Informe 7 Difracción

Laboratorio de Óptica, Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México

INFORME 7 DIFRACCIÓN David Ignacio Reyes Murcia Resumen En este experimento se realizaron análisis de patrones de difracción para rejillas de 1, 2 y N rendijas obteniendo el ancho de cada una y la separación entre ellas, así como el análisis cualitativo para rejillas circulares, hexagonales y cuadradas. También se realizó la medición del grosor de un cabello de 3 personas diferentes usando el principio de Babinet, se estimó la capacidad de almacenamiento de un CD considerándolo como una rejilla de difracción y se realizó la observación del punto de Poisson –o punto de Aragó-. Los resultados obtenidos se acercan –en su mayoríaa los datos reales de las rendijas, sin embargo, no son congruentes debido a las incertidumbres y rangos obtenidos.

I. Introducción La difracción es una modificación que sufre la luz al rasar el contorno de un cuerpo, o al atravesar una pequeña abertura, modificación en virtud de la cual parece que se doblan los rayos y que penetra en la sombra [1]. El caso más sencillo corresponde a la difracción Fraunhofer, en la que el obstáculo es una rendija estrecha y larga, de modo que podemos ignorar los efectos de los extremos. Supondremos que las ondas incidentes son normales al plano de la rendija, y que el observador se encuentra a una distancia grande en comparación con la anchura de la misma. De acuerdo con el principio de Huygens, cuando la onda incide sobre una rendija todos los puntos de su plano se convierten en fuentes secundarias de ondas, emitiendo nuevas ondas, denominadas ondas difractadas, por lo que la explicación del fenómeno de la difracción no es cualitativamente distinta de la interferencia. Una vez que hemos estudiado la interferencia de un número limitado de fuentes, la difracción se explica a partir de la interferencia de un número infinito de fuentes [2].

La intensidad, proporcional al cuadrado de la amplitud se describe como:

𝐼 = 𝐼0 (

Donde b es la anchura de la rendija. Para detalles y el desglose de la ecuación, véase [2]. Los mínimos de intensidad se producen cuando el argumento del seno es un múltiplo entero de p, es decir, cuando: 𝑏 sin 𝜃 = 𝑛 𝜆, 𝑛 = 1,2,3, …

(2)

El siguiente paso, es considerar el diagrama de difracción producido por varias rendijas paralelas de igual ancho b, espaciadas regularmente una distancia a. La intensidad que medimos en la dirección correspondiente al ángulo 𝜃 es el producto de dos términos: La intensidad de la difracción producida por una rendija de anchura b [2] y la intensidad debida a la interferencia de N fuentes separadas una distancia a [3], obteniendo: 2 2 𝜋𝑏 sin(𝜃) 𝑁𝜋𝑎 sin(𝜃) ) sin ( ) 𝜆 𝜆 ) ( ) 𝜋𝑏 sin(𝜃) 𝜋𝑎 sin(𝜃) 𝜆 𝜆

sin ( 𝐼 = 𝐼0 (

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2 2 𝜋𝑏 sin(𝜃) 𝑘𝑏 sin(𝜃) ) sin ( ) 𝜆 2 ) = 𝐼0 ( ) (1) 𝜋𝑏 sin(𝜃) 𝑘𝑏 sin(𝜃) 𝜆 2

sin (

1

2 2 𝑘𝑏 sin(𝜃) 𝑁𝑘𝑎 sin(𝜃) ) sin ( ) 2 2 ) ( ) (3) 𝑘𝑏 sin(𝜃) 𝑘𝑎 sin(𝜃) 2 2

sin ( = 𝐼0 (

Para detalles y el desglose de la ecuación, véase [4].

del centro. La luz láser que se refleja a medida que el disco gira es detectada por un fotodiodo y luego demodulada para ser convertida en música. Aunque los surcos no están continuamente rayados, las ocurrencias de los huecos proveen una periodicidad suficiente para comportarse como una red de difracción por reflexión. Si el láser incide normal a la superficie del disco, los rayos reflejados producirán interferencia constructiva para ángulos 𝜃 tales que la diferencia de camino de rayos adyacentes corresponda a un número entero de longitudes de onda: 𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆. Esto significa que las posiciones de los máximos de difracción que se producen en la pantalla están relacionados con la distancia “d” entre surcos mediante la fórmula [5]: 𝐿 2 𝑑 = 𝑚𝜆 √1 + ( ) 𝑥

𝑚 = 0, ±1, ±2, …

(4)

FIGURA 1. Para más de una rendija se tiene un conjunto de interferencia y difracción.

