Informe Final de Jimmy

 

 

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA   INFORME FINAL PARA OPTAR AL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS REGUL RES L

INVERSIÓN EN EL DISCO DE POINC RÉ

Autor: Br. Jimmy Alejandro Torres Chávez.  Chávez.   Tutora: Dra. Pilar Angelina Marín Ruiz.  Ruiz. 

FECHA: 16 de DICIEMBRE del 2020

TR VÉS DE

 

DEDICATORIA  A mis padres por su paciencia y apoyo incondicional.

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AGRADECIMIENTOS  Agradezco profundamente al Cristo de la glori gloria a po porr sacarme de las tinieblas a su luz y por haber puesto en mí la determinación de culminar la carrera.  A mi tutora Dra. Pilar Angelina Marín, por no dudar en recibir la propuesta de esta investigación y asesorarme de principio a fin.  A cada persona que ha edificado mi formación social y profesional.

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CARTA AVAL DEL TUTOR El tema abordado en esta Tesis, Construcción de triángulos y polígonos regulares a través de la inversión en el disco de Poincaré , refleja el proceso del estudio del quinto postulado de Euclides, que marcó el comienzo de las geometrías no euclidianas. Este trabajo puede ser tomado como insumo para mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje en el área de Geometría. También contribuirá en las transformaciones curriculares que se están dando en la universidad, ya que aporta un granito en esta transformación, por el uso de un software que permite una mejor interacción del estudiante en su proceso de enseñanza aprendizaje.

Felicito al bachiller Torres Chávez, por el trabajo que ha realizado con una enorme dedicación, como me consta desde que comenzó a trabajar en este tema. Espero que siga cosechando muchos éxitos y Dios nuestro señor Jesucristo lo guíe en su caminar y la Virgen María lo proteja siempre.

El bachiller Torres Chávez, entiende el sentido del problema planteado, y creo sinceramente que su trabajo tiene nivel más que suficiente para alcanzar el grado deseado, como un paso más en su formación académica.

Managua, 17 de noviembre del 2020

Dra. Pilar Angelina Marín Ruiz Profesora Titular Departamento de Matemática y Estadística

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i.

RESUMEN

La geometría euclidiana es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios que cumplen con los axiomas de Euclides. También se define como aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides. En este trabajo se utilizan construcciones euclidianas elementales junto con algunas propiedades de la geometría inversiva para elaborar regla y compás hiperbólico, con el fin de construir triángulos y polígonos regulares en el disco de Poincaré. En la primera parte del capítulo dos se da un repaso de la inversión geométrica y sus aplicaciones, para posteriormente vincular las propiedades de esta herramienta euclidiana con la geometría hiperbólica. De los cuatro modelos más conocidos (Modelo de Weierstrass, Modelo de Beltrami-Klein, El disco de Poincaré y El semiplano de Poincaré) se trabaja en el disco bidimensional En la segunda parte se exponen los axiomas de orden, incidencia, congruencia, continuidad y paralelismo que sostienen la teoría de esta geometría. Además, se explica de manera visual la relación de los modelos hiperbólicos como una subgeometría del plano proyectivo y se definen las transformaciones de Möbius que describen los movimientos rígidos en el disco.

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Se inicia construyendo triángulos hiperbólicos al final del capítulo dos (ya que los polígonos pueden ser divididos en 2 triángulos) donde se verá que la suma de sus ángulos interiores es menor que 180° (en la geometría esférica la suma de los ángulos internos es mayor que 180°). Además, se estudian propiedades de cuadriláteros especiales como los de Saccheri y de Lambert en el plano hiperbólico y se enuncian las condiciones necesarias para la construcción de polígonos inscritos. La métrica , = ln , ; , hiperbólica utilizada es   pero también se presentan sus equivalencias en términos trigonométricos. En el capítulo cuatro se detallan métodos sintéticos para construir ángulos, rectas paralelas, perpendiculares, polígonos regulares convexos, mediatrices entre otros.

        

Este trabajo permitirá a los estudiantes introducirse a la geometría hiperbólica y hacer las construcciones necesarias para una mejor asimilación del contenido.

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ÍNDICE DEDICATORIA ...........................................................................................................................................2 AGRADECIMIENTOS .................................................................................................................................3 CARTA AVAL DEL TUTOR ..........................................................................................................................4 i. RESUMEN.................................................... .......................... ................................................... ................................................... ................................................... ..................................5 .........5 ÍNDICE .....................................................................................................................................................6 I. CAPÍTULO 1 ...........................................................................................................................................9 1.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................................................................9 1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................................ 11 1.3 JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................................. 12 1.4 OBJETIVOS.................................................................................................................................... 13 1.4.1 OBJETIVO GENERAL: ............................................................................................................. 13 1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ...................................................................................................... 13 II. CAPÍTULO 2 ........................................................................................................................................ 14 2. 1 ANTECEDENTES ........................................................................................................................... 14 2.2 MARCO TEÓRICO .......................... ................................................... .................................................... .................................................... ............................................ ................... 16 2.2.1 REFLEXIONES EUCLIDIANAS EUCLIDIANAS E INVERSIÓN GEOMÉTRICA..................... GEOMÉTRICA............................................... ................................... ......... 16 2.2.2 ÁNGULO ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS Y CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES............. ORTOGONALES...................... ......... 19 2.2.3 INVERSIÓN DE CIRCUNFERENCIAS, RECTAS Y RAZÓN DOBLE O CRUZADA. ............................. ........................ ..... 20 2.2.4 POLO, RECTA POLAR E INVERSIÓN QUE PONE CONCÉNTRICAS CONC ÉNTRICAS DOS CIRCUNF CIRCUNFERENCIAS. ERENCIAS. ....... 21 2.2.5 PRODUCTO Y DISTANCIA INVERSIVA ENTRE CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS ............................................ ............................... ............. 24 2.2.6 APLICACIONES DE LA INVERSIÓN .......................................................................................... 25 2.2.7 EL MODELO DEL DISCO DE POINCARÉ, AXIOMAS Y RECTAS. .................................................. ....................... ........................... 29 2.2.8 RECTAS PARALELAS, ÁNGULOS Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. ........................................ ........................... ............. 34 2.2.9 RELACIÓN DEL DISCO DE POINCARÉ CON LOS MODELOS DE KLEIN Y EL SEMIPLANO SUPERIOR.   ..................................................................................................................................................... 39 2.2.10 PUNTOS IDEALES, HOROCICLOS Y CURVAS EQUIDISTANTES. EQUIDISTANTES. ............................................... ...................................... ......... 40 2.2.11 RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMACIÓN DE MÖBIUS Y LA INVERSIÓN. ............................... .......................... ..... 45 2.2.12 ISOMETRÍAS HIPERBÓLICAS. ............................................................................................... 48 2.2.13 POLÍGONOS HIPERBÓLICOS ................................................................................................ 53 6 

 

2.3 MARCO CONCEPTUAL................................................................................................................... 67 2.3.1 INVERSIÓN GEOMÉTRICA. GEOMÉTRICA.................................................. ....................... ................................................... ................................................... ............................ 67 2.3.2 CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS. ....................................................................................... 67 2.3.3 GEOMETRÍA HIPERBÓLICA. ................................................................................................... 67 2.3.4 MODELOS EUCLÍDEOS DE LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA. ...................................................... 68 2.3.5 GEOMETRÍA DINÁMICA. ....................................................................................................... 68 2.3.6 GEODÉSICA. .......................................................................................................................... 68 2.3.7 POLÍGONO HIPERBÓLICO CONVEXO...................................................................................... 68 2.3.8 PARALELISMO. ...................................................................................................................... 69 2.3.9 V POSTULADO DE EUCLIDES. ................................................................................................. 69 2.3.10 GEOGEBRA ......................................................................................................................... 70 2.3.11 CARMETAL .......................................................................................................................... 70 III. CAPÍTULO 3 ....................................................................................................................................... 71 3.1 DISEÑO METODOLÓGICO ............................................................................................................. 71 IV. CAPÍTULO 4 ....................................................................................................................................... 72 4.1 ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS ............................................... ..................... ................................................... ........................................ ............... 72

         

4.1.1 RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS  Y  EN

. .................................................................. 74

4.1.2 ENCONTRAR EL PUNTO MEDIO DE D E UN SEGMENTO 4.1.3 MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO SEGMENTO

 EN

 EN . ............................................... 75

............................................................................... 75

4.1.4 RECTA HIPERBÓLICA PERPENDICULAR A UNA RECTA DADA, DESDE UN P UNTO EXTERIOR A LA MISMA. ......................................................................................................................................... 76 4.1.5 ÁNGULO HIPERBÓLICO  DADO SU VÉRTICE . .................................................................... 77 4.1.6 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO HIPERBÓLICO . ..................................................................... 78 4.1.7 DISTANCIA HIPERBÓLICA ENTRE DOS PUNTOS  Y . ........................................................... 79



