INFORME EDO Wronskiano

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN INFORME N°02  –  ECUACIONES  ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS - NRC: 3701

TEMA: EL WRONSKIANO

AUTOR: PUENTES BENALCÁZAR, DENNIS MISHELL GUANOPATIN CLAUDIO, ALEX VINICIO VILLARREAL PEÑAFIEL, KATHERINE BRIGITTE CANGUI NAVAS, LIZETH ALEJANDRA DIRECTOR: ING.JHONY BASTIDAS

LATACUNGA 2016

ÍNICE CAPITULO I................................................................................................................ 1 GENERALIDADES .................................................................................................... 1 1.1.

TEMA:........................................................................................................... 1

1.2.

INTRODUCCION: ....................................................................................... 1

1.3.

OBJETIVO GENERAL ................................................................................ 1

1.4.

OBJETIVO ESPECIFICOS .......................................................................... 1

CAPITULO II .............................................................................................................. 2 MARCO TEORICO..................................................................................................... 2 2.1.

INTRODUCCION......................................................................................... 2

2.2. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESError! Bookmark not defined. 2.3. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS ..... Error! Bookmark not defined. 2.4.

MATLAB Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ............................... 4

2.5.

CÓDIGO EN MATLAB ............................................................................... 4

2.6.

EJERCICIO RESUELTO............................ Error! Bookmark not defined.

CAPITULO III ............................................................................................................. 8 4.1.

CONCLUSIONES......................................................................................... 8

4.2.

RECOMENDACIONES ............................................................................... 8

BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................... 9

1

CAPITULO I GENERALIDADES 1.1.

TEMA: El Wronskiano

1.2.

INTRODUCCION: En el presente documento se mostrara la problemática por la cual se hace necesario la explicación de las ecuaciones diferenciales. Para lo cual se detallara el diferente tipo de soluciones que se pueden dar en la solución de un Wronskiano ya sea linealmente dependiente o linealmente independiente, para lo cual toso dependerá del análisis del determinante de la función evaluada por la matriz del Wronskiano.

1.3.

OBJETIVO GENERAL

Elaborar un programa en Matlab que nos permita realizar matrices aplicando el método de Wronskiano, que consiste en derivadas sucesivas respecto al número de valores indicados, para obtener el determinante del mismo de una manera más rápida y sencilla de resolver.

1.4.

OBJETIVO ESPECIFICOS 

Analizar el tipo de soluciones que se pueda encontrar al momento de operar la matriz del Wronskiano.



Objetivo kathy

2

CAPITULO II MARCO TEORICO 2.1.

INTRODUCCION En este capítulo se hablara sobre el Wroskiano y los dos tipos de soluciones

que nos puede dar, para lo cual se analizara su resultado mediante el determinando de la matriz del Wroskiano y como se pueden resolver utilizando el programa Matlab.

2.2.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Las ecuaciones diferenciales ordinarias comienzan con el nacimiento del

cálculo de Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes iniciaron el estudio del problema inverso de la diferenciación: dada una relación entre dos cantidades y sus diferenciales (o fluxiones), cómo encontrar una relación entre las cantidades (o fluentes). Sin embargo, este problema analítico de la integración de ecuaciones diferenciales de orden corresponde a un problema geométrico formulado con anterioridad: el método inverso de tangentes; esto es, cómo encontrar una curva caracterizada por una propiedad dada de sus tangentes. Utilizando expansiones de expresiones en series de potencias, Newton mostró que el problema inverso de las tangentes era totalmente soluble. Leibniz, sin embargo, expresando su deseo de lograr soluciones dando la naturaleza de las curvas, no estaba satisfecho con el sistemático uso de series y pensaba que, hablando de forma general, no había suficiente conocimiento todavía acerca del método inverso de las tangentes. Su procedimiento fue esencialmente cambiar variables para intentar transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación con variables separables:

()

 () =

 pues su solución se obtenía inmediatamente por cuadraturas. 1 Incluso, antes

de comenzar el siglo XVIII, los trabajos de, especialmente, Gottfried Wilhelm Leibniz, Jacob Bernoulli (1654-1705) y Johann Bernoulli (1667-1748) llevaron hacia la integración (reducción a cuadraturas) de ecuaciones diferenciales homogéneas y de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

3 Sin embargo, incluso habiendo logrado tal separación de variables, aunque no siempre es el caso, continúa el problema de reducir las cuadraturas a otras más simples. Además, Johann Bernoulli destaca en su Lectiones mathematicae en 1691, que la separación de variables puede ocultar la naturaleza del problema. Por ejemplo,

2

 =

 escrita como variables separables involucra, en apariencia curvas logarítmicas

cuando, en realidad, la solución es algebraica:

 = 

.

