Informe de Programación Lineal - Investigación de Operaciones
September 16, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Tomás Chávez, Francisca Micolich – Taller 1 – Investigació Investigación n Operativa
12 de Mayo de 2014
Taller 1
Investigación Operativa Otoño 2014
Tomás Chávez y Francisca Micolich
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Tomás Chávez, Francisca Micolich – Taller 1 – Investigació Investigación n Operativa
12 de Mayo de 2014
Introducción Muchas ciudades del mundo han recientemente instalado sistemas de bicicletas públicas, con el objetivo de estimular a los ciudadanos a incrementar el uso de este medio de transporte, de forma de estimular el desarrollo sustentable y equitativo, mejorar la calidad de vida de las personas y reducir los niveles de contaminación. Los sistemas de bicicletas públicas permiten a las personas arrendar bicicletas en distintas estaciones esparcidas en una ciudad, utilizarlas y luego devolverla en una estación diferente. Uno de los factores principales que se debe tomar en cuenta para asegurar el éxito de estos proyectos es que el sistema debe ser capaz de adaptarse a las fluctuaciones de la demanda de bicicletas y de espacios para dejarlas. Esto se logra manejar a través de un proceso de reposición, en donde se toman cierto número de bicicletas de una estación a otra, haciendo transferencias de modo de cumplir con las exigencias del público. En el presente trabajo, se nos ha presentado un problema de este tipo, en donde se cuenta con información de la demanda semanal y la tarea de reposición la realiza un solo camión, el cual debe cargar y descargar bicicletas en las estaciones existentes. Dado lo anterior, comenzaremos formulando un modelo matemático que permita encontrar la solución a este problema. Luego, analizaremos lo resultados obtenidos, para después formular el mismo problema con una restricción adicional de tener que establecer el número total de bicicletas. Finalmente, discutiremos los aprendizajes y principales resultados resultados obtenidos.
Desarrollo a) Formulación del problema Como mencionamos anteriormente, en nuestro problema nos pondremos en el lugar de una pequeña ciudad en la cual se ha implementará un sistema de bicicletas públicas próximamente. Para esto se han construido I estaciones estaciones donde los usuarios pueden buscar una bicicleta durante el día y devolverlas antes de la hora tope. El uso de las bicicletas es gratuito, pero si el usuario no la devuelve dentro del mismo día debe pagar una multa considerable, por lo que se puede considerar que las bicicletas serán siempre devueltas dentro del mismo día. La devolución no necesariamente se realiza en la misma estación que la bicicleta se retiró. Las bicicletas serán colocadas para iniciar el servicio un día lunes en la mañana en sus estaciones iniciales. Todas las noches se pueden reubicar bicicletas entre estaciones para estar disponibles al
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día siguiente. De acuerdo a los estudios previos, el uso en las distintas semanas es similar, por lo que para nuestro análisis se considera una única semana de manera cíclica y se repite. Es importante destacar que el problema debe estar planteado de una manera que la disposición de las bicicletas para el primer día del programa (primer Lunes) sea idéntica a la de todos los otros Lunes en la mañana, ya que de otra manera, nos podría dar una so lución “espiral” que varíe de semana a semana (por una clase de efecto dominó), lo que en resumidas cuentas haría que al ingresar el problema al sistema computacional, este no pudiera parar de calcular (pues reemplazaría la solución de una semana por la de la semana siguiente, y repetiría ese ciclo con esa semana también y con las que le sucedieran, quedando en un loop sin salida). Podemos definir el problema en dos partes: p artes: 1. El número total de bicicletas serán ubicadas el primer día lunes en sus estaciones iniciales. 2. Todas las noches se podrán reubicar las bicicletas para cumplir con la demanda de los usuarios, por lo que se debe definir una estructura de reposición. Para comenzar, tenemos que los parámetros dados por el problema son:
= Conjunto de estaciones i Capacidad de la estación i Bicicletas que los usuarios toman desde la estación i y las dejan en la estación j el día d
Capacidad del camión Costo por parar en la estación i
Costo por descargar una bicicleta en la estación i desde el camión Costo por cargar una bicicleta desde la estación i al camión
Número total de bicicletas
Luego, definiremos nuestras variables de decisión como las siguientes:
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; toma valor 1 si el camión se detiene en la estación i el día d , 0 si no se detiene a la
reposición Número de bicicletas a cargar en el camión desde la estación i el día d
Número de bicicletas a descargar del camión a la estación i el día d Definiremos también, como forma de complementar la formulación del modelo, ciertas
variables auxiliares y de estado:
Número de bicicletas que hay en la estación i al comienzo del día
Número de bicicletas que hay en la estación i luego que haya pasado el camión la noche del día d
Número de bicicletas que transporto desde la estación i a la siguiente estación.
