Informe Ecuaciones de London
August 22, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Untels, Escuela (Ing. Electro. Y Telecom.) 01, 07, 2023
ECUACIONES DE LONDON (cap. 15.4-15.5) Aguirre Huayhuapuma, Brandon Diaz Torres, Edgardo Alexander Soria Acosta, Mijael Universidad Nacional Tecnológica de Lima Sur Facultad de Ingenierías Escuela de Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones
I.
INTRODUCCION:
La ecuación de London es una formulación teórica desarrollada por los hermanos Fritz y Heinz London en 1935 para describir el comportamiento de los superconductores en presencia de un campo magnético externo. Su trabajo pionero sentó las bases para entender los fenómenos de la superconductividad y ha sido fundamental en el desarrollo de teorías posteriores. La ecuación de London se basa en dos suposiciones principales. La primera es que los electrones en un superconductor se comportan de manera colectiva, formando lo que se conoce como pares de Cooper. Estos pares tienen una carga eléctrica neta net a cero y se mueven sin resistencia en un superconductor por debajo de su temperatura crítica. La segunda suposición es que los pares de Cooper responden al campo magnético externo de una manera especial. Cuando un campo magnético se aplica a un superconductor, los pares de Cooper adquieren una corriente inducida que fluye en sentido contrario al campo elmagnético aplicado. Esta corriente contrarresta campo magnético, evitando así que los campos magnéticos externos penetren en el superconductor.
II.
DESARROLLO:
a) CAP 15.4: Ecuaciones de London
Después del descubrimiento de los superconductores, muchos científicos trataron de explicar su propiedad de superconductividad. En 1935 Heinz y Fritz London modificaron las ecuaciones de Maxwell y dieron 2 ecuaciones nuevas, para ello se supuso que dentro de un superconductor existían dos tipos de electrones (e-): •Normal electrón electrón •Super electrón electrón Al aplicarse un campo eléctrico eléctr ico (E) al superconductor, la fuerza ejercida sobre cada super electrón es:
⃗ = ⃗̇ = = = ……
Ecuación de movimiento del super electrón es:
Donde:
̇
: es la masa del portador de carga
: es su aceleración
q: es la carga del portador Consideremos un conductor en el que los portadores de carga se mueven con una velocidad promedio “v” en una dirección determinada. En el que hay una densidad de portadores de carga “n” en el conductor. El número de portadores de carga que atraviesan una sección transversal “A” del conductor en un intervalo de de tiempo, en la fig.1 observamos esto:
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= ⃗ …… = 0⃗ = =0 → =
Primera ecuación de London:
Si
== ∗∗⇒∗∗ =∗∗ ∗ = = = ⇒= =
Donde: : velocidad promedio de los portadores : densidad relativa de portadores : carga del portador • Si T = 0, entonces • Si T > Tc, entonces
= =10
En la fig. 2 observamos la relación entre la resistencia y la temperatura:
= 0
Si Para un conductor normal la relación de densidad de corriente y campo eléctrico:
= → = 0 = 0 ⃗ = × = × ( ×⃗) = nq ( × ) … … 1 ×× = … … 2 ( ×⃗) = nq ∫ ( ×⃗) = ∫ nq ( ××⃗) = nq ∫ ( ×⃗×)⃗ = =nnqq ∗| mp
No es posible que exista corriente si
Hallando la segunda ecuación de London: De la primera ecuación de London:
Aplicando rotacional a ambos lados:
Reescribiendo:
De la ecuación de Maxwell:
Remplazando (2) en (1):
Cuando la temperatura empieza a caer, y en cierto punto la resistencia cae abruptamente a 0. Se conoce a ese valor de la temperatura como Tc (temperatura critica o temperatura de transición) T (material) > Tc; estado normal T (material) < Tc; estado superconductor La densidad de corriente se puede escribir de la siguiente forma:
== ⃗⃗
Integramos ambos lados:
Dentro de un superconductor fluye una corriente constante sin campo eléctrico
⃗
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( ×⃗) = …… =
Segunda ecuación de London:
Para demostrar esto (se hará uso de la primera ecuación de London):
⃗ = × ̇ = × × × ̇ = ̇ ( = ̇ ) ̇ ∙ = 0 ∙ ̇ = ̇ = ̇ ̇ = −√ / + √ / ̇ = − ……
Donde:
Tomándose el rotacional en ambos lados:
Profundidad de penetración de London
Remplazando
De acuerdo con el efecto Meissner, el campo magnético ( ) dentro de un superconductor es cero. Cuando se les coloca un campo magnético externo (B) en la fig.3 se ve el efecto sobre un conductor normal, en la fig.4 sobre un superconductor.
