Informe-2-Relacion Grafica Entre Variables

RELACIÓN GRÁFICA ENTRE VARIABLES Cedillo Enríquez Kevin Anderson; Pumisacho Montaluisa Edison Geovanny Departamento de Ciencias Exactas Física, Escuela Politécnica del Ejército Sangolquí, Ecuador E-mail: [email protected] [email protected] (Recibido el 6 de Noviembre; aceptado el 13 de Noviembre) Abstract Within this practice as objective and experimentation the "GRAPHICAL RELATIONSHIP BETWEEN VARIABLES", so that for the study and understanding of what implies this subject, we have had several instruments in both physical aspects and virtual aspects: Which are the Base for the function of the practice, since it intends to analyze the representation in this graphical case of the variables, with which it also has as purpose to analyze or to examine the forms with which the physical laws of the functional dependencies are demonstrated. We also had relationships with regard to time within the "MRU". Whose acronym stands for the "uniformly varied rectilinear motion" as they would be Position-TIME, speed-TIME and acceleration-time and thanks to the help of the technological tools we will be able to get to a study of analysis that is accurate. Keywords: Uniformly varied rectilinear motion, variables, physical laws Resumen Dentro de ésta práctica como objetivo y experimentación la "RELACIÓN GRÁFICA ENTRE VARIABLES", por lo que para el estudio y comprensión de lo que implica éste tema, se nos ha dispuesto de varios instrumentos tanto en aspecto físicos como aspectos virtuales: Los cuales sean la base para la función de la práctica, ya que se pretenda analizar la representación en éste caso gráfica de las variables, con lo que también se tiene como propósito analizar o examinar las formas con las que las leyes físicas de las dependencias funcionales sean demostradas. También tendíamos relaciones con lo que respecta al tiempo dentro del "MRU". Cuyas siglas significan el "Movimiento rectilíneo uniformemente variado" como serían: Posición-TIEMPO, velocidadTIEMPO y aceleración-TIEMPO. Y gracias a la ayuda de las herramientas tecnológicas que dispondremos se podrá a llegar a un estudio de análisis que sea preciso. Palabras Claves: Movimiento rectilíneo uniformemente variado, variables, leyes físicas

FISICA I

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1. OBJETIVOS  Analizar la representación gráfica de las principales formas de dependencia funcional entre variables. Examinar las diferentes formas de encontrar las leyes físicas de las dependencias funcionales.  Identificar el tipo de relación entre posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme variado. 2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA Carril de Aire: es un aparato de laboratorio utilizado para estudiar las colisiones en una dimensión. El carril consta de un tubo de sección transversal cuadrada con una serie de perforaciones por las que sale aire a presión. Sobre el riel se colocan carros que se deslizan sobre un colchón de aire que se forma entre el riel y el deslizador. el deslizador se mueve en esencia sin fricción. Sobre el deslizador se colocan pesos para experimentar el choque de objetos de diferente masa. El simulador de riel de aire permite modificar los parámetros más importantes: masas, velocidades iniciales y coeficiente de restitución, pudiéndose llevar a cabo una gran variedad de experimentos. Se puede trabajar con celdas fotoeléctricas y cronómetros para realizar estudios cuantitativos.

Fig 1. Carril de Aire y sus componentes Relación gráfica entre variables Para analizar las representaciones graficas que existen entre variables, se debe tener conocimiento de la dependencia funcional entre las variables existentes. Dependencia funcional. Una variable Y dependen funcionalmente de X si existe función que relacione uno a uno los valores que toman X e Y, es decir, para cada xi hay un único yj tal que yj = f(xi). Análogamente se determina la dependencia funcional de X sobre Y. Es claro que si Y depende funcionalmente de X entonces también habrá una dependencia funciona de X sobre Y. EJEMPLO:

Componentes de y para el carril: Soplador, aerodeslizador, arrancador mecánico, tope, barrera fotoeléctrica contadora, pesas. Fig 2. Graficas entre variables

FISICA I

2

Velocidad en función del tiempo: Conocida la velocidad en cada instante y la posición inicial, puede hallarse la posición instantánea. Si una partícula se mueve con velocidad variable v(t) y nos preguntamos cuánto se desplaza la partícula entre t = 0 y t = T. Evidentemente la respuesta no es igual a v(t)T, ya que la velocidad es variable. Si dividimos el intervalo de tiempo (0,T) en muchos intervalos de corta duración, Δt, podemos suponer que la velocidad no varía mucho dentro de ese intervalo, y se puede suponer constante. En ese caso, el desplazamiento en el intervalo centrado en el instante ti será aproximadamente

Y el desplazamiento total será la suma de los pequeños desplazamientos

La aproximación será tanto mejor cuantos más pequeños sean los intervalos de tiempo, esto es, cuando se reduzcan a diferenciales.