De acuerdo al principio de Babinet las figuras de difracción producidas por dos objetos complementarios son idénticas. Se dice que dos objetos son complementarios si los espacios opacos de uno corresponden a transparentes del otro (el negativo fotográfico). De acuerdo a este principio, el patrón de difracción de un alambre fino o un cabello que intercepta el haz del láser debe corresponder al de una ranura de igual anchura que el diámetro del cabello.

FIGURA 2. Obstáculos complementarios

En los discos compactos de música, la información está codificada digitalmente en una capa metalizada de diminutos huecos de longitud variable, formando surcos en espiral alrededor Noviembre, 2016

FIGURA 3. Disco CD como red de difracción

Una espectacular demostración de difracción fue observada por Aragó en 1818 cuando se interpone un objeto en forma de disco perfectamente redondo entre la fuente de luz distante y una pantalla de proyección. Lo sorprendente de este asunto es que la sombra proyectada por el disco en la pantalla presenta un punto brillante en el centro, precisamente en la zona donde aparentemente debe haber oscuridad total. La explicación es sencilla. Cada punto del aro exterior del disco está equidistante de la fuente de luz de modo que las ondas nacidas en esos puntos están perfectamente en fase. Como cada punto del aro está a su vez equidistante del centro de la sombra proyectada en la pantalla, todas ellas arribarán a él en fase, interfiriendo constructivamente y generando el punto 2

brillante. Este punto se conoce como punto de Poisson [6]. El objetivo de la práctica es producir patrones de difracción de diferentes aberturas, determinar la distribución de energía en un patrón de difracción producido por una rejilla y determinar cualitativamente la distribución de energía en un patrón de Fresnel. II. Desarrollo experimental Como primer paso se montó en el riel un láser verde, una rejilla sola con ancho de 0.02mm y una pantalla (Fig. 4). Se tomó una fotografía del patrón en la pantalla y se analizó digitalmente para poder medir la distribución de la energía.

FIGURA 4. Montaje experimental para difracción en rejillas

Para la misma rendija se midió la separación entre los mínimos de intensidad para poder calcular el ancho de la rendija. Luego se sustituyó la rendija por otra de 0.04mm para observar los cambios en el patrón de difracción. Posteriormente se sustituyó la rendija sencilla por una rendija doble. Se midió la separación entre los mínimos de intensidad –los referentes a la difracción y a los de interferencia(Fig. 5) y se realizó el cálculo para obtener la separación entre las rendijas, así como el ancho de cada una. También se realizó una comparación cualitativa entre patrones para rendijas dobles de diferentes anchos y distintas separaciones. En la siguiente parte se sustituyó la rejilla doble por aberturas de forma circular, cuadrada y hexagonal (Fig. 6). Así como rejillas con N rendijas, Noviembre, 2016

N muy grande. Se discutió acerca del patrón generado en cada caso.

𝑑𝐷 𝑑 𝐼 FIGURA 5. Patrón de una rendija sola (arriba) y de doble rendija (abajo) 𝑑𝐷 = Distancia de difracción 𝑑𝐼 = Distancia de interferencia

1

2

3

FIGURA 6. Patrones para rendijas: 1)Rectangular; 2)Circular; 3)Hexagonal

Por el principio de Babinet, para medir el grosor de un cabello, se colocó el cabello en lugar de las rendijas y se midieron las distancias entre los mínimos de intensidades para poder calcular el grosor del cabello. Para medir la capacidad del CD se usó el montaje de la Fig. 7, con lo cual se pudo medir la separación entre cada surco.

FIGURA 7. Montaje experimental para difracción en un CD

Y por último se utilizó un balín y un láser para encontrar el punto de Poisson (Fig. 8).

FIGURA 8. Montaje experimental para encontrar el punto de Poisson 3

III. Resultados

Para la rendija doble:

En la rejilla de una sola rendija se obtuvo la gráfica de la Fig. 9 al hacer el análisis de la fotografía. Se obtuvo la ecuación: 11.3383 sin(𝜃) ) 2 ) 11.3383 sin(𝜃) 2

Obteniendo los resultados: 2

sin ( 𝐼=(

𝐷𝑖𝑠𝑡. 𝑅𝑒𝑗𝑖𝑙𝑙𝑎 − 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙𝑎: 79.04𝑐𝑚 ± 0.005𝑐𝑚 𝑑𝐷 = 1.680𝑐𝑚 ± 0.0005𝑐𝑚 𝑑𝐼 = 0.340𝑐𝑚 ± 0.0005𝑐𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 20 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

Ancho de la rendija: Dato experimental: 0.0255𝑚𝑚 ± 0.0005𝑚𝑚 Dato real: 0.04𝑚𝑚 ± 0.005𝑚𝑚 Separación entre rendijas: Dato experimental: 0.126𝑚𝑚 ± 0.0005𝑚𝑚 Dato real: 0.125𝑚𝑚 ± 0.0005𝑚𝑚 Al aumentar el ancho de las rendijas disminuye la distancia entre los mínimos de difracción. Al aumentar la separación entre las rendijas disminuye la distancia entre los mínimos de interferencia.

