Informe de Redes de Flujo

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MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA MECÁNICA DE FLUIDOS – REDES DE FLUJO I.

Introducción

Las trayectorias del flujo de agua a través de los suelos y las correspondientes presiones de poro son extremadamente complejas debido a la manera aleatoria en que la permeabilidad puede variar de punto a punto y en diferentes direcciones. El flujo de agua a través de un suelo saturado se puede representar esquemáticamente por líneas de flujo, que son los caminos que toman las partículas de agua en movimiento. El agua tiende a seguir el camino más corto entre un punto y otro, pero al mismo tiempo, los cambios de dirección los hace solamente por curvas suaves. Es por ello que los métodos numéricos o matemáticos nos permiten aplicar un modelo para poder calcular el gasto, la carga total y el gradiente hidráulico en una presa; esto mediante las redes de flujo. Entendiendo una red de flujo como un grafo dirigido, donde la fuente es quien produce o inicia el traspaso de algún material o producto por los arcos, estos últimos, vistos como caminos o conductos y tomando en cuenta la ley de corrientes de Kirchhoff, donde, la suma de flujos entrantes a un vértice debe ser igual a la suma de flujos saliendo del vértice. II.

Objetivos

2.1. Objetivo general  Analizar mediante los métodos numéricos las redes de flujo 2.2. Objetivos específicos  Dar a conocer en que consiste una red de flujo.  Calcular el flujo por metro de presa  Dibujar un tubo piezométrico abierto en un punto cualquiera de la cuarta línea equipontencial III. Marco teórico 1. LEY DE DARCY El flujo de agua en un medio poroso cumple la ley de Bernoulli modificada:

……………. (1) Donde: g: aceleración de la gravedad. p1 y p2: presiones en dos secciones, 1 y 2, a lo largo de cierta trayectoria de flujo.

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y1, y2: elevaciones medidas de las secciones 1 y 2 con respecto a un plano horizontal arbitrario. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Velocidades de flujo en las secciones 1 y 2. Peso específico del agua. Pérdida de carga hidráulica entre las secciones 1 y 2 debida a la viscosidad del agua. La suma de los tres primeros términos en cada miembro de la ecuación anterior se llama carga hidráulica total, h. Los términos individuales se llaman, respectivamente, carga de presión, carga de posición y carga de velocidad. En todos los problemas prácticos de flujo de agua en suelos, la carga de velocidad v2 / 2g es despreciable (v raramente es de orden mayor de 0,1 m/seg, por lo que v2 / 2g es en general menor de 0,0005 m) y por lo tanto.

…………….(2)

La pérdida de carga ∆h entre dos secciones cualesquiera en un tubo de flujo (Figura 1) puede obtenerse por integración de la ecuación diferencial

…………….

(3)

Que representa una relación empírica, conocida como ley de Darcy, entre la velocidad de descarga v y el gradiente hidráulico V=-Kdh/ds en que ds se mide a lo largo dela trayectoria media de flujo. Hay una frontera superior y una inferior de la velocidad v que limitan el. Intervalo de validez de la ley de Darcy (Barrón, 1948); sin embargo, puede considerarse que en la mayoría de los problemas de ingeniería civil, entre ellos los de presas, la velocidad de descarga cae en dicho intervalo. Figura 1.

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2. EL COEFICIENTE DE CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA (K) La constante de proporcionalidad K en la ec 3 se denomina coeficiente de conductividad hidráulica tiene unidades [L/T] y puede interpretarse físicamente como la velocidad de descarga correspondiente a un gradiente hidráulico unitario. En la tabla 1 se presentan los intervalos aproximados de k para diversos suelos.

3. ECUACIÓN DE LAPLACE Si se supone que ni el agua ni el suelo se deforman volumétricamente y que este se encuentra totalmente saturado, entonces el caudal de agua que entra a cualquier elemento de suelo de un dominio de flujo es idéntico al caudal que sale de él, lo que puede expresarse mediante la ecuación de continuidad :

…………….

(4)

Dónde: vx, vy, vz son las velocidades de descarga en tres direcciones x, y, z, mutuamente ortogonales. Introduciendo en la ecuación anterior (ley de Darcy) se llega a la condición hidrodinámica que gobierna el flujo permanente del agua en suelos (ecuación de Laplace):

…………….

