Informe 02 de La Resolución de Problemas de Conducción de Calor
August 9, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA AMBIENTAL
TAREA 2 INFORME DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS P ROBLEMAS DE CONDUCCIÓN DE CALOR
CURSO: FENÓMENOS DE TRANSPORTE GRUPO: N° 04 INTEGRANTES: 1. Alfaro Simon, Xiomara 2. Guevara Paredes, Cristell 3. Meregildo Malca, Jhean Pier 4. Rodriguez Dioses, Samantha 5. Román Risco, Luis
DOCENTE: Ms. Moreno Eustaquio, Walter
2020
INSTRUCTIVO DE LA TAREA 2
I. RESOLVER PROBLEMAS DE CONDUCCIÓN CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL DEL CALOR Y OBTENER LAS DISTRIBUCIONES DE TEMPERATURAS DENTRO DE UN MEDIO, ASÍ COMO EL FLUJO DE CALOR.
2-58. En la industria del tratamiento térmico son muy comunes los hornos discontinuos eléctricos. Considere un horno discontinuo con un frente constituido por una placa de acero de 20 mm de espesor y una conductividad térmica de 25 W/m · K. El horno está situado en una habitación con una temperatura del aire circundante de 20°C y un coeficiente promedio de transferencia de calor por convección de 10 W/m 2 · K. Si la superficie interna del frente del horno está sujeta a un flujo uniforme de calor de 5 kW/m 2 y la superficie externa tiene una emisividad de 0.30, determine la temperatura superficial interna del frente del horno.
SOLUCIÓN :
= = …. 1 = = = =ℎ … …23 = = (( −) … 4 = 5.76 1100
Reemplazamos Reempla zamos (2), (3), (4) en (1).
= ℎ (( ) 5000 = 10 293 293 0.3 5.67 10− 293
= 594 … 5 = = … 2 5000 = = 25 0.59459024
Reemplazamos (5) en (2).
2.59. Considere una pared plana grande de espesor L = 0.3 m, conductividad térmica k = 2.5 W/m°C y área superficial A = 12 m 2. El lado izquierdo de la pared, en x = 0, está sujeto a un flujo neto de calor de qo = 700 W/m2 al mismo tiempo que la temperatura en esa superficie es T1 = 80°C. Si se supone una conductividad térmica constante y que no hay generación de calor en la pared. a) Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de calor a través de ella, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la misma, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie derecha, en x = L.
SOLUCIÓN :
a) Tomando la dirección normal a la superficie de la pared para ser la dirección x con x = 0 en la superficie izquierda, la formulación de este problema se puede expresar como:
= 0 = ̇ = 700
y…
= = °
b) Integrando la ecuación diferencial dos veces con respecto a x se obtiene:
= =
… donde C1 y C2 son constantes. Aplicando las condiciones de contorno dadas:
̇ 0 =̇ →0 = = → =
Flujo de calor a x = 0;
Temperatura a x = 0;
Sustituyendo C1 y C2 en la solución general, se determina que la variación de temperatura es:
= ̇ 5 ° 80° = 2.700700 = = 2802800.0.3 80 = °
c) La temperatura en x = L es:
2.70. Considere un tubo de vapor de agua de longitud L = 30ft, radio interior r1 = 2 in, radio exterior r2 = 2.4 in y conductividad térmica k = 7.2 Btu /h. ft. °F. El vapor está fluyendo por el tubo a una temperatura promedio de 300°F y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección sobre la superficie exterior se da como h = 12.5 Btu/h. ft 2. °F. Si la temperatura promedio sobre la superficie exterior del tubo es T 2 = 175°F: a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de calor a través del tubo, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en éste, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la razón de la pérdida de calor del vapor a través del mismo.
SOLUCIÓN : Se asume: o
Transferencia de calor estable y en una dimensión
o
K es constante
o
No hay generación generación de de calor
[ ] = ==ℎ =175 = = = ln ln ln = = lnn = ln ℎ l n
Integrando una vez, respecto a r: integrando
despejando
……………(I) ……………(I)
Para encontrar C1 y C2, aplicamos condiciones extremas: Si: r = r 1 ……….. - k C1/ r 1 = h (T- [ C1 ( Si: r = r 2 ……….. - k C2/ r 2 = C1 (
)+ C2])
)+ C2
Resolviendo simultáneamente para encontrar C 1 y C2 se llega:
Reemplazando valores:
1475300 = ln 2,2175300 l n 175 7, 2 2, 4 12,5122 =34,37ln2,2,4175 =
Calculamos la velocidad de transferencia de calor en la tubería, Q
A = 3,14 (2 r L) = 6,28 r L
Reemplazando queda la siguiente fórmula:
Seguimos reemplazando y queda:
=6,288 = 6,28 ln ℎ
Ahora reemplazando los valores:
175300 = 6,2828=, 77,,2 3030ln2,24 7,12,251222
2.74. En una instalación de procesamiento de alimentos se usa un recipiente r ecipiente esférico de radio interior r1 = 40 cm, radio exterior r 2 = 41 cm y conductividad térmica k = 1.5 W/m · °C para almacenar agua caliente y mantenerla a 100°C en todo momento. Para realizar esto, la superficie exterior del recipiente se envuelve con un calentador eléctrico de cinta de 500 W y, a continuación, se aísla. Se observa que, en todo instante, la temperatura de la superficie interior del recipiente está cercana a 100°C.
