Informe de Laboratorio Nº 4

INFORME DE LABORATORIO Nº 4 CAPACITANCIA DEPENDIENTE DE SUS DIMENSIONES GEOMETRICAS 1. Objetivos. 

Verificación experimental del modelo matemático de la capacitancia en función de sus dimensiones geométricas (distancia, área). Determinación aproximada del valor de la permitividad del vacío con un error probable del 1%.

2. Fundamento Teórico.En el caso de un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de éstas:

A

 2 D 4

Donde: C: capacitancia eléctrica, Faradio A: área de las placas, m2 d: distancia entre las placas, m

: Constante de permitividad eléctrica del medio, Como es sabido de la teoría electrostática, una configuración de electrodos cargados en una determinada región del espacio, conlleva la presencia de un campo eléctrico en dicha región y en sus alrededores. A través del análisis de dicho campo eléctrico se puede obtener matemáticamente la diferencia de potencial entre los electrodos. Q Visto de otra forma, se podría decir que al aplicar una diferencia de potencial a un par de electrodos dispuestos en una geometría determinada, en ellos se almacenará una cantidad determinada de carga, tal como se muestra en la Figura 1, la cual también puede ser calculada matemáticamente.

E Figura 1. Capacitor plano paralelo conectado a una fuente de voltaje. Las placas tienen cargas iguales de signo contrario distribuidas en su superficie, ya que son conductoras.

V En la práctica, la medición de carga es más complicada que la de voltaje, razón por la cual tiene sentido determinar la cantidad de carga a través de una magnitud física relacionada con la geometría de los electrodos utilizados y el medio en el cual se encuentran. Como ya se ha indicado, esta magnitud llamada Capacitancia solo dependerá de la geometría de los electrodos (X,Y,Z) y el medio (є) entre ellos. Quizás la geometría mas sencilla de analizar sea la del capacitor de placas paralelas, ampliamente utilizado. En este capacitor se puede hacer la idealización de estar formado por placas infinitas cuando el tamaño de las placas es mucho mayor que la distancia entre las mismas, a partir de lo cual se demuestra que el campo eléctrico es constante al interior de las placas y cero por fuera de ellas.

3. Hipótesis Experimental. 

El comportamiento o variación de la capacitancia en función de sus dimensiones geométricas es en forma de una hipérbole de 1er grado q pasa por el origen de coordenadas. Si la permitividad del vacío se considera constante como proporcionalidad (entre la capacitancia y el área e inversamente proporcional a la distancia) entonces no depende de la capacitancia ni de sus dimensiones geométricas.

4. Sistema Experimental.Nº 1

INSTRUMENTO Capacimetro Capacitor de Placas Planas

CARACTERISTICA 0 – 200 pF Sección Circular (aluminio)

5. Instalación del Sistema de Experimentación.-

Capacitor plano de placas paralelas

Capacimetro

   

Primeramente y después del reconocimiento de los instrumentos se debe conectar el equipo. Luego se debe registrar la capacitancia a distintas distancias respectivamente. Cuidando la escala máxima en cada una de las medidas. Finalmente se debe realizar el procesamiento de datos

6. Registro de Datos Experimentales.d  5[ mm]  0,005[m]

TABLA Nº 1 MAGNITUD Diámetro

UNIDAD

D

mm

25,5

TABLA Nº 2 Nº

INSTRUMENTO

1

CLASE %

Capacimetro

5

ESCALA MAX. 2000 pF 200 pF

ERROR ABS. 100 pF 10 pF

d  0,1[ mm]

Error absoluto del nonius d  0,0001[m] d  10  4 [ m]

% 

 100 x

Para el Capacimetro (de 1- 4) C 

%

x

%

100 100 5  2000 C  100 C  100[ pF ]

Para el Capacimetro (de 4- 10) C 

esc. max .

%

x

%

100 100 5  200 C  100 C  10[ pF ]

C  10 10 [ F ]

esc. max .

C  10 11 [ F ]

TABLA Nº 3 Nº 1 2 3 4 5 6 7 8

d  d [m]

0,001  0,002  0,003  0,004  0,005  0,006  0,007  0,008 

10-4 10-4 10-4 10-4 10-4 10-4 10-4 10-4

C  C

[F]

424 x 10-8  10-10 219 x 10-8  10-10 149 x 10-8  10-10 112 x 10-8  10-10 89,9 x 10-8  10-11 74,4 x 10-8  10-11 65 x 10-8  10-11 56,2 x 10-8  10-11

