Informe de Centroides - Fisica

“AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMÁTICO”

“UNIVERSIDAD

NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ”

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA AMBIENTAL E INGENIERÍA QUÍMICA DEL GAS NATURAL Y ENERGÍA

CENTROIDES CATEDRA:

FÍSICA I

CATEDRÁTICO: ING. MANUEL NESTARES GUERRA PRESENTADO POR:  GAGO OBISPO, Anthony

IQGNE

 HUAROC HUIZA, Diana Palmira

IQGNE

 JIMÉNEZ CHUQUIMANTARI, Javier Jimmy

IQGNE

 PÁRRAGA QUISPE, Alicia Xiomara

IQA

 PAUCAR LAZO, Natali Bonifacia

IQA

 TORRES RIVERA, David

IQGNE

SEMESTRE: I- B FECHA DE ENTREGA: 26-11-14 HUANCAYO –PERÚ 2014

ABSTRACT In this lab aims to implement the theoretical concepts in physics , I worked with Theorem Papuan and gulden , the group put a figure on an axis to form a solid circle . This report develops information collected and the objectives will be determined initially as determining the centroids in x, y, z; determining the volume and the area of the figure. The content is composed of two parts: a theoretical and experimental another : The first regards all concepts that we used for this report laboratory and mathematical models , the second found in the experimental part which has been used statements of each mystery to solve, using mathematical models, and diagram free solid, and each has been calculated to obtain them. As the final results, discussion of results and the solutions given to each raised hand, as also attached the relevant annexes are obtained. Thus putting into practice concepts learned and starting to become familiar with the experimental method for the analysis of the theory collected

ii

RESUMEN En el presente laboratorio tiene como fin poner en práctica los conceptos teóricos, sobre física, sé trabajó con el teorema de papús y gulden, el grupo puso una figura en un eje que al dar vueltas forma un sólido. El presente informe se desarrolla con la información recaudada y se determinaran los objetivos planteados inicialmente como: determinar los centroides en x, y, z; determinar el volumen y el área de la figura. El contenido se encuentra conformada por dos partes que son: una parte teórica y otra experimental: La primera que se refiere a todos los conceptos que hemos utilizado para realizar el presente informe de laboratorio y modelos matemáticos, en la segunda encontramos la parte experimental en la cual se ha utilizado los enunciados de cada incógnita a resolver, los modelos matemáticos a usar, y el diagrama de solido libre, y cada uno con los cálculos realizados para obtenerlos. Como parte final se obtienen los resultados, discusión de resultados y las soluciones que se le da a cada parte planteada, como también se adjuntan los anexos correspondientes. Poniendo así en práctica conceptos aprendidos y empezando a familiarizarnos con el método experimental para el análisis de la teoría recabada

iii

HOJA DE NOTACION

⃗ CM R

Centro de masas resultantes

(rCG )

Sistema de referencia del centro de gravedad

ûr

Centro de gravedad de “r”

∑ 𝑀𝑥

Sumatoria de masas en “X”

∑ 𝑀𝑦

Sumatoria de masas en “Y”

∑ 𝑀𝑧 𝑋̅𝑒𝑙 𝑑𝐴

Sumatoria de masas en “Z”

b

∫ 𝑥

Coordenadas de centroide del elemento Integral definida desde “a” hasta “b”.

a

∫ dL ∫ dm ∑(ri . mi )

Integral de la diferencial de línea. Integral de diferencial de masa Sumatoria de centros de referencia y masas

i

Qx QY W1 x̅ y̅ z̅

Momento respecto a “X”

𝑍̅ dCM

coordenada “Z” del centroide en el plano “YZ” Distancia del centro de masas Diferencial de volumen

dV

Momento respecto a “Y” Peso del cuerpo 1 Centroide en el eje “X”. Centroide en el eje “Y”. Centroide en el eje “Z”.

m RPM

Pendiente

x Z ρ

Centro de masa del cuerpo en “x” a integrar

𝐴 𝐿 𝑉 𝑌 𝑑𝐴

Área Longitud del cuerpo Volumen Centro de masa del cuerpo en “Y” a integrar Diferencial de área Frecuencia