En ese caso cambiando el signo de sumatorio (una S en griego) por una S alargada nos queda

Considerando que T puede ser cualquier instante y no solo uno fijo, obtenemos la posición como función del tiempo, conocida la posición inicial

intervalos Δt la cantidad v(ti)Δt es el área de un rectángulo que tiene Δt como base y v(ti) como altura. El desplazamiento aproximado sería la suma de las áreas de los rectángulos, que se aproxima al área bajo la curva. La igualdad se alcanza cuando los intervalos de tiempo son diferenciales.

Figura 3. Gráfica Velocidad-Tiempo

Velocidad como función de la posición: Por ejemplo, supongamos que nos dicen que un coche recorre primero 120km a 120km/h y a continuación otros 120km a 60km/h. ¿Cuál es su velocidad media? NO es 90km/h, como podría pensarse ingenuamente. La razón es que el tiempo que tarda en recorrer cada tramo es diferente. Para el primer tramo emplea

Y para el segundo

Por tanto, el tiempo total de viaje es Gráficamente, este resultado se puede interpretar como el área bajo la curva v(t). Cuando consideramos FISICA I

y el desplazamiento total

3

Lo que nos da la velocidad media

3. MATERIALES Y EQUIPOS Materiales.

Vemos que es inferior a 90km/h (que sería la media entre las dos velocidades) porque pasa más tiempo en el tramo lento. La idea en este caso no es hallar de entrada la posición como función del tiempo, sino calcular cuánto tiempo se tarda en llegar a un punto dado, es decir determinar t = t(x). Posteriormente se intenta invertir la relación, lo que no siempre es factible. La expresión para el intervalo total

Puede generalizarse a muchos pequeños intervalos El tiempo necesario para llegar a un punto dado arbitrario será la integral

Por ejemplo, supongamos que la velocidad disminuye linealmente con la posición

Hallándose la partícula en x = 0 en el instante t = 0. Separamos los diferenciales La integral del primer miembro da

De aquí sí podemos despejar x (t)

FISICA I

      

Carril de aire-Soplador Aerodeslizador Arrancador mecánico Tope Barrera fotoeléctrica contadora Pesas Material de montaje

Herramientas  Interface, computadora, software Measure.

4. ACTIVIDAD PROCEDIMIENTO 4.1. Disponga horizontalmente el carril de aire perfectamente nivelado y coloque sobre él, en el extremo el arrancador mecánico, luego el aerodeslizador, en la mitad del carril el tope, y al final la barrera fotoeléctrica contadora, esta deberá estar conectada al interfaz y esta a su vez a la computadora con el programa Measure. 4.2. El aerodeslizador se acoplará a una pesa a través del hilo, el cual deberá pasar por la polea de la barrera fotoeléctrica. En consecuencia, el móvil deberá moverse a partir del reposo, arrastrado por la pesa que desciende. 4.3. La barrera fotoeléctrica medirá el movimiento del aerodeslizador, a través del número de vueltas de la polea, estos datos pasan por la interface a la computadora. 4.4. Dispuesto el aerodeslizador junto al arrancador mecánico, active la señal de medida en la computadora al mismo tiempo que 4

el aire dentro del carril. Suelte el arrancador y el 4.5. aerodeslizador se moverá. Este movimiento es registrado por la computadora. Los datos seleccionados, excluyendo los iniciales y los finales, le serán proporcionados para desarrollar su informe (exporte los datos en Excel). 4.6. Registre los datos por el software measure de posición, velocidad y aceleración en los tiempos proporcionales en la hoja técnica de datos.

t (s) 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2

5. TABULACION DE DATOS t[s] 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2

v[m/s] 0,157 0,173 0,204 0,22 0,251 0,251 0,283 0,314 0,33 0,346 0,377 0,393 0,408 0,424 0,44 0,456 0,487

a(m/s2) 0,419 0,471 0,471 0,471 0,419 0,367 0,419 0,471 0,471 0,419 0,419 0,419 0,367 0,314 0,314 0,367 0,471

Tabla II. Datos PosiciónTiempo x (m) - t(s) 0.35 0.3

f(x) = 0.205366357069143 x² − 0.00260577915376683 x + 0.00244582043343656 R² = 0.999946675298045