Varios problemas geométricos y mecánicos, provocaron que los matemáticos comenzaran a pensar acerca de las ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno. Este es el caso de Jacopo Riccati (1676-1754) quien presentó en 1723 la ecuación que lleva su nombre:

 =  + 

resuelta por Daniel Bernoulli (1700-1782)

y Leonhard Euler. Las bases de la teoría general de la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes variables fueron desarrolladas en 1765 por  Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y Jean le Rond D'Alembert (1717-1783). Usando dos métodos diferentes, mostraron que n integrales particulares de la ecuación homogénea determinan la integral completa de la ecuación no homogénea a través de n cuadraturas. En 1776, Lagrange nota que este resultado puede también ser demostrado usando el método de variación de la constante, que se convirtió en el método general más utilizado. (Barrett, 2011) En 1715, Brook Taylor (1685-1731) ya se había encontrado con una solución en el caso de las ecuaciones de segundo grado, y notado su carácter singular. En 1758, Euler enfatizó la paradoja dual de tales soluciones singulares en el cálculo integral. Estas soluciones son obtenidas no por integración, sino por diferenciación de ecuaciones diferenciales. A medida que se comienzan a estudiar sistemas físicos más complejos, por ejemplo en la astronomía, se requiere resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. (G, 2011) El problema del movimiento de dos cuerpos bajo atracción de la fuerza de gravedad fue resuelto geométricamente por Newton en 1687, pero no es hasta 1734 que Daniel Bernoulli resuelve el problema de los dos cuerpos de forma analítica. 2 El llamado problema de los n cuerpos es una generalización de este que no puede ser resuelta de la misma manera y es ampliamente estudiado hasta la fecha. Aparecen,  para casos muy particulares, resultados de Newton, Euler y en especial de Lagrange

4 (1772). Este mismo problema, condujo al desarrollo de la teoría del cálculo de  perturbaciones para encontrar soluciones aproximadas, donde destacan Clairaut en 1747, Euler en 1748, Lagrange en 1774-1775 y Pierre-Simon Laplace (1749-1827) de 1772 a 1780 aproximadamente. (Ramos, 2012) El estudio y resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales tuvo un gran impulso con las ideas de Lagrange a quien se le debe la aplicación del método de variación de parámetro a un sistema de tres ecuaciones de segundo orden en 1808.

2.3.

EL WRONSKIANO

1(),(),…,()  1′1 ′ ⋯⋯ ′ (1, , … , ) = |1(−1)⋮ (−1)⋮ ⋯⋱ (⋮−1)| 1, , … ,  (1, , … , ) ≠ 0 (1, , … , ) = 0 Según Llama Wronskiano, S. Si cada una de las funciones

 posee al menos n-1 derivadas, entonces el determinante:

Se llama Wronskiano Sea

las soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-

ésimo orden. El conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si , si el

 entonces se dice que el conjunto de

soluciones es linealmente dependiente.

2.4.

MATLAB Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Matlab ofrece varios algoritmos numéricos para resolver una extensa variedad

de ecuaciones diferenciales. Esta demostración enseña la formulación y solución para el Wronskiano la cual contara del determinante de una matriz formada por el Wronskiano y se analizara si es linealmente dependiente o independiente.

2.5.