𝑓 𝑓(𝑥 ) 𝜃

𝜔

Revoluciones por minuto Centro de masa del cuerpo en “Z” a integrar Densidad

Función de “x” ángulo Velocidad angular

iv

INDICE ………………………………………………………………………………….…. ii ………………………………………………………………………………….…. iii …………………………………………………………………. iv ……………………………………………………………………………………….…. v

................................................................................................. vii ………………………………………………………………………………. viii

............................................................................................9 ................................................................................9 ................................80 ..............80 ....80 .....................................................................91 .......................113 ...............................113 ....................................................124 ..................................................................135 ...............................................................157 ...................................168 .180 ..........................................202 .........................................................................213 .....................................................................224 ......................................................................235 ...................................................................................................235 3.2.

...............................................................235 ..........................................................235 .............................................246 ..................257 ................................................................................................29 ................................................................................................302

.................................................................31 .............................................................................................31 ...................................................................................32 ............................................................33 ................................................................................................34 .............................................................................................................35

vi

Este trabajo se realizó aplicando los conceptos básicos de centro de gravedad, centroide y “EL TEOREMA DE PAPPUS Y GULDING”, cuando un punto se desplaza forma una línea. Cuando el desplazamiento de una superficie forma un sólido. Se deduce que ciertas superficies como sólidos, se generan como consecuencia del movimiento se ciertas figuras. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje X de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada solido de revolución generada por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. El primer teorema es: el área que genera una línea cuando gira alrededor un eje e igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por la longitud de la línea.

vii

 Aplicar los conceptos teóricos sobre centroide, integración y teorema de pappus y Guldinus.

 Determinar el centroide de x, y, z por el método de integración.  Determinar el volumen y el área por el teorema de papús y gulden

viii

El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como CM. [1] En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. [1] En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas. [1]

FIGURA 1.Centro de gravedad de cuerpos de masa. FUENTE: MECANICA PARA INGENERIA ESTATICA-KING

9

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

⃗ CM = R

∑i(ri . mi ) ∑i m i

(1)

En el caso de un sistema de cuerpos cuasi puntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado. Sin embargo, para sistemas de masas continuos (o sistemas en que las distancias entre los cuerpos son comparables a las dimensiones de los cuerpos. [1]

⃗ CM = R

⃗ CM = R

∫ rdm ∫ dm

1 ∫ rdm M

(2)

(3)

Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación. [1]

dm = ρdV

⃗R CM =

⃗ CM = R

(4)

ρ ∫ rdV ρ ∫ dV

(5)

∫ rdV V

(6)

10

Nota: V es el volumen total. Para cuerpos bidimensionales o mono dimensionales se trabajará con densidades superficiales/longitudinales y con superficies/longitudes. Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el centro geométrico del cuerpo. [1]

Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad siguiente forma. [2]

⃗ CM = R

. En este caso se calcula el CM de la

∫ rρ(r)dV M

(7)

La resolución de la integral dependerá de la función de la densidad.

El centro de gravedad (CG) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo.

El centro de

gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. [2] Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan 𝑚1 y 𝑚2 ; además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas 𝑚1 𝑔

y 𝑚2 𝑔 que admiten una resultante cuyo punto de

aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide. [2]

11

FIGURA 2.Centro de gravedad de una varilla FUENTE: MECANICA PARA INGENERIA ESTATICA-MERIAN En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. [2] Un objeto está en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba y dentro de su base original de apoyo. [2] Cuando éste es el caso, siempre habrá un torque de restauración. No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de equilibrio. [2] Los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente, más estables y menos propensos a voltearse. Esta relación es evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumáticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. También la posición del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades físicas. Por ejemplo, las mujeres suelen doblarse y tocar los dedos de sus pies o el suelo con las palmas de sus manos, con más facilidad que los varones, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo; en general, Los varones tienen centros de gravedad más altos (hombros más anchos) que las mujeres (pelvis grande), de modo que es más fácil que el centro de gravedad de un varón quede fuera de su base de apoyo cuando se flexiona hacia el frente.