Si se supone que 10% del calor generado en el calentador se pierde a través del aislamiento, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través del recipiente, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el material de ese recipiente, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie exterior del propio recipiente. También determine cuánta agua a 100°C puede suministrar este tanque de manera estacionaria, si el agua fría entra a 20°C. SOLUCIÓN:
a) El 90% de los 800 W generados por el calentador de banda se transfiere al contenedor, se determina que el flujo de calor a través de la superficie exterior es:
= = = 4 = 0,0,4490×900,0×,4800801 0 =,
Observando que la transferencia de calor es unidimensional en la dirección radial r y el flujo de calor en la dirección negativa r, la formulación matemática de este problema puede expresarse como:
b) Integrando la ecuación diferencial con respecto a r se obtiene:
Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. La aplicación de las condiciones límite da:
c) La temperatura de la superficie exterior se determina por sustitución directa como superficie exterior:
La tasa máxima de suministro de calor al agua es 0.9× 800 W = 720 W, el agua puede ser calentada de 20 a 100°C a una tasa de:
II.
ANALIZAR LA CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL DE CALOR EN SÓLIDOS EN LOS QUE SE TIENE GENERACIÓN DE CALOR.
2.83. Una barra cilíndrica de combustible nuclear de 1 cm de diámetro está revestida por un tubo concéntrico de 2 cm de diámetro, d iámetro, donde el agua refrigerante fluye por la región anular entre la barra de combustible (k = 30 W/m·K) y el tubo concéntrico. El calor se genera de manera uniforme en la barra a una razón de 50 MW/m 3. El coeficiente de transferencia de calor por convección para la superficie concéntrica del tubo es 2.000 W/m2 · K. Si la temperatura de la superficie del tubo concéntrico es de 40°C, determine la temperatura promedio del agua refrigerante. ¿Es posible determinar con esta información la temperatura superficial de la barra de combustible?
SOLUCIÓN: Una barra de combustible nuclear cilíndrica se enfría con agua que fluye a través de su tubo concéntrico revestido. La temperatura media del agua de refrigeración. Supuestos:
-
La conducción de calor es estable y unidimensional.
-
Las propiedades térmicas son constantes.
-
Generación de calor en el la barra de combustible es uniforme.
Propiedades:
-
La conductividad térmica es de 30 W/m·°C
Análisis
-
La tasa de transferencia de calor por convección en la superficie de la barra de combustible es igual a la de la superficie del tubo concéntrico:
ℎ ,(, ) = ℎ ,( ,) ℎ2 ((, ) = ℎ2 , , = ℎ ( ,) … ℎ ′ , = 2ℎ …
-
La temperatura promedio del agua de enfriamiento se puede determinar aplicando la Ecu. 268:
-
Sustituyendo la eq. (a) en la eq. (b) y despejando la temperatura promedio del agua de enfriamiento enfriamient o se obtiene:
ℎℎ ( ,) = ′2ℎ ′ = 2ℎ , = 0.01005 5050 21020 00⁄⁄0.0°05 40 °
= . °
2.93.
Un alambre de resistencia homogénea con un radio ro = 0.6 cm y conductividad
térmica de k = 15.2 W/m · K se está utilizando para hervir agua a temperatura atmosférica a través del paso de una corriente eléctrica. El calor se genera de manera uniforme en el alambre como consecuencia del calor de la resistencia a una tasa de 16.4 W/cm 3. El calor generado se transfiere al agua a 100ºC por convección con un coeficiente de transferencia de calor de h = 3 200 W/m2 · K. En el supuesto de que haya una transferencia unidimensional de calor en régimen estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través del alambre, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el alambre una vez que resuelva la ecuación diferencial y c) determine la temperatura en la línea central del alambre.
SOLUCIÓN:
1 = 0
= ℎ 0 = 0 = = 2 … 0 → = 0 0 0 = 0 = =4 2 … 2 = ℎ 4 → = 2ℎ 4 = 4 2ℎ /4 16. 4 10 2ℎ/ =° =100° 416.15.154010=.2 /. /. 2 3200 / .
r=0
Dividiendo ambos lados de la Ec. (a) por r:
r=r 0:
Reemplazando en b:
2.94.