    

        

4.1.8 CIRCUNFERENCIA HIPERBÓLICA DADO SU CENTRO  Y UN PUNTO . .................................. 80



4.1.9 ROTAR UN SEGMENTO SEGMENTO HIPERBÓLICO  DADO SU CENTRO DE ROTACIÓN  Y EL ÁNGULO .   ..................................................................................................................................................... 80 4.1.10 ENCONTRAR EL CENTRO HIPERBÓLICO DE UNA CIRCUNFERENCIA. ..................................... 82 4.1.11 CIRCUNFERENCIA HIPERBÓLICA DADO SU CENTRO  Y SU RADIO . ................................... 82 4.1.12 TRIANGULO HIPERBÓLICO DADOS SUS ÁNGULOS ,  Y  CON UNO DE SUS VÉRTICES EN EL ORIGEN. ........................................................................................................................................ 84 4.1.13 TRIÁNGULO CON UN VÉRTICE IDEAL. .................................................................................. 85 7 

 

4.1.14 TRIÁNGULO CON ÁNGULOS CUALESQUIERA Y NINGUNO DE SUS VÉRTICES EN EL ORIGEN. . 86 4.1.15 INCÍRCULO DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES

  

.................................................................. 87

4.1.16 ARBELO HIPERBÓLICO A PARTIR DE UNA RECTA

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. .......................................................... 88

4.1.17 PENTÁGONO REGULAR CON ÁNGULO  DADO ENTRE BORDES ADYACENTES EN EL DISCO DE POINCARÉ. .................................................................................................................................... 89 4.1.18 HEXÁGONO HIPERBÓLICO RECTÁNGULO A PARTIR P ARTIR DE UN H HEXÁGONO EXÁGONO EUCLIDIANO. .......... 89 CONSTRUCCIONES CONSTRUCCIO NES USANDO COMPÁS Y REGLA HIPERBÓLICA. ....................................................... .............................................. ......... 90

   

4.1.19 TRIÁNGULO EQUILÁTERO DADO EL SEGMENTO S EGMENTO

. ........................................................... 91

4.1.20 HEXÁGONO HIPERBÓLICO REGULAR A PARTIR DE TRIÁNGULO EQUILÁTERO. ...................... 91 4.1.21 CUADRILÁTERO CON ÁNGULOS INTERIORES  ,  ,  Y . ................................................... 92 4.1.22 CUADRILÁTERO HIPERBÓLICO DE LAMBERT. LAMBERT. ................................................. ....................... ................................................ ...................... 92 4.1.23 PARALELAS ASINTÓTICAS USANDO USANDO UN CUADRILÁTERO DE LAMBERT LAMBERT... .............................. ............................... .... 93 4.1.24. CUADRILÁTERO HIPERBÓLICO DE SACCHERI....................................................................... 94 4.1.25 DADO EL CÍRCULO  Y UN PUNTO  EXTERIOR, CONSTRUIR LAS TANGENTES A  A TRAVÉS DE . .................................................................................................................................................. 95

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          

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4.1.26 DADO EL CÍRCULO  EN EL PLANO HIPERBÓLICO (CON CENTRO ) Y LA RECTA . CONSTRUIR LAS LÍNEAS PERPENDICULARES A  Y TANGENCIALES A . ............................................................. 95

4.1.27 DADOS DOS CÍRCULOS AJENOS  Y  , CON RADIOS IGUALES CONSTRUIR SUS TANGENTES EXTERNAS E INTERNAS COMUNES. ................................................................................................ 96 4.1.28 CENTRO DE HOMOTECIA  PARA DOS CÍRCULOS HIPERBÓLICOS AJENOS PARA CUANDO UNO ES CONSIDERABLEMENTE CONSIDERABLEMENTE GRANDE EN RELACIÓN AL OTRO. .......................................................... ........................................ .................. 97 4.1.29 DADOS LOS CÍRCULOS AJENOS  Y  DEL CASO ANTERIOR, Y SU CENTRO EXTERNO DE HOMOTECIA CONSTRUIR CONSTRUIR SUS TANGENTES EXTERNAS COMUNES. ................................................. ........................... ...................... 98 4.1.30 PARALELOGRAMO DADO UN TRIÁNGULO

. .................................................................. 99



4.1. 31 CÍRCULOS QUE SON TANGENTES ENTRE SI MISMOS Y A UNA LÍNEA . ............................... .......................... ..... 99 CAPÍTULO 5.................................................... ........................... ................................................... ................................................... ................................................... ................................... ......... 100 5.1 CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 100 5.2 RECOMENDACIONES .................................................................................................................. 103 5.4 ANEXOS ...................................................................................................................................... 106

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I. CAPÍTULO 1 1.1 INTRODUCCIÓN Desde la antigüedad, el quinto postulado de Euclides atrajo la atención de los estudiosos. Algunos creyeron que la declaración era demasiado y trataron de proponer equivalentes, compleja pero más simples. Otros tenían la duda deformulaciones que el quinto postulado no era en realidad un postulado, pero que era consecuencia lógica de los primeros cuatro, y se dedicaron a la búsqueda de una demostración. Entre las muchas formulaciones alternativas del quinto postulado recordamos las siguientes: - La suma de los ángulos internos de un triángulo es un ángulo llano. - Dos rectas que se cruzan no pueden ser paralelas a una tercera.

(Joseph Fenn, 1769) - Desde un punto externo a una línea recta podemos pasar una única paralela a la línea recta dada.

(John Playfair, 1795) El postulado de Playfair es la versión normalmente utilizada en los textos modernos. Entre los numerosos intentos de probar el quinto postulado de Euclides, se considera el más significativo, debido a Gerolamo Saccheri (1667 - 1733) quien comienza su demostración construyendo un cuadrilátero particular: considera un segmento  y traza, en el mismo lado de   , dos segmentos iguales  y   perpendiculares a  ; luego une  con . Inmediatamente prueba que los ángulos

   

 

y

 son iguales entre sí. En este punto hay tres posibilidades:   Los ángulos  y  son obtusos (hipótesis del ángulo obtuso).

∠ 

 ∠∠ ∠∠   ∠ ∠

  Los ángulos

 y

 son agudos (hipótesis del ángulo agudo).

  Los ángulos

 y

 son rectos (hipótesis del ángulo recto).





 

∠

Empieza a examinar la hipótesis del ángulo obtuso y se da cuenta de que, aceptando la hipótesis del ángulo obtuso, las rectas deben tener necesariamente longitud finita y esto para Saccheri debe excluirse. Luego pasa a la segunda posibilidad. Supone que la hipótesis del ángulo agudo es válida y comienza a desarrollar las consecuencias de esa hipótesis, construyendo en cierto sentido un embrión de geometría hiperbólica.

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Después de muchas páginas de trabajo, está en una situación tan extraña para sus ojos que le hace pensar que es absurda. Convencido (erróneamente) de haber encontrado una contradicción, también excluye la hipótesis del ángulo agudo. Por tanto, concluye que los ángulos tienen necesariamente la razón que es equivalente al quinto postulado de Euclides. El trabajo de Saccheri fue cuidadosamente estudiado en las décadas siguientes por muchos eruditos (Lambert, Schweikart, Taurinus) que se dieron cuenta de que Saccheri de hecho, no había encontrado una contradicción y que profundizó el estudio de la geometría correspondiente a la hipótesis del ángulo obtuso y del ángulo agudo. El gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss estudió la geometría del ángulo agudo en profundidad, postulando la existencia de infinitas paralelas. Sin embargo, no publicó los resultados de su investigación porque temía crear escándalo sin ser entendido. El ruso Nikolai Lobachevsky, llegó independientemente a las mismas conclusiones de Gauss: si se sustituye el quinto postulado de Euclides con la existencia de infinitas paralelas, se obtiene geometría diferente a la euclidiana, pero igualmente válida. Para la misma época, un joven

oficial húngaro, János Bolyai, hijo de un matemático, también estaba lidiando con el postulado de las paralelas y se dio cuenta que la geometría del ángulo agudo no era inconsistente. Bolyai publica (en 1832- 1833), como apéndice de un libro de su padre, una obra titulada La ciencia del espacio absoluto  en el que llegó a conclusiones sustancialmente idénticas a las de Lobachevsky. Para Gauss, Bolyai y Lobachevsky, la geometría hiperbólica, era pura especulación. El problema de la coherencia seguía abierto hasta que pudiera ser encontrado un modelo. El matemático italiano Eugenio Beltrami (1835 - 1900), profesor de las universidades de Bolonia, Pisa y Roma, se dio cuenta de que las superficies con curvatura constante distintas de cero son espacios no euclidianos y que en particular la pseudoesfera es la única superficie con curvatura constante negativa inmersa en el espacio euclidiano tridimensional. La pseudoesfera es por tanto un modelo de una porción limitada del plano hiperbólico. El alemán Félix Klein (1849 - 1925) y el francés Henry Poincaré (1854 - 1912) inventaron dos modelos completos del plano hiperbólico y así definitivamente resolvieron el problema de coherencia para la geometría hiperbólica.

