Informe Del Metodo de Euler y Metodo Taylor

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

INFORME MÉTODO DE EULER Y MÉTODO DE TAYLOR

DOCENTE LIC. NUÑEZ RIVAS CARLOS

PRESENTADO POR: N ° APELLIDOS Y NOMBRES 1 BARBOZA ALTAMIRANO, ALEXANDER  2 CAMPOS PINEDO JOSÉ JIMY

3 4 5 6 7 8 9

CORONEL CASTILLO, CRISTHIAN MARCOS TORRES GARCÍA DANY PINEDO CAMPOS YIMMY HERRERA JARA KEVIN TAYSON DAMIÁN CAMPOS LUISIN FERNÁNDEZ NUÑEZ BRYAN CÉSAR  OCUPA GONZÁLES YANCARLOS

JAÉN - PERÚ 2019

 

CONTENIDO

I.

GENERALIDADES...........................................................................................................3 INTRODUCCIÓN..................................................................................................................3

II. 2.1. 2.1. 2.2. III. 3.1.

MÉTODO DE EULER...................................................................................................4   MÉ MÉTO TODO DO DE EU EULE LER R (ALG (ALGOR ORIT ITMO MO))..................................................................5 EJERCICIOS.............................................................................................................9 MÉTODO D DE ET TA AYLOR ...............................................................................................9 ...............................................................................................9 EJERCICIOS...........................................................................................................12

2

INFORME DE MÉTODOS NUMÉRICOS ELABORADO: GRUPO 03

 

I.

GENERALIDADES

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales sirven para modelar problemas de ciencias e ingeniería que requieren el cambio de una variable respecto a otra. En la mayor parte de ellos hay que resolver un problema de valor inicial, es decir, resolver una ecuación diferencial que satisface una condición inicial dada. En la generalidad de las situaciones de la vida real, la ecuación diferencial que modela el problema resulta demasiado complicada para resolverlo con exactitud, por lo que se recurr rec urree a dos dos pro proce cedim dimien ientos tos pa para ra apr aproxi oximar mar la soluci solución. ón. El pri primer meroo co consi nsiste ste en simplificar la ecuación diferencial de modo que podamos resolverla exactamente y utilizar después la solución de la ecuación simplificada para aproximar la solución de la ecuación original. El segundo, se vale de métodos para aproximar la solución de  problema original. Este procedimiento es el que se emplea por lo regular, pues los métodos de aproximación dan resultados más exactos y una información realista sobre el error. Los métodos que veremos no producen una aproximación continua a la solución del  problema de valor inicial. Por el contrario, se obtienen las aproximaciones en algunos  puntos específicos y, a menudo, igualmente espaciado espaciados. s. Si se requieren valores intermedios, se utiliza un método de interpolación, que generalmente es el de Hermite.

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INFORME DE MÉTODOS NUMÉRICOS ELABORADO: GRUPO 03

 

II.

MÉTODO DE EULER  

Este método tiene por objetivo obtener una aproximación de un problema  bien planteado planteado de valor inicial: dy =f  ( ( t , y ) ; a ≤ t ≤ b ; y ( a )=α ………… ………… (1) dx

En la práctica no se obtendrá una aproximación continua a la solución  y ( t ) ,  por el contrario, se generaran aproximacione aproximacioness a esa solución en varios valores, llamados “ Puntos de red ”; ”; en el intervalo [ a , b ]. Una vez obtenida la aproximación en los puntos, podemos obtener por interpolación la solución aproximada en otros puntos del intervalo. En primer lugar, estipulamos que los puntos de red tienen una distribución uniforme en todo el intervalo [ a , b ]. Garantizamos esta condición al seleccionar un entero positivo N y los puntos de red: t i=a + ih  

;

i =0,1,2,3 , … N 

La dist distan anci ciaa comú comúnn entr entree los los punt puntos os h =(b −a )/ N   recibe el nombre de “Tamaño de paso”. Ut Util iliz izar arem emos os el teor teorem emaa de Ta Tayl ylor or pa para ra de deri riva varr el méto método do de Eule Euler. r. Supongamos que  y ( t )  , la solución única de la ecuación: dv  = f   (( t , y ) , t ∈ [ a , b ] ; i =0,1,2,3 , … , N −   1 . dt  2

 y ( t i +1 )= y ( t i ) + ( t i+1−t i )  y ( t i) + ' 

( t i+ −t i ) 1

2

' ' 

  y ( Ei )

Para algún número  Ei en ( t i , t i+1 ). Si h =t i +1−t i  , entonces: 2

 y ( t i +1 )= y ( t i ) + h y ( t i ) + h  y ' ' ( E ¿ ¿ i ) ¿ ' 

2

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INFORME DE MÉTODOS NUMÉRICOS ELABORADO: GRUPO 03

 

Y como  y ( t )  satisface la ecuación diferencial  y ( t i +1 )= y ( t i ) + hf  [ [ t i . y ( t i ) ]+

h

dy  = f   (( t , y ) dt 

2

2

 y (  E Ei )……………..…. (2) '' 

El método método de Euler cons constru truye ye ω i ≈ y (t i), i =1,2,3 , … .. , N . Al eliminar el término restante. Por lo tanto: ω 0 = ∝1 ω i+ 1=ω 1+ hf   [[ t i , ωi ] i =0,1,2,3 , … , N −   1……. (3)

A la ecuación (3) se le llama “Ecuación de diferencias” asociada al método de Euler. II.1 II.1..