FIGURA 9. Gráfica obtenida de la rejilla de una rendija

Para las rejillas de diferentes aberturas se obtuvieron los patrones de la Fig. 10.

1

2

Midiendo la separación entre los mínimos de intensidad y el orden n se obtuvieron los datos de la Tabla 1.

3

TABLA 1. Datos para una rejilla

Obteniendo el promedio: Ancho de la rejilla: Dato experimental: 0.02134 ± 0.00005 𝑚𝑚 Dato real: 0.02 ± 0.0005 𝑚𝑚 Al aumentar el ancho de la rendija disminuye la distancia entre los mínimos.

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FIGURA 10. Patrones de rejillas: 1)Circular; 2)Cuadrada; 3)Hexagonal.

Para medir el grosor del cabello se obtuvieron los datos de la Tabla 2 resultando: Derian: 0.1220𝑚𝑚 ± 0.0246𝑚𝑚 Itzel: 0.1093𝑚𝑚 ± 0.0255𝑚𝑚 Boris: 0.1132𝑚𝑚 ± 0.0349𝑚𝑚

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Sin embargo, los resultados experimentales, aunque son bastantes cercanos, no son congruentes con los datos reales. Por ejemplo, en el caso del CD se tiene un error del 33% por lo que es necesario repetir el experimento para que los resultados sean más precisos. También se puede observar que el grosor de un cabello varía grandemente para cada persona, por lo que no hay un parámetro para compararlo; y debido a las observaciones anteriores, no sabemos si dichos resultados sean del todo correctos.

V. Conclusiones

TABLA 2. Datos del grosor de un cabello

Por el Anexo, en la capacidad de un CD se obtuvo: Capacidad experimental: 399.0158𝑀𝐵 Capacidad real: 650 𝑀𝐵

Al utilizar rejillas con más de una rendija, no sólo se obtiene un patrón de difracción sino uno de interferencia y entre más grande sea la separación entre las rendijas o el ancho de las mismas, la distancia entre máximos y mínimos en el patrón de difracción es menor. Para la difracción de Fresnel es necesario observar la pantalla muy cerca, porque el frente de onda es circular.

Realizando la observación de un punto de Poisson se obtuvo la Fig. 11. VI. Referencias [1]

[2]

FIGURA 11. Punto de Poisson experimental

IV. Observaciones [3] En el análisis de las imágenes digitales resulta muy complejo poder ajustar la curva de la Ecuación 1, la curva ajustada parece la envolvente de los datos obtenidos, por lo que es necesario tomar una mejor fotografía o realizar un mejor análisis. Noviembre, 2016

GANOT, A. “Tratado elemental de Física Experimental y Aplicada y de Meteorología”, 4ª Edición, Edit. Librería extranjera y nacional, España, 1984. P.492 Ángel Franco García, Física con Ordenador, “Difracción producida por una rendija”, 2010 [En línea]. [fecha de consulta: 8 de noviembre, 2016]. Disponible en: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica /ondas/difraccion/difraccion.html Ángel Franco García, Física con Ordenador, “Interferencia de ondas producidas por dos fuentes (II)”, 2010 [En línea]. [fecha de consulta: 8 de noviembre, 2016]. Disponible en: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica

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/ondas/interferencia/Interferenci a.html#Intensidad Ángel Franco García, Física con Ordenador, “Interferencia modulada por la difracción”, 2010 [En línea]. [fecha de consulta: 8 de noviembre, 2016]. Disponible en: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica /ondas/redes/redes.htm FIGUEROA, D. “Laboratorio 3 de Física”, 1ª Edición, Edit. Equinoccio, Venezuela, 1999 Tomás Bruzos, Sabelotodo, “Difracción de la luz”, 2016 [En línea]. [fecha de consulta: 8 de noviembre, 2016]. Disponible en: http://www.sabelotodo.org/optica/ difraccionluz.html

[4]

[5]

[6]

Anexo Para la capacidad de un CD, por la Ecuación 4, tenemos:

𝑑 = (543𝑥10−9 𝑚)√1 + (

0.098𝑚 2 ) 0.6865𝑚

= 5.4901𝑥10−7 𝑚 Capacidad: 𝐷 2 𝑑 2 𝜋 ( 2 ) − 𝜋 (2 )

𝐴𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝐴𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑2 0.00096215𝑚2 = = 3192126945 𝑏𝑖𝑡𝑠 3.01412𝑥10−13 𝑚2 = 399015868 𝐵𝑦𝑡𝑒𝑠 = 399.0158𝑀𝐵

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