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1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El doctor Lajos Szilassi catedrático en la universidad de Szeged, Hungría, afirma que el aumento a nivel mundial de software para la construcción de polígonos hiperbólicos, confirma la necesidad de estudiar más en las aulas de hoy esta geometría para enfrentar los futuros ajustes didácticos o técnicos que surjan en estas aplicaciones.  Actualmente en Australia el especialista en geometría hiperbólica y topología de variedades, Henry Segerman, se dedica a ilustrar la complejidad de la geometría y la topología tridimensional a través de la escultura, usando técnicas de impresión en 3D. Otros han usado las construcciones de polígonos en el modelo del disco como base para el diseño artístico, el más famoso es Maurits Cornelis Escherde Bélgica (18981972),   aunque recientemente hay ejemplos bidimensionales que se pueden encontrar 1972), en las obras de arte de Douglas Dunham(profesor del departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad de Minnesota ), Helaman Ferguson (artista digital),  Craig S. Kaplan (profesor en la universidad de Waterloo, Canadá), Irene V. Rousseau (artista estadounidense ) , Carlo Heinrich Séquin (profesor en la  Universidad de California) , , entre otros. California) En la región centroamericana se encontró que universidades como; la Universidad de El Salvador y la Escuela de Ciencias Exactas en Costa Rica preparan a sus estudiantes de matemática con dos semestres de geometría euclidiana antes de iniciar un curso intensivo de geometrías no euclidianas. En Nicaragua la Universidad Católica (UNICA) aunque ofrece cuatro semestres de geometría euclidiana en la carrera de matemática, excluye la geometría no euclidiana de su pensum. Universidades públicas de prestigio como la UNAN  – León y la UNAN  –  Managua eliminaron la geometría no euclidiana de la carrera antes mencionada, la primera lo hizo en el 2019 y la segunda en el 2013. Lo anterior abona a los escases de conocimiento en estageométrica temática ade nivel lo que a largo plazociencia. podría limitar la visión y comprensión los nacional, futuros profesionales en esta En la nueva transformación 2020, que se está realizando en la UNAN- Managua se introduce nuevamente la geometría no euclidiana, es por eso que este trabajo servirá al docente para introducir la geometría a través de métodos más interactivos y accesible a los estudiantes, además facilita las herramientas informáticas que ofrece Geogebra para hacer una clase más amena y comprensible y así responder a la pregunta: ¿Cómo realizar construcciones de triángulos y polígonos regulares a través de la inversión en el disco de Poincaré?

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1.3 JUSTIFICACIÓN  Ante la proliferación de variedades de virus y la inseguridad social a nivel mundial mundial no se descarta la posibilidad de un aumento en el desarrollo y manipulación de tecnologías en Nicaragua para interactuar con fines educativos o comerciales. Esto confronta el papel que están jugando las instituciones educativas en la formación de profesionales y técnicos para enfrentar nuevos retos. La construcción de polígonos hiperbólicos es más que un ejercicio mental, es un campo de estudio en crecimiento ya que ha hecho aportes en descripción de movimientos de planetas, la pintura artística, estudio molecular, aplicaciones virtuales, entre otros. La información disponible de geometría hiperbólica es variada, a veces muy superficial y otras demasiado compleja, tanto que exige al lector conocimientos relacionados con topología, variable compleja, cálculo de variaciones, geometría diferencial e incluso teoría de grupos. Esto muestra la necesidad de un estudio donde se detallen los pasos para realizar las principales construcciones geométricas en el disco y que a la vez sirva como material didáctico para docentes o estudiantes interesados en esta disciplina. Muchas veces el principiante comienza de forma animada las construcciones, pero al no tener un respaldo teórico- práctico, abandona su tarea inicial o termina frustrándose al no llegar a los resultados. Una metodología utilizada para la enseñanza de la geometría euclidiana es la de “aprender viendo, haciendo y manipulando ”, que fomenta en la mente la noción de formas y métodos de construcción, para posteriormente poder comprender una base axiomática. Esta técnica es la que se pretende usar en esta investigación.

Indiscutiblemente cualquier curso de geometría exige disciplina y dedicación, pero se espera que los beneficios que el lector pueda adquirir sean: 1.

Mayor apreciación de la geometría hiperbólica.

2.

Destreza en el uso de programas como Geogebra, Cinderella o CarMetal.

3.

Mayor conocimiento en construcciones geométricas euclidianas y no euclidianas.

4.

Creatividad geométrica.

5.

Habilidad para entender y transmitir ideas en el plano hiperbólico.

12 

 

1.4 OBJETIVOS 1.4.1 OBJETIVO GENERAL: Construir triángulos y polígonos regulares en el disco de Poincaré a través de las propiedades de la inversión para visualizar el comportamiento de los objetos en el plano hiperbólico.

1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

 

Exponer la relación entre la geometría euclidiana y el modelo del disco de Poincaré.  

Explicar el plano hiperbólico por medio de un círculo euclidiano como modelo.

 

Aplicar regla, compás euclidiano e hiperbólico que facilite la construcción de elementos geométricos en el disco de Poincaré.  

Conocer la importancia de la inversión geométrica en la descripción de modelos abstractos como el disco de Poincaré.  

Establecer una interrelación entre los métodos de construcciones geométricas euclidianas con las propiedades que ofrecen los programas Geogebra y CarMetal para una mejor percepción de objetos hiperbólicos.

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II. CAPÍTULO 2 2. 1 ANTECEDENTES Construcciones con regla y compás en la geometría de Lobachevsky usando el modelo de Poincaré.   (   Autor: Darwing José Mena Gutiérrez, 24 páginas, Nicaragua,

2012). En este artículo diseñado para un seminario de estudiantes de secundaria el autor presenta las construcciones geométricas de rectas, mediatrices, bisectrices, mediana, incentro, circuncentro y ortocentro hiperbólico para demostrar que algunas entidades euclidianas existen en el m modelo odelo del disco usando regla y compás. compás.

G eom eomet etrí ría a del Pla Plano no H Hiperbólico iperbólico  (Autora: Azul Lihuen Fatalini, 89 páginas, Argentina,

2019). En esta tesis la autora estudia la geometría del plano hiperbólico siguiendo un esquema axiomático similar al de la geometría euclídea. Ambas geometrías coinciden en sus bases, salvo por reemplazar el axioma de las paralelas o Postulado V de Euclides. Este cambio genera una geometría muy rica, que abre un nuevo mundo en donde los triángulos tienen suma de ángulos interiores menores que 180°, existen rectas paralelas asintóticas y hay pentágonos con todos sus ángulos rectos. Usa el modelo del semiplano superior para desarrollar los elementos básicos: distancia, trigonometría, área y circunferencias. Para concluir, hace una breve mención de los hexacuadros, que son una generalización de los hexágonos rectangulares en el espacio hiperbólico.

 (Autora: Elena G eom eomet etrí ría a hiperbólica: D es arrollo arrollo de herram herramienta ientass en G Gras ras s hopper  (Autora: Rosas Bellido, 93 páginas, España, 2019). En esta investigación la autora busca crear un paquete de herramientas hiperbólicas en Grasshopper extensión del programa de diseño Rhinoceros. Para ello hace una breve historia de las geometrías no euclidianas y una introducción de las principales propiedades de de los modelos modelos de la geometría hiperbólica. Concluye exponiendo veintiuna herramientas que permiten la elaboración de dibujos en el disco de Poincaré de una manera directa.

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Plano Hiperbólico y Aplicaciones   (Autor: Erick Andrés Arguello Cruz, 75 páginas,

Ecuador, 2017). En este escrito se hace un análisis del plano hiperbólico y su comportamiento en contraste con la geometría euclidiana. Para esto, se parte del modelo del Plano de Poincaré y se calculan sus respectivas geodésicas, las mismas que se utilizan para verificar el por qué de la falsedad del quinto postulado de Euclides en esta superficie. Incluso se muestra que el número de geodésicas paralelas a una recta dada son infinitas. Se hacen cálculos relevantes que presentan la equivalencia entre los 4 modelos que describen de distintas formas el plano hiperbólico. En el último capítulo se construyen con detalle distintas teselaciones en el semiplano y en el disco de Poincaré.