12

El movimiento que ejecuta cualquiera de los puntos de un sistema material puede ser muy complicado, pues resulta de componer el debido a la fuerza exterior aplicada al mismo con el que producen las fuerzas interiores que dimanan de los puntos restantes del sistema. Sin embargo, puede demostrarse que siempre, cualesquiera que sean las fuerzas interiores, el centro de gravedad del sistema se mueve como si en él estuviera concentrada toda la masa y sobre y sobre él actuasen todas las fuerzas exteriores. [3]

 Entre las propiedades del centro de gravedad destacan, por su importancia, las siguientes:  Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio (esta aproximación puede considerarse constante para objetos de sólo unos metros de longitud) dicho objeto será estable si el centro de gravedad está situado sobre la vertical de la base de apoyo.  Además si se desplaza el cuerpo de la posición de equilibrio (caracterizada por el hecho de que la distancia vertical entre el centro de gravedad y la base de apoyo es mínima), siempre habrá un torque de restauración.  No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de equilibrio. Si se suspende un cuerpo o se le apoya en su centro de gravedad, queda en equilibrio tanto de traslación como de rotación.  Si a un cuerpo se le aplica una fuerza en la dirección de su centro de gravedad, únicamente adquiere movimiento de traslación.  Si a un cuerpo se le aplica una fuerza que no esté en la dirección del centro de gravedad, adquiere movimiento de traslación y rotación.  La ubicación del centro de gravedad de un cuerpo rígido es la misma, cualquiera que sea la orientación en que se encuentre el cuerpo.  Se aprovecha esta última propiedad para determinar la posición del centro de gravedad de los cuerpos irregulares. Para ello, se le suspende de cualquiera de sus puntos, se le deja moverse libremente y se marca la vertical que pasa por el punto del que se colgó; se repite después la operación, pero suspendiéndolo de otro punto: donde se cruzan las dos verticales, se encuentra el centro de gravedad.

El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el único vector que cumple que:

Mg(rCG ) = ∫ ρ(r)dV)g

13

(8)

Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio “g” es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a una equivalente a la definición del centro de masas. [3] Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo másico cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo másico y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto vienen dado por:

ûCG ûr = ∫ dV r 2 CG r2

(9)

Por ejemplo para una barra homogénea de longitud L orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de gravedad distan del centro de gravedad del planeta una distancia dCM, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dada por:

L2 4

dCG

= √d2 CM −

dCG

L2 = [1 − 2 ] 8d CM

(10)

(11)

Conocer su posición permite producir una distribución uniforme de los esfuerzos en la sección transversal de una estructura y localizar el eje neutro de las vigas sometidos a esfuerzos de flexión y corte. [4] El centroide de área está definido por las siguientes ecuaciones.

Considerando un volumen V y dV un elemento diferencial de V con coordenadas, X, Y y z. (para el centro de masa dV se substituye por dm y dm=ρdV, donde p es la densidad volumétrica de masa por unidad de volumen. El subíndice v en la integral significa que la integral se lleva a cabo sobre el volumen completo. [4]

14

x̅ =

∫ xdV ∫ dV

y̅ =

∫ ydV ∫ dV

∫ zdV z̅ = ∫ dV

(12)

FIGURA 4.Centro de gravedad de un cuerpo homegeneo FUENTE: ESTATICA- ANTHONY BEDFORD

Para localizar el centroide de un área nos ayuda recordar que es su posición promedio. Por ejemplo, está claro que el centroide de un área circular o rectangular se encuentra en el centro del área. Si un área tiene "simetría de espejo", su centroide se encuentra sobre el eje, y si un área es simétrica respecto a dos ejes, el centroide se encuentra en la intersección de ellos. Las coordenadas del centroide de un área A son donde “x” y “y” son las coordenadas del elemento diferencial de área dA. (En el caso de centro de masa

15

la dA se substituye por dm, y 𝑑𝑚 = 𝜎𝑑𝐴, donde σ es la densidad superficial de masa por unidad de área). El subíndice A significa que la integración se efectúa sobre el área completa. Un área compuesta es una combinación de partes simples y es fácil determinar su centroide si se conocen los centroides de las partes. Las coordenadas “x”, “y” del área compuesta son: Se pueden usar las mismas ecuaciones para determinar los centroides de las áreas compuestas que contengan agujeros, tratando éstos como áreas negativas.

