Informe de Teoría de Grupos y Teoría de Galois

 

Informe de Teoría de Grupos y Teoría de Galois En lo que nos basaremos fundamentalm fundamentalmente ente en este informe es explicar como la Teoría de Grupos es base para explicar la Teoría de Galois y a modo de introducción expondremos el típico problema del Polinomio de Grado 5; veamos: 

  Tenemos el siguiente polinomio de grado 1: a1.x1+a0= 0 De este conocemos su solución: x=-b/a



  Tenemos el siguiente polinomio de grado 2: a2.x2+a1.x1+a0=0 De este conocemos su solución:





  Tenemos el siguiente polinomio de grado 3: a3+x3+ a2.x2+a1.x1+a0=0 De este polinomio también tenemos su solución   Tenemos el siguiente polinomio de grado 4: a4+x4+a3+x3+ a2.x2+a1.x1+a0=0 De este polinomio también tenemos su solución.

El problema surge en:

¿Habrá una fórmula exacta para hallar las raíces de cualquier polinomio de grado 5? ¿ a5+x5+a4+x4+a3+x3+ a2.x2+a1.x1+a0=0 ? La respuesta es: No hay una formula especifica para poder hallar las raíces de un polinomio de grado 5 y esto se puede comprobar gracias a la famosa

teoría de Galois. Y a todo esto, ¿Quién es Galois? Evariste Galois (1811-1832) (1811-1832) era un genio d de e las matemáticass conocido por el desarrollo de la Teoría de matemática Grupos y muchas asociaciones como: Grupo de Galois, Cuerpos de Galois y Teoría de Galois. Siendo muy joven presento 3 artículos sobre matemáticas a la Academia de Ciencias las cuales fueron rechazadas por incompresibles. La razón de su muerte temprana fue que se enfrentó a un duelo de disparos por una chica y

 

días antes de este encuentro escribió todas sus investigaciones y gracias a estas contribuciones se logro revolucionar el mundo de las matemáticas. ¿Para que también podemos usar la teoría de Galois?  

  Podemos saber que polígonos se pueden dibujar con regla y compas.   ¿Por qué es imposible trisecar un Angulo?

Para entender un poco sobre Teoría de Grupos debemos tener en cuenta las operaciones binarias. ¿Operaciones binarias?: Cuando hacemos referencia a binarias debemos tener siempre presente (0,1), en la informática usualmente se usa para la toma de decisiones. Ejemplo: Vamos a la tienda y tenemos dos precios de cerveza: una de 4 soles y otra de 5 soles. Si nosotros queremos ser los más económicos posibles es claro que escogeremos la mas barata. En este contexto acabamos de realizar una operación binaria ya que elegimos la menos costosa de entre los dos precios. Sabiendo esto presentaremos la Teoría de Grupos: Definición:

Sea un conjunto G diferente del vacío y además una operación binaria (*); (*)  (G,*) es un grupo si se cumple:

1.  Asociativa: Se puede demostrar si: ∈

∈

∈

a   G, b   G, c   G (a*b)*c = a*(b*c) 2.  Existe un neutro: Se puede demostrar si: ∀a ∈ G ∃ eG/ a*eG = a ^ eG * a= a 3.  Existe un inverso: | |  =e eG  ∀a ∈ G ∃ a / a*a  = | | =eG  ∀a ∈ G ∃ a / a  *a =e

Grupo

 

Para obtener la Teoría de Galois necesitamos de un concepto adicional: Anillos. Definición:

Un anillo < G, +,*> es un conjunto con dos operaciones binarias que cumple:

1.  < G,*> es un grupo Abeliano  a*b = b*a (conmutativa) 2.  La multiplicación es asociativa: a.(b.c) = (a.b).c

Anillo

3.  La propiedad distributiva: 

a.(b+c) = (a.b) + (a.c) (a+b).c = (a.c) + (b.c)

Ahora necesitamos un último concepto que no hemos definido: Campo A la par con las propiedades del anillo, debemos adicionar esta para hablar de un Campo:

4.  1.x = x.1 (Identidad) a-1.a = a.a-1 (inversos)

Campo

Cabe recalcar que estas propiedades no son tan fáciles de cumplir, por ejemplo, si hablamos de una multiplicación de matrices no es los mismo decir: AxB que BxA (no cumple conmutativa). También debemos saber que la identidad de una matriz es 1 en diagonal y 0 en las demás casillas y no necesariamente necesariament e 1 (no puede cumplir identidad). Ejemplos de campo: Los números Reales, Los números Complejos. Ahora que tenemos definidos los conceptos necesarios veremos la teoría de Galois:

 

¿Qué hizo Galois?

Vio de otra perspectiva las matemáticas y encontró una relación entre los Campos y los Grupos.

Grupos

Campos Teoría de Galois Polinomios

En pocas palabras nos facilitó la vida, ¿Que es mas fácil? Trabajar con toda la teoría de anillos junto a la Teoría T eoría de Campos o trabajar con la Teoría de Grupos que se basa solamente en 3 propiedades. La respuesta es sencilla: Teoría de Grupos. ¿Cómo explico el problema del Polinomio de Grado 5?