MÉTO MÉTODO DO DE EULE EULER R (A (ALG LGOR ORIT ITMO MO))

Para aproximar la ecuación del problema de valor inicial:  y = f  ( ( t , y ) , a ≤ t ≤ b , y ( a )=α  ' 

en ( N + 1 ) números uniformemente espaciados en el intervalo [ a , b ]: ENTRADA

extremos a, b; entero N; condición inicial α .

SALIDA

 N + 1 ] valores de t . aproximación ω a y  en las [ N 

 

PASO 1 Tome h =( b −a ) / N ; t =a ; ω =α ;

SALIDA ( t , w ) .

     

PASO 2

Para i =1,2,3 , … , N  haga  haga pasos 3, 4. PASO3

t = a + ih. (calcule t i )

 

 

Haga ω =ω + hf   (( t , ω) ; (calcule ω i)

PASO 4

SALIDA (t , ω ¿ . 5

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PASO 5

PARAR 

EJEMPLO 01: Supongamos que empleamos el método de Euler para aproximar la solución al problema de valor inicial.  y = y −t  + 1 , 0 ≤ t ≤ 2  y ( 0 )=0.5 ' 

2

Con  N =10 . SOLUCIÓN Entonces: h =0.2 ,t i=0.2 i ,ω 0=0.5 ω i +1=ω 1+ h ( ω i−t i + 1 ) 2

[

2

ω i +1=ω 1+ 0.2 ωi− 0.04 i

+1 ]

2 ω i +1=1.2 ωi −0.008 i + 0.2  ,

i = 0 , 1 , 2 , … , 9.

La solución exacta es:  y ( t ) =( t + 1 )2− 0.5 et  Demostración  x

 x ) = e , Aplicar el teorema de Taylor con f  ( x 1 2 t   x e =1 + x +  x e

 x

0 0

=  y n =1 obtenemos

2

Donde  E se encuentra entre x y cero. Por tanto: 1 2  E  x 0 ≤ 1+ x ≤ 1+ x +  x e =e 2

Y como 1 + x ≥ 0  x m

0 ≤ ( 1+ x ) ≤ ( e m

) =e mx

Si s y t son núm número eross rea reales les pos positi itivos vos ( a i )k i−0 es una sucesión que satisface a 0 ≥− t / s, y a i+ 1 ≤ ( 1 + s ) ai + t ,

i =1,2,3 , … , k ……………..(4)   …………..(4) … 6

INFORME DE MÉTODOS NUMÉRICOS ELABORADO: GRUPO 03

 

[ ]

a i+ 1 ≤ e (i+1 ) s a0 +

t  t  − s s

Demostración Para un entero fijo i , la desigualdad (4) implica que: a i+ 1 ≤ ( 1 + s ) ai + t 

]

 [

a i+ 1 ≤ ( 1 + s )  ( 1+ s ) a i−1+ t  + t 

 {

 [

] }

[

2

a i+ 1 ≤ ( 1 + s ) ( 1 + s )  ( 1+ s ) ai−2+ t  + t  + t  ⋮

a i+ 1 ≤ ( 1 + s )

t + 1

i

]

a 0+ 1+ ( 1+ s ) + ( 1+ s ) + … + ( 1 + s ) t 

Pero i

2

1 + ( 1 + s ) +(1 + s )

+… + ( 1 + s ) =∑ ( 1+ s ) i

 j

 j = 0

Es una serie geométrica con razón (1+s) y, por tanto, su suma es: i+1

1−(1 + s )

1

  =  [( 1+ s )i+ 1−1 ]

1−( 1+ s )

s

Por tanto a i+ 1 ≤ ( 1 + s )

i+ 1

a0 +

( 1+ s ) i + 1 − 1 s

 

i +1

t = (1 + s )

( ) a0 +

t  t  − s s

Y de acuerdo con la ecuación (2) con  x =1 + δ  dada  dada

[ ]

a i+ 1 ≤ e (i+1 ) s a0 +

t  t  − s s

Supongamos que f es continua y que satisface la condición de Lipschitz con la constante L en:  D =

{

t,y   ≤ t ≤ b ,− ∞