Informe 3 Completo.

 

Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Topográfica IT-0001, Fundamentos de Ingenierí Ingeniería a Topográfica

Informe III Compensación de poligonales 

Presenta: Nícolas Araya Prado, B60525 Henry Enríquez Mora, B82715

 Andrés Vidaurre, B47567 Katherine Garcia, B52881

Profesor: Ing. Saulo Richmond Solera Ciudad Universitaria Rodrigo Facio

Ciudad Universitaria Rodrigo Facio Costa Rica

Mayo,2021

1

 

1. 

Introducción

En este informe se detallará el uso de los procedimientos topográficos al momento de calcular las mediciones en el levantamiento y las poligonales que se crean a raíz del trabajo de campo, esto con el ejemplo de un trabajo facilitado por el profesor. Según el Ing. Saul Richmond Solera (2021) una poligonal “es un conjunto de líneas consecutivas, unidas entre sí por sus puntos extremos o vértices de la poligonal, a las cuales se les determina su longitud y dirección.” Para conocer la ubicación de estos vértices vértic es es necesario medir el ángulo horizontal en cada uno de los vértices y la distancia horizontal entre los vértices consecutivos. (Casanova, 2002). Las poligonales se dividen en dos: Poligonal cerrada: En la Figura 1  1  y Figura 2  2  se puede observar que esta poligonal se subdivide en dos tipos de línea y polígono, en la primera no hay un cierre geométrico, pero si uno matemático. Y en el segundo hay una existencia de cierre geométrico y matemático. (Solera 2021).

Figura 1. Poligonal cerrada (tipo polígono). Fuente: Casanova, 2002. Capítulo 5.

Figura 2. Poligonal 2. Poligonal cerrada (tipo línea). Fuente: Casanova, 2002. Capítulo 5.

3

 

Poligonal abierta: en estas no es posible establecer controles de cierre, debido a que no se se conocen las coordenadas del punto inicial y también la orientación de la alineación tanto inicial como final. (Casanova, 2002). Tal ejemplo se muestra en la Figura 3 y 3 y se muestra que no hay cierre geométrico y matemático y por esto deben evitarse.

Figura 3. Poligonal 3. Poligonal abierta. Fuente: Wolf y Ghilani, 2008, p. 228.

Para realizar la medición angular en las poligonales se utilizan alguno de estos métodos el primero la medición por ángulos internos, estos suelen medirse en sentido horario, la segunda medición es por medio de los ángulos de deflexión los cuales son los ángulos que se forman entre la prolongación de una línea y la línea siguiente y por último por azimut este método permite obtener los azimuts de todas las líneas sin tener que calcularlos. (Solera, 2021) En la compensación de ángulos de una poligonal al hacer el cálculo por medio medi o de los ángulos internos, se puede calcular el error angular con la fórmula de la sumatoria teórica del polígono menos la sumatoria de los cálculos del proyecto. Luego de ello se divide el error de forma equitativa. Sumatoria de ángulos internos de un polígono:

∑  180°  2 

(1)

Una vez se realiza el cálculo de los ángulos internos, se procede al cálculo los rumbos y azimuts. Donde se hace uso de la sumatoria de los ángulos internos y se distribuye igualmente de forma equitativa el error, pero redondeando al valor más cercano.

4

 

Para las proyecciones ortogonales en las componentes X y Y se procede a utilizar las siguientes fórmulas:

  ó ó    ∗    

(2)

   ó ó     ∗ cos cos 

(3)

Donde L es la longitud horizontal de la línea y  es su azimut. Para una mayor comprensión de estas proyecciones se muestra la Figura 4. 4.

Figura 4. Proyección 4. Proyección ortogonal en X y Y. Fuente: Wolf y Ghilani, 2008, p. 228.

Para el error de cierre lineal se (ecl) se utiliza:

  √   +      

(4)

Donde ecp es el error en el cierre de proyección. El error de cierre lineal se calcula como:

  ó ó   

      

(5)

Luego de esto se procede al cálculo de los ajustes de la poligonal cerrada. El método de Bowditch y el método del tránsito son elementales y se calculan de la siguiente manera:

5

 

Método de Bowditch: este método considera que las mediciones lineales y angulares cuentan con la misma precisión, FC corresponde a los factores de corrección.