[2]

Sx = 2π ∫ ydS

(13)

dy 2 Sx = 2π ∫ x√1 + ( ) dx dx a

(14)

b

FIGURA 5.Diferenciales de centro de masa FIGURA 5. FUENTE: ESTATICA- ANTHONY BEDFORD

x̅ =

∫ xdA ∫ dA

y̅ =

∫ ydA ∫ dA

z̅ =

∫ zdA ∫ dA 16

(15)

FIGURA 6.Centroide de masas y de líneas. FUENTE: ESTATICA- RILEY

Comencemos con la idea común de una posición promedio. Si queremos determinar la posición promedio de un grupo de estudiantes en un aula, primero establecemos un sistema coordenado para poder expresar la posición de cada estudiante. Y alineamos los ejes con las paredes.

FIGURA 6.Centroides de figuras regulares. FUENTE: ESTATICA- RILEY Luego, numeramos a los estudiantes del 1 al N y denotamos la posición del estudiante 1 con x1, Y1, etc. Las coordenadas promedio de “x” y de “y” son las sumas de sus coordenadas “x” o “y” dividida entre N, es decir: Supongamos ahora que repartimos entre los estudiantes cierto número de monedas. [3] ¿Cuál será la posición promedio de las monedas en el aula? Para determinar la coordenada “x” o “y” de la posición promedio de las monedas, necesitamos sumar las coordenadas de “x” o de “y” de las monedas y dividirlas entre el número de monedas.

17

Las ecuaciones anteriores sirven para calcular la posición promedio de cualquier conjunto de cantidades a las que podamos asociar posiciones. Una posición promedio obtenida de dichas ecuaciones se denomina "posición de peso ponderado" o Centroide. Los centroides coinciden con los centros de masa en clases particulares de cuerpos, pero también surgen en muchas otras aplicaciones. [1] Las coordenadas del centroide de una línea L son:

x̅ =

∫ xdL ∫ dL

y̅ =

∫ ydL ∫ dL

z̅ =

∫ zdL ∫ dL

(16)

Donde: dL es una longitud diferencial de la linea de coordenadas “x”, “y”, y “z”.

En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes mostradas en la figura 8. La abscisa X de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de las abscisas x-i, x2,. . ., xn de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje (figura 5.9). La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. Así, se escribe

(17)

18

FIGURA 8.Centroides de figuras compuestas. FUENTE: ESTATICA- RILEY Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa X del centroide del área puede determinarse observando que el primer momento Qy del área compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el producto de X con el área total y como la suma de los primeros momentos delas áreas elementales con respecto al eje y (figura 9). La ordenada Y del centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene

(18)

Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área compuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas X y Y de su centroide. Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo, un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento negativo con respecto a dicho eje. Además al área de un agujero se le debe asignar un signo negativo De manera similar, en muchos casos es posible determinar el centro de gravedad de un alambre compuesto o el centroide de una línea compuesta dividiendo al alambre o a la línea en elementos más simples.

19

El centroide de un área limitada por curvas analíticas (esto es, curvas definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales que aparecen en las ecuaciones:

(19) Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de lados dx y dy, la evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración doble con respecto a x y y. También es necesaria una integración doble si se usan coordenadas polares para las cuales dA es un elemento de lados dr y r dd. Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible determinar las coordenadas del centroide de un área con una sola integración. Esto se logra seleccionando a dA como un rectángulo o tira delgada o como un sector circular delgado (fıgura 10); el centroide de un rectángulo delgado está localizado en su centro y el centroide de un sector delgado está localizado a una distancia de \r a partir de su vértice (como en el caso de un triángulo). Entonces, las coordenadas del centroide del área en consideración se obtienen expresando que el primer momento del área total con respecto a cada uno de los ejes coordenados es igual a la suma (o integral) de los momentos correspondientes de los elementos del área. Representando con xel y yel las coordenadas del centroide del elemento dA, se escribe Si el área no se conoce esto también se puede calcularse a partir de esos elementos.

