La Braquist´ ocrona, El Descenso m´ as r´ apido Escuela de Ingenier´ıa Industrial Fabi´an Jim´enez * Ver´onica Garrido ** Cristian Villarruel *** Ecuaciones Diferenciales
Edwin Loaiza Acu˜ na Profesor
Diciembre 13 de 2014 Universidad del Valle, Sede Buga Resumen Este documento evidencia la realizaci´ on del experimento “La braquist´ ocrona, el descenso m´ as r´ apido”, cuya finalidad es obtener la forma de la curva de desplazamiento r´ apido, mostrando las relaciones matem´ aticas mediante ecuaciones diferenciales que puedan permitir obtener dicho desplazamiento.
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´ I. INTRODUCCION En la d´ecada de 1690 el matem´ atico Johann Bernoulli invito a los matem´aticos de la ´epoca a resolver una pregunta que pretend´ıa encontrar la trayectoria de m´ınimo tiempo que deb´ıa seguir una part´ıcula al deslizarse de un punto a otro bajo su misma gravedad. Destacados matem´ aticos como Johann Bernoulli, Leibniz, L’Hopital y Newton, dieron diferentes soluciones y mostraron que la respuesta era un arco de cicloide, una curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sobre una recta sin deslizar. A la nueva curva le dieron el nombre de Braquist´ocrona (del griego braquis, corto, y cronos, tiempo). Conviene anotar que la soluci´ on al problema gener´o un aporte importante al c´alculo, pues la Braquist´ ocrona dio inicio al c´ alculo de variaciones que consiste en buscar m´aximos y m´ınimos de funciones continuas definidas sobre alg´ un espacio funcional. Las ideas principales de la soluci´on son estudiadas en el presente documento a trav´es de la especificaci´ on del experimento realizado.
II. DETALLES EXPERIMENTALES Para el ejercicio pr´ actico en cuanto al montaje experimental se utilizar´an los siguientes materiales: • Un rin de 57 cm de di´ ametro • Una mina de l´ apiz • Un pliego de cartulina • Un tablero contrachapado 80 cm x 120 cm • Tres canaletas • Tornillos • Tres bolonchos de 2,5 cm de di´ ametro • 1 lamina de acr´ılico • Tres bombillos led no difusos transparentes (Verde, Azul y Rojo) • Tres finales de carrera • Un metro de cable UTR • Tres resistencias de 330 OHM • Un cargador de 5V Montaje: La curva braquist´ ocrona se traza con la ayuda de una mina de l´apiz pegada al borde del rin utilizado, luego se hace rodar el rin sobre la cartulina para posteriormente traspasarla a la tabla y asignar la canaleta a esta curva. La segunda curva fijada como punto de comparaci´on para la braquist´ocrona es una l´amina curveada a gusto, esta canaleta es sujetada mediante tornillos que a su vez sirven para que esta repose sobre ellos de manera f´ acil gracias a la forma en que la canaleta se adhiere, adem´as se garantiza que los bolonchos no deformen las canaletas en su proceso de bajada desde el punto de partida hasta el punto donde activan los finales de carrera y se encienden los bombillos. La ultima canaleta de comparaci´on con la braquist´ ocrona hace referencia a una canaleta recta en bajada la cual es de longitud menor a las dos otras curvas ya mencionadas, esta tiene una longitud de 109 cm mientras que la segunda curva o canaleta instalada mide 113 cm y la u ´ltima canaleta que es la braquist´ocrona mide 116cm. Los tres bolonchos son soltados al mismo tiempo y una vez, luego de terminar su recorrido los bolonchos activan un sistema electr´ onico que consiste en una botonera de juegos, presiona un bot´on y enciende el bombillo del boloncho que llega primero.
