INFORME Leyes de Maxwell

INTRODUCCIÓN

Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están la ley de Ampere, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Maxwell lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del campo electromagnético.

Maxwell se dio cuenta que la conservación de la carga eléctrica parecía requerir introducir un término adicional en la ley de Ampere. De hecho, actualmente se considera que uno de los aspectos más importantes del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo en la ley de Ampere; la derivada temporal de un campo eléctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampere con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.

Exceptuando la modificación a la ley de Ampere, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.

Los Alumnos

LAS 4 LEYES DE MAXWELL

I. ANTECEDENTES El desarrollo del electromagnetismo fue impulsado por muchos investigadores, uno de los más importantes fue Michael Faraday (1791-1867), pero correspondió a James Clerk Maxwell, establecer las leyes del electromagnetismo en la forma en que las conocemos actualmente. Estas leyes, llamadas con frecuencia ecuaciones de Maxwell, juegan en el electromagnetismo el mismo papel que las leyes de Newton del movimiento y de la gravitación en mecánica. Aun cuando la síntesis de Maxwell del electromagnetismo, descansa fundamentalmente en el trabajo de sus predecesores, su contribución personal es central y vital. Maxwell dedujo que la luz es de naturaleza electromagnética y que su velocidad puede calcularse a partir de experimentos puramente eléctricos y magnéticos. Así, la ciencia de la óptica se ligó íntimamente con las de la electricidad y el magnetismo. Es notable el alcance de las ecuaciones de Maxwell, ya que incluye los principios fundamentales de todos los dispositivos electromagnéticos y ópticos de grandes aplicaciones tales como motores, calculadoras electrónicas, radio, televisión, radar de microondas, microscopios, telescopios etc. Maxwell fue uno de los grandes sintetizadores de la física, ya que tomó los resultados experimentales de Faraday y de otros investigadores y los organizó en una teoría matemática coherente sobre los campos eléctricos y magnéticos. Maxwell encontró que la idea de las ondas electromagnéticas era una consecuencia lógica de su teoría, y publicó su resultado, aun cuando la naturaleza electromagnética de la luz no estaba probada experimentalmente y nadie había detectado la existencia de otras ondas electromagnéticas. Lo mismo que Newton, Maxwell “se paró sobre los hombros de gigantes”, y también como Newton, vio más lejos que aquellos.

Las ondas electromagnéticas tienen sus orígenes en las cargas oscilantes. En la figura siguiente se muestra una representación gráfica de una onda electromagnética en el espacio.

E

La onda viaja así

B

La figura muestra las magnitudes y direcciones de la intensidad de campo eléctrico (E) y la inducción magnética (B) en un instante cualquiera. Sin embargo, debemos imaginar que toda la figura está avanzando hacia la derecha. Así mismo las variaciones del campo eléctrico y las del campo magnético están en fase entre sí; se sostiene una a la otra debido a que los campos magnéticos de variación sinusoidal producen campos eléctricos de variación sinusoidal y viceversa. El campo eléctrico siempre es perpendicular al campo magnético, y ambos campos son perpendiculares a la dirección de propagación. La onda es transversal.

II. DEFINICIÓN: Las leyes de Maxwell, o mejor llamadas ecuaciones de Maxwell, son demostraciones y descubrimientos que explican todos los fenómenos electromagnéticos. Éstos los realizó el físico británico James Clerk Maxwell, quien luego de años de experimentos y análisis sobre electricidad y magnetismo, se plantea que las ondas pueden viajar a través de campos eléctricos y magnéticos a la velocidad de la luz. Dicho planteamiento se regiría por cuatro leyes de electricidad y magnetismo, las cuales ya habían sido descubiertas por Gauss, Ampere y Faraday.

En sí, Maxwell, con sus análisis y experimentos, descubre que si un campo eléctrico es variable en el tiempo, éste crea un campo Magnético, fue un gran paso en su época debido a que sólo se sabía que la corriente eléctrica generaba un campo magnético. A través de este descubrimiento Maxwell introduce nuevos conceptos a la física como lo son: campo electromagnético y corriente de desplazamiento. En donde el primero se referiría a que una onda eléctrica siempre es acompaña por una onda magnética, es decir, que la propagación de éste campo está compuesto por dos partes, una correspondiente a la parte eléctrica y la otra a la Magnética, tal como lo indica la figura: Y el segundo concepto: “corriente de desplazamiento”, se describe como la variación de un flujo eléctrico que genera un campo magnético como si fuese una especie de corriente eléctrica. Matemáticamente se define como el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada.