(20)

20

FIGURA 9 Diferenciales de centroides elegidas. FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON Las coordenadas xe¡ y ye¡ del centroide del elemento del área dA deben expresarse en términos de las coordenadas de un punto localizado sobre la curva que limita al área en consideración. Además, el área del elemento dA debe expresarse en términos de las coordenadas de dicho punto y de los diferenciales apropiados. Esto se ha hecho en la figura 5.12B para tres tipos comunes de elementos; la porción de círculo de la parte c debe utilizarse cuando la ecuación de la curva que limita al área esté dada en coordenadas polares. Deben sustituirse las expresiones apropiadas en las fórmulas (5.9) y debe utilizarse la ecuación de la curva que limita al área para expresar a una de las coordenadas en términos de la otra. De esta forma, se reduce a una sola integración. Una vez que se ha determinado el área y han sido evaluadas las integrales. cuando una línea está defınida por una ecuación algebraica, puede determinarse su centroide al evaluar las integrales que aparecen en las ecuaciones:

(21) El diferencial de longitud dL debe reemplazarse por una de las siguientes expresiones, dependiendo de cuál coordenada x, y o 6, se seleccione como la variable independiente en la ecuación utilizada para definir la línea (estas expresiones pueden derivarse con el uso del teorema de Pitágoras

21

(22)

Después de que se ha utilizado la ecuación de la línea para expresar una de las coordenadas en términos de la otra, se puede llevar a cabo la integración y se pueden resolver las ecuación para las coordenadas x y y del centroide de la línea.

Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus durante el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el matemático suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se refieren a superficies y cuerpos de revolución. Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fıjo. Por ejemplo:

FIGURA 10.Giros de figuras para determinar el área generada FIGURA 12. FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON

Puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie de un cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje AC y se puede generar la superficie de un toroide o anillo rotando la circunferencia de un círculo con respecto a un eje que no interseca a dicha circunferencia. Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fıjo. Se puede generar

22

una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica.

13. FIGURAFIGURA 11.Areas generadas por cada figura. FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON

El área de una superficie de revolución generada al girar una curva plana de longitud “L” alrededor de un eje coplanario con ella y que no la corte es igual al producto de la curva que recorre su centroide así:

FIGURA 12.Diferencial de longitud de un cuerpo. FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON Del cilindro hueco: 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑍𝑑𝐿 ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 2𝜋𝑍𝑑𝐿 𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝑍𝑑𝐿 La coordenada “Z” del centroide en el plano “YZ” viene dada por la siguiente relación: 𝑍̅ =

∫ 𝑍𝑑𝐿 ∫ 𝑑𝐿

El área de una superficie generada por la línea AB al efectuar el giro completo alrededor del eje Y es: 𝐴 = 2𝜋𝑍̅𝐿

23

El teorema también es válido si la línea ab gira un ángulo 𝜃 que no sea 2𝜋𝑅𝑎𝑑. Así para un ángulo de rotación 𝜃 cualquiera el área generada será: 𝐴 = 𝜃𝑍̅𝐿 ˄ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

El volumen del solido de revolución generado al hacer girar una superficie plana de área A alrededor de un eje coplanario que no la corte, es igual al producto del área de dicha superficie por la longitud del camino que recorre el centroide de la superficie.

FIGURA 13.Diferencial de área. FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON 𝑑𝑉 = 2𝜋𝑧𝑑𝐴 El volumen generado al realizar la superficie A un giro completo alrededor del eje Y es: ∫ 𝑑𝑉 = ∫ 2𝜋𝑍𝑑𝐴 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑍𝑑𝐴 El volumen generado al realizar la superficie a un giro completo alrededor del eje Y es: ∫ 𝑑𝑉 = ∫ 2𝜋𝑍𝑑𝐴 𝑉 = ∫ 2𝜋𝑍𝑑𝐴 La coordenada Z del centroide contenida en el plano YZ viene dada por la siguiente relación: 𝑍̅ =

∫ 𝑍𝑑𝐴 ∫ 𝑑𝐴

El volumen generado al efectuar la superficie una revolución completa alrededor del eje Y será:

24

𝑉 = 2𝜋𝑍̅𝐴 Este teorema también es válido si la superficie A gira a un ángulo 𝜃 distinto de 2𝜋. Así para un ángulo de rotación𝜃 cualquiera será: 𝑉 = 𝜃𝑍̅𝐴 ˄ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

El método de investigación aplicado al trabajo es el método experimental

3.2. Se utilizó un Motor como soporte en tres dimensiones, en la cual se traza sus ejes coordenados; con ayuda del desarmador utilizamos para fijar la placa metálica, las cuales están sujetadas a uno de los ejes coordenados as. El cronometro sirve para controlar el tiempo en las vueltas que da la placa metálica y así poder determinar las revoluciones correspondientes.