0.25 0.2

x(m)

x [m] 0,035 0,043 0,052 0,063 0,075 0,087 0,101 0,115 0,132 0,148 0,167 0,186 0,206 0,227 0,248 0,271 0,294

x (m) 0,035 0,043 0,052 0,063 0,075 0,087 0,101 0,115 0,132 0,148 0,167 0,186 0,206 0,227 0,248 0,271 0,294

0.15 0.1 0.05 0 0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.1

1.2

1.3

t(s)

Fig 4. Grafico (S-T)

Tabla I. Datos Obtenidos

Análisis (De variables matemático, unidades, ley física)

6. ACTIVIDAD-PREGUNTAS A.- Realice un gráfico: PosiciónTiempo y analice.

Relación de variables:

FISICA I

1

Esta grafica representa la relación posición-tiempo. La pendiente de esta curva representa una unidad adimensional

5

Análisis Matemático b=m=tan (⍬ ) =

∆ X Xf −Xo = ∆t tf −¿

Análisis de unidades

[ b ]= [ m ] =L Ley física y = 0,2054x2 - 0,0026x + 0,0024 B.- Linealice la curva: Posición-Tiempo utilizando papel logarítmico

Análisis (De variables matemático, unidades, ley física) ∆ logy ∆ logx log ( 0,075 )−log ⁡(0,035) m= log ( 0,6 ) −log ( 0,4 )

log(t) -0,398 -0,347 -0,301 -0,260 -0,222 -0,187 -0,155 -0,125 -0,097 -0,071 -0,046 -0,022 0,000 0,021 0,041 0,061 0,079 Σlog( t)= -2,027

log(x) -1,456 -1,367 -1,284 -1,201 -1,125 -1,060 -0,996 -0,939 -0,879 -0,830 -0,777 -0,730 -0,686 -0,644 -0,606 -0,567 -0,532 Σlog(x) = -15,679

(log t)2 0,158 0,120 0,091 0,067 0,049 0,035 0,024 0,016 0,009 0,005 0,002 0,000 0,000 0,000 0,002 0,004 0,006 Σ(logt)2= 0,590

log(t)log(x) 0,579 0,474 0,387 0,312 0,250 0,198 0,154 0,117 0,085 0,059 0,036 0,016 0,000 -0,014 -0,025 -0,034 -0,042 Σlog(t)*log(x) =2,551

m=

m=1,88

C.-Determine la ecuación de esta curva ajustando por mínimos cuadrados y dibuje la misma en el grafico anterior.

Tabla III. Logaritmos.

1. Ʃ log x = n log a + b Ʃ log t 2. Ʃlog t*log x = log a Ʃ log t + b Ʃ(log t)2 −15,679=17 loga+b (−2,027 ) (1) 2,551=loga (−2.027 ) +b ( 0,590 ) (2) b=

17 loga +15,679 (3) 2,027

-2,027loga+0,590

(17loga+15,679 ) =2,551 (3) en (2) 2,027

loga=−0,689 −0,689

a=10

a=0,205(4) b=

FISICA I

17 log ( 0,205 )+ 15,679 ( 4 ) en(3) 2,027

6

b=1,96

Ecuación Ajustada: Y = 0,205 x1,96

v (m/s) 0,157 0,173 0,204 0,22 0,251 0,251 0,283 0,314 0,33 0,346 0,377 0,393 0,408 0,424 0,44 0,456 0,487

Tabla IV. Datos Rapidez-Tiempo

v (m/s)

v (m/s)-t(s) 0.5 0.4f(x) = 0.408735294117647 x − 0.00258235294117642 R² = 0.99421987388944 0.3 0.2 0.1 0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

t(s)

Fig 5. Grafico (v-t) Análisis (De variables matemático, unidades, ley física) Relación de variables: FISICA I

Análisis Matemático b=m=tan (⍬ ) =

D.- Grafique Rapidez-Tiempo. Además con el ajuste de datos por mínimos cuadrados del literal E, grafique nuevamente esta recta ajustada t(s) 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2

Esta grafica representa la relación Rapidez-tiempo. La pendiente de esta recta representa una unidad adimensional ∆ v Vf −Vo = ∆t tf −¿

Análisis de unidades

[ ]

[ b ]= m = L T −1 s

Ley física y = 0,4087x - 0,0026 E.- Determine la Ecuación de la curva ajustando por mininos cuadrados. t 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2 Ʃt = 13,6

v 0,157 0,173 0,204 0,22 0,251 0,251 0,283 0,314 0,33 0,346 0,377 0,393 0,408 0,424 0,44 0,456 0,487 Ʃv=5,51 4

t2 0,16 0,203 0,25 0,303 0,36 0,423 0,490 0,563 0,640 0,723 0,810 0,903 1 1,103 1,210 1,323 1,44 Ʃt^2=11, 9

t.v 0,063 0,078 0,102 0,121 0,151 0,163 0,198 0,236 0,264 0,294 0,339 0,373 0,408 0,445 0,484 0,524 0,584 Ʃt.v=4,82 8