El plano hiperbólico: historia y fundamentos   (Autor: Juan Manuel Márquez

Escudero, 44 páginas, España, 2016). En este trabajo se presentan tres modelos de Geometría Hiperbólica plana, describiendo dos de ellos (modelo del disco de Poincaré y modelo de Klein-Beltrami) y estudiando en profundidad el modelo del semiplano superior de Poincaré. Inicia dando un repaso a la historia de la Geometría con el fin de llegar a la Geometría Hiperbólica plana. En la segunda parte nos introduce en la descripción de propiedades de los modelos del disco de Poincaré y Klein-Beltrami como distancias y posiciones relativas de rectas, dando también una equivalencia entre ellos. En segundo lugar, además de longitudes, distancias, posiciones relativas y áreas de triángulos nos muestra el concepto de isometría para el modelo del semiplano superior de Poincaré, estudiando a su vez algunas (como traslaciones, rotaciones y reflexiones). 

Teselaciones en el plano hiperbólico   (Autora: María Teresita Carrión Rebellato, 37

páginas, Uruguay, 2016). En esta tesis la autora expone de forma breve las principales características de los modelos hiperbólicos de Weierstrass, Beltrami  – Klein, el disco de Poincaré, el semiplano de Poincaré y la función que ejercen las transformaciones de Möbius. Explica las propiedades de la métrica en el disco de Poincaré para terminar el último capítulo con algunas teselaciones en el disco.  

15 

 

2.2 MARCO TEÓRICO 2.2.1 REFLEXIONES EUCLIDIANAS E INVERSIÓN GEOMÉTRICA

ℒ ℒ ∈  ∈  

   ∈ ℒ

Sea    una línea en el plano euclidiano 2  y radio > 0. punto

2  y

  una circunferencia con centro en un

2  que a Definición 1: Una reflexión con respecto de  es una transformación : 2 2  tal que el segm 2 , le asigna un punto ´ segmento ento ´ es ortogonal a la cada punto línea  y es bisecado por esta (figura 1).

ℒ  → 

∘   →  ℒ   ℒ ℒ    ∘ ℒ ℒ ≔ ℒ ℒ ℒ ℒ′ℒ′  ℒ   →  ℒ  ∈ ℒ ℒ    ≔  ∘  ℒ ℒ ℒ ℒ ≔  ℒ ℒ ℒ− ≔ ℒ ℒ ℒ 2   también es una : 2 Si ′   es otra línea en 2 , entonces la composición ′  transformación del espacio euclidiano 2   que está bien definida y dada por ´ ). ´(

Las líneas   y   pueden ser paralelas o bien pueden intersecarse, dependiendo de esto, la composición definirá dos tipos distintos de transformaciones elementales del espacio 2 . Las siguientes propiedades de las reflexiones se tienen de manera inmediata:

1) La línea  queda fija bajo la reflexión ; es decir, si  entonces 2 2 2) Si denotamos por :   a la transformación identidad, esto es, transformación que deja a todos los puntos de 2  fijos. Definimos 2 es decir 2 .  3) A la transformación 2  se le llama involución. 4)  es invertible (por la propiedad anterior) y su inversa es 1 .

= .    es la

Definición 2: La reflexión de una línea con respecto a  es una línea. La reflexión de una circunferencia con respecto a  es una circunferencia.

16 

 

 

   ℒ       ℒ    ℒ       ′    →     ∈     ∈        ′∈′ ∈  ∙′       

 y  se intersecan en un punto , entonces sus reflexiones Teorema 1: Si dos líneas  y con respecto de   también se intersecan en el punto ′   (inverso de ) y forman el mismo ángulo que el comprendido entre  y  y .

Si dos circunferencias  y  se intersecan, entonces sus reflexiones con respecto de   también se intersecan y con el mismo ángulo que el comprendido entre  y . 

Observación:

La reflexión respecto de  conserva ángulos.

El ángulo en el vértice ′  va   va en dirección contraria al ángulo en el vértice ; es decir, si   (figura 2). el ángulo  se orienta de   a  entonces el ángulo ′  se   se orienta de   a  (figura Existe otro tipo de reflexiones muy importantes del plano euclidiano 2   que son respecto de una circunferencia . ′  

Definición 3: A una reflexión : llama inversión con respecto de .

2

2  con

respecto de una circunferencia , se le

2 , una circunferencia de centro  y radio . Para cada punto Definición 4: Dado 2  distinto de , el punto inverso de  respecto de  es el punto 2  que esta sobre el rayo  y que satisface la relación

=

2 

 A la circunferencia  se le llama circunferencia de inversión y a su centro  centro de inversión (figura 3). Cuando el contexto asocia a esta notación   un valor numérico, nos referimos a la distancia entre los puntos  y .

  ∈ 

         

  ′

2  un punto interior a , sea  uno de los puntos de la intersección de  con la Sea perpendicular a la recta  desde  (notar que  es radio de ). Denotemos por   el el punto de intersección de la recta  con la tangente a  desde . Por el teorema del

17 

 

△ △   ⟹   ∙  ′        ′                   ′      ∞      ≠              cateto, los triángulos   y ángulo en común. Por tanto:

´  son semejantes, por ser rectángulos con un

=

Es decir

=

2,

esto implica que

´

=

 

  ´

 es el inverso de  con respecto a .

Si el punto   es exterior a la circunferencia de inversión de radio , es decir >   entonces el inverso de  es interior a la circunferencia de inversión de radio , es decir ´ < . Por último, los puntos de la circunferencia de inversión se invierten en sí mismo, es decir, son puntos fijos de transformación.

Cuando el punto   se acerca al centro de inversión , su inverso   se aleja infinitamente de   (figura 4), es por eso que hay exactamente un punto del plano, el centro de inversión , que se queda sin imagen por la transformación. Por convención se usa que el inverso del centro  de la circunferencia  es el punto al infinito que se denota por .

Propiedad 1: Las inversiones son involutivas. Es decir, si  es una inversión, entonces 2 = . 

Sea  una circunferencia de centro  y radio . Dado cualquier punto  del exterior de la circunferencia, trazamos la perpendicular a  por el centro  y sean   y  sus dos puntos de corte con . Sea  el punto de corte entre  y  y ´ el punto de corte entre  y  . El punto ´ es el inverso de  respecto a  (figura 5).

18 

 

   ′ ′  △∼△       ⋅   



    △

 un triángulo con Proposición 1: Sea una circunferencia  con centro , y sea un vértice en  y sean  y  y  los  los respectivos inversos de  y  (figura 6) entonces: 1) 2) 3)

´=

´ ´=

2

  ; 2

´= ´ ´  .

2

 ;

2.2.2 ÁNGULO ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS Y CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES. Definición 1:  El ángulo entre dos circunferencias que se cortan en dos puntos es el ángulo que determinan las rectas tangentes a dichas circunferencias en los puntos de corte. Definición 2:  Si dos circunferencias son tangentes, es decir, se cortan en un único punto, diremos que el ángulo que determinan es 0. Definición 3: Dos circunferencias secantes ángulos rectos, y escribiremos 1 2.

1  y

2  son

   ⊥           

ortogonales cuando determinan

 

Proposición 1:  Sean   y ´  puntos inversos respecto a   y sea   cualquier circunferencia que pase por  y ´. Entonces  y  son ortogonales (figura 1).

19 

 

    ∠ ∠       



 ∠ ∠  

Proposición 2  Sean ´ y ´  puntos inversos respectivamente de   y   por una inversión respecto a una circunferencia   de centro . Entonces = ´ ´ y = ´ ´  , los puntos , , ´ y ´  son concíclicos, es decir que están en una circunferencia (figura 2). Observación:  La circunferencia de inversión y la circunferencia determinada por , , ´ y ´ son ortogonales. Si sabemos que por una inversión de centro , un punto   se transforma en un punto ´. Con , , ´  conocidos, entonces podemos construir fácilmente el transformado de cualquier otro punto , como la intersección de la recta   con la circunferencia determinada por , ´ y . Para profundizar más en las propiedades de las circunferencias ortogonales revisar [SHI84].

     

          



2.2.3 INVERSIÓN DE CIRCUNFERENCIAS, RECTAS Y RAZÓN DOBLE O CRUZADA. Teorema 1:  Las inversiones transforman circunferencias y/opasen rectas oennocircunferencias y/o rectas, según por el centro de inversión.



a) La imagen de una recta   que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia   que pasa por este centro. b) La imagen de una circunferencia   que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia  que  que no pasa por él. c) La imagen de una circunferencia   que pasa por el centro de inversión, es una recta   que no pasa por el centro. d) La imagen de una recta   que pasa por el centro de inversión es ella misma.

′′

′



′ 

Teorema 2:  La inversión es una transformación conforme, es decir, conserva la magnitud de los ángulos, aunque invierte su sentido.

20 

 

La siguiente definición es de gran importancia para definir una métrica hiperbólica.

