Informe 9 (2)

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL AREA DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS, E INTELIGENCIA ARTIFICIAL

LABORATORIO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

INFORME DE: Tecnología Eléctrica Análisis de Circuitos Eléctricos I Análisis de Circuitos Eléctricos II Práctica #:

Tema: Circuitos Ajustables – Lugares Geométricos

9

Fecha de Realización: 2011 / 06 / 27 año

mes

día

Realizado por: Alumno (s): Jeaneth Acero

Grupo:

L3AC1_1

Andrés Brito

(Espacio Reservado) Fecha de entrega: ____ / ____ / ____ año

Sanción: Período:

mes

día

f. ______________________ Recibido por:

________________________________________________ Oct - Mar Mar - Ago OECA

I.

TÍTULO:

Circuitos Ajustables – Lugares Geométricos II.

OBJETIVO:

Determinar el Lugar Geométrico de: Impedancia, Admitancia y Corriente en un circuito alimentado por una fuente de corriente alterna sinusoidal en estado permanente: a) Cuando hay variación de frecuencia. b) Cuando existe variación en los parámetros del circuito. III.

TEORÍA:

Lugares Geométricos: En general se tiene que un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. En las representaciones vectoriales en régimen permanente, el lugar geométrico del extremo de cualquier vector rotativo individual es un círculo concéntrico con el origen, y el desplazamiento angular del vector en un instante cualquiera es proporcional a la variable independiente, el tiempo. Este diagrama vectorial se extiende de modo que incluya un cierto margen de condiciones de régimen permanente dejando que el vector describa un lugar geométrico en el plano complejo, conforme se varía un parámetro o la frecuencia. De esta forma se puede visualizar el comportamiento del circuito y analizar cuantitativamente no sólo para una única condición de régimen permanente sino para un cierto margen de condiciones. Este método es especialmente conveniente y resulta útil en la práctica porque se prueba que estos lugares geométricos son círculos (o líneas rectas) en muchos casos útiles. También se los llama comúnmente diagramas circulares. Los lugares geométricos no son más que las gráficas de diferentes funciones, que dependiendo de las variables que se estén considerando, variará el plano sobre el cual se grafique dicha función. De tal forma podemos tener las siguientes consideraciones: Si consideramos los elementos reactivos en forma aislada (circuito sin pérdidas) obtenemos como respuesta las curvas siguientes:

Para las combinaciones de inductancia y capacitancia se obtienen las gráficas siguientes. Para los elementos en serie se cumple la misma propiedad para la reactancia y para la susceptancia. Y, por dualidad, podemos decir que lo mismo ocurre con los elementos puestos en paralelo. A las curvas las definen los polos (infinitos) y los ceros, y la escala vertical la da otro punto cualquiera. El Teorema de la reactancia de Foster dice que ninguna otra curva puede pasar por los mismos polos y ceros a menos que difiera en la escala vertical.

B

X









Reactancia Serie L-C





Susceptancia Serie L-C

Las reglas generales para estos lugares geométricos son: 1. En todas observamos que la pendiente es siempre positiva, arriba y a la derecha. 2. Los polos y ceros están siempre alternados a lo largo del eje . 3. Encontraremos siempre un polo o un cero en ambos extremos, es decir para frecuencia cero y para frecuencia infinita. 4. Físicamente hay un cero para  = 0 si existe un camino que no pase por un capacitor. Hay un cero para  =  si hay un camino que no contenga una inductancia. Debe recalcarse que así como hay una sola forma de círculo o de recta hay una sola forma de curva de reactancia (o susceptancia). Sólo una recta puede pasar por dos puntos, una circunferencia por tres, y una curva de reactancia o susceptancia por los polos y ceros especificados. Al considerar los elementos reactivos, acompañados de pérdidas, es decir, elementos R-L o R-C, tenemos que los gráficos de los lugares geométricos varían respecto a los anteriores, ya que incluso los ejes del plano sobre el que estamos graficando deben cambiar, ya que ahora usamos el plano de impedancias y de admitancias, y dependiendo de que varíe la parte real (resistencia) o la parte imaginaria (reactancia), los gráficos variarán en posición, pero siempre se tendrá relación entre rectas (plano de impedancias) y semicircunferencias (plano de admitancias). Por ejemplo si consideramos una inductancia en serie con una resistencia, su impedancia estará dada por la expresión:

Por consiguiente la admitancia será la recíproca compleja:

Y los lugares geométricos correspondientes serían:

En todos los casos que representamos el plano de impedancias o admitancias la frecuencia no aparece como variable pero se puede indicar sobre las curvas. Para los circuitos con pérdidas se tienen las siguientes reglas generales: 1. Cuando el lugar geométrico es una curva cerrada la frecuencia aumenta en sentido horario, cuando es abierta aumenta hacia arriba. 2. Los lugares geométricos empiezan y terminan (en f = 0 o en f = ) sea en el eje horizontal o en el infinito. En su principio y en su final la curva es horizontal o vertical.