(5)

Se dice que hay flujo permanente cuando sus características no varían con el tiempo. La solución de la ecuación diferencial 5 con las condiciones de frontera apropiadas da la variación de la carga hidráulica, y por tanto la dirección del escurrimiento en todo punto de la zona de flujo En la mayoría de los casos que aquí se tratarán, las condiciones de flujo pueden considerarse aproximadamente bidimensionales y, por tanto, la ecuación de Laplace se reduce a:

…………….

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4. REDES DE FLUJO En aguas subterráneas son particularmente interesantes los cálculos de las redes de flujo del escurrimiento. Los cuales están fundamentados principalmente en la ecuación de Laplace, la cual si se considera un flujo laminar y permanente a través de un medio poroso, homogéneo e isotrópico, el fluido se moverá según la ley de Darcy. 4.1. Definición Las redes de flujo son modelos matemáticos aplicables a situaciones tales como: sistemas de tuberías (para fluidos como agua, petróleo o gas), redes de cableado eléctrico, sistemas de carreteras, sistemas de transporte de mercancías, etc. Entendiendo una red de flujo como un grafo dirigido, donde la fuente es quien produce o inicia el traspaso de algún material o producto por los arcos, estos últimos, vistos como caminos o conductos y tomando en cuenta la ley de corrientes de Kirchhoff, donde, la suma de flujos entrantes a un vértice debe ser igual a la suma de flujos saliendo del vértice. Se debe conocer los siguientes elementos:  Línea de Corriente: También llamada Línea de flujo es la trayectoria seguida por las partículas de agua al fluir a través del suelo.  Línea Equipotencial: Es aquella que une puntos en donde se tiene el mismo potencial hidráulico o carga hidráulica.  Tubo de Corriente: Es el espacio comprendido entre líneas de corriente vecinas.  Celda de Flujo: Es el espacio comprendido entre dos líneas equipotenciales vecinas y dos líneas de corriente vecinas. Por lo tanto la Red de Flujo es el conjunto de líneas de corriente y de líneas equipotenciales. 4.2. Deducción matemática de la red de flujo La deducción matemática de la red de flujo está basada en que el suelo está saturado, que el volumen de agua en los poros permanece constante durante el flujo y que el coeficiente de permeabilidad es el mismo en todos los puntos y en cualquier dirección. La ecuación básica del flujo, la ley de Darcy, se descompone en las componentes y y x:

Donde: i= carga hidráulica K= coeficiente de permeabilidad = incremento de carga La velocidad de filtración v es la cantidad de flujo o gasto dividida entre el área de flujo y las ecuaciones pueden escribirse así:

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El flujo a través de un elemento pequeño de suelo que tenga las dimensiones: dx, dy y J se expresa en la forma siguiente:

Si el volumen en los poros permanece constante, la cantidad de flujo que entra es igual a la que sale, de manera que igualando las dos expresiones anteriores y simplificando se tiene:

Y sustituyendo las velocidades de sus ecuaciones respectivas se tiene:

Esta es la ecuación de Laplace que indica la pérdida de energía en un medio resistivo. Esta ecuación representa dos grupos de líneas, cada uno de los cuales contiene un número infinito de curvas paralelas, las cuales se intersectan en ángulo recto, como se muestra en la siguiente figura. Las líneas equipotenciales forman un grupo y las líneas de flujo otro, y el conjunto forma una red de flujo.

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4.3. Trazo de la red de flujo La red flujo en dos dimensiones obtenida anteriormente es una representación muy útil del modelo de filtración a través de presas de tierra en una gran excavación y por debajo de un muro de contención de tierras. Desafortunadamente la ecuación de Laplace es matemáticamente integrable solo en condiciones muy simples por lo que en la práctica es necesario emplear otros métodos para obtener la red de flujo. El procedimiento gráfico de Forcheimer es simple y aplicable a cualquier problema de flujo en dos dimensiones. El espacio entre cualquier par de líneas de flujo es un canal de flujo. Si un cierto número de canales de flujo N f, se selecciona de manera que el gasto a través de cada uno q sea el mismo, se tiene:

La pérdida de carga entre cualquier par de líneas equipotenciales es la caída equipotencial h'. Si se selecciona un cierto número de caídas equipotenciales ND, de manera que todas sean iguales, se tiene:

El ancho de cualquiera de los elementos de esa red de flujo es a y la distancia entre las líneas equipotenciales es b, como se indica en la figura anterior (b), (la tercera dimensión es 1). El gradiente y el gasto están dados por:

El gasto total de la red, cuya tercera dimensión es 1 se expresa por: ………… (1)