Una resistencia eléctrica de alambre de 3 kW y 6 m de largo está hecha de acero
inoxidable de 0.2 cm de diámetro (k = 15.1 W/m·°C). La resistencia de alambre opera en un medio ambiente a 20°C con un coeficiente de transferencia de calor de 175 W/m 2·°C en la superficie exterior. Determine la temperatura superficial del alambre a) usando la relación aplicable y b) planteando la ecuación diferencial apropiada y resolviéndola.
SOLUCIÓN:
̇ = ̇ = ̇ 300 6 = = ̇ = 0.001 = ̇ 8 1 592 10 0 0. . 0 01 3 =20° 2 175 2 = ° ° ̇ =
a) La generación de calor por unidad de volumen del alambre es:
La temperatura de la superficie del alambre es:
b) La ecuación para este problema puede plantearse como:
= = = ̇ → = ̇ 22 1 ………….. y…
] (convección en la superficie exterior)
(simetría térmica)
Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por “r” e integrando nos da: da:
Entonces: Con r = 0;
0 = ̇ 0 → = 0
Dividiendo ambos lados de la Ec. (1) por r para llevarlo a una forma fácilmente integrable:
= = 2̇ → = 44 ̇ 2 2 …………
Aplicando la condición en
= ̇
̇ 2 =ℎ 4
= ̇ ̇ = ∞ ̇4 (20 2) ̇2ℎ 0
Sustituyendo esta relación C2 en la Ec. (2):
Q ue ue
es la distribución de temperatura en el alambre en función de r. Entonces la temperatura del
alambre en la superficie (r = r o) es determinado sustituyendo las cantidades conocidas por:
̇ 2 2 ̇ 0 = ∞ 4= ∞( 0 ̇2ℎ 0)0 2ℎ 8 1 592 10 0 0. . 0 01 3 = 20º 2 175 2° = º
2.98. Se está usando una resistencia de alambre homogénea y larga de radio ro= 5 mm para calentar el aire en un cuarto por el paso de la corriente eléctrica. El calor se genera en el alambre de manera uniforme a razón de 5 x 10 7 W/m3 como resultado del calentamiento por resistencia. Si la temperatura en la superficie exterior del alambre permanece a 180°C, determine la temperatura en r = 3.5 mm, después de que se han alcanzado las condiciones estacionarias de operación. Tome la conductividad térmica del alambre como k = 6 W/m. °C.
SOLUCIÓN:
∆ ̇ ∆∆== ̇ ∆ − − = 5 ∗10 W 5 ∗ 10 m 3 3. . 5 ∗ 1 0 m 4 m 180°C = 4∗6 m.W°C
180°C – 180°C – 5,208 5,208 °C = T1
T1 = 174,79°C
2.99. Considere una pared plana grande de espesor L= 0.05 m. La superficie de la pared en x = 0 está aislada, en tanto que la superficie en x = L se mantiene a una temperatura de 30°C. La conductividad térmica de la pared es k = 30 W/m · °C y el calor se genera en ella a razón de
. − =
W/m W /m3 en donde
=×
W/m3. Si se supone una transferencia
unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través de la pared, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en e n ella, resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine la temperatura de la superficie aislada de la misma. SOLUCIÓN:
a) Observando que la transferencia de calor es constante y unidimensional en dirección x, la formulación matemática de este problema puede expresarse como:
y donde
y
y
(Aislar la superficie en x = 0)
(Temperatura superficial especificada)
b) Reordenando la ecuación diferencial e integrando:
Integrando una vez más:
Aplicando las condiciones límites:
Sustituyendo las relaciones C1 y C2 en la Ecuación 1 da como resultado la solución deseada para la distribución distribución de la te temperatura mperatura en en la pared pared en función función de x.
c) La temperatura en la superficie aislante (x = 0) se determina sustituyendo las cantidades conocidas por:
Por lo tanto, hay una diferencia de temperatura de casi 300°C entre los dos lados de la placa.
III.
EVALUAR LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS CON CONDUCTIVIDAD TÉRMICA QUE DEPENDE DE LA TEMPERATURA.
2.106. Una oblea de silicio con un espesor de 925 μm se calienta mediante un flujo de calor
uniforme en la superficie inferior. La oblea de silicio tiene una conductividad térmica que varía con la temperatura y se puede expresar como
= , = . = .
, donde
= () ⁄ .
. Para evitar el alabeo, la diferencia de temperatura a
través del espesor de la oblea no puede superar los 2oC. Si la superficie superior de la oblea de silicio está a una temperatura de 600 K, determine el flujo f lujo de calor máximo permisible.