Suponiéndose que
se tiene:
Que tiene como solución general:
Las líneas de fuerza magnética penetran en el material
Esta ecuación nos indica entonces que, en el interior de un conductor perfecto, la derivada con respecto al tiempo de B tiende exponencialmente a cero de acuerdo con la distancia a la superficie. Por tanto, en el interior del conductor perfecto, es es muy pequeño, excepto en una capa superficial delgada. Este es un refinamiento razonable de la conclusión anterior de que = = O en todo punto del interior de un conductor perfecto. El desarrollo que se acaba de esbozar muestra nuevamente que la conductividad perfecta no conduce a la exclusión del flujo. Sin embargo, indica
̇
̇
también cómo podría incorporarse a una teoría la exclusión de flujo. Si la ecuación describe el comportamiento de B en lugar del de , entonces B mismo podría disminuir exponencialmente desde su valor en la superficie de un superconductor hasta cero en su interior. En la fig.5 se observa este efecto sobre el superconductor. De Maxwell:
̇
= + + × = +
Para el super electrón se puede escribir como: Las líneasingresar de fuerza(mostrando magnética son expulsadas, del no pueden la propiedad diamagnetismo perfecto)
Tomando rotacional ambos lados:
× × × × × = ( ) ( ) × × × = ∙ ∙
=0
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∙ = ( × ) ……
En un campo externo que, a grandes distancias, es uniforme e igual a . Las ecuaciones satisfechas por los campos son:
=
Remplazando la segunda ecuación de London en (3):
En el exterior:
En el interior:
= = = = … …
Donde:
= 0 − = ………
En
B (0): Campo magnético en la superficie del superconductor X: es la longitud dentro del superconductor
= → = =0B−0e− = Be0
Donde es la profundidad de penetración, se considera como un parámetro fenomenológico. fenomenológico. Las condiciones de frontera que deben satisfacer son: En
: profundidad de penetracion de London Para una dimension:
Si
∙∙ = =0, 0, = =10, 15 = 22 : = ∞: = = : 1515 2323
l
La única de estas condiciones de frontera que requiere más comentarios es la continuidad de . Esto se deduce de la suposición, que concuerda con la discusión final de la sección anterior, que las supercorrientes (tanto de transporte como de magnetización) nunca son infinitas; esto es, no hay más densidades de corrientes superficiales . H como de M son continuas y, B también es continua. continua.
=
Para el campo externo de la esfera la solución de su ecuación presenta dificultades, se podría introducir un potencial escalar magnético para satisfacer la ecuación de Laplace, pero en la región interior la ecuación
= 1
La solución para la región exterior a la esfera se tomará de la ecuación 15.7 pero un remplazo re mplazo en por b debido a la magnetización. magnetización. b) CAP 15.5: Ejemplos en que intervienen las Ecuaciones de London
Para entender mejor las ecuaciones de MaxwellLondon, se utilizan ahora para obtener soluciones más refinadas de los problemas considerados en la sección 15.3. El primer problema esa:el de una esfera superconductora de radio
= = cos 12 1 = = cosos 2
, = [cos
)
La forma de calcular b es ajustando las condiciones en la frontera de la esfera, entonces de la ecuación se observa que depende de por medio de
cos
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y depende de por medio de se puede suponer que: que:
sen
. Entonces
= …..15.25 = ….15.25
= 11
Las ecuaciones determina de modo que: que:
se determina de
Y que satisfaga las condiciones de frontera estas condiciones de frontera son: so n:
=
,
= … . 15.26 = 2 ….15.26
= 2 1 + ℎ cosh …15.31 = 3 ℎ….15.32 = 1 + 3 33cotgh …15.33
Esto completa la solución formal. Excepto por el uso de las ecuaciones (15-26). (15-30) Y (15-31) para determinar b y c. Estas son:
λ
λ
λ
λ
λ
Pero si los valores de
expresaría como: como:
Desarrollando y y empleando las fórmulas empleadas en 15.25 se obtiene:
∇∇ + + = 2 …..15.27 + 2 + = …15.27 1 ′ = 2 ….15.28 / + 44 = … 115.5.29 29 ==
Para l . Diferenciando la ecuación (15-27) respecto a r y restando con 15.27b se obtiene: obtiene:
de
y cambiando la variable se tiene la ecuación para
Se tiene: tiene:
= ℎ ℎ cosh cosh]]…15. …15.30
λ
≈ 1 3 + 3 + ⋯ ….15.34 a
Considerando que el radio del alambre es a, la profundidad de penetración λ y y la corriente externa total (real)
las funciones esféricas de Bessel. Bessel.
son muy pequeños se
El segundo ejemplo de la solución de las ecuaciones de London es un alambre largo conductor de corriente.
