Informe de Geofisica ECHE

 

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, decana de América)

Facultad de Ciencias Físicas PRACTICA GEOFISICA GEOFISICA Nº 01: Campo de gravedad, potencial gravimétrico e Isostasia. Nombre;Alejandro Nicolas Codigo:13130080 Apellido:Soto Bedon Fecha:04/10/2017 PREGUNTAS:

1.

¿Qué entiende por Aceleración gravitacional y potencial gravitacional? Escriba sus expresiones para el

2. 3. 4. 5. 6. 7.

caso de una Tierra Esférica que no rota. ¿Explique que es el potencial centrífugo? ¿Qué entiende usted por Geopotencial? Geopotencial ? ¿Explicar que es potencial de la marea? ¿Qué es el geoide? ¿Qué es el elipsoide de referencia? referenc ia? ¿Cómo y porque son diferentes? ¿Qué es la isostasia? ¿Qué es una anomalía de gravedad isostática? Describir los modelos de isostasia, y explicar cómo difieren uno del otro.

EJERCICIOS

6. 7. 8. 9. 10.

11.

12.

13.

Calcular la aceleración gravitacional para una Tierra esférica de radio R=6371 km y masa M=5976×10 24  kg. Calcular el radio del Elipsoide Internacional de referencia (EIR) en Lima (latitud 12 º S) Calcular el potencial gravitacional (UG), centrífugo UC y el Geopotencial Geopotenc ial Ug en el EIR a) en los polos, b) en el ecuador, y c) en la latitud de Lima. Comparar los valores entre sí. Calcular la gravedad normal en el EIR a) en los polos y b) en la Latitud de Lima. En radio Ecuatorial de la Tierra es 6371km y su gravedad en el Ecuador es 9.780 ms-2. Calcule la razón m de la aceleración centrifuga en el ecuador a la aceleración gravitacional. Si la razón m es escrita como 1/k, ¿Cuál es el valor de k? Calcular la aceleración centrifuga centrif uga debido a la rotación de la Tierra de un objeto en reposo sobre lla a superficie de la Tierra en Lima , asumiendo una latitud of 12º 02’ S. Exprese su resultado como un porcentaje de la atracción gravitacional sobre el objeto Asumiendo que la aceleración gravitacional gravitaciona l dentro de un cascaron esférico homogéneo es cero, mostrar que la aceleración gravitacional dentro de una esfera solida homogénea es proporcional a la distancia desde su centro Mostrar que el potencial gravitacional UG dentro de una esfera solidad uniforme y homogénea de radio R a distancia r desde su centro es dado por.

14. Esquematizar las variaciones de la aceleración y potencial gravitacional dentro y fuera de esfera solidad homogénea de radio R. 15. Utilizando la formula internacional de gravedad (IGF) calcular la gravedad teórica teóri ca en Lima, utilizando los elipsoides de referencia: Potsdam 1930, GRS67, y WGS84. Estimar las diferencias con respecto a la gravedad calculada en WGS84. 16. Bajo la aproximación aproximación de primer orden, orden, calcular el achatamiento achatamiento terrestre (f ), ), la elipticidad de la gravedad (H ), ), el coeficiente de forma dinámica J 2 y el radio polar, sabiendo que para un punto del elipsoide de latitud 60°N el valor de la gravedad normal es de 981.921 mGal: e= 978.032 Gal (gravedad normal en el ecuador), a = 6378.136 km (semieje mayor). GM= 39.86031013 m3/s2,  Además, calcular calcular el radio vector vector de este punto y el geopotencial. geopotencial. 17. Represente los armónicos esféricos para los siguientes términos de la solución del potencial en términos de la expansión de armónicos esféricos, derivado de la ecuación de Laplace:  A. l = 4, m = 0 B. l = 4, m = 4 C. l = 4, m = 1 D. ¿Cuáles son armónicos zonales? E. ¿Cuáles son sectoriales? sectoriales?

