Informe de Laboratorio Circuitos I CIRCUITOS SEGUNDO ORDEN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULT FACUL TAD DE INGENIERIA MECÁNICA

“INFORME Nº 08: CIRCUITOS TRANSITORIOS DE SEGUNDO ORDEN – CIRCUITO RLC SERIE” ESPECIALIDAD:

Mecánica-E!c"#ica CURSO:

La$%#a"%#i% &e ci#c'i"%( e!c"#ic%( I ALUMNOS:

PROFESOR:

In)* EMILIO MARCELO

UNI – +0,0

1 Laboratorio de circuitos eléctricos I

O.ETI/OS 

Analizar las diferentes clases de resuestas !ue resenta un circuito RLC en serie"



Co#robar las ecuaciones $enerales ara el an%lisis transitorio de circuitos RLC"



Obtener e&eri#ental#ente las constantes reresentati'as del siste#a RLC"

MATERIALES

osciloscoio

Circuito dibujado en la caja de resistencias

( Laboratorio de circuitos eléctricos I

FUNDAMENTO TEORICO Los rocedi#ientos ara )allar la resuesta natural o a un escal*n de un circuito RLC es serie son los #is#os !ue se e#lean ara encontrar la resuesta natural o a un escal*n de un circuito RLC en aralelo+ la !ue son dos circuitos se describen con ecuaciones diferenciales !ue tienen la #is#a for#a" ,or e-e#lo+ la ecuaci*n diferencial !ue describe la corriente del circuito de la .$ura+ tiene la #is#a for#a !ue la ecuaci*n diferenciales !ue describe el 'olta-e en un circuito aralelo" /alla#os la e!ui'alencia )aciendo una su#a de los 'olta-es as0

R2

L2

8

V1=0 V2=5 TD =0 TR =0 TF=0 PW=0.025 PER =0.05

9

10

V2 C1 100n

0

 Ri +  L

di dt 

+

1 C 

∫ idt  + Vo = 0

A)ora deri'a#os con resecto a t  la ecuaci*n d 2 i dt 2

+

 R di

+

i

 L dt   LC 

=0

2ue lue$o de co#arar con las ecuaciones del circuito RLC+ tienen la #is#a for#a" Soluciona#os el siste#a or los #étodos de EDO+ cu3as ra0ces caracter0sticas son

4 Laboratorio de circuitos eléctricos I

 s1, 2  s1, 2

2

 R   1 = − ±      − 2 L  2 L    LC  = −α  ± α  2 − ω o 2  R

Cu3a frecuencia de Neer en el circuito serie es

α 

=

 R 2 L

5ientras !ue la e&resi*n de ara la frecuencia resonante es la #is#a !ue ara el circuito RLC en aralelo ω o

1

=

 LC 

La resuesta de corriente ser% sobre a#orti$uada+ suba#orti$uada o a#orti$uada cr0tica#ente deendiendo de se wo2< α 

α 

α 

+ wo > o w = 2  + resecti'a#ente" osibles ara la corriente son 2

2

2

2 o

i(t ) i(t ) i(t )

As0 las tres soluciones

=  A1e s t  +  A2 e s t  =  B1e t  cos ω d t  +  B2 e − t  sinω d t  =  D1te t  +  D2 te − t  1

2

α 

α 

α 

α 

Una 'ez se )a3a obtenido la resuesta natural ara la corriente+ se uede deter#inar la resuesta natural ara el 'olta-e en cual !uiera de los ele#entos del circuito"

De #anera si#ilar se uede )acer el an%lisis ara un circuito !ue est% so#etido a un escal*n+ or e-e#lo el 'olta-e del condensador v c de la .$ura es

6 Laboratorio de circuitos eléctricos I

R2

L2

8

V1=0 V2=5 TD =0 TR =0 TF=0 PW=0.025 PER =0.05

9

10

V2 C1 100n

0

vC (t ) vC (t ) vC (t )

= V  f   +  A1e s t  +  A2 e s t  = V  f   +  B1e t  cos ω d t  +  B2 e − t  sinω d t  = V  f   +  D1te t  +  D2 te − t  1

2

α 

α 

α 

α 

Donde V f   es el 'alor .nal de v  /c" ,or lo tanto+ en el circuito !ue se #uestro enla .$ura+ el 'alor .nal de v c es el 'olta-e de la fuente"