Usando este resultado para eliminar 15.27a tenemos que u: u:
El segundo problema es el de un alambre largo conductor de corriente:
Introduciendo independiente a
Como solución regular en el origen. De las ecuaciones (15-28) y (15-29) vemos que
= = = = = 0 = 1535
En el exterior del alambre, H está dado por la ley de ampere y representa la intensidad de campo magnético ,p por or lo lo tanto:
=
Cuando se considera un alambre conductor con radio "a" y corriente externa total real " ", el campo magnético en el exterior del alambre se anula en la dirección radial ( = 0) y en la dirección axial ( = 0), al igual que el campo magnético radial ( = 0) y el campo magnético axial ( = 0). Esto se debe a la simetría cilíndrica del sistema y a la ley de Ampere, que establece que la circulación
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del campo magnético alrededor de una trayectoria cerrada es igual a la corriente total que atraviesa dicha trayectoria por la constante magnética .
En el caso del alambre conductor, al estar en el exterior, la corriente total que atraviesa cualquier trayectoria cerrada en el exterior del alambre es cero, ya que toda la corriente se encuentra dentro del alambre y no cruza hacia el exterior. Como resultado, la circulación de campo magnético alrededor de cualquier trayectoria cerrada en el exterior del alambre es cero, lo que implica que el campo magnético en las direcciones ) y los componentes radial y axial ( , ) correspondientes del campo magnético ( , también son cero. En resumen, debido a la simetría del sistema y la falta de corriente en el exterior del alambre, el campo magnético en las direcciones radial y axial, así como sus componentes correspondientes, se anulan en el exterior del alambre.
En el interior B satisface
= 1 1155 3636 =
La expresión
λ
λ
, es una forma de la
ecuación diferencial conocida como la ecuación de onda para el campo magnético (B) en el interior del de l conductor. Donde:
es el operador laplaciano, que representa la divergencia del gradiente del campo magnético. λ es la longitud de penetración o profundidad de penetración, que es una característica del material mater ial conductor. conductor. Indica la distancia a la cual la amplitud de una onda electromagnética se reduce a 1/e (aproximadamente 37%) de su valor original al propagarse en el interior del conductor. La longitud de penetración está inversamente relacionada con la conductividad del material.
La ecuación de onda para el campo magnético en el interior del conductor nos dice que la divergencia del gradiente del campo magnético es proporcional al propio campo magnético, con una constante de proporcionalidad inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de penetración.
La ecuación
=
λ
describe cómo el campo
magnético en el interior del conductor se comporta como una onda, con una amplitud que se ve afectada por la longitud de penetración del material conductor. Esta ecuación es fundamental para comprender el comportamiento electromagnético en el interior de los conductores y se utiliza en el estudio de fenómenos como la propagación de ondas electromagnéticas y la atenuación de señales en materiales conductores.
Por simetría B tiene solo una componente θ y esta solo depende de r. Entonces la ecuación (15-36) se convierte en:
+ 1 + λ
= 0 1515 37
La ecuación es una ecuación diferencial que describe la componente azimutal (θ) del campo magnético (B) en el interior del conductor en coordenadas cilíndricas. Su forma general es:
+ 1 + λ
=0
Esta ecuación se obtiene al aplicar la componente azimutal del operador laplaciano ( ) en coordenadas cilíndricas al campo magnético B en el interior del conductor. Esta ecuación diferencial representa cómo la componente azimutal del campo magnético B varía con respecto a la distancia radial r en el interior del conductor. Aquí está el significado de cada término en la ecuación:
:
Este
término
representa
la
con respecto a r. segunda derivada de Describe cómo el campo magnético azimutal cambia su curvatura o variación con respecto a r en el interior del conductor.
: Este término representa la primera
derivada de con respecto a r. Describe cómo el campo magnético azimutal varía linealmente con respecto a r en el interior del conductor.
1 + λ
: Este término representa la
contribución de la propia componente
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azimutal del campo magnético en la ecuación. Es un factor que depende del radio r y de la longitud de penetr ación ación λ. Este término tiene en cuenta la influencia de la geometría y las propiedades del material conductor en el comportamiento del campo magnético.
la ecuación diferencial de Bessel y proporciona información sobre cómo el campo magnético varía y se distribuye en el interior del conductor en relación con el radio y la profundidad de penetración del material.
La solución de esta ecuación diferencial proporcionaría la forma específica de la componente azimutal del campo magnético B en el el interior del conductor en función del radio r y otros parámetros relevantes. Esta ecuación es utilizada en el estudio de fenómenos electromagnéticos en conductores cilíndricos y es una herramienta importante para comprender el comportamiento de los campos magnéticos en estas situaciones. Veremos la ecuación de Bessel de índice uno (J₁)
La ecuación es la solución completa para la componente azimutal del campo magnético ( ) en el interior del conductor, y se obtiene al igualar en el interior y en el exterior en el radio r = a. en
para
Donde:
el
argumento
.