     ∈            ∙ 

Definición 1:  Dados cuatro puntos arbitrarios , , ,   definimos la razón cruzada por: , ; ,

2   que

estan en una línea,

 

=

Teorema 3: Las inversiones conservan la razón cruzada. Demostración en [SHI84].

2.2.4 POLO, RECTA POLAR E INVERSIÓN QUE PONE CONCÉNTRICAS DOS CIRCUNFERENCIAS.

 

Definición 1:  La recta polar (a veces llamada simplemente polar) de un punto   (llamado polo) y una circunferencia   de centro   (también llamada circunferencia directora) es el eje radical de esa circunferencia y aquella cuyo diámetro es el segmento  (figura 1). Si el polo es exterior a la circunferencia, la recta polar corta a la circunferencia. Si el polo está sobre la circunferencia, la polar es la tangente a la misma. Si el polo está dentro de la circunferencia, la polar es exterior a la misma.

              



 ∠  



  

Definición 2: La polar de un punto  respecto a la circunferencia  de inversión es la perpendicular a la recta  por el punto ´ inverso de . La polar de todo punto  de la polar de , pasa por . En consecuencia el ángulo ´   es recto, para todo . Se dice que  es el polo de la correspondiente recta polar (figura 2).

 

Sean 1   y 2   dos circunferencias no concéntricas, de manera que la primera está contenida en la región acotada determinada por la segunda. Para hacer que las dos circunferencias sean concéntricas seguimos los siguientes pasos:

21 

 



′

 ∈  ′

Paso 1) Hacemos una inversión con centro en un punto cualquiera

1,



entonces 2   y 1  se transforma en una circunferencia 2  y una recta 1  respectivamente, como se muestra en la siguiente figura:

 ′ ′    ′′  ′′ ′∈′′′′′′ ′ ′   ′ ′    ′ ′ ′      ′  ′ ′ ′  ′ ′

Paso 2) Dibujamos a continuación dos circunferencias 3  y 4  ortogonales a la vez a 1  

y

2.

Para ello tomamos , 2  con la condición que no pertenezcan al diámetro de 2  perpendicular a 1 . Sean   y  respectivamente los puntos de intersección con 1   de las tangentes a 2  por   y . Entonces las circunferencias 3  (de centro  y radio ) y 4  (de centro  y  y radio ) son ortogonales a 1  y 2  y se cortan en dos puntos  y . Paso 3) Ahora ya podemos decir que cualquier inversión de centro

 transforma 1  y  y 2   en dos circunferencias concéntricas 1  y 2  . En efecto, 3  y 4  pasan a ser rectas 3  y 4   que se cortan en el punto ´, imagen de . La recta 1   se transforma en una circunferencia que pasa por   ortogonal a 3   y 4 . Por tanto, el punto ´, que es la intersección de 3  y 4  , es su centro.

22 

 

 

 

Otra forma alternativa y rápida para centrar las dos circunferencias es obtener el eje radical de 1   y 2 , luego trazamos dos circunferencias ortogonales a 1   y 2   con centros en el eje radical de forma que se intersequen en dos puntos. La inversión de 1   y 2   respecto a cualquier ci circunferencia rcunferencia centrada en un uno o de esos puntos de intersección pondrá a 1  y 2  concéntricas.





DILATACIÓN La dilatación de una circunferencia justifica la razón del por qué es posible trabajar con círculos de radios distintos de la unidad como modelos del disco de Poincaré.

 ∗      ≠ ∗  ∗ 

Definición 3: Sea ,   puntos en 2   y   un número positivo. La dilatación de una circunferencia de centro  y radio  es la transformación del plano euclidiano que fija   y mapea un punto  sobre el único punto   en  tal que =   de modo que los puntos se mueven radialmente desde   una distancia   veces su distancia original.

Definición 4: Sea 1  un círculo de radio  y centro 1 , 2  un círculo de radio  y centro 2 . Suponga que 1  esta fuera de 2  ; sea  la potencia de 1  respecto a 2 . Sea   la 2 constante de dilatación = . Entonces la inversión 2   de 2   respecto a 1   es el



   ′     ′′        ′   ′ ′′ ′  ′     ′

círculo de radio   cuyo centro 2   es la imagen de 2   , bajo la dilatación de 1   con radio   es su inverso respecto a 1   1 2 = 1 2 . Si   es algún punto en 2   y entonces la tangente  a  a 2  en  es  es la reflexión de la tangente  a  a 2  en  respecto de la mediatriz de  (figura 3).  (figura Consultar demostraciones en [GREE93, página 250].

23 

 

2.2.5 PRODUCTO Y DISTANCIA INVERSIVA ENTRE CIRCUNFERENCIAS





Supongamos que las circunferencias 1  y 2  se cortan formando en uno de los puntos de intersección (y por tanto también en el otro) un ángulo   . Entonces definimos su producto inversivo por: 1

2

 

=

 ∗   1 2 Teorema 1: El número se cortan como si no se cortan. es invariante por inversiones, tanto si las circunferencias

 ∗    ∗   ′′′ ′′′  ∗  ⇔   ⇔    ∗  ⇔ Teorema 2: Si 1

2 =

1  y

2  son

1 2

+

=

dos circunferencias concéntricas de radios

′ ′′

 y  y , tenemos:

 

Observemos finalmente que:  

1

2

1

   

 

 

′′ ′     ′′′

La distancia entre circunferencias concéntricas de radios , 1, 2

         

 se define como:  se

 

=

Definición1: Si 1   y 2  son dos circunferencias arbitrarias se define su distancia por:  donde  es una inversión que las pone concéntricas. 1, 2 = 1, 2  donde

Teorema3: Sea  la distancia inversiva entre

24 

1  y

2.



Entonces

=

1

2.

  ∗ 

 

El siguiente teorema es útil para obtener el producto de dos circunferencias no concéntricas.

  



Teorema 4: Sean 1   y 2  dos circunferencias no concéntricas (pero una en el interior de la otra) de radios 1   y 2   respectivamente y sea   la distancia de sus centros, entonces se define su producto inversivo como:

 ∗    −  1

2 1

=

2

+ 2

2 2

2

 

1 2

2.2.6 APLICACIONES DE LA INVERSIÓN CADENAS DE STEINER

  …    −  ≥         −     ∗        −       

Dadas dos circunferencias 1   y 2   que no se cortan, consideremos circunferencias  sea tangente a 1   , 2   y 1  para 2. Si existe un 1 , 2 ,   de manera que cada número natural   tal que   es tangente a 1   , 2   , 1   y 1   entonces se dice que una cadena de Steiner para 1  y 2 . La existencia de tales cadenas depende de cómo estén colocadas 1   y 2   en el plano. Para construir una cadena de Steiner dadas dos circunferencias de manera que una este en el interior de la otra se debe verificar si existe tal cadena. Las siguientes definiciones nos dan algunas condiciones de existencia. =1  es

Teorema 1:  Dos circunferencias tangentes si y solo si

1 

1

y

2

2 

admiten una cadena de circunferencias

=1+2

2

 

para un cierto , que es el número de circunferencias de la cadena.

Si 1   y 2   no admiten una cadena de S Steiner teiner se pueden propiciar las cond condiciones iciones de existencia a través de: 2 1

Con 1   , anterior.

2 y

+ 2

2 2

2

=1+2

2

 

1 2

 definidos podemos encontrar un valor para  que cumpla la igualdad

25 

 

Lema 1: Dos circunferencias concéntricas de radios circunferencias tangentes si y solo si

  ′′ −′′′  =

+

′ ′′



  y  admiten   admiten una cadena de  

 

Proposición 1: Si dos circunferencias 1  y 2  que no se cortan admiten una cadena de Steiner, entonces admiten un número infinito de ellas, y todas las cadenas poseen el mismo número de circunferencias.  Asumiendo la existencia de una cadena de Steiner para 1  y 2  se invierte 1   y en dos 2  circunferencias concéntricas 1  y 2  para construir =1 =1   (todas las   tienen el

 

 ′′ ′′′′

mismo radio), luego se invierte de forma regresiva hasta formar una cadena de Steiner (Figura 1). =1 =1   Podemos rotar con respecto del centro de 1   un cierto ángulo   de la para cadena =1 =1   obtener una nueva cadena de Steiner 0 < < 2 , la cual corresponderá a una nueva cadena de Steiner   , = , =1 =1 1 =1 para las circunferencias iniciales 1  y 2 . Es claro que esto puede hacerse para infinitos valores de . En [REV20] [REV20] se explica una breve historia del porisma de Steiner.



′′

′′  ′′ ′′     

 

EL PROBLEMA DE APOLONIO

Otro problema problema donde se ve la ap aplicación licación de las inversiones es e ell problema de  Apolonio, que consiste en construir todas las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. A continuación veremos un caso especial del problema de  Apolonio que será de utilidad para la solución final.