CIRCUITO A UTILIAR R2

L2

8

9 0.5k

V1=0 V2=5 TD =0 TR =0 TF=0 PW=0.025 PER =0.05

10 2.8

V2 C1 100n

0

El circuito fue si#ulado+ ara una resistencia 'ariable inicial de 7"89 3 una resistencia .nal de :9+ obteniéndose los si$uientes 'alores ara el 'olta-e del caacitor+ resecti'a#ente R ; 7"8  e7* "e%#*

*,=

4"1

4"16?

se

consi$ue

!ue

,*+

4"1

4"168

 PASO  Con

el

aso

6

el

coe.ciente

de

a#orti$ua#iento sea i$ual a la frecuencia natural del siste#a+ asando del caso suba#orti$uado al cr0tica#ente a#orti$uado+ es or ello !ue no se obser'a nin$una oscilaci*n+ te*rica#ente ω  debe ser cero eriodo in.nito"

I/*

FUNCION DE RC ,ara analizar la funci*n de RC+ te*rica#ente+ 'ea#os la

si$uiente ecuaci*n+ obtenida al rea$ruar tér#inos en la for#ula dada ara ω en la ri#era arte

2 1   Ri + Rv 1    Ri + Rv     − + − ω  =    =    LC    2 L   2 RC C    L 2 RC C  

1

17 Laboratorio de circuitos eléctricos I

2π  T 

B,*0  +*= ,*= ,*=

>Rea$ruando tér#inos se tiene

ω

=

ϖ  sinR

C 

2

+

α  sinR

C 

2 RC C 

−

1 2

4 RC  C 2

Analizando la f*r#ula co#o s*lo nos interesa el efecto de RC + to#a#os el resto de 'ariables constantesF 'e#os !ue ara R C $randes+ ω r%ctica#ente no 'ar0a+ sin e#bar$o ara 'alores e!ueos de RC + ω tiende a crecer esto i#lica !ue el eriodo dis#inu3a 3 entonces se 'er% #%s eriodos de oscilaci*n es ar#*nicas durante el se#ieriodo de la onda cuadrada" @a#bién a si#le 'ista 'e#os !ue RC es un ca#ino ara !ue el condensador se descar$ue #%s r%ida#ente+ de tal #odo !ue se obser'en #%s oscilaciones ar#*nicas"

/*

DIFERENCIAS ENTRE LOS PASOS =3  1  En el aso 4 se lle'a el circuito al caso suba#orti$uado ara

realizar su estudio resecti'o 3 en el aso 6 se lle'a al circuito al caso cr0tica#ente a#orti$uado"

/I*

E;PRESION DE /L:

Del desarrollo de la ri#era arte se tiene

11 Laboratorio de circuitos eléctricos I

  1  Ri + Rv     1  R + R   V ( t ) V ′(t ) + +  i ′(t ) +  + i v  i(t ) =  L    RC  LC   L   RC C    LC   RC LC   

i ′′(t ) +  Como:

v L ( t )

= Li ′(t ) 

Re emplaando: v L′ (t )  L

  1  Ri + Rv   v L (t )   1  Ri + Rv   ∫ v L (t )dt   V (t ) V ′(t ) + + + + = +      L    L  RC  LC   L  RC C   LC   RC  LC     L

 Derivando: v L′′(t )  L

  1  Ri + Rv   v L′ (t )   1  Ri + Rv   v L (t ) V ′(t ) V ′′(t ) + + + + = +      L    L  RC  LC   L  RC C   LC   RC  LC     L

Reaco#odando

  1  Ri + Rv     1  R + R   V ′(t ) + + V ′′(t )  v L′ (t ) +  + i v  v L (t ) =  L    RC C    RC C    LC   RC  LC   

v L′′(t ) + 

/II* E;PRESION DE i5"* Esto se desarroll* en la ri#era arte+ esta ecuaci*n diferencial es

  1  Ri + Rv     1  R + R   V ( t ) V ′( t ) + +  i ′(t ) +  + i v  i (t ) =  L    RC  LC   L   RC C    LC   RC LC   

i ′′(t ) + 

/III*

EL

PORUE

ENERGIAR

EL

CIRCUITO

CON

ONDA

CUADRADA* ,ara lo$rar obser'ar er#anente#ente dic)a la for#a de onda de las oscilaciones ar#*nicas es necesario !ue ésta se reita a deter#inada frecuencia+ 3a !ue sino no se odr0a to#ar las #edidas corresondientes+ es or ello !ue al circuito se ener$iza con una