IV. PARTE EXPERIMENTAL: Equipo a utilizarse: 1 Generador de Funciones

1 Capacitor Decádico de hasta 1,1 [µF] 1 Inductor núcleo de Aire (0,25 1 Banco de Capacitores (0 – 50 [H] – 3 [Ω]) [µF]) 2 Resistor de 100 [Ω] 1 Multímetro Digital

1 Interruptor Bipolar Protección 3 Interruptores Simples

con

Juego de Cables

Procedimiento Práctico: 1. Conversar con el profesor sobre los objetivos y tareas, anotar las características del equipo y elementos utilizados. 2. Armar el circuito serie y alimentarlo con un voltaje de 10 [V] y los valores propuestos para los elementos, variar la frecuencia de acuerdo con la progresión geométrica y tomar valores de corriente y voltaje para cada una. 3. Armar el circuito paralelo con los valores propuestos, alimentarlo con 10 [V] a 65 [Hz], variar el valor de la capacitancia y tomar las mediciones de corriente. V.

DATOS EXPERIMENTALES:

Circuito Paralelo - Análisis de Errores Experimental Capacitancia[µF]

Corriente [mA]

10 20 30 40 50

Teórico

Impedancia Corriente Impedancia |Z| [Ω] [mA] |Z| [Ω]

26,71 40,26 55,78 68,32 76,29

187,196 124,193 89,638 73,185 65,539

49,04 49,16 49,69 50,61 51,89

101,953 101,718 100,632 98,794 96,350

Corriente Impedancia Error Error Error Error Relativo Relativo Absoluto Absoluto (%) (%) 22,330 45,53 85,243 83,61 8,900 18,10 22,475 22,10 6,090 12,26 10,994 10,92 17,710 34,99 25,609 25,92 24,400 47,02 30,811 31,98

VI. CÁLCULOS Y RESULTADOS: Ejemplo de Cálculo: Valor Promedio:

∑

̅

Error Absoluto:

Error Relativo: ( )

|

|

|

|

Circuito Serie: Teóricamente el valor de la impedancia es: (

)

Pero debido a que la frecuencia es la que varía: ( )

(

)

(

(

)

)

Para una frecuencia de 80 [Hz]: ( )

(

(

)

(

)(

)

)

(

)

A partir de estos valores se puede calcular la admitancia (Y) y la corriente (I) recordando las relaciones:

̅

̅

Uno de los valores teóricos de corriente a una frecuencia de 5120 [Hz]: ̅

̅

Circuito Paralelo: A partir del circuito propuesto se puede determinar el valor de la impedancia equivalente: ( (

) )

Donde C es el valor de la capacitancia Como la capacitancia es variable para un valor de 30µF se tiene: ( (

) )

A partir de estos valores se puede calcular la admitancia (Y) y la corriente (I) recordando las relaciones: ̅ ̅

Para un valor teórico de 30µF: ̅ ̅

VII.

ERRORES:

Como en todo trabajo experimental, los errores no pueden ser evitados por completo, se los debe considerar, analizar y de esta forma determinar y corregir las posibles fuentes de los mismos. En esta práctica no ha sido la excepción y por tal razón se ha comparado los datos experimentales con los esperados en el modelo teórico de resolución de los circuitos, estos valores están tabulados en la sección V, mientras que las gráficas y su análisis se encuentra en la sección de Anexos.

VIII.

DISCUSIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS:

