Informe 1 sistemas dinamicos

Sistemas din´amicos: Tarea N◦ 1 Richard Eduardo Duarte Zu˜niga [email protected] Resumen El siguiente documento corresponde al desarrollo de la tarea N ◦ 1 del modulo de sistemas din´amicos. Se presenta el desarrollo al problema del sistema de un panel con seguidor solar, su modelo din´amico y su simulaci´on en MATLAB bajo distintas condiciones.

I.

´ I NTRODUCCI ON

Un modelo matem´atico es un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen un sistema, estas ecuaciones puede ser obtenidas de dos maneras: fenomenol´ogica y emp´ırica. En la forma fenomenol´ogica obtenemos las ecuaciones diferenciales del sistema a trav´es de un enfoque f´ısico, donde conocemos las leyes f´ısicas y ecuaciones que modelan el sistema sin la necesidad de tener el sistema real. Por el contrario, en el enfoque emp´ırico tenemos un sistema tangible, material, palpable para el cual obtenemos la ecuaci´on diferencial que modela el sistema a trav´es de ensayo y error, es decir, obtengo una salida aplicando una se˜nal a su entrada sin conocer los elementos que conforman el sistema. En esta tarea estudiamos un sistema de un panel solar, que consiste en un motor que es alimentado de forma tal que regule la posici´on de un panel solar para mantenerlo perpendicular al sol. Los objetivos de esta tarea son: Ser capaz de modelar sistemas din´amicos usando el enfoque fenomenol´ogico Distinguir entrada, salida, perturbaciones, variables de estado y parametros Dibujar el diagrama de bloques del sistema Obtener una representaci´on de estados Obtener el punto de operaci´on del sistema Simular el sistema din´amico bajo ciertas condiciones Linealizar el modelo Comparar los sistemas lineales y no lineales interpretar los gr´aficos II.

´ E NCONTRAR EL MODELO DIN AMICO DEL SISTEMA Y DIBUJAR DETALLADAMENTE SU DIAGRAMA DE

´ ( ES ), LA ( S ) SALIDAS , LA ( S ) VARIABLES DE BLOQUES . I DENTIFICAR LA ( S ) ENTRADA ( S ), LA ( S ) PERTURBACI ON ´ ESTADO Y LOS PAR AMETROS . II-A.

Ecuaciones del sistema

Para iniciar el modelado del sistema, tenemos en primera instancia a un panel solar, con 2 paneles de menor a´ rea que hacen de seguidores, el angulo de giro del panel Θcel depende del voltaje de entrada Vc , el angulo de inclinaci´on solar Θsol , los angulos de los paneles seguidores Θ1 y Θ2 que generan V1 y V2 respectivamente:

Figura 1. Sistema de panel solar con seguidor a modelar

Para este caso se desprecian las din´amicas normales de un motor, ya que se tiene la ecuaci´on que asocia Θcel y Vc : τ ∗ θ¨cel + b ∗ θ˙cel + k ∗ θcel = kp ∗ Vc La salida del sistema que es maximizar el Voltaje entregado por el panel, esta dada por:

Vout = ks ∗ S ∗ Sen(θsol − θcel ) las ecuaciones de los paneles seguidores:

V1 = Kaux ∗ θ1

θ1 = θsol − 10◦ − θcel

V2 = Kaux ∗ θ2

θ2 = −θsol + 170◦ + θcel Donde Kaux esta dado por:

Kaux = 0, 001/10 => Kaux = 0, 0001 Donde las variables de estado quedan definidas por:

x1 = θcel

x2 = θ˙cel

x˙ 1 = x2 = θ˙cel

x˙ 2 = θ¨cel Despejando θ¨cel de la ecuaci´on que asocia Θcel y Vc : kp ∗ Vc − k ∗ θcel − b ∗ θ˙cel θ¨cel = τ

Seg´un los datos que se tienen, el sistema puede verse en 2 partes, la primera es el motor que gira al panel respecto a la posicion del sol, su entrada es Vc y su salida es θcel , la cual a su vez es entrada al panel que genera un voltaje de salida Vout dependiendo de los valores de θcel ,θsol y la irradiancia S.