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IMAGEN 1. Montaje de la Braquist´ ocrona
´ III. ANALISIS Y RESULTADOS Bernoulli us´ o el principio de Fermat con el fin de encontrar la relaci´on entre la velocidad y los cambios verticales de una part´ıcula durante su movimiento sobre una curva braquist´ocrona. Dicho concepto establece que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un m´ınimo. La ley de la conservaci´on de la energ´ıa permite expresar la velocidad de un cuerpo sometido a la gravedad: dy √ = 2 ∗ g ∗ y0 dt
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Donde y0 representa la p´erdida de altitud en relaci´on al punto de partida. Cabe se˜ nalar que no depende del punto de partida horizontal. En el caso cuando el ´ındice de refracci´ on n depende solo de la coordenada “Y”, la ley de Snellius establece que la cantidad n(y)Sen(α) es constante. Aqu´ı α y Sen(α) es el ´angulo entre el eje (Y) y la trayectoria dy C de la luz respectivamente. Por la ley de refracci´on, la velocidad en el medio es = y la relaci´ on dt n dy αSen(α) se cumple para la trayectoria de los rayos. Por tanto, la ecuaci´on. dt dy = CSen(α), C= constante dt
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La ecuaci´ on (2) tambi´en puede ser v´ alida para la Braquist´ocrona. Ahora bien, como la Braquist´ocrona se forma a partir de una cicloide, partiendo de una circunferencia que rueda sobre una recta, si marcamos un punto concreto de la circunferencia, la cicloide es la curva que se forma en un plano con el movimiento del punto que hemos marcado. Con un dibujo se puede observar mejor:
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Figura 1. Diagrama de la Cicloide
Vale la pena mencionar como se obtienen las ecuaciones param´etricas que la representan. Para empezar se hacen dos consideraciones iniciales: que el circulo se desplaza girando hacia la derecha sobre el eje x y que el punto que traza la cicloide se ubica en el origen de las coordenadas. Cuando el circulo est´ a en movimiento, como se muestra en la figura 2, se define como par´ametro la medida t en radianes del ´angulo PQR, siendo este el ´ angulo de rotaci´ on del circul se puede observar la trayectoria descrita por el punto P en funci´ on de t, la cual est´ a definida por las coordenadas (X,Y). Figura 2. Parametrizaci´ on de la Cicloide
Dado que el circulo gira sobre el eje x sin resbalarse, la longitud del segmento OR es igual a la longitud del arco PR, siendo esta u ´ltima bt, se tiene que: |OR| = Logitud de arco P R = bt Entonces si X(t) = |OR| − |P S| = bt − bSen(t) Y (t) = |QR| − |QS| = b − bCos(t) La conservaci´ on de la energ´ıa requiere que la velocidad vertical de un cuerpo en un campo gravitatorio uniforme venga dada por:
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Donde y representa la altura vertical desde la que ha ca´ıdo el cuerpo. Por otra parte el espacio recorrido viene dado por:
De la ecuaci´ on diferencial que da la velocidad se sigue que el tiempo entre los puntos a y b viene dado por:
Como la curva que hace m´ınima la funci´ on anterior satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, se tiene:
Como la funci´ on f no depende expl´ıcitamente de x la ecuaci´on anterior es equivalente a:
Es decir la soluci´ on para el problema de la braquist´ocrona es una curva tal que:
Esta ecuaci´ on se puede reescribir como:
Se puede ver que la curva cicloide definida param´etricamente como:
Satisface la ecuaci´ on anterior como y(0) = 0, ya que:
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IV. CONCLUSIONES En un 100 % de las veces, el boloncho que sigue la trayectoria de la curva braquist´ocrona llega m´as r´apido que los dem´ as. Sin embargo la diferencia de llegada es corta debido al tama˜ no del sistema: entre m´ as grande sea, mejor se puede apreciar la diferencia. El c´ alculo es una herramienta fundamental para explicar el mundo que nos rodea. Un aspecto importante de la pregunta planteada por Johann Bernoulli es que muestra claramente que la soluci´on del camino m´ as corto es una curva conocida pero que sin embargo parece que no hay manera geom´etrica de demostrarlo. Por lo tanto ejemplifica el potente poder del c´alculo para resolver problemas que no pueden ser resueltos de otra manera, brind´ andole respuestas al mundo mediante herramientas matem´aticas. V. AGRADECIMIENTOS Agradecemos muy sinceramente a todos los colaboradores en este experimento, a nuestros familiares y amigos que aportaron un poco de ayuda en c´omo llegar al resultado, al profesor por aportar con la teor´ıa al momento de dictar el curso de Ecuaciones Diferenciales y por u ´ltimo a las personas que desinteresadamente cuelgan en la red informaci´ on muy u ´til acerca de los temas que necesitamos.
VI. REFERENCIAS [ 1 ] Mendoza, Oliva, El principio de Fermat, la braquist´ocrona y la curvatura de la luz, 2011 [ 2 ] Gary Lawlor, A New Minimization Proof for the Brachistochrone [ 3 ] E. Loaiza, Notas de Clase
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