Primero podemos comentar sobre el circuito serie, en general se puede apreciar que los errores cometidos al analizar la norma de la impedancia (ya que no se analizaron ángulos debido a la limitante del cosfímetro a bajas frecuencias) y la corriente total que circulaba por la configuración se llegó a errores que no superan el 20%, lo cual muestra un trabajo práctico aceptable pero que puede ser mejorado para llegar a errores del 10% como sería lo aceptable. Solo para dos valores tenemos errores que superan este 20% y uno que supera el 50%. En sí todos estos datos están expuestos a errores provenientes de los observadores, e incluso de los instrumentos, pero valores tan elevados no se pueden justificar solo con estas consideraciones, el principal problema y la posible fuente de error se tiene en que la fuente (generador de funciones) es real, es decir, presenta una resistencia interna, lo cual hace que la diferencia de potencial a sus terminales varíe, es por esta razón que al ir variando la frecuencia los valores de voltaje de la fuente no se mantuvieron en 10 [V] como se consideraba teóricamente, se mantuvo entre los 9 – 10 [V], pero la variación más fuerte se dio a la frecuencia de 320 [Hz] donde bajo repentinamente a alrededor de 7 [V] debido a un aumento de corriente de alrededor de 30 [mA], esta es la razón para el error que supera el 50%, y de esta forma también se justifican en parte los errores cometidos en el análisis con las otras frecuencias. Debido a esta caída tan representativa en el voltaje, lo que conlleva a un aumento en la corriente, lo que hicimos fue tratar de corregir este problema variando el valor de la resistencia, hasta llegar a un valor cercano a los 10 [V], estos resultados también se resumen en el cuadro de la sección V, pero en sí, al usar una resistencia alta y de esta forma disminuir la corriente se obtuvo un error del 2%, lo cual es sumamente aceptable. Una solución práctica para este problema no es tan fácil de obtener, lo mejor que podemos hacer es tomar en consideración estas variaciones y sus razones a la hora de realizar los cálculos para de esta forma entender de mejor manera los errores. Tal vez si tuviéramos una resistencia interna de la fuente que sea variable, de esta forma podríamos controlar de mejor forma el voltaje de la fuente y así mejorar los resultados experimentales. Por otra parte en el circuito en paralelo, se puede observar con los errores cometidos no se encuentran dentro de un rango de aceptación ya que estos oscilan entre el 10,92 y el 83,61 para el caso de la impedancia, para la corriente el error porcentual varía entre el 12,26 y el 47,02. En general todos los datos experimentales están expuestos a errores provenientes por parte del observador, e incluso de los instrumentos, pero errores tan elevados no se pueden justificar solo con estas consideraciones, el principal problema y posiblemente el origen del error es la fuente (generador de funciones) debido a que esta es real, es decir, presenta una resistencia interna, la cual en un circuito en paralelo tiene mayor relevancia que en un circuito serie, de manera especial si esta es relativamente pequeña. Una solución efectiva para este problema no es tan fácil de obtener, pero lo más próximo que se podría realizar es conocer el valor de la resistencia interna de la fuente, de esta manera se podría disminuir de manera considerable el error cometido en la práctica.

IX.

CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y SUGERENCIAS:

Conclusiones:  Al ir variando la frecuencia se nota claramente la dependencia de la reactancia, la capacitiva es predominante a frecuencias bajas, mientras que la inductiva lo es a frecuencias altas, esto determina una dependencia del comportamiento (inductivo o capacitivo) del circuito en función de la frecuencia que se esté usando. 

Del lugar geométrico de la impedancia se puede inferir el valor de la frecuencia de resonancia, debido a que para que se presente este fenómeno es necesario que las reactancias se anulen y solo quede la resistencia, por tanto, la impedancia será la mínima. En la parábola que se forma se tiene que la frecuencia de resonancia está ubicada en su mínimo, su vértice.



Conforme se varía el valor del capacitor se observó que tanto la impedancia como la corriente iban cambiando, esto nos demuestra que con la más mínima alteración de algún parámetro se originan condiciones nuevas.



En un circuito donde la resistencia es fija y la reactancia variable, el lugar geométrico de la impedancia es una circunferencia de radio infinito, al realizar la respectiva inversión para hallar la admitancia se obtiene una circunferencia de radio finito, ubicado sobre el otro eje de coordenadas.



El lugar geométrico de la intensidad de corriente, es una aplicación directa de los lugares geométricos de “inmitancias”, por lo tanto las gráficas obtenidas de la corriente en función de la capacitancia va a poseer una relación con la gráfica de la inmitancia vs la capacitancia.

Recomendaciones y Sugerencias:  Es recomendable que en la práctica se procure usar el generador de funciones que cuente con un display ya que de esta forma se puede tener la certeza de la frecuencia con la cual se está trabajando, el generador de funciones análogo es muy útil y funcional pero a la hora de usar frecuencias intermedias en las escalas determinadas se puede tener ciertos errores. 

X.

Debido a que el generador de funciones es una fuente real tendremos una variación en su voltaje, por esta razón es aconsejable que se lo vaya revisando con cada variación de frecuencia para notar variaciones significativas y que puedan representar errores grandes a la hora de analizar los datos experimentales.

APLICACIONES: 

El método de lugares geométricos es conveniente puesto que se prueba que, en la mayoría de los casos, este diagrama es un círculo o una recta. Estos diagramas circulares, como se les llama, se usan tanto en sistemas de suministro de energía como en comunicaciones.