  

   

   ó ó     ∗    

(6)

   

  ó ó     ∗ 

(7)

Método del tránsito: este método considera que las mediciones angulares son de mayor precisión que las mediciones lineales

      |   | | |   ó ó     ∗          |     |

(8)

  ó ó     ∗ | |  | 

(9)

6

 

2. 

Ccompensación, cálculo y dibujo de la poligonal.

Cuadro 1. Ajuste 1. Ajuste de poligonal y coordenada de los vértices.

 Vértice

Azimut

Longitud (m)

Proyecciones (m)

Ajustes (m)

Proyecciones

preliminar

Coordenadas (m)

ajustadas (m) Proy X

Proy Y

X

Y

Proy X

Proy Y

 A

Longitud 100

93°36’12”  

48,961

48,864

-3,076

-0,003

-0,07

48,861

157°59’56”  

47,148

17,662

-43,714

-0,003

-0,06

17,667

-43,771

263°36’25”  

44,977

-44,697

-5,01

-0,003

-0,06

-44,703

-5,07

C

D 32,627

-1,350

32,6

-0,002

-0,04

-1,352

28,254

-20,469

19,475

-0,002

-0,03

-20,472

 A    A

148,861

96,854

166,528

53,083

121,825

48,013

120,473

80,573

32,56

E 313°34’26”  

19,445 100

L= 201,967

ProX = 0,010

100

-3,146

B

357°37’42”  

Latitud

100

ProY= 0,278

7

 

Se procede a realizar los cálculos de: Las Proyecciones en X con la ecuación (2): (2):

48,9 48,961 61 ∗  93°36′12′′  48 48,8 ,864 64  17,6 ,662 62  47,1 47,148 48 ∗  157°59′ 56′′  17 44,9 44,977 77 ∗  263°36′25′′  44,697  32,6 32,627 27 ∗  357°37′42′′   1,350  28,2 28,254 54 ∗  313°34′26′′  20,469 

Proyecciones en Y con la ecuación (3): (3):

48,9 48,961 61 ∗  93°36′12′′  3,076 

47,1 47,148 48 ∗  157°59′56′′  43,714  44,9 44,977 77 ∗  263°36′25′′  5,010  32,6 ,600 00  32,6 32,627 27 ∗  357°37′42′′  32 19,4 ,475 75  28,2 28,254 54 ∗  313°34′26′′  19

Error de cierre lineal con la ecuación (4):





 

  √ 0,01 0,01 + 0,278 0,278  0, 0,27 2788 Precisión relativa ecuación (5):

0,278  1,37 1,3710 10−  201,967 8

 

 Ajustes con la ecuación (6) y ecuación (7): (7):

 

0,01  4 4,9 ,95 510 10−  201,967

 

0,278  1 1,3 ,37 710 10−  201,967

Corrección en X ecuación (6): (6):

 ∗ 48,9 48,961 61  0 0,0 ,0003   ∗ 47,1 47,148 48  0 0,0 ,0003   ∗ 44,9 44,977 77  0 0,0 ,0003   ∗ 32,6 32,627 27  0 0,0 ,0002 

 ∗ 28,2 28,254 54  0 0,0 ,0002 

Corrección en Y ecuación (7): (7):

 ∗ 48,9 8,961  0 0,0 ,077   ∗ 47,1 7,148  0 0,0 ,066   ∗ 44,9 4,977  0 0,0 ,066   ∗ 32,6 2,627  0 0,0 ,044   ∗ 28,2 8,254  0 0,0 ,033  

9

 

Figura 5. Dibujo 5. Dibujo de la poligonal. Fuente: Elaboración propia. 

3. 

Método de mínimos cuadrados.