RESTRICCIONES 1. Asignación inicial del día lunes a.
Se debe cumplir con la demanda
b.
No se debe sobrepasar la capacidad de las estaciones
c.
No se debe superar la capacidad de la estación durante el día, cuando los usuarios saquen y dejen bicicletas.
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2. Asignación de semana tipo – Todas Todas las noches se podrán reubicar las bicicletas con un camión.
1. Cada estación es visitada a lo más una vez en el día
2. Las bicicletas que transporte desde i deben respetar la capacidad del camión
3. Las bicicletas cargadas o descargadas no deben superar la capacidad del camión
4. La cantidad de bicicletas en la estación i del día d deben deben ser igual a las bicicletas que había al comienzo del día, más las cargadas menos las que han sido descargadas, más las que han sido dejadas por los usuarios provenientes de cualquier origen menos las que han sido tomadas hacia cualquier destino.
( )
5. La dotación inicial no debe superar la capacidad de la estación.
6. La dotación final no debe superar la capacidad de la estación.
7. La dotación inicial de la estación debe cumplir con la demanda del día.
8. Lo que quede al final del día d, luego de la reposición será la dotación inicial del día siguiente.
9. Al principio del día, todas las bicicletas se encontrarán en contrarán ubicadas en las estaciones.
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10. Al final del día, todas las bicicletas se encontrarán enco ntrarán ubicadas en las estaciones.
11. Se podrán cargar en el camión a lo más lo disponible en la estación, es decir, lo que había inicialmente más las bicicletas dejadas por los usuarios menos las que se han llevado hacia otras estaciones
12. Se podrán descargar en la estación a lo más lo que permita el espacio residual, dado por las bicicletas que están en la estación en el momento.
( )
13. Todas las bicicletas cargadas, son eventualmente descargadas.
14. No No se puede llegar a una estación sin cargar ni descargar una bicicleta. 15. Lo que lleva el camión desde la estación i será igual a todo lo que ha cargado hasta esa estación, menos lo que ha descargado.
{ }
16. Al inicio del recorrido, el camión está descargado, por lo que no tiene bicicletas para descargar.
17. Al final del recorrido, el camión está descargado, por lo que no lleva ninguna bicicleta hacia otra estación, ni tampoco puede cargar bicicletas
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Nota: Conjunto D es ordenando circular o cíclicamente, es decir si d=1, d-1=7, ya que la #D=7. 18. Naturaleza Naturaleza de las variables
{}
Finalmente, el objetivo del problema es minimizar los costos de parar en las estaciones; costo que lleva asociado un costo suplementario por cargar o descargar bicicletas. Por ende, nuestra función objetivo será la siguiente:
Lo anterior, sujeto a las restricciones planteadas anteriormente, nos debería llevar al resultado óptimo.
b) Resultados Obtenidos Utilizando el software de Open Solver, pudimos llegar a una asignación eficiente de nuestras variables de decisión. (Anexo) A partir de los valores encontrados, podemos ver que la función objetivo que busca minimizar los costos del sistema de reposición de las bicicletas públicas, nos da un valor de $562. Es decir, es el mínimo costo que se puede pagar si se cumple con todas las condiciones expuestas en el punto anterior. En un principio, el programa Open Solver nos decía que no podía encontrar una solución optima. Esto quería decir que tal como estaba planteado el problema en ese momento, no aceptaba una solución factible, pues al ser de naturaleza lineal, se tenía el 100% de certeza que no existía una solución. Dado esto, se tuvo que revisar cada una de las restricciones para ver si se encontraban errores (tanto de traducción algebra-excel como de concepción algebraico-matemática del problema en si), y también se concluyó que de ser errores menores (es decir, no había una Página 7 de 17
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traducción que estuviese completamente mal, como poner la relación de igualdad al revés en una restricción), entonces el problema constaba con restricciones bastante “apretadas”, lo que significaba que probablemente el espacio de soluciones factibles era “pequeño”. Hay que entender que los espacios de soluciones factibles para problemas que tienen variables discretas son finitos, por lo que si bien el problema podría contar con un espacio “existente”, de tener restricciones lo suficientemente “ajustadas”, estas podrían dejar un espacio vacío a la hora de considerar variables discretas. Es imaginarse un polígono sobre un plano cartesiano, y este polígono se encuentra dentro de un “cuadrado de intersecciones”, pero realmente no toca ninguna intersección de enteros, por lo que para fines discretos, el polígono no existiría.