Tabla V. Datos del tiempo y la velocidad para mínimos cuadrados a=

nƩ ( tv )−ƩtƩv

(1) 2 2 nƩt −(Ʃt) Ʃt 2 Ʃx−ƩtƩtx b= (2) nƩ t 2−(Ʃt )2 7

a=

t(s) 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2

17 ( 4,828 ) -(13,6)(5,514) 17 ( 11,9 ) -(184,96) a=0,408

b=

(11,9 )( 5,514 )−(13,6)( 4,828) 17 ( 11,9 )−(184,96) b=−0,0026

ECUACIÓN AJUSTADA: Y = 0,408x – 0,0026

a (m/s2) 0,419 0,471 0,471 0,471 0,419 0,367 0,419 0,471 0,471 0,419 0,419 0,419 0,367 0,314 0,314 0,367 0,471

Tabla VI. Datos Aceleración Tiempo Fig 6. Grafico (v-t) ajustada

   

a=cte. v(t)=at + Vo x(t)= ½ at2 +Vot+Xo V2= 2ª(X-Xo)+Vo2

G.-Construya un Gráfico AceleraciónTiempo.

a (m/s2)-t(s) a(m/s^2)

F.- Partiendo del grafico v-t deduzca las expresiones cinemáticas que determinan el Movimiento rectilíneo Uniformemente Variado.

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.3

f(x) = − 0.105049019607843 x + 0.499862745098039 R² = 0.243560129710667

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t(s)

Fig 7. Grafico (a-t) Análisis (De variables matemático, unidades, ley física) Relación de variables: Esta grafica representa la relación aceleración-tiempo. La pendiente de esta recta representa que la aceleración es constante es decir es igual a 0. a = 0. Análisis Matemático

FISICA I

8

1.1

1.2

1.3

a=0

Análisis de unidades

[]

m [ b ]= s = LT −2 s

Ley física y = -0,105x + 0,4999 7. FORMULAS Ajuste por mínimos cuadrados a= b=

nΣ ( XY )−ΣXΣY 2

n ΣX −¿ ¿

ΣX 2 ΣY −ΣXΣXY nΣ X 2−¿ ¿

Regresión polinómica por mínimos cuadrados log a b=

2

Σ X ΣY −ΣXΣXY nΣ X 2−¿ ¿ nΣ ( XY )−ΣXΣY 2

nΣ X −¿ ¿

1. Ʃ log x = n log a + b Ʃ log t 2. Ʃlog t*log x = log a Ʃ log t + b Ʃ(log t)2 8. RESULTADO DE APRENDIZAJE En esta práctica aprendimos a utilizar nuevas maneras de realizar MRU.MRUV mediante la utilización de máquinas extras que nos ayudan, y nos hacen más fáciles las cosas como era la utilización del carril de aire que es un dispositivo que está conectado a un computador mediante el cual nos permite obtener datos el cuerpo cuando FISICA I

se mueve en tres aspectos como son: velocidad, aceleración, tiempo. 9. CONCLUSIONES Con los instrumentos para la práctica hemos podido determinar las relaciones que existen entre las variables, exactamente de las gráficas ya que los aparatos dispuestos han permitido que obtengamos datos en intervalos pequeños en los cuales se demuestran cifras que son lo suficientemente precisas para llevar a cabo una deducción muy precisa. 10. RECOMENDACIONES Para poder realizar más estudios y más análisis aprovechando los aparatos que nos provee el laboratorio, deberíamos utilizar pesos más livianos o más pesados, intervalos de tiempo más alargados y más cortos, niveles de potencia del soplador más altos o menos elevados etc., ya que al realizar una sola experimentación podemos observar una sola gráfica. 11. BIBLIOGRAFIA  http://laplace.us.es/wiki/ index.php/Cinem %C3%A1tica_del_movi miento_rectil %C3%ADneo_(GIE)#Ve locidad_como_funci.C3. B3n_de_la_posici.C3.B3 n  http:// estadistica.ematematicas. net/bidimensional/ index.php? tipo=dependencia

9

 https:// www.fisicalab.com/ apartado/mru-graficas  http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/ mot.html 12. ANEXOS

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