III. LEYES DE MAXWELL 3.1 Ley de Gauss para la electricidad Es un procedimiento alternativo para calcular campos eléctricos. Se basa en el hecho de que la fuerza electrostática fundamental entre dos cargas puntuales es una ley inversa del cuadrado. Además sirve como guía para comprender problemas más complicados.

3.1.1 Flujo Eléctrico Es la medida del número de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie. Si el campo eléctrico es uniforme y hace un ángulo

con la

normal a la superficie. 3.1.2 La Ley de Gauss Indica que el flujo eléctrico neto c, a través de cualquier superficie gaussiana es igual a la carga neta encerrada en la superficie dividida por "0: Utilizando la ley de Gauss, uno puede calcular el campo eléctrico debido a varias distribuciones de carga simétricas. 3.1.3 Campos Eléctricos Típicos Calculados Utilizando La Ley De Gauss Esfera aislante de radio R densidad de carga uniforme y carga total Q Con r > R Con r < R Cascarón esférico delgado de radio R y carga total Q Con r > R Con r < R Líneas de carga de longitud infinita y carga por unidad de longitud Afuera de la línea de carga Plano infinito no conductor cargado con carga por unidad de área 3.1.4 Conductores En Equilibrio Electrostático Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades: Ö El campo eléctrico es cero en cualquier punto del interior del

conductor. Ö Cualquier exceso de carga sobre un conductor aislado se localiza

enteramente sobre su superficie.

Ö El

campo

eléctrico

precisamente

afuera

del

conductor

es

perpendicular a su superficie y tiene una magnitud de 0, donde es la carga por unidad de área en el punto. En un conductor de forma irregular, la carga tiende a acumularse donde el radio de curvatura de la superficie es más pequeño, es decir, donde: PROPIEDADES DE LAS CARGAS ELÉCTRICAS  Existen dos clases de cargas en la naturaleza, con la propiedad de que las cargas de signos contrarios se atraen, cargas del mismo signo se repelen.  La carga eléctrica siempre se conserva.  La carga está cuantiada, es decir, existen paquetes discretos que son múltiplos enteros de la carga del electrón. Q = N · e  La fuerza entre las cargas varía inversamente al cuadrado de la distancia que las separa. 3.2 Ley de Gauss para el Magnetismo Al igual que para el campo

eléctrico, existe

una ley de Gauss para e

Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas diferencial y integral.

3.2.1 Forma diferencial Para calcular la divergencia del campo magnético, se parte de la ley de Biot y Savart para una distribución de corriente de volumen

y, operando se llega a que puede escribirse como

de donde es inmediato que

esto es, el campo magnético es

un campo solenoidal: carece de fuentes escalares. Por analogía con el caso eléctrico, denominamos a esta ecuación Ley de Gauss para el campo magnético. 3.2.2 Forma Integral La ley de Gauss para el campo magnético equivale a decir que el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es nulo,

La demostración es inmediata a partir de la forma diferencial, sin más que aplicar el teorema de Gauss

3.2.2.1 Significado geométrico El que el flujo se anule para cualquier superficie se puede interpretar como que en cada superficie cerrada entran tantas líneas de campo como entran. Ello prohíbe que las líneas de campo sean abiertas (comiencen o acaben en puntos), ya que el flujo magnético alrededor de un extremo sería no nulo.

En términos de imanes, quiere decir que no se pueden separar los Polos Norte de los Polos Sur.

3.2.3 Condiciones de salto La ley de Gauss para el campo magnético lleva aparejada su correspondiente condición de salto, para el caso de que tengamos una frontera (material o geométrica) entre dos regiones. Esta condición es

Esta condición equivale a decir que la componente normal del campo magnético es continua en cualquier interfaz.

3.3 Ley De Faraday También llamada “Ley de inducción electromagnética de Faraday”, establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rigidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde. Un conductor puede inducir una fem mediante el movimiento relativo entre el conductor y el campo magnético, Faraday descubrió que cuando un conductor corta las líneas de flujo magnético se produce una fem entre los extremos de dicho conductor. Cuanto más rápido sea ese movimiento, tanto más pronunciada será la desviación de la aguja del galvanómetro. Cuando el conductor se mueve hacia arriba a través de las líneas de flujo se puede hacer una observación similar, excepto que en ese caso la corriente se invierte. Cuando no se cortan las líneas de flujo, por ejemplo si el conductor se mueve en dirección paralela al campo, no se induce corriente alguna. El movimiento relativo entre un conductor y un campo magnético induce una fem en el conductor. La dirección de la fem inducida depende de la dirección del movimiento del conductor con respecto al campo. La magnitud de la fem es directamente proporcional a la rapidez con la que el conductor corta las líneas de flujo magnético. La magnitud de la fem es directamente proporcional al número de espiras del conductor que cruza las líneas de flujo.

