MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Camilo Andrés Zorro Mendoza
[email protected] Facultad de ingeniería Departamento de mecánica y mecatrónica Universidad Nacional de Colombia
ResumenA partir de la toma de datos experimentales se busca hacer un ajuste de la distribución que se describe. En el presente informe se pretende mostrar el uso de un de los muchos métodos presentes para encontrar la función que describa de forma adecuada un distribución dada haciendo uso de muchos de las herramientas aportadas por el cálculo. 1. Introducción A medida que la la ciencia ha avanzado avanzado se puede dar cuenta cuenta que, a manera general, general, siempre un factor variable dependerá de otra condición que varía de forma independiente, mostrando un relación gráfica entre estas variables que puede ser representada a partir de una función lineal, exponencial, parabólica, logarítmica o de otro tipo, pero estos tipos de relaciones no son cien por ciento ideales debido a que la toma de datos experimentales muestra una distribución de datos que puede no corresponder a algún tipo de función, sino que muestre una tendencia a describir dicha función, en estos casos se procede a encontrar una función que sirva como ajuste a la descripción de los datos tomados, para esto se pueden encontrar varios métodos, dentro de los cuales está la regresión lineal o ajuste lineal a partir del ingenioso método de los mínimos cuadrados, principalmente usado para distribuciones de tipo lineal. El surgimiento de este método se remonta al siglo XIX, tiempo en el cual se había descubierto el cuerpo celeste Ceres por el astrónomo italiano G. Piazzi en el año de 1801. En este mismo año un astrónomo alemán, conocido por Carl F. Gauss, llamado Xavier Von Zach, publica las posiciones orbitales de dicho cuerpo, pero luego de 40 días se perdió su rastro, alcanzando a observar 9 grados de su órbita. Luego de esto, el astrónomo alemán hace una serie de predicciones dentro de las cuales se encuentra una formulada mediante el método de mínimos cuadrados propuesto por Gauss, siendo este cálculo suficientemente preciso para reencontrar el cuerpo celeste. Ahora bien, el objetivo de este informe es el de mostrar cómo se aplica este ingenioso método a una distribución lineal y los pasos a seguir, de esta manera,
en futuras prácticas de laboratorio será más fácil hallar la relación entre dos variables de forma matemática. Para esto explicaremos como se define este método y la forma en que se construyen las ecuaciones a utilizar.
Este método consiste en ver el comportamiento de la desviación de todos los puntos con respecto a la recta a la cual van a ser ajustados y transforma la desviación de todos los puntos de la desviación lo más pequeño posible, es decir, hallar un recta que este lo más cerca posible a dichos puntos, para esto debemos tener en cuenta el principio de mínimos cuadrados el cual dice lo siguiente “la desviación vertical del punto ( de la recta el ” [1] siendo punto de corte con el eje , la pendiente que tendrá dicha recta y ( unos puntos cualesquiera que pertenecen a la distribución. Expresada la anterior cita en leguaje matemático, haría referencia a lo siguiente:
A partir de esto, la sumatoria de todas las desviaciones verticales al cuadrado, de los puntos a la recta es
Posterior a esto se hallan las estimaciones de mínimos cuadrados (
que
minimizan los valores de la función anteriormente dada, es decir, y quedándonos la recta de mínimo cuadrados de la siguiente forma
Para el cálculo de estas estimaciones, se deriva parciamente con respecto a , posteriormente se igualan a cero y de esta forma se pueden hallar las llamadas ecuaciones normales que permiten hacer mínima la desviación entre los puntos y la recta de mínimos cuadrados. Este proceso se muestra a continuación.
Luego de esto, se aplican algunas propiedades de las sumatoria y se cancela el factor quedando las ecuaciones normales. [2]
∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ∑̅̅ ∑ ∑̅̅ ̅
Observando la ecuación 6 se puede ver que y a esto, se divide entre n, quedando de la siguiente forma.
, posterior
Posteriormente hacemos uso de la segunda ecuación normal para hallar la ecuación que permite calcular . Primero debemos reemplazar la ecuación 8 en la número 7, luego se reemplaza por y por último despejamos , formándose la siguiente igualdad.
Luego de estos, se puede deducir que que , quedando permitirá calcular la pendiente de la recta.
Finalmente los valores de ecuaciones como: [3].
son
finalmente
la
ecuación
y que
respectivamente quedando las
Por último, se debe calcular los errores que estos dos valores tiene y la confiabilidad que puede tener este resultado. Estos serían los errores de propagación de estos valores y el coeficiente de correlación lineal que están dadas por las siguientes ecuaciones.
̂ ∑ ∑ ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ √ ∑ ∑ ∑∑ ) Teniendo esto en cuenta, en el presente informe procederemos a mostrar un ejemplo donde se haga uso de este método con las ecuaciones anteriormente planteada.
2. Datos y resultados Para la demostración de cómo se aplica dicho método se hará uso de un una tabla de datos en la cual se describe como un gas, a diferentes temperaturas, aumenta su volumen de forma lineal. 1- Datos experimentales y gráfica de la distribución Para saber si los datos experimentales tomados son apropiados para aplicar el método, se debe hacer su gráfica y observar si este posee una distribución lineal. Como vemos a continuación, los datos de la tabla No 1 y su correspondiente gráfica cumplen con lo requerido. Tabla No 1. Datos experimentales tomados. [4]
i
T(°C)
4
3
V(10 cm )
1
62,3
2,7073
2
68,6
2,8492
3
81,4
2,93
4
87,4
2,92
5
98,6
3,0849
6
104,5
3,15
7
116,9
3,21
8
121,2
3,2
9
135
3,35
Grafico No 1. Distribución de los datos encontrados en la tabla No 1.