Mínimos cuadrados es una estrategia de análisis numérico de la optimización matemática, en la que cuando se obtienen datos numéricos, obtenidos ya sea de manera experimental u otra estrategia, es inevitable que se desee poder extrapolar o predecir (y) a partir de (x) calculando un modelo matemático, básicamente se quiere obtener una función que se aproxime o se ajuste a los datos. En otras palabras, queremos encontrar una función f (x) tal que, f (x1) =y1, f (x2) =y2,..., f (xn)= yn. . Cuando se da un grupo de pares ordenados y una familia de funciones, se propone a encontrar la función continua. El problema de encontrar un polinomio lineal f (x) = ax + b o línea recta que “se que “se ajuste de lla a mej mejor or man manera” era” a los datos (x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn) es lo que se propone resolver al aplicar este método. Si tratamos de comparar comparar los puntos de da datos tos con la fun función ción f(x)= ax + b, entonc entonces es queremos encontrar los valores de a y b que satisfagan el sistema de d e ecuaciones: ecuaciones:  

10

 

   +    ⋮ +   

(10)

Si lo representamos como vectores obtendríamos el siguiente sistema  sistema 

(11) Si seguidamente se define ei = | yi f (xi)|, i = 1, 2, ... , n

(12)

Entonces una solución para resolver el problema es encontrar una función lineal f de tal forma que la suma de los cuadrados de todos los valores ei sea mínima.  Al definir lo anterior entonces entonces una solución de la ecuación (10) es: (10) es: E =∑=[3y [3yi 

axi  b]^ ]^22 

(13)

Ha E se le llama suma de los errores cuadrados. Lo que se sigue es encontrar los valores de a y b de tal forma que el valor de E sea mínimo. Para ello se utiliza la primera derivada parcial como igual a cero y después de varios pasos utilizando ese método se obtienen los valores de a y b que complacen que E sea mínimo. mí nimo. a =  ∗ (∑    =0) =0) –  –  (∑   =0) ∗ (∑   =0) /∗ (∑   2 =0) – =0) –  (∑   

=0) 2

(14)

b = (∑   =0) ∗ (∑   2 =0) – =0) –  (∑    =0) (∑   =0)/  –  –  (∑

∗ (∑   2 =0)

  =0)

(15)

Estas ecuaciones las sustituimos en Y = a X + b y se obtiene expresión general. En términos de matrices, es posible posible demostrar que (13) es equivalente a AT AX = AT Y

por lo que se

obtiene la solución única: X = (AT A)1 AT Y

(16)

En el ámbito topográfico el método de mínimos cuadrados puede resultar útil en algunas ocasiones, ya que cuando se deseen calcular magnitudes, se necesita conocer el nivel de precisión que se obtuvo ya que solo se efectúan pocas mediciones, por lo que se busca 11

 

aquella estrategia en la que se obtenga un error mínimo de los datos tomados, y por lo tanto se buscará aquella que satisfaga el conjunto de relaciones matemáticas entre las magnitudes medidas y además haga mínima la suma de los cuadrados de los residuos, esto es, la estrategia llamada l lamada mínimos cuadrados mencionada brevemente en el escrito anterior. En topografía específicamente en compensación o ajuste de poligonales consiste en plantear una serie de ecuaciones de experimentación visual a partir de los datos de lecturas, y seguidamente se ajustan mediante el método de los mínimos cuadrados. Según Manual de Topografía (2014) “Cada lectura entre estaciones de la poligonal puede generar varias ecuaciones, dependiendo de sus datos. Si se ha seleccionado el ajuste plan métrico, se crea una ecuación de distancia (siempre que ésta no sea nula) y una de acimut (siempre que el ángulo horizontal no sea nulo). Si el ajuste altimétrico está activado, se crea una ecuación vertical o de desnivel (siempre que la distancia y el ángulo vertical no sean nulos). Por último, para todas las bases intermedias se crea una ecuación angular, que ayuda a mejorar la precisión del sistema”.  sistema”.  Si a estos datos los relac relacionamos ionamos con la explicación ma matemática temática anterior de mínimos cuadrados, cada ecuación implicaría tener unos coeficientes que son dependientes de los valores concretos de las observaciones, y se asignan a la matriz de

coeficientes del sistema matemático. También cada ecuación tiene un término independiente, que depende del residuo o diferencia entre el valor observado y calculado. calculado.   La ecuación matricial se puede expresar como: X = (AT YA)-1 AT YK

(17)

Dónde: X =Vector de incrementos de coordenadas A = Matriz de coeficientes Y = Matriz de pesos K = Vector de términos independientes. Cuando se finaliza el sistema de d e matrices se procede a calcular los incrementos de coordenadas de las estaciones móviles, hasta que el sistema converge, y las coordenadas pasan a ser definitivas.