Figura 2. Diagrama de Bloques

Entonces, para este sistema se tiene que: Cuadro I TABLA DE COMPONENTES DEL SISTEMA Entrada/s Salida/s Perturbaci´on/es Variables de estado Parametros

Vc Vout , (v1 , v2 ) S, Θsol ˙ cel ,(Θ1 , Θ2 ) Θcel ,Θ V . τ ,b,k,kp ,Aaux ,Kaux ,ks ,170◦ ,−10◦ ,10 grado

Donde v1 y v2 pueden ser salidas dependiendo de que se analice, pueden ser realimentadas al sistema para el seguimiento solar, y pueden ser variables de estado como tambien Θ1 y Θ2 , pero no ambas a las vez, o los voltajes, o los angulos pero no ambos al mismo tiempo, puesto que son linealmente dependientes y finalmente entregan la misma informaci´on.

´ ´ DE E SCRIBIR LAS ECUACIONES DIN AMICAS DEL SISTEMA DE MODO DE TENER UNA REPRESENTACI ON ESTADOS DE LA FORMA x˙ = F ( X , U , P ), Y = F ( X , U , P ) Las variables de estado son θcel y θ˙cel . Ahora cambiando variables. III.

x1 = θcel , x2 = θ˙cel y sus derivadas son:

x˙1 = x2 = θ˙cel kp ∗ Vc − k ∗ θcel − b ∗ θ˙cel τ Obtenemos la representaci´on de estados de la forma " # " # x2 x˙1 = kp ∗Vc −k∗θcel −b∗θ˙cel x˙2 τ " # " # " # " # h i 0 0 1 x˙1 x1 = −k −b ∗ + kp ∗ u x˙2 x2 τ τ τ x˙2 =

y la salida es:

~y = Vout = ks ∗ S ∗ Sen(θsol − θcel ) IV. D ETERMINAR EL VALOR DEL VOLTAJE DE SALIDA MAXIMO Vout PARA UNA IRRADIANCIA SOLAR S0 DE W ´ 700 m DE Θsol = 45◦ . D ETERMINAR EL VALOR DE LAS VARIABLES DE ESTADO Y EL VOLTAJE DEL 2 Y UN ANGULO ´ MOTOR Vc PARA ESTA CONDICION DE OPERACI ON Con los parametros entregados por el planteamiento del problema y la matriz de variables de estado planteada en la secci´on anterior, podemos obtener el punto de operaci´on del sistema donde sus derivadas son iguales a 0. Los parametros para el problema son los siguientes: Cuadro II PARAMETROS DEL PROBLEMA Parametros τ b k kp Aaux Kaux ks S Θsol

valor 10 5 1 3 10e − 3[m2 ] 10e − 4 0.1 W 700 m 2 45◦

Para conocer el maximo voltaje generado por el panel, se analiza la ecuacion de Vout :

Vout = ks ∗ S ∗ Sen(θsol − θcel ) Reemplazando los parametros de tiene que:

Vout = 0,1 ∗ 700 ∗ Sen(45◦ − x1o )

Para que este valor sea maximo, el seno debe ser maximo(1), esto ocurre en Sen(90◦ ). Por lo tanto se obtiene que:

Θsol − x1o = 90◦

45◦ − 90◦ = x1o = −45◦ Se sabe que el seno tambien es maximo en 270◦ , pero fisicamente no es l´ogico que el panel este apuntando hacia abajo, esto tambien se puede notar en la elecci´on de los ejes de referencia, es por eso que el valor de x1o es −45◦ . Siguiendo con la Ecuaci´on del voltaje de salida.