Dónde: E = fuerza electromotriz inducida ∆ф/∆t = tasa de variación temporal del flujo magnético ф. La dirección de la fuerza electromotriz (el signo negativo en la formula) se debe a la ley de Lenz.

Se induce una fem cuando un alambre se mueve perpendicularmente al campo magnético.

De las observaciones realizadas experimentalmente se puede afirmar lo siguiente: Ö Un conductor puede inducir una fem mediante el movimiento relativo entre el

conductor y el campo magnético. Ö El movimiento relativo entre un conductor y un campo magnético induce una

fem en el conductor. Ö La dirección de la fem inducida depende de la dirección del movimiento del

conductor con respecto al campo. Ö La magnitud de la fem es directamente proporcional a la rapidez con la que

el conductor corta las líneas de flujo magnético. Ö La magnitud de la fem es directamente proporcional al número de espiras

del conductor que cruza las líneas de flujo. LA LEY DE FARADAY ES LA SIGUIENTE "La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la velocidad de variación del flujo magnético a través del circuito." Para una sola vuelta, esto puede ser expresado por:

Por lo tanto una fem puede ser producido por el cambio B (fem inducida), o cambiando la zona. Ahora vamos a considerar fem de movimiento de campo. Considere un conductor que se mueve directamente una velocidad a través de un magnética:

Un campo eléctrico se inducirá a cada lado del conductor. Esto se debe a que los electrones experimentan una fuerza a lo largo del conductor dado por:

Este es el producto cruzado de nuevo. Si la barra en movimiento es parte de un circuito cerrado, tenemos la situación ilustrada en el applet de abajo. Si la distancia entre los rieles es l, la velocidad de la barra es v y la fuerza del campo magnético B, el EMF es (nótese que lv = dA / dt):

Pruebe a cambiar los parámetros y ver cómo la bombilla brilla con mayor intensidad cuando la fuerza del campo magnético es mayor.

3.4 Ley De Ampère La ley que nos permite calcular campos magnéticos a partir de las corrientes eléctricas es la Ley de Ampère. Fue descubierta por André - Marie Ampère en 1826 y se enuncia:

La integral del primer miembro es la circulación o integral de línea del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada, y: μ0 es la permeabilidad del vacío dl es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto IT es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la trayectoria, y será positiva o negativa según el sentido con el que atraviese a la superficie. 4.1.1 Campo magnético creado por un hilo infinito Como aplicación de la ley de Ampère, a continuación se calcula el campo creado por un hilo infinito por el que circula una corriente I a una distancia r del mismo. Las líneas del campo magnético tendrán el sentido dado por la regla de la mano derecha para la expresión general del campo creado por una corriente, por lo que sus líneas de campo serán circunferencias centradas en el hilo, como se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura.

Para aplicar la ley de Ampère se utiliza por tanto una circunferencia centrada en el hilo de radio r. Los vectores y dl son paralelos en todos los puntos de la misma, y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de la trayectoria. La integral de línea queda:

Empleando la ley de Ampère puede calcularse el campo creado por distintos tipos de corriente. Dos ejemplos clásicos son el del toroide circular y el del solenoide (*), cuyos campos se muestran en la siguiente tabla.

Toroide circular

Solenoide ideal*

(*)Un solenoide ideal es una bobina de longitud grande cuyas espiras están muy juntas. En la expresión del campo magnético que crea, n es el número de espiras por unidad de longitud.

CONCLUSIONES

James Clerk Maxwell resumió las propiedades conocidas de los fenómenos eléctricos y magnéticos en cuatro leyes.

La primera ley relaciona el campo eléctrico E que atraviesa una superficie A con la carga eléctrica Q contenida dentro de la superficie. (Ley de Gauss) La segunda ecuación relaciona el campo magnético B que atraviesa una superficie A con la carga magnética contenida en la superficie, y afirma que dicha carga es nula. La tercera ecuación describe dos formas de inducir un campo magnético B en una espira circular l. Una de ellas implica el movimiento de cargas en una corriente eléctrica É, y la otra implica un flujo eléctrico variable. (Ley de Ampère) La cuarta ecuación describe la forma de inducir un campo eléctrico E mediante un flujo magnético variable. La variación de un flujo depende de la variación del campo (E o B) y de la superficie A atravesada por el mismo. (Ley de Faraday)

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS



Lecciones de Física, Volumen II: Electromagnetismo y materia, Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands. México: Pearson Educación, 1998-2000.



Biografía de la Física. George Gamow, 1ª ed., 6ª reimp. Madrid: Alianza, 1998.



http://www.lawebdefisica.com/dicc/maxwell/



http://www.upv.es/antenas/Tema_2/Ecuaciones_maxwell.htm