26 

 

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS Y QUE PASA POR UN PUNTO DADO





Para construir una circunferencia que pase por un punto dado  y sea tangente a dos circunferencias dadas 1  y 2  hemos de proceder así:   Hacemos una inversión  de centro  y radio arbitrario.   Construimos las 4 rectas tangentes a 1  y 2 .   Aplicamos   a cada recta tangente respecto a la circunferencia de radio arbitrario. La figura 2 nos muestra una circunferencia tangente a 1  y 2  obtenida de invertir una de las cuatro rectas tangentes a  y 1  y 2 . 









          

EL PROBLEMA DE APOLONIO, CONSTRUCCIÓN FINAL. Construimos ahora una de las circunferencias tangentes (figura 3) a tres circunferencias dadas 1  , 2   y 3 . Suponemos que los radios respectivos cumplen 1 2 3 . Construimos a continuación 2   y 3  con el mismo centro respectivamente que 2  y 3  con radios 2 1  y 3 1 respectivamente.

    ≤ ≤  −   −  ′ ′    ′ ′

′ ′  

Construimos, a partir del caso especial de Apolonio visto anteriormente, una de las circunferencias que pasa por el centro 1   de 1   y es tangente a 2   y 3 . Hay cuatro posibilidades, pero sólo nos interesan dos. La primera es cuando la circunferencia que construimos  es tal que 2  y 3  son exteriores a ella. Sea  su centro y  su radio.

27 

 

  −  ′ ′  

    

 ′ ′

Entonces la circunferencia de centro   y radio 1   es la circunferencia buscada tangente a 1  , 2   y 3 . La segunda posibilidad es cuando 2   y 3   son interiores a , entonces la circunferencia de centro   y radio + 1   es la circunferencia buscada tangente a 1  , 2  y 3 . Así hemos construido dos de las circunferencias buscadas. Las ocho soluciones provienen de que esta construcción se puede hacer tomando 2   y 3   de radios 2 ± 1  y 3 ± 1 .

Los arbelos

Un arbelo es una forma conformada por tres semicírculos que se construyen como sigue: Iniciamos con un semicírculo de diámetro . Tomamos un punto  entre   y , ahora formamos dos semicírculos en el mismo lado de   con diámetros   y   respectivamente. El resultado es un arbelo.

            

 Algunas formas interesantes de los arbelos son las que tienen círculos tangentes dentro.

                               ≥     −

Teorema 2:  Dado un arbelo por tres círculos, con diámetros ,  y  y con , ,  colineales, llamaremos: : El semicírculo con diámetro

. 

: El semicírculo con diámetro

.

0:

El semicírculo con diámetro

.

Entonces hay un circulo 1   que es tangente a ,   y 0   ; hay un circulo 2   que es tangente a ,  y 1  ; hay un circulo 3  que es tangente a ,  y 2  ; y en general para un 1 , hay un circulo  que es tangente a ,  y 1.

El problema de ubicar los círculos tangentes se resuelve fácilmente a través de inversión:

28 

 



 



  Construimos una circunferencia  con centro en , y radio arbitrario mayor que .   Invertimos respecto a   a las circunferencias que contienen a ,  y 0 . Obtendremos que los inversos de   y   son dos rectas paralelas ( ) y ( ) y el inverso de 0  una circunferencia ( ) tangente a las dos rectas. 0   Construimos los círculos tangentes dentro de las dos rectas, los que tendrán el mismo radio de ( 0 ) .







               

 

  Finalmente invertimos con respecto a   los círculos construidos y las imágenes serán los círculos 1 , 2 , …,   tangentes dentro del arbelo.



2.2.7 EL MODELO DEL DISCO DE POINCARÉ, AXIOMAS Y RECTAS. Jules Henri Poincaré (1854-1912) fue un gran matemático, científico teórico, físico y filósofo de la ciencia que hizo considerables aportaciones a la Teoría del Caos y la Teoría de la Relatividad. En 1887, mientras intentaba dar solución al problema de los tres cuerpos, un problema relacionado con la estabilidad del Sistema Solar, Poincaré describió dos modelos de Geometría Hiperbólica en dos dimensiones. Uno de ellos ocupa el interior del disco unidad y otro el semiplano superior. En el primero se representan las rectas como arcos de circunferencia que intersecan perpendicularmente al disco en su interior y en el semiplano, las rectas son líneas verticales y semicircunferencias que inciden perpendicularmente sobre el eje real. Consideremos un hiperboloide equilátero de dos hojas cuya intersección con el plano = 0 es vacía (Figura 1). Si tomamos la proyección estereográfica de la hoja superior del hiperboloide desde el vértice 0,0, 0,0, 1   de la hoja inferior, , sobre el plano = 0, obtenemos el modelo del disco de Poincaré. A cada punto , ,  del   del hiperboloide le   del disco corresponde 1+ , 1+ , 0  en el disco y recíprocamente a cada punto , , 0  del



 −         − − − − − −

le corresponde

2

1

2

2 ,1

2

2

1+ 2 + 2

2,1

2

2

 en el hiperboloide.

29 

      

 



Este modelo consiste en un disco abierto   donde los punto de la hoja superior del hiperboloide son los puntos del disco, y las “rectas” son las curvas generadas al intersecar la hoja superior del hiperboloide con planos que pasan por el origen , y se proyectan en arcos de circunferencias que se intersecan ortogonalmente con la frontera del disco en su interior.



Definición 1:  El Disco de Poincaré   es el conjunto de los números complejos con : Ω  (Teorema del ángulo externo), podemos dibujar una línea , pasando por el ángulo Ω, tal que Ω. Tal recta cruzará a la línea   en un punto, que podemos, por simplicidad, asumir que es el punto .

El triángulo ideal   tiene los lados  y   paralelos y la figura formada por las semirrectas ,  y   y el lado común , es tal que ,      y   . Por lo tanto, tal figura es congruente al triángulo generalizado   y lo indicaremos por . En consecuencia, la semirrecta  es paralela a la semirrecta . Por consiguiente,  interseca a la recta  en un punto  situado en el intervalo .

43 

 

  ≅    ≅  

 

 ≅    

Sea el segmento   perpendicular a la recta . En la semirrecta , tomemos un punto  tal que . En la semirrecta , marque un punto  tal que . Trace . Usando la congruencia de triángulos, verificamos que los cuadriláteros  y   son congruentes. En consecuencia,   es perpendicular a   y   . Por lo tanto,   es un cuadrilátero de Saccheri, lo que garantiza la existencia de la perpendicular mediatriz del segmento Unicidad:

.

Si hubiera dos rectas perpendiculares a las dos rectas, tendríamos un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos lo cual, como hemos visto, es imposible. Con esto concluye la demostración.  

∎

Definición 3: Sea el conjunto de todas las líneas paralelas en la misma dirección con un punto ideal  en común y  correspondientes un punto ordinarioa en en unalaslínea ese haz. Al lugar geométrico de todos los puntos otrasderectas del conjunto se le llama horocírculo u horociclo de centro . Un horocírculo está determinado por un punto ideal  (centro) y un punto ordinario .

 

 





    ∈        

Si tomamos un círculo con centro en    y radio  , dejamos fijo a  y hacemos que   "tienda" a , entonces el círculo hiperbólico de centro   y radio   tiende al horocírculo de centro  y de radio  (figura 8).

44 

 

  



∉ 

Definición 4:  Sea   una recta hiperbólica. Sea   el conjunto de todas las rectas perpendiculares a  y sea  un punto perteneciente a una de estas rectas y     . El lugar geométrico  de todos los puntos correspondientes de  en las otras rectas de   se llama hiperciclo o curva equidistante de .

   



       ≅ ≅     

La distancia de  a  se llama distancia de  a  como se muestra en la figura 9. Para encontrar el punto  correspondiente de  se debe cumplir que  donde  y   son los pies de las perpendiculares que contienen a   y  respectivamente. Observe que el cuadrilátero  es de Saccheri y que  no es una recta hiperbólica. Los triángulos con sus tres vértices en un horociclo o en una curva equidistante no tienen circuncentro.

2.2.11 RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMACI T RANSFORMACIÓN ÓN DE MÖBIUS Y L LA A INVERSIÓN. Poincaré introduce la geometría hiperbólica en el análisis complejo con el objetivo de obtener un modelo conforme y consistente. La importancia de las transformaciones de Möbius es porque estas funciones describen los movimientos rígidos de los objetos en el disco hiperbólico. Un movimiento rígido o isometría es una transformación :   biyectiva que preserva la distancia entre puntos. Esto es , = ,   ,   .  Las transformaciones de Möbius también llamadas transformaciones homográficas son funciones biyectivas del plano complejo extendido   en si mismo. Estas transformaciones tienen la propiedad de preservar las distancias hiperbólicas entre puntos, y los ángulos entre curvas, en particular, son isometrías.