Dijo que realizando todas nuestras operaciones binarias como la suma, resta, multiplicación, división, productos notables, potencias, radicales , etc no vamos a poder crear una formula exacta para poder encontrar las raíces de un polinomio de grado n >= 5. Esto no quiere decir que no podamos encontrar estas raíces, sino que no hay un método para todo polinomio de grado 5. Ahora lo fundamental, ¿Cómo logro relacionarlo relacionarlos? s? La respuesta es: extensiones, veamos:

Q(√(2))  a+b√(2) 

Tenemos el campo de los números Racionales, a este campo le agregamos la extensión (√(2)) y



Q  

por ende se forma un

campo mas grande que contiene a los racionales y que además conserva sus operaciones 

 

Gráficamente:

3(√(2))  2(√(2)) 

1/2+ (√(2)) 

Estamos generando un plano

(√(2)) 

Hay que ubicarnos en un ejemplo mas preciso y conocido por todos: Complejos

R(√(-1))  a+bi

Reales



R(√(-1))

Tenemos el campo de los reales que le añadimos la extensión √(-1) y

obtenemos el conjunto de los Complejos 

 

De estas extensiones va a nacer lo que se conoce como Grupos de Galois Ahora para completar de definir la Teoría de Galois debemos presentar dos conceptos: Isomorfismo y Automorfismo.

1.  Isomorfismo: Es una función biyectiva (inyectiva y sobreyectiva a la

vez).  2.  Automorfismo: Es un isomorfismo en si mismo, Ejemplo: Para asociar un poco estos conceptos tomaremos el campo K

 

 

a.

a. Permutaciones

b.

b.

K

K

Completando la definición definición::

K con extensión L  G(L/K) Son todos los automorfismos de k k

Grupo de Galois

Conclusiones Conclusion es sobre el problema del polinom polinomio: io:

Si un polinomio lo metemos a un campo, las soluciones de este grupo también van a tener soluciones en el Grupo de Galois, quiere decir que un polinomio tiene soluciones en el campo de K si y solo si el campo es soluble. ¿Qué operación binaria tiene? La composición.

Comprender en general la Teoría de Galois es una tarea muy compleja que usualmente en la carrera Matemáticas lo llevan en un semestre completo con el nombre de “Teoría de Galois”, lo que quiero plasmar en este articulo informativo es crear ideas para que podamos investigar sobre sus aplicaciones en las diferentes ingenierías.

 

Aplicaciones de la Teoría de Grupos y Teoría de Galois Las aplicaciones son muy extensas, se podría decir que es un tema fundamental para un ingeniero, pero centrándonos especialmente en la Ingeniería de Sistemas lo más conocido es: Criptosistemas Criptosistemas:

El mundo de la criptografía es muy extenso, pero he podido ubicar dos puntos de los cuales se enfocan los artículos científicos que son:   Criptografía y aritmética modular.   Criptografía y teoría de grupos.

 

Recordando los conceptos básicos de Criptografía: 1.  Algoritmo para generar la clave pública. 2.  Algoritmo para cifrar. 3.  Algoritmo para descifrar. Recordemos que la clave publica sirve para que las personas que nos quieran transmitir un mensaje cifren este y sea segura la comunicación. Luego sigue el algoritmo de cifrado y por último con la clave privada nosotros seremos capaces de descifrar el mensaje enviado, cabe recalcar que esta clave debe ser sumamente secreta. En estos tres conceptos se basa el estudio de la Criptografía. Del primer enfoque mencionado tenemos el Criptosistema ElGamal funciona con conceptos claves de Aritmética modular y se puede hacer demostraciones usando números primos pequeños, pero la esencia es usar primos muy grandes de 2 200  cifras para que nuestros mensajes sean indescifrables, se dice que una computadora, trabajando todos los días, en 10 años podría averiguar cuáles eran los números primos que cifraban y descifraban los mensajes. Pero ahora presentare el segundo enfoque con el Criptosistema MOR. Criptosistema MOR:

En el Crypto 2001, Paeng y otros propusieron un nuevo criptosistema de clave publica basado en el problema del algoritmo discreto en el grupo de automorfismos internos de un grupo finito no abeliano. Mas adelante, los mismos autores generalizaron su propuesta inicial.

 

Ese seria en pocas palabras la base fundamental para elaborar el algoritmo generador de claves publicas basada en Teoría de Grupos, la verdad que no logre hallar un ejemplo sencillo para poder explicarlo debido a mi reducido conocimiento en el tema, sin embargo, tiene mucha relación con la teoría presentada anteriormente.

 

Referencias:

  http://digibuo.uni http://digibuo.uniovi.es/dspace/bitstrea ovi.es/dspace/bitstream/10651/16318/1/TD_MariaIsab m/10651/16318/1/TD_MariaIsabel.pdf  el.pdf     https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas) 

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  https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos    https://www.youtube.com/watch?v=pCjK9zxW9aU 

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