Motor

Placa metálica

25



Destornillador

 Cronometro

 Preparar los materiales necesarios a utilizar.  Debemos conocer los ejes en que se va a trabajar (x, y, z)  Ya listo los materiales, empezamos colocando la placa metálica en un eje coordenado y sujetándola con los tornillos.  Entornillar a cada agujero

así para mantener una buena estabilidad a la

hora de moverse.  Ya sujetas y entornillada la placa metálica, se enciende el motor y se toma en cuenta las cantidades de vueltas que da en un minuto.

26

Se elabora el sistema de referencia para determinar los cálculos.

Ubicamos la placa adecuadamente para determinar los cálculos.

27

Hallamos la función de la placa mediante la ecuación de la recta. Recordando: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑡𝑔𝛼 = 𝑚 =

𝟏. 𝟏

𝑐𝑜 𝑐𝑎

Hallando la pendiente “m” de la placa 𝑡𝑔𝛼 = 𝑚 =

15,9 21

𝑡𝑔𝛼 = 0,7571 𝑚 = 0,7571

𝟏. 𝟐

Las coordenadas de los puntos: A= (8,5;0)

1.3

B=(29,5;0)

1.4

C= (29,5; 15,9)

1.5

Reemplazando 1.2 , 1.3 en 1.1 𝑦 − 0 = 0,7571(𝑥 − 8,5) 𝑦 = 0,76𝑥 − 6,44 𝑓(𝑥) = 0,76𝑥 − 6,44 Entonces la función dada por la figura será:

𝑓 (𝑥 ) = 0,76𝑥 − 6,44

28

 Determinar el centroide 𝑋̅, 𝑌̅ , 𝑍̅ por el método integral.

29

Recordemos: 𝑥̅ =

∫ 𝑥 𝑑𝐴 ∫ 𝑑𝐴

𝑦̅ =

∫ 𝑦 𝑑𝐴 ∫ 𝑑𝐴

𝑧̅ =

∫ 𝑧 𝑑𝐴 ∫ 𝑑𝐴

Además: y=0.76x-6.44



𝑥̅ =

∫ 𝑧 𝑑𝐴 ∫ 𝑑𝐴

𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥

19 21 2 161 21 ∫8.5 𝑥 𝑑𝑥 − 25 ∫8.5 𝑥𝑑𝑥 25 𝑥̅ = 21 = 21 = 19 21 161 21 ∫8.5 𝑦𝑑𝑥 ∫8.5 (0.76𝑥 − 6.44)𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 − 𝑑𝑥 25 ∫8.5 25 ∫8.5 21

∫8.5 𝑥𝑦𝑑𝑥

21

∫8.5 𝑥(0.76𝑥 − 6.44)𝑑𝑥

19 𝑥 3 21 161 𝑥 2 21 | − | 25 3 8.5 25 2 8.5 1576 𝑥̅ = = = 7.88 19 𝑥 2 21 161 21 200 | − 𝑥| 25 2 8.5 25 8.5 𝑦̅ =

∫ 𝑦 𝑑𝐴 ∫ 𝑑𝐴

𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥

y=

𝑦 2

21 (𝑦 2 + 6.44𝑦) 21 𝑦 (𝑦 + 6.44) 𝑑𝑦 ∫8.5 2 0.76 𝑑𝑦 ∫8.5 1.52 𝑦̅ = = 21 (𝑦 + 6.44) 21 (𝑦 + 6.44) 𝑑𝑦 𝑑𝑦 ∫8.5 ∫8.5 0.76 0.76

50 𝑦 3 21 6.44 21 | + 𝑦| 76 3 8.5 1.52 8.5 2677.40 = = = 7.68 50 𝑦 2 21 6.44 21 348.08 | + 𝑦| 38 2 8.5 0.76 8.5  Determinar el Área y Volumen por el Teorema de Pappus y Guldin.