  ⟼      ∀  ∈ ℂ



45 

 

    −≠

  ℂ ⟶ ℂ

Definición 1: Una transformación de Möbius es una función :  +   = + Para ciertos a,b,c,d

      ∞  ∞ 

Ejemplos 1:

∈ℂ

 tales que ad



 de la forma

0.

bc

1

La inversión =   es una transformación de Möbius que mapea el interior de la circunferencia unidad en el exterior directivamente y la circunferencia unitaria en sí

       1



misma, notemos también que = 2 = 2  lo cual indica una reflexión del punto  con respecto a la circunferencia unitaria y posteriormente con el eje real. En particular 0 =  y = 0.

 

Toda circunferencia de radio  centrada en 1 radio  centrada en  y viceversa.





= 0 se transforma en la circunferencia de

Ejemplo 2: La traslación = +   donde   traslada todos los puntos del plano en la dirección del punto . Si , la traslación es paralela al eje real.

    ∈ ℝ  ∈ ℂ

Es evidente que la traslación transforma rectas en rectas y circunferencias en circunferencias, trasladando el centro y preservando el radio de las mismas.

46 

 

Ejemplo 3:

           

La rotación =   con =   produce un giro del plano con centro en = 0 y ángulo . Esto puede verse notando que si =   entonces = ( + ) . Es razonable afirmar que las rotaciones transforman rectas en rectas y circunferencias en circunferencias rotando el centro y conservando el radio de las mismas.

Ejemplo 4:

  

Una homotecia es una transformación de la forma =   donde > 0. Las homotecias transforman el plano en si mismo dejando estable cada semirrecta con origen sien > = o disminuyendo el módulo de cada número complejo según 1 o0  aumentando < 1.

  

                ∎      −      −  Teorema 1: La inversión   con respecto a

=   (círculo de radio   centrado en el

origen) está dada por la transformación de Möbius

2

=  .

Demostración:

Sea  la distancia del origen al punto , entonces =  donde   es el ángulo que forma el segmento  con el eje real. Según la definición de inversión,   está está sobre 2 el rayo  y su distancia desde el origen es / . Entonces =

2

2

=  .  

Corolario 1: La inversión  con respecto a ) está dada por:

=

2

+ .

47 

=  (Círculo de radio  centrado en

 

Demostración:

         ∘  ∘ −   ∘   −       ∎ − −

Usamos la traslación = +   para trasladar el círculo centrado en   al origen. Llamemos 0   a la inversión con respecto al círculo de radio   centrado en el origen, entonces:

=

0

1

=

=

0

2

=

2

+

 

2.2.12 ISOMETRÍAS HIPERBÓLICAS. Una figura geométrica es "invariante" si se asigna a sí mismo mediante las transformaciones. En [GRE93] y en [HAR15] se explica con detalle la teoría de transformaciones en el plano hiperbólico.





Definición 1:  Una transformación   de todo el plano sobre sí mismo es llamado un movimiento o una isometría si la longitud es invariante bajo  , es decir, si para cada segmento   .

  ≅  ′′ 

REFLEXIÓN

     ′     −

El tipo de movimiento más fundamental a partir del cual se generan todos los otros es la reflexión  a través de la línea  como   como su eje. La importancia de la reflexión es que cada isometría en el plano hiperbólico es el resultado de a lo más tres reflexiones. Denotamos la imagen de un punto  bajo  por . Reflejando a través de  dos   dos veces se envía cada punto de regreso de donde vino, entonces, =  o = ( ) 1  . Una transformación que es igual a su propia inversa y que no es la identidad se llama   involución. La rotación de 180° sobre un punto es un ejemplo de involución.





    ′  

Un punto fijo de una transformación  es un punto  tal que una reflexión  son los puntos que se encuentran en . 



=

. Los puntos fijos de

Definición 2: La reflexión en el disco de Poincaré es una inversión euclidiana en una línea hiperbólica del disco .

48 

 

Si la línea hiperbólica es un diámetro, la reflexión es simplemente una reflexión euclidiana sobre el diámetro. Si la línea hiperbólica es un arco circular ortogonal, entonces la reflexión hiperbólica es una inversión respecto a la circunferencia generalizada que define a la línea hiperbólica. Por ejemplo, si quisiéramos reflejar el arco   respecto a un diámetro   como recta hiperbólica, tendríamos que aplicar un espejo euclidiano. Si  fuera un arco de circunferencia ortogonal, invertimos el arco   respecto a la circunferencia generalizada que contiene a  (Figura 1).

 



      





 

   −−−

Teorema 1: sea  una reflexión con respecto a una recta .

 



1) Si   está está representada por una línea a través del origen y  forma  forma un ángulo  con el eje real, entonces  = 2 . 2) Si  está  está representada por un círculo ortogonal con centro , entonces =

1

 

MEDIA VUELTA Dada una recta  y una recta  perpendiculares  perpendiculares que se intersecan en , decimos que el punto   distinto de   hace una media vuelta   de 180°  alrededor de   (fig. 2) al reflejarlo primero respecto a  y  y luego respecto a .

      

TRASLACIÓN

   − −−

   

La traslación de un punto  en  al origen, esta dado por la transformación de Möbius   1

=

49 

 



  −  − − −   −  − ∘   −  −−      

Entonces  mueve al origen al punto  y a cualquier otro punto. De forma contraria, para mover el origen a un punto  sustituimos  en la traslación anterior y obtenemos: =

+   +1

Para trasladar un punto   a un punto  del disco, usamos la composición: 1

=

+ +

  1

Una traslación del segmento  al punto  se puede hacer por medio de dos medias vueltas de manera que cada perpendicular ,  que serán los ejes de reflexión estén a un cuarto de la distancia de  y  respectivamente (figura 3). Otra forma de obtener la traslación del segmento  es a través de dos reflexiones, primero respecto a  y la segunda respecto a . Esto confirma que una isometría puede lograrse por medio de



dos o a lo más tres reflexiones.



ROTACIÓN

≠    

  

Un movimiento   es una rotación si  tiene exactamente un punto fijo. Al igual que  es en el plano euclidiano, se puede ver la rotación de un punto  en un ángulo  alrededor de un punto fijo , como el resultado de dos reflexiones del punto   respecto a dos rectas  y  y  que se cortan en  formando un ángulo 2 (figura 4).

θ

50 

 

     − ∘  ∘  − − − 

La rotación en el disco de Poincaré de un punto  en un ángulo  en contra de las manecillas del reloj alrededor del origen está dada por: =

 

Para rotar  alrededor de un punto  se hace la composición:



2

=

1

+ +

2

1   1

REFLEXIÓN DESLIZANTE 

Una reflexión deslizante es una composición de una traslación seguida por una reflexión a lo largo de una recta paralela que dirige a la traslación.

ROTACIÓN LÍMITE

  ∈  



Si consideramos dos paralelas   y   que son tangentes en algún punto ideal . La rotación límite de un punto    se obtiene de reflejar  primero respecto a  y luego respecto a  (Figura 5). Esta composición no tiene puntos fijos ya que  no pertenece al Disco de Poincaré, pero  actúa como un centro que hace rotar al límite un conjunto infinito de paralelas y objetos. Las rotaciones límites dejan invariante las cónicas del plano hiperbólico tangentes a  en el centro de rotación. Dichas cónicas se denominan horociclos.





51 

 

 

Se Llama haz de rectas a:



  Todas las líneas que pasan por un punto dado .





  Todas las líneas perpendiculares a una línea . 





  Todas las líneas a través de un punto ideal dado . Podemos definir el resultado de tres reflexiones consecutivas respecto a las rectas  , ,  ,   como: 1) Si ,  ,   son parte de uno de los tres haces anteriores entonces la composición será una reflexión en una recta del haz al que pertenecen. 2) Si ,  y  no pertenecen a ninguno de los conjuntos anteriores entonces las tres reflexiones producen una reflexión deslizante.





 

Las isometrías en el disco de Poincaré son llamadas: Elípticas: Si tienen únicamente un punto fijo en el disco Parabólicas: Si el único punto fijo esta en Loxodrómica: Si tiene dos puntos fijos en

.



 

.



.

Las isometrías elípticas son el resultado de una composición de reflexiones de un lado a otro respecto a líneas hiperbólicas que se intersecan, el punto fijo es el punto de intersección de las líneas. Las isometrías elípticas son equivalentes a las rotaciones hiperbólicas. Las isometrías parabólicas son el resultado de una composición de reflexiones de un lado a otro respecto a líneas paralelas asintóticas, el punto fijo está en la frontera   donde las dos líneas se cortan en el infinito. Las isometrías loxodrómicas son el resultado de una composición de dos reflexiones de un lado a otro respecto a paralelas divergentes. Las paralelas divergentes comparten una única



perpendicular común y los dos puntos fijos están donde se interseca la perpendicular con .