1( Laboratorio de circuitos eléctricos I

for#a de onda rectan$ular con una frecuencia tal !ue er#ita 'er en su #edio eriodo toda la arte transitoria areciable de H t"

CONCLUSIONES 1 RECOMENDACIONES

 Se obser'* !ue en el transitorio las #a$nitudes de las 'ariables del circuito alcanzan icos ele'ados+ de all0 la i#ortancia de !ue en un circuito se re!uiera una estabilizaci*n r%ida ara e'itar !ue debido a estos icos de 14 Laboratorio de circuitos eléctricos I

corriente 3 tensi*n+ se a'er0en los co#onentes o consu#an de#asiado en el arran!ue"  @a#bién es i#ortante destacar la necesidad de ali#entar al circuito con una fuente de onda rectan$ular+ 3a !ue esta si#ula un sJitc) !ue se abre 3 se cierra con cierta frecuencia constante !ue nos er#itir% obser'ar el estado transitorio del circuito RLC 3 )acer su estudio resecti'o"  En los asos anteriores se 'io la $ran inKuencia de la resistencia interna del $enerador en los resultados e&eri#entales+ ser0a bueno considerar en el circuito te*rico+ ade#%s de la resistencia interna de la bobina+ la resistencia de salida o interna del $enerador+ con lo !ue se obtendr0an datos #%s co)erentes"  Se arecia ta#bién la i#ortancia de la resistencia R C + ara oder obser'ar #a3ores eriodos del transitorio esto $racias al au#ento !ue ro'oca en la frecuencia de oscilaci*n"

ANE;O A: APLICACIONES DE RLC 1" CIRCUI@OS DE SIN@ONA VARIAMLE 16 Laboratorio de circuitos eléctricos I

Un uso frecuente de estos circuitos es en los circuitos de sinton0a de radios an%lo$os" La sinton0a re$ulable es lo$rada co#n#ente con un lato aralelo de caacitancia 'ariable" ,ara la etaa I en la radio en donde la sinton0a es reestablecida de f%brica+ la soluci*n #%s usual es un ncleo re$ulable en el inductor ara re$ular a L" En este diseo el ncleo )ec)o de un #aterial alta#ente er#eable !ue tiene el efecto de incre#entar la inductancia es roscado de #odo !ue uede ser atornillado en la #edida !ue el bobinado del inductor as0 lo re!uiera"

(" IL@ROS

En la alicaci*n en .ltros+ el resistor R se con'ierte en la car$a !ue el .ltro est% traba-ando" El 'alor del factor de a#orti$ua#iento es ele$ido en base a un anc)o de banda deseado del .ltro" ,ara un anc)o de banda #as a#lio+ un #a3or 'alor de factor de a#orti$ua#iento es re!uerido 3 'ice'ersa" Los tres co#onentes roorcionan al diseador tres $rados de libertad" Dos de estos son re!ueridos ara establecer el anc)o de banda 3 la frecuencia de resonancia" El diseador tiene an uno !ue uede ser usado ara establecer la escala de R+ L 3 C a un 'alor r%ctico con'eniente" Alternati'a#ente+ R uede ser redeter#inado or un circuito e&terno el cual usar% el lti#o $rado de libertad" iltro de ,aso Ma-o Un circuito RLC uede ser usado co#o un .ltro de aso ba-o" La con.$uraci*n del circuito es #ostrado en la i$ura 1" La frecuencia en la es!uina+ esto es+ la frecuencia del unto 4dM+ est% dada or

Esto es ta#bién el anc)o de banda del .ltro" El factor de a#orti$ua#iento est% dado or

iltro de ,aso Alto Un .ltro de aso alto es #ostrado en la i$ura (" La frecuencia en la es!uina es la #is#a !ue en el .ltro de aso ba-o"