12

 

4. 

Método de Crandall.

En la medición de poligonales cerradas es normal que se generen errores producto de los instrumentos y el equipo utilizado, o bien errores producidos por los mismos operadores, en este caso el método de Crandall describe una manera en la que se distribuye el error y propone una compensación por igual en cada uno de los ángulos del polígono. Este método es más lento y laborioso que otros, pero es adecuado para ajustar polígonos en que las medidas lineales tienen errores aleatorios más grandes que las medidas angulares, como en poligonales trazadas por estadía.  En este caso se tiene una poligonal p oligonal dada por coordenadas “x” y “y”, con estas esta s coordenadas se obtienen las proyecciones que son las componentes “x” y “y” de las líneas de la poligonal obtenidas al restar la coordenada final menos la coordenada inicial de la línea. Posterior a esto se realiza una sumatoria de las proyecciones de cada línea y el resultado corresponde a error en el cierre de la poligonal, quiere decir que el ajuste debe repartir este error en todo el polígono. Además, es necesario obtener la distancia horizontal entre cada punto, para esto utilizamos el teorema de Pitágoras tomando ambas proyecciones de cada línea como catetos.

   ó ó     ó ó    √    +   

 

(18) 

Una vez que calculadas las distancias horizontales, se procede a obtener las variables que conforman la fórmula necesaria para obtener el ajuste, y para ello calculamos un componente D, un componente L y un componente DL.

∗ 0,01 0,01     

(19) 

   + 0, 0,01 01    ∗ 0, 0,01 01    

(20) 

Seguidamente y con las variables ya calculadas se pueden obtener los factores de corrección tanto para “A y B y con estos las la s correcciones en las proyecciones mediante las siguientes fórmulas:  13

 

       / /      

(21) 

  ( ∗   ∗ ∗) /       

(22) 

     ∗  +   ∗  

(23) 

     ∗  +   ∗  

(24) 

Estos nuevos resultados CPx y CPy son las correcciones en “x”    y “y”    para el ajuste de Crandall, se deben sumar a las proyecciones originales y la sumatoria total de estas nuevas proyecciones debe ser igual a cero, ya que una vez corregidas, nuestro error o desajuste tiene que ser nulo, además los resultados CPx y CPy también se deben sumar a cada coordenada original y de esta manera se obtienen nuevas coordenadas con el ajuste debido.  El método de Crandall utiliza un solo criterio para corregir el error de cierre angular. El error de cierre lineal lo corrige mediante un proceso probabilístico ponderado. Aunque este método pareciera resolver todas las necesidades de una compensación, deforma geométricamente la poligonal al ser corregida, esto es causado por la forma en que distribuye el error angular que, aunque es válida, no considera los pesos relativos de los

ángulos. 

5. 

Conclusiones

De acuerdo con los datos del ejemplo se logra establecer que corresponde a una poligonal cerrada de tipo geométrica por lo que se logra hacer los cálculos matemáticos y el dibujo de la misma, se detectaron mediante las ecuaciones los errores y las debidas correcciones. Con respecto a los métodos avanzados investigados para realizar el ajuste de las poligonales, en el método de Crandall se concluye que aunque es un método más lento es el adecuado para tratar de una manera adecuada los ajustes en los que q ue los errores lineales son más grandes que los angulares. Y con respecto al Método de los mínimos cuadrados se concluye que es una gran estrategia con la que se permite contrarrestar levemente el error en las mediciones que se realizaron con cierto nivel de precisión que se obtuvieron por medio de muy pocas mediciones o incluso mediciones que se realizan una única vez.

14

 

6. 

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