52 

 

2.2.13 POLÍGONOS HIPERBÓLICOS

⊂ ∈   ∈⊂ℂ

  es llamado convexo si para todo par de puntos Definición 1:  Un subconjunto X diferentes en X  ocurre que el trazo de línea hiperbólica que ellos definen está completamente contenido en X.

Definición 2:  Una línea hiperbólica   divide partes es llamada semiespacio hiperbólico de . Definición 3: Un polígono hiperbólico de semiespacios hiperbólicos.

  en dos partes. Cada una de esas

  es la intersección de un número finito  es

53 

 



 

 

Un lado de  es dado por un arco máximo de línea hiperbólica en el borde de . Un vértice de   es un punto del borde de (incluidos aquellos puntos del borde de ) común a dos lados diferentes. Si un vértice de   está contenido en el borde de , entonces diremos que está en el infinito; en este caso los dos lados adyacentes a tal vértice son líneas hiperbólicas que hacen un ángulo igual a cero. Por otro lado, si tenemos un vértice en el interior de , entonces el ángulo interno del polígono vive en 0, . Un polígono puede tener en su borde arcos del borde de , diremos que ellos son lados al infinito. Un polígono hiperbólico que no tiene lados al infinito y que tiene 3 lados será llamado un polígono hiperbólico finito de  lados.

 ≥

 

 

TRIÁNGULOS HIPERBÓLICOS EN .



Dados tres puntos en , llamaremos triángulo hiperbólico a la unión de los tres segmentos hiperbólicos de las líneas hiperbólicas que unen dichos puntos. Extenderemos esta definición permitiendo que los vértices del triángulo pertenezcan a . En el caso en que los tres vértices pertenecen a , a dicho triángulo se le llama triángulo ideal y cada ángulo mide cero. En la geometría hiperbólica tres ángulos determinan un triángulo hiperbólico.







Lema 1:  Las sumas de las medidas de dos ángulos en un triángulo hiperbólico es menor que . Demostración:

∠ ∠   ∠ ∠∠ ∠ ∠ ∠ ∎    ′′′ ∠∠′≤∠∠ ∠ ∠′ ∠′ ∠′

Consideremos el ángulo  y el ángulo  de un triángulo   (figura 1). Tomemos un punto  sobre el rayo , se cumple que , y también +

<

<

+

Lema 2:  Para cualquier triángulo tal que:    



+



+ /2.

=

+

=

 

, hay otro triángulo

+

.

Demostración:

54 

 

 

       ≅ ∠≅∠  ≅ ≅ ≅  △≅△   ∠≅∠ ∠≅ △ △△ △△△   ∠ ∠   △ △ ∠   ∠   △ △  ∠  ∠ ∠   ∠ ∠ ∠ ∠ ∠  ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠  △ △   △ △  ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ′ ′ ∠ ∠       ′   ′ ∠ ∠ ∠ ∠′ ∠′ ∠′ ∠ ≤ ∠ ∎ △ ∠ ∠ ∠  △ ∠ ∠ ∠  ∠ ∠ ∠    ≤ ∠ △   ∠ ≤ ∠ ∠ ≤ ∠ ≤ ∠  △         ∠ ≤   ∠ ∠   ∠ ∠    ∠   ∠ ∠ ∠ ∎

Construimos el triangulo  (figura 2) y ubicamos los puntos   y  tal que:  es el punto medio de .  está en el rayo  tal que . El triángulo  satisface el lema 2 porque ,  y . Por LAL .

 Ahora tenemos que  y  y , la denotamos por =

+

=

Luego que: 

=

=

 y +

+

+

=

=

. Igualamos la suma de los ángulos de  y  respectivamente:

=

+

+

=

+

+

 tenemos que . +

+

+

+

 

 

. Ahora notemos

=

La suma de   y  es diferente de  para medidas mayores que que   tiende a cero. Si   es el más corto usaremos la etiqueta =   , = . De esta forma tendremos que: + + = + +  y  y  

/2  ya =  y /2.

Teorema 1: La suma de los ángulos internos de un triángulo hiperbólico  cumple

+

+

< .

Demostración:

Suponga que hay un  tal que + + > , entonces  donde  es el exceso. Según el lema 2 hay triángulos: 1 1 1  con

igual suma de ángulos, pero

1

/2.

2 2 2  con

igual suma de ángulos, pero

2

1 /2

+

+

=

+

/4.

3 3 3  con

igual suma de ángulos, pero 3 /8 y así sucesivamente. 2 /2 Después de realizar el procedimiento  veces, llegaremos a un  cuya suma de 1 ángulos es aún +   pero con un pequeño ángulo . No importa cuán 2 grande es   o pequeño sea , hay un valor suficientemente grande de   tal que 1 < . En este caso la medida de los dos ángulos restantes  y  tienen que 2

sumar más que , pero el lema 1 confirma que esto no puede ser. Entonces  no puede ser mayor que .  

55 

+

+

 

Teorema 2 (teorema del del á áng ng ulo externo ): Un ángulo exterior de un ángulo es mayor que cualquiera de sus ángulos interiores no adyacentes. Demostración:

Iniciamos con

, extendemos el lado

, y tomamos

 

de que  quede  entre y . Sea  eldepunto  medio de manera y tomemos en la  prolongación de tal modo que . =

  ∆ ≠          ∆≅∆ ∠≅∠ ∠ ∠ ∠∎       −    − −             ∠ ∠       ∠ ∠

Tenemos que   (por LAL) y . El raciocinio es análogo para demostrar que  

< <

Para lograr la construcción de un triángulo de ángulos cualesquiera ,    y   (tal que + + < ) en el disco de Poincaré, es conveniente elegir primero los vértices y determinar el disco  en un segundo paso. = el defecto ( + +de).los El defecto de triángulo eshiperbólica el valor numérico Este defecto de triángulos en un la geometría es positivo, triángulos en los la geometría euclidiana es cero y el defecto de los triángulos en la geometría elíptica es negativo. Un polígono hiperbólico convexo puede ser dividido en triángulos hiperbólicos finitos o infinitos. A partir de uno de los vértices sea ordinario o ideal, podemos trazar ( 3) diagonales y dividir el polígono en ( 2) triángulos.

CUADRILÁTEROS HIPERBÓLICOS Un cuadrilátero convexo cumbre  y lados  y

  es llamado cuadrilátero de Saccheri con base

 si:



el  son rectos.    Los ysegmentos  y  son congruentes.



  un cuadrilátero de Saccheri con Teorema 3:  Sea base . Entonces los ángulos cumbre  y  son congruentes.

Demostración:

Observe que:

≅ ∠≅∠    ∠≅∠ ≅ ,

,

=

 ,

56 

, y

.

 ,

 

 ∠∠≅≅



Por la propiedad de los cuadriláteros LALAL el cuadrilátero de Saccheri congruente al cuadrilátero . Seleccionando las partes correspondientes, .  

∠ ∎

  es

Definición 4: La altitud de un cuadrilátero de Saccheri es el segmento de línea que va del punto medio de la base al punto medio de su cumbre o cima.

          

Teorema 4: Sea   un cuadrilátero de Saccheri con base   y altitud . Entonces   es perpendicular a la base  y a la cumbre .

Demostración:

Comparamos los dos cuadriláteros  y . Desde que  es cuadrilátero de Saccheri se cumple que  y  y . Por la definición de altitud de un cuadrilátero de Saccheri  y . Por la propiedad LALAL tenemos que . En especial,   es congruente a su propio suplemento, , y   es congruente a su propio suplemento , . Son ambos ángulos rectos entonces, luego tenemos que la altitud es perpendicular a la base y a la cima.  

 ∠ ≅  ≅ 

 ≅  ≅≅∠≅  ∠≅∠ ≅∠≅∠   ∠ ∠ ∎

Proposición 1: La base y la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri forman parte de rectas ultraparalelas divergentes. Demostración:

 

    ∠ ∠

Si   fuera asintóticamente paralela a   se formaría un triangulo rectángulo con vértices , ,   donde   es el punto ideal donde convergen las rectas, de manera que  es recto y  es cero , por la propiedad de un triángulo hiperbólico   tiene que ser menor que 2   (ángulo agudo) lo que

∠  ∎

contradice el teorema 4.  

57 

 

Proposición 2: Los ángulos de la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri son agudos. Demostración:

 

La diagonal  divide el cuadrilátero de Saccheri en dos triángulos, de manera que la suma de los ángulos de cada de los debe menor que es . Por lo tanto uno la suma detriángulos los ángulos de ser un cuadrilátero a los más 2 . Luego: + + +