Una vez comprendido lo recién expuesto, se tuvo especial cuidado con revisar las restricciones del problema, a modo de que estas estuvieran correctamente planteadas, pues al ser un problema de naturaleza discreta, las probabilidades de que un error eliminara cualquier solución factible eran mucho mayores. c) Adición de Restricción de número de bicicletas a utilizar. En esta sección consideraremos el mismo modelo planteado inicialmente, sin embargo, el número de bicicletas a utilizar será ahora también una de las incógnitas a optimizar. Consideraremos que por cada bicicleta que se considera, se incurre en un costo semanal y por cada día que se utilice el camión para reubicar bicicletas se debe pagar un costo fijo. En este caso tendremos el siguiente modelo matemático:
DEFINICIÓN DE VARIABLES Parámetros Costo semanal por cada bicicleta considerada en la flota
Costo diario fijo por usar el camión.
Variables de decisión ; toma valor 1 si se utiliza el camión el día d , y 0 si no.
Número total de bicicletas a utilizar en la flota (ya no es parámetro)
FUNCIÓN OBJETIVO
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RESTRICCIONES NUEVAS 1. Uso del camión a. Si se usa el camión, se podrá parar en alguna estación.
∑
b. No usar el camión sin la necesidad de hacerlo.
2. Flota a. Se debe asegurar tener espacio para toda la flota. b. Las bicicletas deben ser suficientes para la demanda.
{}
3. Naturaleza de las variables
Nota: Hay que entender que todas las restricciones anteriores que incluyeran “N” se ven afectadas, pues ahora el “N” es una variable. Sin embargo, la estructura algebraica no cambia pues sigue cumpliendo los requisitos de un modelo de programación lineal.
Finalmente, resolviendo el modelo anterior con Open Solver, pudimos obtener que el valor de la función objetivo, en donde se busca minimizar el costo de la reposición, el resultado óptimo es $1.253.218.
Conclusiones Este trabajo ha buscado formular y resolver un problema tanto de operación del sistema de bicicletas públicas como de inventario a determinar para cumplir con las exigencias de la demanda de este servicio. En un primer lugar analizamos un problema el cual tenía el número de bicicletas como un parámetro dado y en donde tuvimos que definir la forma optima de asignar Página 9 de 17
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las bicicletas a las estaciones y determinar el número de transferencias a realizar por el camión entre las estaciones. Luego, formulamos el mismo problema pero con la diferencia que se debía también asignar el total de bicicletas a adquirir para implementar el proyecto de bicicletas públicas. En primer lugar, con respecto a la naturaleza del problema, podemos observar cómo la reposición eficiente de las bicicletas juega un rol fundamental en el funcionamiento de este tipo de sistemas públicos. También debemos mencionar que al problema se le pueden agregar un mayor número de variables e incorporar factores dinámicos y temporales, como por ejemplo, inclusión de las rutas que tomará el camión o la fluctuación entre de las horas del día y la demanda, entre otras. Para nosotros fue un problema difícil de plantear, tanto por el hecho que la distribución de los días funciona de forma cíclica y también porque el problema cuenta con un número considerable de restricciones que deben cumplirse para que funcione óptimamente el servicio. También se tuvo que tener cuidado con plantear muy bien las restricciones ya que al ser un problema con variables discretas, la posibilidad de que un error hiciera vacía la región de soluciones factibles era mucho mayor. Finalmente, comparando el planteamiento B con el C, nos damos cuenta que el uso del camión se vuelve más intensivo en el C, dado que se tienen menos bicicletas, por lo que se hace necesario trasladarlas de un lugar a otro para poder suplir la demanda, cosa que no sucede al tener 500 bicicletas (B), pues se tienen bicicletas de sobra, por lo que si bien un u na estación puede “perder” bicicletas un día, aún así esta quedará con bicicletas suficientes como para cumplir los requerimientos de días futuros. Es por esto que en la parte C suben los costos relacionados al uso del camión (considerando que estos costos variables existiesen para el planteamiento en B). Algo similar sucede al comparar los costos de la flota de bicicletas en ambos problemas. Si suponemos que el costo variable por bicicleta existiese en la parte B, estos serían considerablemente más altos que en la parte C, pues la cantidad de bicicletas que se emplean en C es alrededor de 2/3 de lo que se usa en B (500 bicicletas para B). Es así como podemos ver que si bien C aumenta sus costos relacionados al uso del camión, esto no se compara con los costos que implica tener una flota tan grande de bicicletas en B. Dicho de otra manera, es más el beneficio que trae disminuir sustancialmente la flota de bicicletas (aún cuando esto signifique aumentar en 3 días el uso del camión para cada semana, es decir, usarlo de Lunes a Domingo) dado en la parte C, que tener una flota extremadamente grande (500 bicicletas en B) a modo de poder disminuir el uso del camión (solo 4 días por semana). Esta comparación se explicita en el anexo 3.