 

18. Una montaña se encuentra 5 km sobre el nivel del mar. ¿Cuánto corteza debe erosionar para que la montaña se encuentre 3 km por encima del nivel del mar?. Asumir equilibrio isostático antes y después de la situación planteada, y tomar c = 2700 kg / m 3, m = 3300 kg / m3.

19. Si se mantiene el equilibrio isostático isostát ico durante la deposición de sedimentos (s=2000 kg/m3) sobre el fondo marino por flujo astenosférico a una profundidad a la cual m=3400 kg/m3  ¿Qué depresión de rocas del basamento resulta de 1 km de sedimentos? (densidad del agua de mar w=1.000 kg/m3) 20. Supongamos que cuencas sedimentarias son formadas por algún proceso que incrementa la densidad de la corteza de 2800 a 3000 kg/m3. ¿Qué espesor de la corteza debe ser "densificada" para producir una cuenca con 5 km de sedimentos con una densidad de 2500 kg/m 3? Tomar m=3300 kg/m3.

E l espes or de la cor teza teza de de mant mantiene iene cons con s tante tante 21. Un sistema montaña y raíz ideal, como se muestra en la figura, está en equilibrio isostático. Las densidades densidade s se muestran en kgm-3. Exprese la altura H del punto A sobre la superficie horizontal RS en términos de la profundidad D, de la raíz B debajo de la superficie

22. La cima de una montaña es de 1000 metros sobre el nivel CD de la llanura circundante, ver diagrama. La densidad de las rocas que forman la montaña es de 2800 kgm-3, alrededor de la corteza es de 3000 kgm-3. Suponiendo que la montaña y su raíz son simétricas sobre A y que el sistema está en equilibrio isostático local, calcular la profundidad de B por debajo del nivel CD.

 

 

23. Un bloque de corteza con densidad media 3000 kgm -3 esta inicialmente en equilibrio isostático con las rocas circundantes cuya densidad es 3200 kgm-3  (figura a). Después de erosiones sucesivas la topografía es como se muestra en la figura b. La distancia L permanece constante (es decir no hay erosión en el punto más alto A) y el equilibrio isostático tipo Airy se mantiene. Calcular en términos de L, la cantidad por la cual la altura de A cambia. Explicar cómo A se mueve, según su respuesta.

SOLUCIONARIO SOLUCIONARI O DE LA PRACTICA 01 DE GEOFISICA(PROBLEMAS DEL 8-25)

8- Calcular la aceleración gravitacional para una Tierra esférica de radio R=6371 km y masa M=5976×1024 kg.

g=G.M/R2  g=(6,67.10-11).5976.1024 /(6371)2  g=39859,92.1013 (Nm2 /Kg2).Kg/40589,641.106 m2 6

-2

g=9,82.10  m/ s   g=9,82.M m/ s-2 

 

9 - Calcular el radio del Elipsoide Internacional de referencia (EIR) en Lima (Latitud 12°S)

El radio en el elipsoide que pasa por Lima, podemos calcularlo por la siguiente formula:

r = a (1-αsen2(Φ))  Donde reemplazamos lo siguiente:

α= 1/298.257  Φ= 12° (latitud Sur Lima) a= 6378136 m (radio ecuatorial)

r = 6378136 (1-(1/298.257)sen2(12)) r = 6377211.598  6377211.598  10 -  - Calcular el potencial gravitacional UG, centrifugo UC y el geopotencial Ug en el EIR, donde:

J 2 = 1.08263 x 10

-3 

GM = 3.986005 x 10 14 m3 s-2 a = 6378137 m ω=

7.292 x 10 -5  s-1

a) en los polos Φ ---> 90° y r = 6356775 m: UG = GM/r – J2GM a2 (3sen2Φ-1)/(2r 3) UG= (3.986005 x 1014/6356775) – 8.7775 x 1024 (3 sen290-1)/ 63567753  UG= 6.2636487 x 107 J/kg