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La razón (a/b) está fijada por la razón N f / ND, y es la misma a través de toda la red. Si se selecciona Nf y ND de manera que a = b, la ecuación del gasto (siendo la unidad, la dimensión perpendicular al plano de la red de flujo) es: ….………. (2) A esto se le llama una red cuadrada porque todas las intersecciones entre los lados son en ángulo recto y el largo y el ancho promedios son iguales. Debe entenderse sin embargo, que el término cuadrado se usa en un sentido descriptivo, ya que los lados opuestos de las figuras no son necesariamente iguales y raramente son líneas rectas. El primer paso para la construcción de una red de flujo es hacer un dibujo a escala (fig. 1a) que muestra la masa de suelo, los límites permeables a través de los cuales el agua entra y sale del suelo y los límites impermeables que limitan o confinan el flujo. Segundo, dibujar de dos a cuatro líneas de flujo que formen ángulos rectos con los límites permeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelos a los límites impermeables (fig. 1b). Tercero, dibujar líneas equipotenciales que formen ángulo recto con las líneas de flujo (fig. 1c), de manera que el ancho y largo de cada figura sean iguales. Cuarto, se reajustan las líneas de flujo y las equipotenciales hasta que todas las intersecciones sean en ángulos rectos y el largo y el ancho de cada figura sean iguales (fig. 1d). Las figuras entre un par de líneas equipotenciales pueden aceptarse si son rectangulares; pero cada rectángulo debe tener la misma razón a/b. En este caso la caída equipotencial es una fracción de las otras. El gasto se calcula con la ecuación (2), usando los valores de Nf y ND encontrados en el gráfico final. Esta cantidad se multiplica por la tercera dimensión perpendicular al plano de la red de flujo, para tener el gasto total. Se necesita mucha práctica para llegar a ser un experto en el trazado de redes de flujo y es necesario hacer muchos tanteos para lograr una solución aceptable.

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4.4. Cálculo del gradiente hidráulico En los puntos de una región de flujo en la que se haya trazado una red de flujo es posible encontrar el gradiente hidráulico, así como la velocidad del agua. Para ello bastará trazar por el punto en cuestión el segmento de la línea de flujo que pase por él y que quede contenido dentro del cuadrado en que haya caído el punto. Entonces la caída entre equipotenciales de la red, Ah, dividida entre la longitud de línea de flujo en la que ocurre dicha caída proporciona el gradiente hidráulico medio en ese tramo que incluye el punto en cuestión. Mayor aproximación al gradiente específico en el punto se puede tener subdividiendo el cuadrado en otros menores, cada vez más en torno al punto. Una vez que se tiene el gradiente en el punto, bastara multiplicarlo por el coeficiente de permeabilidad del suelo, para tener la velocidad del agua en magnitud, según la ley de Darcy; dicha velocidad será tangente en el punto a la línea de flujo que pase por él y estará dirigida en el sentido del flujo.

5. MÉTODO DE RELAJACIÓN El método de relajación permite obtener la solución de la ecuación de Laplace por diferencias finitas. 5.1.

Derivación:

Para infiltración en dos dimensiones, y para flujo permanente, la distribución de la altura de carga la ecuación de Laplace toma la forma:

En la figura siguiente se muestran las alturas de carga en una región determinada.

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Para flujo en la dirección x, la relación entre las alturas de carga h1, h0, y h3, usando la expansión en series de Taylor.

Sumando las ecuaciones (2) y (3), se obtiene:

Despreciando los términos mayor orden, asumiendo que un paso dx lo suficientemente pequeño, la ecuación (4) se puede reescribir como:

Sustituyendo las ecuaciones (5) 7 (6) en la ecuacion (1), se obtiene:

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5.2.

Ley de Darcy

Puntos Simétricos:

Para diferentes condiciones de borde, se pueden escribir diferentes ecuaciones para evaluar la carga. Se presentan a continuación seis casos: Caso (a): Elemento básico para región uniforme

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Caso (b): Borde impermeable

Caso (c): Esquina

Caso (d): Esquina región exterior

Caso (e): Pila

Caso (f): Capas de suelo

…… (f)

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IV. Procedimiento Ejemplo. Red de flujo bajo una presa

1. Planteamiento La presa del dibujo se asienta sobre materiales cuya conductividad hidráulica es 0,3 m/día. Bajo dichos materiales se encuentra un sustrato impermeable. Se pide: a. Dibujar la red de flujo bajo la presa b. Calcular el flujo por metro de presa (un metro perpendicular al dibujo) c. Dibuja un tubo piezométrico abierto en un punto cualquiera de la cuarta línea equipontencial. Calcular hasta dónde subiría el agua. a) Dibujo de la red de flujo Se han dibujado tres líneas de flujo, pero eso es subjetivo (red más densa, solución más precisa, pero más difícil, o imposible, de realizar a mano).