0,009  10-4 0,01  10-4

9 10

50,7 x 10-8  10-11 44,8 x 10-8  10-11

7. Procesamiento de Datos.Para el área

A A

 4

D2

 ( 25,5) 2

4 A  510,7[ mm] A  0,5107[ m] 

Verificación del Modelo C

A 0 d

Análisis.- La correspondencia entre los datos experimentales y el modelo matemático teórico es suficientemente bueno por tanto el modelo matemático es capaz de representar a las propiedades del sistema de experimentación o del comportamiento de la capacitancia con respecto a sus dimensiones geométricas, 

Determinación de la Capacitancia

Y C

X 

A d

Y  a  bX

b  0

Análisis.- Grafico trazado con los datos linealizados ajustado a la recta de los mínimos cuadrados

TABLA AUXILIAR Nº

X

Y

X2

Y2

XY

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

510,7 255,4 170,2 127,7 102,1 85,1 73,0 63,8 56,7 51,1

4,24E-10 2,19E-10 1,49E-10 1,12E-10 8,99E-11 7,44E-11 6,50E-11 5,62E-11 5,07E-11 4,48E-11

260814,5 65203,6 28979,4 16300,9 10432,6 7244,8 5322,7 4075,2 3219,9 2608,1

1,80E-19 4,80E-20 2,22E-20 1,25E-20 8,08E-21 5,54E-21 4,23E-21 3,16E-21 2,57E-21 2,01E-21

2,17E-07 5,59E-08 2,54E-08 1,43E-08 9,18E-09 6,33E-09 4,74E-09 3,59E-09 2,88E-09 2,29E-09

1495,8

1,29E-09

404201,9

2,88E-19

3,41E-07

 b b

n  YX   X  Y n X 2    X 

2

10(3,41  10 7 )  (1495,8)(1,29  10 9 ) 10( 404201,9)(1495,82) 2

b  8,252  10 12  Y  b X a n 1,29  10 9  (8,252  10 12 )(1495,8) a 10 .12 a  5,367  10

Y  5,367  10 12  8,252  1012 X

Análisis.- Grafico trazado con los valores de X reemplazados en Y  5,367  10 12  8,252  10 12 X 

Desviación Estándar

Nº

X

Y

Y  5,367  10 12  8,252  10 12 X

(Y  Y ) 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

4,24E-10 2,19E-10 1,49E-10 1,12E-10 8,99E-11 7,44E-11 6,50E-11 5,62E-11 5,07E-11 4,48E-11

4,1356E-10 2,0928E-10 1,4119E-10 1,0714E-10 8,6712E-11 7,3093E-11 6,3366E-11 5,607E-11 5,0396E-11 4,5856E-11

1,09E-22 9,45E-23 6,10E-23 2,36E-23 1,02E-23 1,71E-24 2,67E-24 1,69E-26 9,27E-26 1,12E-24



3,04E-22

SY 

 (Y  Y )

2

n2

3,04 10  22 8 S Y  6,1644 10 12 SY 



Desviación Estándar de a y b

1 ( X ) 2 10 1  404201,9  (1495,8) 2 10  180460,14

S XX   X 2  S XX S XX

 a  SY

X

2

n  S XX

 a  6.155  10 12

404201,9 10 180460,14

b 

6,1644  10 12 180460,14

 b  1,45  10 14

 a  2,91  10 12 

SY S XX

b 

Coeficiente de Confianza (t` student)

  n2  8

  1%

t  3,355 2



Errores Absolutos de a y b b  t  b

a  t  a 2

2

a  (3,355)(2,91 10

12

b  (3,355)(1,45 10 14 )

)

a  9,76 10 12

b  4,86  10 14

  a  a

  b  b

  1,367 10

12

 9,76 10

  ( 1,367  9,76) 10 12 

Hipótesis 0: Hipótesis 1: t

12

  8,252 10 12  4,86 10 14   (8,252  486) 10 12

Pruebas de Hipótesis  0 Comprobar o rechazar H0  0

a   1,84 a

Como el valor de t (valor pico) esta en la zona de aceptación -3,355 < -1,84 < 3,55 aceptamos la hipótesis nula entonces   0 en consecuencia el valor de a = -5,367 x 10 -12 se puede hacer 0 con una confianza del 99% de seguridad o cometer un error del 1%

  8,85 10 12   8,85 10 12

Hipótesis 0: Hipótesis 1:

 0  8,85 10 12 [ F m]

b  8,252 10 12

tb 

Comprobar o rechazar H0

b  0,41 b

Como tb esta en la zona de aceptación entonces b puede sustituir a a 

y b se aproxima a

Capacitancia b  0

 0  b  8,252 10 12 F / m  0  b  486 10 12

 0   p   0  0  (8,252  486) 10 12 F / m

y se redondea



Error Relativo Porcentual % 

 100 x0

486 100 8,252  %  6%

% 



Modelo Matemático y su Comportamiento

Análisis.- La correspondencia entre las dos rectas con datos originales y los datos corregidos en Y es muy buena ambas describen una curva hiperbolica.