Vout = 0,1 ∗ 700 ∗ 1 = 70[v] Como se debe trabajar en el punto de operaci´on, se tiene que: " # " # x2 = 0 x˙1 = kp ∗Vc −k∗x1o x˙2 =0 τ Reemplazando: 3Vc − (−45) =0 10 −45 = −15[v] 3 de la misma forma, los valores de voltaje de los paneles seguidores estan dados por: Vc =

Θ1 = 45◦ − 10◦ − (−45◦ ) = 80◦

v1 = 0,0001 ∗ 80 = 0, 008[V ] = 8[mV ]

Θ2 = −45◦ + 170◦ − 45◦ = 80◦

v2 = 0,0001 ∗ 80 = 0, 008[V ] = 8[mV ] Con esto se tiene que el punto de operaci´on es: " # " # x1 −45 = x2 0

V. S IMULAR EL SISTEMA PARTIENDO CON LAS CONDICIONES DE ( C ) Y CONSIDERAR UN CAMBIO A UN 70 DEL VOLTAJE DEL MOTOR Vc EN T =5[ S ]. G RAFIQUE TODAS LAS VARIABLES DE ESTADO Y LOS VOLTAJES DE CADA UNO DE LOS PANELES SOLARES PARA 0 6 t 6 60 S . Con los valores de X1 y X2 , Angulo de la celda y velocidad angular obtenidos en la secci´on anterior se puede simular el sistema, para eso se utiliz´o Simulink. Para resolver las ecuaciones se han armado los bloques que corresponden a las ecuaciones, utilizando los parametros que multiplican a las variables en bloques de ganancia, estos sumados en los bloques suma, en el caso de la ecuaci´on ¨ cel a Θcel , un bloque para que relaciona el voltaje de entrada con el angulo de la celda los bloques integradores desde Θ la funci´on Seno y finalmente para poder ver en un grafico los resultados se utilizan los Bloques Scope que muestran ¨ cel , Θcel , Vout , V1 y V2 . aΘ

Figura 3. Desarrollo, Simulacion es Simulink

Los graficas obtenidas se presentan a continuaci´on:

Figura 4. Θcel v/s tiempo

La grafica va de acuerdo al comportamiento esperado, durante los primeros 5 segundos el valor de Θcel es de -45◦ puesto que Vc = -15[v], luego en t=5, el valor de Vc decae al 70 % del valor anterior. A medida que el panel empieza a girar hasta llegar a su nueva posici´on y terminar de acomodarse en ella, su nuevo angulo es de -31.5◦ lo cual es concordante con los valores calculados para ese valor de Vc .

¨ cel v/s tiempo Figura 5. Θ

para la velocidad angular se puede observar, que durante los primeros 5[s], su valor es 0, esto al tener un angulo fijo Θcel , el panel se encuentra estable, luego en t=5 al cambiar el valor de Vc y por consiguiente el angulo Θcel , este empieza a girar a una velocidad cercana a los 1.8 Grados on seg , una vez comienza a acercarse el panel a la posici´ perpendicular al sol, comienza a detenerse el motor y a fijar su posici´on, una vez llega al reposo su velocidad vuelve a 0 Grados seg .

Figura 6. Vout v/s tiempo

Figura 7. V1 v/s tiempo

Figura 8. V2 v/s tiempo

Todos los voltajes (Vout , V1 , V2 ), depende directamente del valor de Θcel , para V1 y V2 tambien dependen del area de cada panel, al cambiar el angulo de -45 a -31,5, fisicamente el panel de V1 le llega menos luz que al panel de V2 , es por esto que V1 disminuye su valor y V2 aumenta, esto al ser Θsol fijo. El fenomeno de Vout , es dificil de explicar, posiblemente no se deba del todo a los angulos, mas bien a la Naturaleza sinusoidal de su ecuaci´on de modelamiento. VI. C ALCULAR EL PERFIL DE VOLTAJE PARA Vc QUE DEBE APLICARSE AL MOTOR , CONSIDERANDO QUE EL SOL RECORRE 180 ◦ EN 12 HORAS CON IRRADIANCIA So . S IMULAR EL SISTEMA CON ESE VOLTAJE Y GRAFICAR TODAS LAS VARIABLES DE ESTADO Y LOS VOLTAJES DE LOS PANELES SOLARES PARA 0 6 t 6 12 H . ˙ sol En esta parte se debe calcular como var´ıa Θsol a travez del tiempo, obteniendo una relacion para Θcel y un Θ constante, ya que el movimiento del sol ser´a constante. Se sabe que Θsol recorre 180◦ en 12 horas, por lo tanto: ◦ ˙ sol = 180 = 15 grados Θ 12hrs hora