XI.

Como una de las consecuencias más directas de los lugares geométricos, aparece el fenómeno de resonancia, el mismo que se lo obtiene mediante la variación de la inmitancia a través de la frecuencia. Este fenómeno no se limita únicamente a redes de estructura simple, sino que es aplicable a todo tipo de redes con elementos R-L-C. El análisis de los sistemas polifásicos, se lo hará en base al sistema trifásico, mediante el método de las componentes simétricas, el cual no se limita únicamente a los sistemas trifásicos, ni únicamente a la carga del sistema, sino que puede ser empleado en un sistema más general y completo, donde se reúna la generación, línea y carga. Además este método e muy útil en el análisis de fallas en sistemas trifásicos.

BIBLIOGRAFÍA:

LIBROS: Circuitos Eléctricos /J.A.Edminister/ primera edición/ cap.8 Circuitos eléctricos/ Miembros del personal Massachusetts Institute of technology/compañía editorial continental/ primera edición/ cap. IX INTERNET: www.frm.utn.edu.ar/circuitos1/Apuntes/Libro2060.doc. http://www.geocities.ws/areaelectrotecnia2002/diagramas/diagramas.html

XII.

ANEXOS:

Circuito Serie:  Impedancia:

En el gráfico anterior se puede notar claramente que las curvas teórica y experimental están muy cercanas entre sí, lo cual muestra que los errores cometidos durante la práctica son aceptables. Además se puede apreciar que la frecuencia de resonancia se la obtiene en alrededor de los 300 [Hz] aproximadamente, que el punto más bajo de la gráfica, debido a la escala no se puede apreciar pero en este punto se anulan las reactancias y solo se mantiene la resistencia de 100 [Ω]. Además se aprecia que a frecuencias muy bajas muy altas las gráficas casi se superponen, dándonos a entender que con efectos capacitivos o inductivos puros los errores se van haciendo cada vez menores.  Admitancia:

Debido a la relación inversa que existe entre la impedancia y la admitancia se espera que las dos curvas se aproximen mucho, tomando en consideración la de impedancia, en el gráfico anterior esto se puede constatar, lo cual nos indica que el error cometido durante la práctica es aceptable. Se puede notar que en la gráfica teórica existe un valor de frecuencia para la cual la curva tiende a valores muy grandes debido al efecto del inductor a frecuencias muy bajas, este es el punto donde más se diferencian las dos gráficas, ya que aquí se tiene el punto de resonancia, en donde el valor de la admitancia será solo el de las conductancia (inverso de la resistencia) debido a que se suprimen las susceptancias. Se nota además que la admitancia es baja y tiende a cero excepto en la región aledaña al punto donde se obtiene la resonancia.

 Intensidad de Corriente:

Debido a que la intensidad de corriente y la admitancia son directamente proporcionales, lo que esperamos es una gráfica similar a la de la admitancia y solo aumentada en magnitud debido a que el voltaje por el que se multiplica a la admitancia es constante. Y de hecho eso es lo que se puede observar en la gráfica anterior. Tanto la experimental como la teórica se acercan mucho lo cual implica errores aceptables. Se tiene un valor máximo de corriente, el cual bordea los 30 [mA] aproximadamente, este dato es congruente con los tomados experimentalmente, ya que ninguno superaba este valor. En este punto se tiene la impedancia mínima, es decir, solo presenta resistencia ya que las reactancias se eliminaron, en sí, es el punto donde se presenta resonancia.

 Circuito en paralelo: Impedancia

En la gráfica se puede observar que las curvas teórica y experimental difieren mucho entre sí, lo cual indica que los errores cometidos durante la práctica no se encuentran dentro de un rango de aceptación, pero es importante observar que en ambas gráficas se cumple que conforme se incrementa el valor de la capacitancia el valor de la impedancia disminuye, pero es más significativa esta variación en la parte experimental que en la teórica. Admitancia

Debido a la relación inversa que existe entre la impedancia y la admitancia se espera que las dos curvas presenten la misma diferencia que en el caso anterior, lo cual nos indica que el error cometido durante la práctica no es aceptable. Se nota además que la admitancia es

Intensidad de corriente

Como la intensidad de corriente y la admitancia son directamente proporcionales, lo que se espera obtener es una gráfica similar a la de la admitancia y solo incrementada en magnitud debido a que el voltaje por el que se multiplica a la admitancia es constante 5 voltios. Y efectivamente eso es lo que se puede observar en la gráfica. Como se mencionó anteriormente los errores no son aceptables, pero que siguen un mismo patrón, conforme se incrementa la capacitancias aumenta la corriente. Hojas de Datos: