Informe de Solidos de Revolucion

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN CURSO

DOCENTE

:

ANÁLISIS

:

MATEMÁ MATEMÁTICO TICO II

ING. HORACIO URTEAGA

BECERRA BECER RA

ESTUDIANTES: CHUQUIRUNA CHÁVEZ CHÁVEZ MARVICK ALAIN RAMIREZ CHÁVEZ CHÁVEZ ANTONY SOLANO VARGAS DIEGO RENA RE NATO TO VASQUEZ VÁSQUEZ HARLYN YEYSON

CAJAMARCA, CAJAMARC A, MAYO MAYO

DEL 2015

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Página 1

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

INTRODUCCIÓN Un sólido de reol!"ión es !na #g!ra sólida o$%enida "o&o 'rod!"%o de la ro%a"ión de !na región 'lana alrededor de !na re"%a "!al(!iera (!e es%) "on%enida en el &is&o 'lano* Una s!'er#"ie de reol!"ión es la s!'er#"ie e+%erior de !n sólido de reol!"ión, es de"ir, en"ierra !na 'or"ión del es'a"io den%ro de s-* En %)r&inos &ás .or&ales, si %ene&os dos .!n"iones "!/a grá#"a es%á en el 'lano, o$%endre&os lo (!e se deno&ina !n sólido de reol!"ión al ro%ar la grá#"a de la región 'lana en"errada 'or di"0as .!n"iones alrededor de !na re"%a dada 'or lo general 'aralela a !no de los e2es del 'lano "ar%esiano3* E&'leando el "ál"!lo in%egral es 'osi$le "al"!lar el ol!&en de s!'er#"ies de es%e %i'o* Sa$e&os (!e la in%egral es !na s!&a "on%in!a "on in#ni%os s!&andos, / a %ra)s de la de#ni"ión de Rie&ann en%ende&os (!e se %ra$a2a sie&'re "on ele&en%os de %a&a4o in#ni%esi&al los di.eren"iales, el (!e a'are"e en el s-&$olo de in%egra"ión3* En el 'resen%e in.or&e %iene "o&o o$2e%io &os%rar al le"%or las a'li"a"iones de la in%egral de#nida 'ara el "ál"!lo de ol5&enes de sólidos de reol!"ión, se 'resen%an e2e&'los !sando el &)%odo de la "or%e6a "il-ndri"a, anillo "ir"!lar, / dis"o "ir"!lar, as- "o&o s!s res'e"%ias grá#"as*

OBJETIVOS UTILI7AR LOS SO8T9ARES AUTOCAD, DERIVE :, E;CEL3 PARA EL DI COMO DETERMINAR LOS VOLUMENES DE LOS SÓLIDOS*

APLICAR LOS CONOCIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE LOS VOLUMENES DE LOS SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN MEDIANTE LOS M?TODOS APRENDIDOS PREVIAMENTE EN CLASE*

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Página @

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

PROBLEMA 1. H!""!# $" %&"'($) *$" +&",*& *$ #$%&"'-,) /$)$#!*& !" #&0!# "! #$/,) *$ "! ')-,):  y = x + 1  2 $" $3$ 4 3

5 "! #$-0! x =1  !"#$*$*&# *$  x =1 SOLUCION i*

BRÁ8ICA DE LA REBIÓN R* 3

R {( x , y )/− 1 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x + 1 }

 y = x

3

+1  x =1

Bra#"a N1

ii*

BRA8ICA DEL SOLIDO EN AUTOCAD

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Bra#"a N@ iii*

VOLUMEN DEL SOL>DO M?TODO DE LA CORTE7A CIL>NDRICA3* dV = 2 π ( 1− x ) ydx 1

∫ ( 1− x ) ( 1 + x ) dx

1

3

V =

Entonces

−1

3

+ x − x − x (¿) dx

4

1

∫¿

V =2 π 

−1

[

 x

v =2 π   x +

V =2 π (

V =

8 5

16 π  5

4

4

−

 x

2

2

 x

−

5

]

1

5 −1

)

undidade s

3

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PROBLEMA 6. Dada la región  R= {( x , y ) /(| x|−2 ≤ y ≤ 4 − x ) } 2

!7 E" %&"'($) *$" +&",*& -'!)*& /,#! !"#$*$*&# *$" $3$ 5 87 E" %&"'($) *$" +&",*& -'!)*& /,#! !"#$*$*&# *$" $3$ 596 SOLUCION a) i.

Gallando '!n%os de la "!ra

ii.

Gráfica en el derive 6

iii.

Sólido de revolución en autocad

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i*

VOLUMEN DEL SOL>DO M?TODO DE LA CORTE7A CIL>NDRICA3* 2

− x ( x ) (¿−| x|+ 6 ) dx V =∫ dV =2 π ∫ ¿ 2

∫− x − x + 6 x dx 3

V =2 π 

2

0

[

V =2 π 

− x

4

4

[

−

V =2 π  −4 −

 x

8 3

3

3

+

6 x

+12

2

2

]

2 0

]

[ ]

V =2 π 

V =

32 3

16 3

πUnid

3

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Página :

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b) i.

Sólido de revolución en autocad

ii*

VOLUMEN DEL SOL>DO M?TODO DEL ANILLO CIRCULAR3*

dV = π {( 2 + y 2)

2

−(2 + y ) } dx 2

1

 y 1= IxI −2  y 2= 4− x

{

2

dV = π  ( 6 − x

) −(| x|) } dx 2

2 2

dV = π { 36 −13 x + x } dx 2

4

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Página 

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4

2

( x −¿ 13 x + 36 ) dx 2

∫¿

V =2 π 

0

[

V =2 π 

 x

5

5

−

13 x 3

[ ]

V =2 π 

3

1312

656 15

+ 36 x

=

15

]

2 0

π unid

3

PROBLEMA . H!""!# $" %&"'($) *$" +&",*& *$ #$%&"'-,) /$)$#!*& !" #&0!# "! +';$#!# "&+ +&0?!#$+@ A'0&CAD2 *$#,%$2 E4-$"7

R$&#>!(&+ )'$+0#&+ -&)&-,(,$)0&+ !;#$)*,*&+ ;#$%,!($)0$ $) -"!+$2 ;!#! $" -"-'"& *$ %&"($)$+ '0,",>!)*& "&+ *,$#$)0$+ (0&*&+.

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