Supuestos: - - -
La conducción de calor es estable y unidimensional. No hay generación generación de calor. La conductividad térmica varía con la temperatura.
Propiedades: -
La conductividad térmica se da como
Análisis: -
.
Para una transferencia de calor constante, la ley de calor de Fourier la conducción se puede
= =
expresar como:
-
= ⁄ .
Separando
variable
e
obtenemos:
integrando
de
= = 0 ó 0 = , = ó ó =
-
=[[ 2 3 ] =
Realizamos la integración:
-
El flujo de calor máximo permitido de manera que la diferencia de temperatura en el espesor de la oblea no exceda de 2 °C es:
1. 2 9 0. 0 0111 437 4 37 5 598600 98600 5 598 98 600 5 598 98 600 2 3 = 925925 10−
= . ⁄
2.107. Considere una pared plana de espesor L cuya conductividad térmica varía en un rango especificado de temperaturas como k(T) = k0(1 + βT2), en donde k0 y β son dos
constantes determinadas. La superficie de la pared en x = 0 se mantiene a una temperatura constante de T1, en tanto que la superficie en x = L se mantiene a T2. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, obtenga una relación para la razón de esa transferencia a través de la pared. SOLUCIÓN:
= = ∫ = ∫ 1 1 = 3 3 = 1 3 = = [ ( )])]
2.108. Considere una capa cilíndrica de longitud L, radio interior r1 y radio exterior r 2, cuya
conductividad térmica varía linealmente en un rango específico de temperaturas como k(T) = k 0(1 + T), en donde k 0 y son dos constantes d definidas. efinidas. L Laa superfi superficie cie inter interior ior de la ca capa pa se mantiene a una temperatura de T 1, en tanto que la exterior se mantiene a T2. Si se supone una transferencia t ransferencia unidimensional de calor en estado estacionario, obtenga una relación para a) La razón de esa transferencia a través de la pared y b) la distribución de temperatura T(r) en la capa.
SOLUCIÓN:
a) La tasa de transferencia de calor a través de la pared se puede expresar como:
= ̇ = () = +
donde L es la longitud del cilindro, r 1 es el radio interior y r 2 es el radio exterior Entonces:
es la conductividad térmica media.
b) Para determinar la distribución de temperatura en la pared comenzamos con la ley de conducción de calor de Fourier expresada como:
̇ ̇ = ̇ = 22
donde la tasa de transferencia de calor por por conducción conducción es constante y el área área de conducción de calor calor A = 2πrL es variable. Separando las variables en la ecuación anterior y la integración de r = r 1 donde T (r 1) = T1 para para cualquier cualquier “r” “r” donde T (r) = T, obtenemos: obtenemos:
Sustituyendo Sustituyen do k(T) =
1 1 ̇ ln ̇ = 2 /22 2 2 llnn 2 = 0 y resolviendo las integraciones: y
Sustituyendo Sustituyen do la expresión de por por la parte parte de “a”: “a”:
La cual es una ecuación cuadrática en la T desconocida. Usando la fórmula cuadrática, la temperatura distribuida T(r) en cilindro está determinada por:
= √
2.109. Considere una capa esférica de radio interior r 1 y radio exterior r2, cuya conductividad térmica varía linealmente en un rango específico de temperaturas como k (T) = k 0(1 + βT), en donde k 0 y β son dos constantes definidas. La superficie interior de la capa se mantiene a una temperatura de T 1, en tanto que la exterior se mantiene a T 2. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, est acionario, obtenga una relación para a) la razón de esa transferencia a través de la capa y b) la distribución de temperatura T(r) en éste. DATOS: k 0 y β son β son dos constantes definidas T1 = temperatura interna T2 = temperatura externa radio interior r 1 y radio exterior r 2
SOLUCIÓN:
= = 1 2 ̇ =4. . =. [ ] . ̇
2.110. Considere una placa de 1.5 m de alto y 0.6 m de ancho, cuyo espesor es de 0.15 m. Uno de los lados de la placa se mantiene a una temperatura constante de 500 K, en tanto que el otro se mantiene a 350 K. Se puede suponer que la conductividad térmica de la placa varía linealmente en ese rango de temperaturas como k(T) = k0(1 + βT), en donde k0 = 18 W/m · K y
− −
. Descartando los
efectos de los bordes y suponiendo transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, determine la razón de esa transferencia a través de la placa.
=. ×
SOLUCIÓN:
= () = 1 2 500350 =18 1 8,8,7×10−− 500350 . =, . 2 = . 500350 =24,66 . 1,1,5 ×0,6 500350 0,15
Entonces la velocidad de conducción del calor a través de la placa se convierte:
= 22,190 → ,,
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