UC = 0.5 r 2 ω2 cos2Φ  UC = 0.5 63567752 (7.292 x 10-5)2 cos290 UC =0

Ug = GM/r – J2GM a2 (3sen2Φ-1)/(2r 3) + 0.5 r 2 ω2 cos2Φ  Ug= (3.986005 x 1014/6356775) – 8.7775 x 1024 (3 sen290-1)/ 63567753 + 0.5 63567752 (7.292 x 10-5)2 cos290 Ug= 6.2636487 x 107 J/kg

b) en el ecuador Φ ---> 0° y r = 6378136 m: UG = GM/r – J2GM a2 (3sen2Φ-1)/(2r 3) UG= (3.986005 x 1014/6378136) – 8.7775 x 1024 (3 sen20-1)/ 63781363  UG= 6.2528655 x 107 J/kg

 

  UC = 0.5 r 2 ω2 cos2Φ  UC = 0.5 63781362 (7.292 x 10-5)2 cos290 UC =108156 J/kg

Ug = GM/r – J2GM a2 (3sen2Φ-1)/(2r 3) + 0.5 r 2 ω2 cos2Φ  Ug= (3.986005 x 1014/6378136) – 8.7775 x 1024 (3 sen20-1)/ 63781363+ 0.5 63781362 (7.292 x 10-5)2 cos290 Ug= 6.2636811 x 107 J/kg

c) en Lima Φ ---> 12°S y r = 6377211.598 m: UG = GM/r – J2GM a2 (3sen2Φ-1)/(2r 3) UG= (3.986005 x 1014/6377211.598) – 8.7775 x 1024 (3 sen212-1)/ 6377211.598 3  UG= 6.2533339 x 107 J/kg

UC = 0.5 r 2 ω2 cos2Φ  UC = 0.5 6377211.5982 (7.292 x 10-5)2 cos212 UC =103450.7 J/kg

Ug = GM/r – J2GM a2 (3sen2Φ-1)/(2r 3) + 0.5 r 2 ω2 cos2Φ  Ug= (3.986005 x 1014/6377211.598)  –  8.7775 x 1024  (3 sen212-1)/ 6377211.5983 + 0.5 6377211.5982 (7.292 x 10-5)2 cos212 Ug= 6.2636789 x 107 J/kg 11 - Calcular la gravedad normal en el EIR a) en los polos b) en la latitud de lima.

Se define la gravedad normal como:

a) en los polos λ =90°. =90°.

 = 9.780327(1+5.3024410−.90°5.810−290°)   = 9.780327(1+5.3024410− 5.810−. 2) 

 

 

 = 9.780327( 80327(1+5.3024410− 11.610−)   = 9.8321−  b) en la latitud de lima.

 = 9.780327(1+5.3024410−.12°5.810−212°)   = 9.782564−  12 -

El radio ecuatorial ecuatorial de la Tierra es 6371 6371 km y su gravedad en el el Ecuador es es

9.78022ms-2. Calcule la razón m de la aceleración centrifuga en el ecuador a la aceleración gravitacional. gravitacional. Si la razón m es escrita como 1/k, ¿Cuál es el valor de k?

La expresión de la aceleración centrifuga: gc = m GM r a-3 cos2Φ  g = ge (1+ β sen2Φ) Donde: m = 3.4678 x 10 -3

Φ= 0° a= 6378137 m ge = 9.78022 ms-2 

β = 5.2884 x 10-3  Entonces: gc = 3.4678 x 10 -3 GM r a-3 cos20 gc = 0.033978 ms-2  y la expresión de la aceleración gravitacional: gg = -GM/r 2  – –1.5 J2GM a2 (3sen2Φ-1)/(r 4) gg = -9.782375 ms-2  Luego la razón m es:

m= 0.033978/9.782375 = 3.47338 x 10 -3 Finalmente: k= 287.904 Otra manera de resolver este problema es aplicando la gradiente al potencial centrifugo y obtengo la aceleración centrifuga.Pero por los datos que nos da el problema podemos calcular la gravedad normal,con los resultados de la gravedad normal y la aceleración centrifuga obtengo la aceleración de la gravedad,luego

 

el problema esta prácticamente acabado hallo la relación entre la aceleración centrifuga y la gravedad normal que es igual a 1/k y obtengo el valor de k. 13 –  Calcular  Calcular la aceleración centrifuga centrifuga debido a la rotación de la Tierra de de un objeto en reposo sobre la superficie de la Tierra en Lima, asumiendo

una latitud de 12° 02’ S.