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Anexo 1. Resultados variables de decision parte a)
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0 0
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0 0
0 0
0 1
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33 24 32 26 15 30
32 18 32 27 19 28
14 23 31 29 17 27
15 24 33 41 12 28
7 8 9 10
41 46 26 64
41 42 34 57
52 40 30 53
30 44 36 53
25 54 38 55
26 54 34 55
28 59 39 55
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15
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12 13 14
48 22 19
49 19 30
48 23 30
57 20 37
56 25 36
51 41 39
51 17 28
15
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29 22 25
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14 23 31
15 24 33
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4 5 6
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25 14 18
26 15 30
27 19 28
29 17 27
41 12 28
42 19 28
7 8
41 42
52 40
30 44
25 54
26 54
28 59
41 46
9 10 11 12 13 14 15
34 57 30 49 19 30
30 53 28 48 23 30
36 53 15 57 20 37
38 55 15 56 25 36
34 55 26 51 41 39
39 55 32 51 17 28
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Anexo Resultado variables de decisión parte c)
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0 1 0 1 1 1
1 0 1 0 0 1
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4 7 0 0 5
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25 0 11 11 12
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25 41 31 31 4
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0 0 0 0 0
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0 5 0 0 0
9 10 11 12 13 14 15
3 0 0 0 0 0
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0 1 0 0 0 10
13 0 0 0 0 2
0 0 0 9 0 0
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0 0 4 1 0 0 0
0 0 0 0 11 0 0
0 0 0 0 2 8 0
0 0 0 0 0 9 0
10 0 27 4 0 0 0
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4 5 6 7 8 9
24 19 23 25 34 26
27 12 21 35 42 31
25 14 29 27 36 30
26 13 27 30 29 36
27 14 28 25 39 25
29 12 27 26 39 30
23 17 23 12 42 39
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5
6
7
1 2 3
27 5 34
28 8 25
27 13 25
26 7 25
17 23 24
18 24 26
26 14 31
4 5 6 7 8
27 12 21 35 42
25 14 29 27 36
26 13 27 30 29
27 14 28 25 39
29 12 27 26 39
23 17 23 12 42
24 19 23 25 34
9 10 11 12
31 28 26 36
30 28 25 35
36 27 12 55
25 29 12 56
30 28 22 42
39 55 32 26
26 35 28 35
13 14 15
19 28
23 32
20 29
33 26
31 29
6 16
22 17
23
29
25
22
15
35
35
1
2
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1
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1
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Tomás Chávez, Francisca Micolich – Taller 1 – Investigació Investigación n Operativa
N
12 de Mayo de 2014
Número de bicicletas 394
Anexo 3. Comparación Resultados parte a) y c) Costos parte B
Costos parte C
NG RdF
$ 1,182,000 $ 70,000
$ 1,500,000 $ 40,000
NG RdF
Parte C
Parte B Original
$
562
<
$ 1,253,218
Original
PiXi + BiYLid + CiYUid
$
562
<
$
1,218
PiXi + BiYLid + CiYUid
PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF
$
40,562
<
$
71,218
PiXi + BiYLid + CiYUid + NG PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF +
$ 1,500,562 $ 1,540,562
> >
$ 1,183,218 $ 1,253,218 1,253 ,218
NG
PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF PiXi + BiYLid + CiYUid + NG PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF + NG
Bibliografía Tal Raviv, Michal Tzur, Iris A. Forma (2013), Static Repositioning in a Bike-Sharing System: Models and Solution Approaches, Industrial Engineering Department Jia Shu, Mabel C. Chou, Qizhang Liu, Chung-Piaw Teo , I-Lin Wang (2013), Models for Effective Deployment and Redistribution of Bicycles within Public Bicycle-Sharing Systems Rickenberg, Tim A., Gebhardt, Andreas, Breitner, Michael H., A DECISION SUPPORT SYSTEM FOR THE OPTIMIZATION OF CAR SHARING STATIONS , University of Hannover
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