λ
En
esta
ecuación,
representa la componente azimutal del campo
magnético, ABessel es unade constante amplitud J₁ es la función de primera de especie y de yíndice uno.
=
La solución particular para que no es infinita en el origen, considerando la simetría cilíndrica, es:
λ
Aquí está el significado de cada término en la solución: A: Es una constante de amplitud que determina la magnitud del campo magnético
λ
: Es la función de Bessel de primera especie y
de índice uno evaluada en el argumento
. Las
λ
funciones de Bessel son soluciones a la ecuación de Bessel, que se encuentran en muchos problemas de física y matemáticas donde aparecen fenómenos con simetría cilíndrica. La función de Bessel de primera especie y de índice uno, J₁(x), describe la amplitud y la forma de oscilación radial del campo magnético en el interior del conductor. La solución
λ
La expresión es:
representa la forma
= 2 λ
λ
μ₀: Es la permeabilidad magnética del vacío, una constante fundamental en la física. I₀: Es la corriente total externa real que circula por el alambre conductor. a: Es el radio del alambre conductor. J₁(ir/λ): Es la función de Bessel de primera especie y de índice uno evaluada en el argumento ir/λ, que representa la forma de oscilación radial del campo magnético en el interior del conductor. J₁(ia/λ): Es la función de Bessel de primera especie espec ie y de índice uno evaluada en el argumento ia/λ, que representa la forma de oscilación radial del campo magnético en el exterior del conductor.
La ecuación establece que el campo magnético en el interior del conductor es igual al campo en el exterior del conductor en el magnético
radio r = a. El coeficiente
A=
representa
una relación entre los campos magnéticos y depende de las propiedades del conductor, como el radio y la corriente externa. La expresión
específica de la componente azimutal del campo magnético en el interior del conductor en función del radio r, la longitud de penetración λ y la constante de amplitud A. Esta solución cumple con
=
λ
proporciona el factor de
λ
corrección que tiene en cuenta la relación entre las oscilaciones radiales en el interior y en el exterior del conductor.
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En resumen, la ecuación describe cómo el campo en el interior del conductor se magnético relaciona con el campo magnético en el exterior en del conductor en el radio r = a, utilizando la función de Bessel y el coeficiente A determinado por las condiciones de igualdad en la frontera entre el interior y el exterior del conductor. Como
, λ λ
=
λ λ
A partir de este resultado podemos calcular los otros campos y la distribución de corriente y, además, demostrar que el campo y la densidad de corriente total decaen exponencialmente con la distancia a la superficie del alambre.
IV.
REFERENCIAS:
https://dokumen.tips/documents/fundamentos-
de-la-teoria-electromagnetica-reitz-milfordchristy-3a-edic.html?page=1
Fig. [1] Wikipedia (2014). Detalle de un conductor eléctrico. Recuperado De: https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Ohm#/me
CONCLUSIONES:
dia/Archivo:Detalle_de_conductor.JPG dia/Archivo:Detalle_de_conductor.JPG Las ecuaciones de London proporcionan una descripción matemática de los fenómenos que ocurren en los superconductores, incluyendo incluyendo la ausencia de resistencia eléctrica y la expulsión del campo magnético. Estas ecuaciones son fundamentales para comprender y modelar el comportamiento de los superconductores y han sido ampliamente utilizadas en la investigación y desarrollo de aplicaciones prácticas de la superconductividad. superconductividad. La ecuación establece que el campo magnético en el interior del conductor es igual al campo en el exterior del conductor en el magnético radio r = a. El coeficiente A =
representa
una
relación
entre
los
campos magnéticos y depende de las propiedades del conductor, como el radio y la corriente externa.
es una función de
Bessel modificada, la ecuación (15-39) puede escribirse en términos de las funciones estándar tabuladas. A partir de este resultado podemos calcular los otros campos y la distribución de corriente y, además, demostrar que el campo y la densidad de corriente total decaen exponencialmente con la distancia a la superficie del alambre.
III.
en la frontera entre el interior y el exterior del conductor. conductor.
La ecuación describe cómo el campo en el interior del conductor se magnético relaciona con el campo magnético en el exterior del conductor en el radio r = a, utilizando la función de Bessel y el coeficiente A determinado por las condiciones de igualdad
Fig. [3 y 4] Wikipedia (2005). Expulsión del campo magnético por debajo de la temperatura crítica. Recuperado De: https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Meissner#/ media/Archivo:EXPULSION.png media/Archivo:EXPULSION.png
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