Exprese su resultado como un porcentaje de la atracción gravitacional sobre el objeto.

La expresión de la aceleración centrifuga en Lima: gc = m GM r a-3 cos2Φ 

Donde: r = 6377211.598 m m = 3.4678 x 10 -3

Φ= 12° a= 6378137 m gc = 0.03250 ms-2

La expresión de la aceleración gravitacional en Lima: gg = -GM/r 2  – –1.5 J2GM a2 (3sen2Φ-1)/(r 4) gg = -9.7872 ms-2  Por lo tanto el porcentaje de la aceleración centrifuga será:

gc% = 0.33% 14 - Asumiendo que la aceleración gravitacional

dentro de

un cascaron esférico

homogéneo es cero, mostrar mostrar que la aceleración gravitacional dentro de una esfera solida homogénea es proporcional a la distancia desde su centro. M

 Aceleración gravitacional g(r)

J

Radio interno de la esfera(r)

 

*En la superficie de la esfera homogénea:

 =    *Como la densidad es uniforme:  

()  =      . .  

() =     .   *Luego 

  ()    . .  () = =    =  (    )    )  () = (..  15   - Mostrar que el potencial gravitacional UG dentro de una esfera solidad uniforme 15 y homogénea de radio R a distancia r desde su centro es dado por.

*Usando coordenadas cilíndricas:

(,,∅  ) ; ( ) =    1 (,,∅)  () =  (,,∅  ) ; () =  1  ∅  sin ∅ ∅ Solo usaremos

() pues () = 0,  (∅) = 0 

()  ∫ ().. = ∫   ()     ∫   =       ) (          2   =  + +    





  2   (    1 + + 2  ) =     )   =   (3      2

Sabemos que la masa es: M= .V M= .4/3.(π.R 3) 

 



 

  )     =  2   (3     3 16- Esquematizar las variaciones de la aceleración y potencial gravitacional dentro y fuera de esfera solida homogénea de radio R.

I-Aceleración dentro y fuera de una esfera solida homogénea de radio R. a) El punto P está en el exterior de la esfera de radio R.

Podemos dividir la esfera en capas esféricas concéntricas de radio x y de espesor dx.

Dicha capa la dividimos en anillos. Por simetría, como vemos en la figura, las componentes horizontales (a lo largo del eje X e Y) de la fuerza que ejercen los elementos de masa del anillo (considerados como masas puntuales, en color rojo) se anulan de dos en dos, quedando solamente la componente Z de la fuerza resultante que ejerce la masa contenida en el anillo. Si ρ es la densidad constante de la distribución esférica y uniforme de masa. La masa contenida en el anillo es ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx.   La fuerza re resultante sultante que ejerce la masa contenida contenida en el anillo sobre la sobre la unidad de masa situada en P.

La primera integral es inmediata, integramos por partes la segunda. El resultado es:

 

  Esta expresión nos da la aceleración de la gravedad producida producida por una capa esférica de radio x y de espesor dx en un punto P situado a una distancia r>x del centro de la capa esférica. Calculamos la fuerza ejercida por la esfera de masa M sobre la unidad de masa situada en P, sumando la fuerza que ejerce cada una de las capas esféricas en la que hemos dividido la esfera. El módulo de la aceleración de la gravedad vale.

Si tenemos en cuenta que el vector g apunta hacia el centro de la Tierra

La gravedad fuera de la esfera será:

b) El punto P está en el interior de la esfera de radio R.

 

  El punto P está a una distancia r