x

y 30

x

Y

𝐴 = 2𝜋𝑦̅𝐿 𝐿 = √212 + 15.92 = 26.34 𝐴 = 2𝜋𝑦̅𝐿 𝐴 = 2𝜋(7.68)(26.34) 𝐴 = 1271.03𝑐𝑚2

31

𝑉 = 2𝜋𝑦̅𝐴

𝑉 = 2𝜋𝑦̅𝐴 Del dato anterior: 𝑦̅ = 𝐴=

21×15.9 2

= 166.95

𝑉 = 2𝜋(7.68)(166.95) 𝑉 = 8056.15𝑐𝑚3 Hallando la frecuencia, velocidad angular y las revoluciones  Determinando la frecuencia 𝑓=

#𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑓=

172 60

𝑓 = 2,87𝐻𝑧  Determinado la velocidad angular 𝜔 = 2𝜋𝑓 𝜔 = 2𝜋𝑥2,87 𝜔 = 5.74𝜋  Determinado las revoluciones por minuto 𝜔 = 2𝜋𝑥2,87 𝜔 = 5.74 1𝑅𝑃𝑀 5,74𝜋 =( )( ) 1⁄ 2𝜋 𝑋 = 9 𝑅𝑃𝑀

𝑥̅ = 7.88𝑐𝑚 𝑦̅ = 7.68𝑐𝑚 𝐴 = 1271.03𝑐𝑚2 𝑉 = 8056.15𝑐𝑚3 𝑓 = 172𝐻𝑍𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝜔 = 5.74𝜋

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 Al obtener los cálculos, se tuvo que redondear las cifras a la centésima ya que esto interfiere en el resultado.  Al momento de hacer su revolución, la máquina se detenía por un momento y eso dificultaba el conteo de las vueltas.  Al momento de usar el cronometro y el momento en que empieza a gira la placa no son instantáneos, esto hace que varíe el resultado.  Al girar la maquina hace que los ejes no estén quietos haciendo que hallemos un área y volumen falsos.  Al generar vibración la maquina el volumen varia por eso los resultados no son exactos.

 Se logró determinar el centroide 𝑋̅, 𝑌̅ , 𝑍̅ por el método integral. 𝑥̅ = 7.88 𝑦̅ = 7.68 𝑧̅ = 0  Se logró determinar el Área y Volumen por el Teorema de Pappus y Guldin. El cual es: 𝐴 = 1271.03𝑐𝑚2 𝑉 = 8056.15𝑐𝑚3

33



Realizar con mucha precisión los cálculos para encontrar los centroides en X, Y y Z.



Tener las coordenadas y en que eje estas trabajando para calcular el sistema de coordenadas ya sea (x, y, z) para que en el cálculo de los objetivos específicos salgue sin dificultades.



Contar exactamente el número de vueltas que da la placa metálica en un minuto.



Al realizar la práctica tenemos que trabajar con mucho orden por parte de cada uno de los integrantes de nuestro grupo.



Se recomienda usar una máquina en buen estado para su correcto uso y sin errores de construcción.

34

[1]

: KING; 1991; MECÁNICA PARA INGENIERÍA ESTÁTICA Y SUS APLICACIONES; 2ª EDICIÓN.

[2]

: MERIAM; 1976; MECÁNICA PARA INGENIERÍA EDICIÓN.

[3]

: SINGER; 1975; MECÁNICA PARA INGENIEROS; 3ª EDICIÓN.

[4]

: ING. MANUEL NESTARES GUERRA; 2014; CUADERNO DE FÍSICA I – 2014-II

35

ESTÁTICA; 3ª



ANTHONY BEDFORD; EDITORIAL ADISON.

WALLACE

FOWLER;

1996;

ESTATICA,

. 

DAS / KASSIMALI / SAMI; 1999; ESTÁTICA; PRIMERA EDICION; LIMUSA; pp 58-60.



HIBBELER, 2010; ESTATICA; DECIMOSEGUNDA EDICION; EDITORIAL PEARSON.



IRVING H. SHAMES; 1979; ESTATICA; PRIMERA EDICION.



J. N. MERIAN; 1975; ESTATICA; EDITORIAL REVERTÉ.

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-Tabla de centroides de del triángulo y semicírculo.

-Centroides de líneas en dos dimensiones

-Tabla de centroides de áreas .

-Tabla de centroides de volúmenes.