CÓDIGO EN MATLAB

2.5.1 Wronskiano 2x2 %=========MÉTODO DEL WRONSKIANO CON 2 FUNCIONES========% clc aux = 1; while aux == 1 disp ('===============UNIVERSIDAD DE LAS ARMADAS===============' )

FUERZAS

5 disp ('CANGUI LIZETH, GUANOPATIN ALEX, PUENTES DENNIS, VILLARREAL KATHERINE') disp ('ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS' ) disp ('NIVEL: II ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN' ) disp (' ') disp (' RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL POR EL MÉTODO DE WRONSKIANO 2*2') disp (' ') syms x f=input('Ingrese la primera función= '); f1=input('Ingrese la sengunda función= '); d=diff(f); g=diff(f1); %Creacion de la matriz w=[f f1;d g] mult=f*g; mult2=f1*d; w=mult-mult2 if w~=0; disp('Como es diferente de cero son linealmente independientes' ) else w==0; disp('Como es igual a cero son linealmente dependientes' ) end aux = input('Si desea repetir el programa, presione 1' ); clc end

2.5.2 Wronskiano 3x3 %=========MÉTODO DEL WRONSKIANO CON 3 FUNCIONES========% clc aux = 1; while aux == 1 disp ('===============UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS===============' ) disp ('CANGUI LIZETH, GUANOPATIN ALEX, PUENTES DENNIS, VILLARREAL KATHERINE') disp ('ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS' ) disp ('NIVEL: II ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN' ) disp (' ') disp (' RESOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL POR EL MÉTODO DE WRONSKIANO 3*3') disp (' ') syms x f=input('Ingrese la primera función= '); f1=input('Ingrese la sengunda función= '); f2=input('Ingrese la tercera función= '); d=diff(f); dd=diff(d); g=diff(f1); gg=diff(g);

6

h=diff(f2); hh=diff(h); %Creacion de la matriz w=[f f1 f2;d g h;dd gg hh] e=[w(2,2),w(2,3)]; e1=[w(3,2),w(3,3)]; f1=[e;e1]; p1=w(1,1); mult=p1*(det(f1)); q=[w(1,2),w(1,3)]; q1=[w(3,2),w(3,3)]; f2=[q;q1]; p2=w(2,1); mult2=-p2*(det(f2)); l=[w(1,2),w(1,3)]; l1=[w(2,2),w(2,3)]; f3=[l;l1]; p3=w(3,1); mult3=p3*(det(f3)); w=mult+mult2+mult3 if w~=0; disp('Como es diferente de cero son linealmente independientes' ) else w==0; disp('Como es igual a cero son linealmente dependientes' ) end aux = input('Si desea repetir el programa, presione 1' ); clc end

2.6.1. EJERCICIOS ADICIONALES 2.6.1.1 EJERCICIO Nº1

, ,           = [  + + +   2 + 22 + +2 + ]          = [ 2 + + 22 + 4 + +]

7

 = {( +6 ( + 5+  + +4 + +24 + + + +22 + +4) + )}  = {( + 6 + 9 + 3)  (9 + 3 + 6)}  =  Linealmente Independiente

2.6.1.2 EJERCICIO Nº2 Ejercico Kathy

8

CAPITULO III 4.1.

CONCLUSIONES 

Se pudo determinar que al crear el programa en Matlab el software ofrece comandos directos para realizar las operaciones sin la necesidad de crear algoritmos de solución a más del algoritmo del Wronskiano.



Se concluyó que depende el determinante de la matriz del Wronskiano formando por las derivadas del mismo se llega a la conclusión de si son linealmente dependientes o independiente.



4.2.

Conclusión de objetivo de Kathy

RECOMENDACIONES 

Se recomienda realizar una buena búsqueda de comandos de Matlab para facilitar la creación de este o varios programas para la solución de problemas matemáticos en Matlab



Realizar las operaciones del algoritmo para el Wronskiano para que no se crucen o tome valores extraños al momento de mandar el programa así como ingresar los valores para la matriz de acuerdo a los requerimientos de Matlab.



Recomendación de la conclusión de kathy

9

BIBLIOGRAFÍA Llama Wronskiano, S. Dependencia lineal e independencia. Oropeza Legorreta, C., & Lezama Andalón, J. (2007). Dependencia e independencia lineal: una propuesta de actividades para el aula. Revista electrónica de investigación en educación en ciencias, 2 (1), 23-39. Çengel, Y. A., & PALM III, W. J. (2013). Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias (1a. McGraw Hill Mexico.