18 Laboratorio de circuitos eléctricos I

Fig. 1. Circuito RLC como filtro de paso bajo

Fig. 2. Circuito RLC as filtro de paso alt o

Fig. 3. Circuito RLC como un f iltro serie de paso de

Fig. 4. Circuito RLC como un filtro paralelo de paso de banda en derivación a travs de la línea

banda en serie con la línea

Fig. !. Circuito RLC como un filtro serie de tope de banda en Fig. ". Circuito RLC como filtro paralelo de tope de banda en derivación a travs de la línea serie con la línea

El .ltro tiene una banda de toe de este anc)o"

iltro de aso de banda Un .ltro de aso de banda uede ser for#ado con un circuito RLC 3a sea #ediante un circuito serie LC en serie con una car$a resisti'a o ta#bién #ediante un circuito aralelo LC en aralelo con una car$a resisti'a" Estos arre$los se #uestran en las i$uras 4 3 6 resecti'a#ente" 1= Laboratorio de circuitos eléctricos I

La frecuencia del centro est% dada or

  el anc)o de banda del circuito serie es

La 'ersi*n de deri'aci*n del circuito est% rearada ara ser accionada or una fuente de $ran i#edancia+ esto es+ una fuente de corriente constante" Ma-o esas condiciones el anc)o de banda es

iltro de toe de banda

La .$ura 8 #uestra un .ltro de toe de banda for#ado or un circuito serie LC en deri'aci*n a tra'és de la car$a" La .$ura = es un .ltro de toe de banda for#ado or un circuito aralelo LC en serie con una car$a" El ri#er caso re!uiere una fuente de alta i#edancia de #odo !ue la corriente es deri'ada al resonante cuando se con'ierte en ba-a i#edancia en resonancia" El se$undo caso re!uiere una fuente de ba-a i#edancia de #odo !ue el 'olta-e decae a tra'és del antiresonante cuando se con'ierte en alta i#edancia en resonancia"

4" OSCILLA@ORS

,ara alicaciones en circuitos de osciladores+ or lo $eneral es deseable )ace la atenuaci*n o de for#a e!ui'alente+ el factor de a#orti$ua#iento tan e!ueo co#o sea osible" En la r%ctica+ este ob-eti'o re!uiere )acer la resistencia del circuito R tan e!uea co#o f0sica#ente sea osible ara un circuito serie+ o alternati'a#ente incre#entar R tanto co#o sea osible ara un circuito aralelo" En cual!uier caso+ el circuito RLC lle$a a ser una buena aro&i#aci*n al circuito LC ideal" Sin e#bar$o+ ara circuitos de #u3 ba-a atenuaci*n factor 2 alto+ roble#as tales co#o érdidas dieléctricas de los caacitores ueden ser i#ortantes" En un circuito oscilador

1? Laboratorio de circuitos eléctricos I

" O de for#a e!ui'alente " Co#o resultado .

6" 5UL@I,LICADOR DE VOL@APE

En un circuito serie RLC en resonancia+ la corriente se li#ita solo or la resistencia del circuito

Si R es e!ueo+ 3 consiste s*lo de una resistencia de la bobina del inductor+ entonces esta corriente ser% $rande" Ocasionar% una ca0da de tensi*n a tra'és del inductor de

Un 'olta-e de i$ual #a$nitud ta#bién ser% 'isto a tra'és del caacitor ero en contra fase al inductor" Si R uede ser )ec)o lo su.ciente#ente e!ueo+ estos 'olta-es ueden ser 'arias 'eces el 'olta-e de entrada" El ratio del 'olta-e es+ en efecto+ el 2 del circuito"

Un efecto si#ilar es obser'ado con las corrientes en el circuito en aralelo" Aun!ue el circuito arece de alta i#edancia a la fuente e&terna+ e&iste una $ran corriente circulando en el lazo interno del inductor 3 caacitor en aralelo"

ANE;O : SIMULACION DEL CIRCUITO CON “Eec"#%nic( H%#$encJ” 1 Laboratorio de circuitos eléctricos I

B*ILIOGRAFIA Anái(i( &e 9e&i&a( e!c"#ica( 1: Laboratorio de circuitos eléctricos I

E*K#an  Te#ce#a e&ici2n G'6a a#a 9e&ici%ne( eec"#2nica( 4 #ác"ica( &e a$%#a"%#i% S"ane4 %K  C'a#"a e&ici2n Ci#c'i"%( &e c%##ien"e a"e#na >e#cJne# C%#ca#án Deci9a (e7"a e&ici2n J"":J"9*#inc%n&e