T versus V 3.4 3.3 3.2 ) 3.1 3 m c 4 0 3 1 * ( V2.9
(T,V)
2.8 2.7 2.6 60
70
80
90
100
110
120
130
140
T(°C)
2-
Planteamiento de la recta de mínimo cuadrados.
Como el ajuste que vamos a hacer es una recta, entonces el planteamiento de la ecuación de los mínimos cuadrados se debe ajustar a estas características, quedando la siguiente ecuación:
3-
Calculo de
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ;
;
;
;
;
y
Antes de hallar las sumatorias debemos calcular, a partir de cada par de puntos, la multiplicación de la temperatura y el volumen y sus respectivos cuadrados.
Tabla No 2. Tabla de datos y cálculos i
T(°C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4
3
2
V(10 cm )
62,3 68,6 81,4 87,4 98,6 104,5 116,9 121,2 135
2
4
2,71 2,85 2,93 2,92 3,08 3,15 3,21 3,2 3,35
3
2
4
3 2
T*V (10 cm *°C) (V-b 1*T-b 0) 2 V (10 cm )
T (°C ) 3881,29 4705,96 6625,96 7638,76 9721,96 10920,25 13665,61 14689,44 18225
168,83 195,51 238,5 255,21 303,69 329,18 375,25 387,84 452,25
7,3441 8,1225 8,5849 8,5264 9,4864 9,9225 10,3041 10,24 11,2225
7,3441 8,1225 8,5849 8,5264 9,4864 9,9225 10,3041 10,24 11,2225
Posterior a esto efectuamos las respectivas sumatorias y el promedio del volumen y temperatura para poder calcular los parámetros de ajuste (pendiente y punto de corte) de la recta de mínimos cuadrados. Tabla No 3. Sumatorias de
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ;
4
(°C)
3
(10 cm )
875,9
27,4
;
;
4
3 2
(10 cm )
83,7534
y
2
(°C )
90074,23
4
2706,26
Tabla No 4. Promedio de volumen y temperatura. (°C) 97,32
4
3
( 10 °C *cm )
3
(10 cm ) 3,04
4- Calculo de los parámetros de ajuste ( ), la sumatoria de todas las desviaciones verticales al cuadrado y sus respectivos errores Para hallar los parámetros de ajuste haremos uso de las ecuaciones número 11 y 12
∑ ∑
Antes de calcular los errores de estos parámetros debemos calcular la sumatoria de todas las desviaciones verticales al cuadrado a partir de la ecuación No 2.
Tabla No 5. Desviaciones verticales. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4
3 2
((*10 cm ) ) 0,00221 0,0017 0,00026 0,00185 0,00063 0,00218 0,00002 0,00163 0,00001
Posterior a esto, se halla el error de propagación que tiene cada uno de estos parámetros y estos se calculan mediante las ecuaciones 13 y 14 que fueron mencionadas con anterioridad.
̂ ∑ ∑ ∑ ̂ ∑ ∑
5- Calculo del coeficiente de correlación Con este coeficiente podemos calcular cuanta precisión tuvieron estos cálculos y esto a partir de la ecuación No 15, dándonos como resultado lo siguiente
∑ ∑ ∑ √ ∑ ∑ √ ∑∑ [ ] √ [ ][ ]√ [ ][ ] 6- Ecuación de la recta de mínimos cuadrados Con los cálculos anteriormente hechos se puede mostrar que la recta que se ajusta a esta distribución lineal es la siguiente.
7- Grafica de mínimos cuadrados y distribución de los datos experimentales
T versus V 3.4 3.3 3.2 ) 3 m c 4 0 1 * ( V
3.1
(T,V)
3 2.9
V = (2,24*10^4 cm^3)+(0,0082*10^4 (cm^3/°C))*T
2.8 2.7 2.6 60
80
100 T(°C)
120
140
Gráfico No 2. Distribución lineal y recta de mínimos cuadrados
Como vemos, la ecuación hallada describe la recta más apropiada para ser el ajuste de la distribución lineal.
3. Conclusiones A partir de todo el trabajo redactado en este informe se pudo observar la manera en que un distribución de tipo lineal se puede ajustar a una recta que recibe el nombre de recta de mínimos cuadrados, la cual posee un pendiente y un punto de corte que son calculado mediante la diferencia vertical encontrada entre un punto (x,y) cualquiera, perteneciente a la distribución lineal, y la recta de mínimos cuadrados; con la ayuda de la sumatoria y las derivadas de las funciones. Por otro lado se observa que los cálculos no serán cien por ciento confiables, por lo tanto se busca el error asociado al punto y a la pendiente además de hacer uso del coeficiente de correlación lineal que brinda información sobre la confiabilidad de los resultados.
4. Referencias [1] Jay L. Devore. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, México, Thomson editores, 2005, P. 506. [2] Jay L. Devore. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, México, Thomson editores, 2005, P. 506-509. [3] Departamento de agricultura y recursos económico (Kyle J. Emerick). Derivation of OLS Estimator , Publicación en línea, http://are.berkeley.edu/courses/EEP118/current/derive_ols.pdf , citado el 11 de marzo de 2013. [4] Fernando Cristancho. Fundamentos de física experimental y mecánica, Bogotá, 2008, P.12.