∆h = 6m

La base de la presa y la formación impermeable inferior funcionan como líneas de flujo, por tanto, las equipotenciales deben cortarlas perpendicularmente. Hemos de suponer que una gota procedente del infinito (a la izquierda del dibujo) circula pegada al fondo y finalmente asciende fuera del dibujo por la derecha. Esto nos hace considerar que además de todos los cuadros dibujados también aparecen dos “cuadros abiertos”, a la izquierda y a la derecha de la red dibujada Por el contrario, el agua a ambos lados de la presa es una línea equipotencial: es obvio que todos los puntos del fondo de un lago tienen el mismo potencial. Por tanto, las líneas de flujo nacen y terminan perpendicularmente, Aunque parezca que cumple las normas (huecos cuadrados, cortes perpendiculares) hemos dibujado círculos inscritos en algunos huecos, observando que algunos pueden ser aceptables (en verde, punteados), pero la mayor parte de ellos no son cuadrados (los de color rojo, interior sin puntos).

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∆h = 6m

Es muy difícil dibujar a mano (como es el caso) una red de flujo perfecta, pero para mostrar cualitativamente el flujo y para el cálculo que realizaremos ahora, la precisión es suficiente. b) Cálculo del caudal bajo la presa Vamos a aplicar la Ley de Darcy a un tramo de presa de 1 metro. Calcularemos el caudal para uno de los cuatro tubos de corriente, por ejemplo el que aparece punteado en la figura.

∆x

Y dentro de este tubo aplicaremos la Ley de Darcy a la sección de una de las superficies equipotenciales, cuya anchura en esa equipotencial sería a. Consideremos ese tubo aislado y apreciamos que la sección es igual a: Sección = a · 1 La distancia entre esa equipotencial y la Siguiente es Δx y la diferencia de potencial Entre ellas será: Δh =

6 metros = 0, 4 metros 15 intervalos

1m

∆x

Efectivamente, contamos el número de etapas o intervalos (que es igual al número de equipotenciales + 1), y si pierde 6 metros en todo el recorrido, que se compone de 15 etapas, en cada una perderá 6/15.

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Por tanto, el gradiente hidráulico entre las dos superficies equipotenciales dibujadas en la última figura será Δh / Δx = 0,4 · Δx Finalmente aplicamos la Ley de Darcy: Q = K · Sección · (Δh / Δx) 0, 4 Q = 0,3 m/día · (a · 1) m2 · = 0,12 m3/día Δx Aunque desconocemos los valores de a y de Δx, se cancelan, ya que son iguales al ser la red cuadrada. Finalmente, multiplicamos por el número de tubos: Q total = Q por cada tubo · nº de tubos = 0,12 · 4 = 0,48 m3/día Este sería el caudal por cada metro, faltaría multiplicar por los metros de longitud de la presa. c) Altura del agua en un punto Si abriéramos un tubo piezométrico en la cuarta línea equipotencial, el agua subiría hasta una altura de 1,6 metros por debajo del nivel inicial (lado izquierdo de las figuras). Veamos por qué:

∆h = 6m

Ya hemos visto en el apartado anterior que entre dos equipotenciales consecutivas la pérdida de energía corresponde a 0,4 metros1 Por tanto, en cuatro intervalos habrá perdido: 0,40 • 4 = 1,6 metros

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V. CONCLUSIONES  Se analizó las redes de flujo con los métodos numéricos  Se calculó el flujo por metro de una presa  Se dibujó el tubo piezométrico abierto en un punto cualquiera de la cuarta línea equipontencial. VI. BIBLIOGRAFIA  http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/8530/Capitulo2.pdf  http://icc.ucv.cl/geotecnia/03_docencia/03_clases_catedra/clases_catedra_ms2/agua_en_l os_suelos_2.pdf  http://www.efn.unc.edu.ar/departamentos/hidraul/Obras%20Hidrauilcas/oh_archivos/Apu nte%20Solucion%20de%20Laplace.pdf  http://www.slideshare.net/Dagomoren/metodos-numericosparaingenieros5ed

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