los tiempos

De

d(cm)

h(cm)

t(s)

w= √  h/d2

t(s)

1.5

30

73.0

2.44

73.0

1.5

10

43.0

1.40

43.0

1.5

4

26.7

0.89

26.7

2.0

4

15.0

0.89

15.0

3.0

10

10.5

0.35

10.5

5.0

10

3.9

0.13

3.9

5.0

1

1.5

0.04

1.5

= = 173,6 ∑Xi Yi = 273,83 ∑Xi2 = 9,09 m = 30,05 b = 0,11 t = 30,05 w + 0,11

=> y = m x + b , pero w = √ h/d2

La ecuación experimental será: t = t(h ,d)

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t = 30,05 (w = √  h/d2) + 0,11

donde: ∑Xi

5,75

∑Yi



Compare los valores yia obtenidos usando la formula experimental con los valores de salida y1 experimentales aplicados al caso t =t(h)

Diámetro = 15

Diámetro = 20

x

y

yi

x

y

yi

1

13.5

13.8

1

7.2

7.4

4

26.7

27.2

4

15.0

15.02

10

43.0

42.6

10

23.7

23.9

30

73.0

73.0

30

41.2

41.9

Ecuación :

y = 13,8 x 0,49

Ecuación :

Diámetro = 30

Diámetro = 50

x

y

yi

x

y

yi

1

3.7

3.63

1

1.5

1.41

4

6.8

6.68

4

2.2

2.55

10

10.5

10.46

10

3.9

3.79

30

18.4

17.35

30

6.8

6.0

Ecuación : y = 3,63 x 0,46

VIII.

y = 13,8 x 0,49

Ecuación : y = 3,63 x 0,46

CONCLUCIÓN Durante el presente trabajo hemos aprendido a utilizar y a manejar datos experimentales llevándolos a gráficos, ya sea en papel milimetrado, logarítmico o semilogarítmico. También se pudo ver el manejo del método de mínimos cuadrados que luego de ajustar los datos, se procede a los cálculos para encontrar la fórmula experimental adecuada.

IX.

BIBLIOGRAFÍA Guía de Laboratorio de Física I Facultad de Ciencias Físicas 2012 “Guía de trabajos prácticos” “62.01.01A” . Ed. por: Centro de Estudiantes de

Ingeniería. Bibliografía complementaria:

Alonso, M y Finn, E., Física vol.1, Addison - Wesley Iberoamericana, México, 1986 Algunos referentes usados de Internet

pág. 18