˙ sol ∗ t = 15 ∗ t Θsol = Θ Despejando Θcel de la ecuacion de Vout :

Θcel = Θsol − arcsen(

Vout ) S ∗ ks

Como el panel debe permanecer perpendicular al sol, se siguen utilizando las condiciones del punto de operaci´on.

arcsen(

Vout 70 ) = arcsen( ) = 90◦ S ∗ ks 700 ∗ 0,1

Θcel = 15 ∗ t − 90

˙ cel = 15 Θ

¨ cel = 0 Θ Reemplazando estos valores en la ecuaci´on de Vc se obtiene que:

Vc =

˙ cel + k ∗ 15 ∗ t − 90 b∗Θ kp

Vc =

5 ∗ 15 + 1 ∗ 15 ∗ t − 90 3 Vc = 5t − 5[v]

Aplicando estos nuevos sistemas con sus debidas restricciones, se llego al siguiente sistema en simulink:

Figura 9. Simulink problema e)

que dio lugar a las correspondientes graficas:

Figura 10. Vc v/s tiempo(Horas)

Figura 11. Θcel v/s tiempo(Horas)

˙ cel v/s tiempo(Horas) Figura 12. Θ

Figura 13. V1 v/s tiempo(Horas)

Figura 14. V2 v/s tiempo(Horas)

Figura 15. Vout v/s tiempo(Horas)

Al tener un sistema segudior solar, lo que se espera son graficas lineales de las variables de estado. En este caso Vc aumenta desde los -5[v] a 55[v] de manera lineal, esto es porque el angulo Θsol varia de manera continua durante las 12 horas, del mismo modo Θcel pasa de -90 a 90 grados (los mismos 180 grados que Θsol ). ˙ cel ya habia sido despejado y deb´ıa dar exactamente igual que Θ ˙ sol a 15 grados , asi el seguimiento es instantaneo Θ hora manteniendo siempre Vout m´aximo, entonces siendo siempre el valor de Vout m´aximo, los valores de V1 y V2 debian ser siempre constantes, y en especial los calculados en el punto de operaci´on los que eran 8[mV] en cada caso. Finalmente para Vout su valor tiende al maximo en todo instante de tiempo al mantener Θsol y Θcel perpendiculares. VII.

´ L INEALIZAR EL MODELO DEL SISTEMA OBTENIDO EN ( B ) EN TORNO AL PUNTO DE OPERACI ON ´ ENCONTRADO EN ( C ) DE MODO DE OBTENER UNA REPRESENTACI ON DE ESTADOS DEL TIPO 4x˙ = A4x + b4u + E4p, 4y = c4x + d4u + F 4p

La ecuacion que describe la posicion angular respecto al voltaje de entrada es lineal: # " # " # " # " h i 0 0 1 x1 x˙1 + kp ∗ u = −k −b ∗ x2 x˙2 τ τ τ En este sistema la no- linealidad se encuentra en la salida, puesto que Vout tiene una funci´on seno.     y1 kaux (p1o − 10 − x1o )       ~y = y2  =  kaux (−p1o + 170 + x1o )  y3 ks ∗ p2o ∗ Sen(p1o − x1o ) Derivando las ecuaciones de salida respecto a P1 y P2 :   kaux 0     −kaux 0 ~y =   ks ∗ p2o ∗ cos(p1o − x1o ) ks ∗ sen(p1o − x1o ) Al evaluarlo en el punto de operacion calculado en c) se tiene que:   kaux 0     ~y = −kaux 0  0 ks   0,0001 0     ~y = −0,0001 0  0 0,1

R EFERENCIAS [1] J. Mu˜noz, Apuntes de clase. [2] H. Moore, Matlab para ingenieros. Prentice-Hall.