Inferencia estadistica

INFERENCIA ESTADÍSTICA

AUTORES JORGE ELIECER RONDON DURAN DANIS BRITO ROSADO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD – ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá, Mayo 2008

COMITÉ DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria Herrera Vicerrectora Académica Roberto Salazar ramos Vicerrector de Medios y mediaciones Pedagógicos Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General

Inferencia Estadística Primera Versión Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2008 Unidad de Ciencias Básicas UNAD

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TABLA DE CONTENIDO Unidad uno: Principios de Muestreo e Intervalos de confianza Capítulo 1: Principios de Muestreo - 1.1. Elementos básicos del muestreo - 1.2. Clases de muestreo - Muestreo Aleatorio Simple - Muestreo Aleatoria estratificado - Muestreo sistemático - Muestreo por Conglomerado - 1.3. Distribución Muestral - 1.4. Teorema Central del Límite

6 6 12 13 25 37 37 38 47

Capítulo Dos: Intervalos de confianza - 2.1. Nociones Fundamentales - 2.2. Teoría de Estimación - 2.3. Estimación por Intervalos - Intervalos de confianza para la media: Muestras pequeñas - Intervalos de confianza para diferencia de medias: ó2 Desconocida, iguales - Intervalos de confianza para diferencia de medias ó2 Desconocida, diferentes - Intervalos de confianza para la media: Muestras grandes - Intervalos de confianza para diferencia de medias - Intervalos de confianza para proporciones - Intervalos de confianza para diferencia de proporciones - Intervalos de confianza para varianza poblacional

58 59 63 63 65 67 68 71 74 74 75

Unidad dos: Pruebas de Hipótesis, Análisis de Varianza y Estadística No-paramétrica Capítulo 3: Pruebas de hipótesis 79 - 3.1. Nociones fundamentales 79 - 3.2. Pruebas para Grandes Muestras 81 - 3.3. Pruebas para Muestras Pequeñas 88 - 3.4. Pruebas para Proporciones 96 - 3.5. Pruebas para Varianza 103 - Aplicaciones con Excel y SPSS 106 Capítulo Cuatro: Análisis de Varianza - 4.1. Generalidades del ANOVA - 4.2. Comparación Múltiple de Medias Muestrales - 4.3. ANOVA de un Factor - 4.4. ANOVA de Dos Factores: Bloques Aleatorizados - 4.5. ANOVA de Dos Factores Con Iteración (Diseño Factorial) - Aplicaciones con Excel y SPSS - 4.6. Análisis de Covarianza - 4.7. Coeficiente de Correlación - Análisis de Regresión con Excel y SPSS - Análisis de Covarianza con Excel

122 122 123 127 134 138 147 161 164 165 169

Capítulo Cinco: Pruebas No Paramétricas - 5.1. Generalidades - 5.2. Prueba de Bondad de Ajuste de la Ji Cuadrado

177 177 177

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- 5.3. Prueba de Kolmogorov-Smirnov - 5.4. Prueba de Wilcoxon - 5.5. Prueba de Mann-Whitner - 5.6. Prueba de Kruskal-Wallis - 5.7. Introducción a la Inferencia Bayesiana - Glosario - Bibliografía

180 183 185 186 188 192 194

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UNIDAD UNO

PRINCIPIOS DE MUESTREO E INTERVALOS DE CONFIANZA

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CAPITULO UNO

1. PRINCIPIOS DE MUESTREO Introducción. En los estudios de investigación lo primero que se define es el fenómeno a analizar, luego la población objeto de estudio, la cual puede ser finita cuando se conocen todos los elementos, o infinita cuando no se conocen todos los elementos de la misma. Desde estos puntos de vista analizar la población no es práctico, por tiempo y costos, lo que induce a seleccionar una muestra, cuya importancia radica en el proceso de consecución de datos que proporcionan la información suficiente y necesaria a cerca de la población, además que con la muestra se están utilizando menos recursos, debido a que sólo una parte de la población se encuentra bajo observación, lo que resulta significativamente beneficioso sobre todo cuando se trata de poblaciones grandes y dispersa. Otro aspecto que justifica la decisión de tomar una muestra es en casos donde se debe destruir los elementos de ésta, por ejemplo cuando se desea identificar el grado de vacío de un producto enlatado, la resistencia de un material y otros. En las encuestas de opinión sobre la preferencia de un producto se nota más claramente la utilidad de una muestra en contraste con la población, para conocer las preferencias de los consumidores y poder acomodar rápidamente el sistema de producción a dichos cambios. Objetivo general. Que los estudiantes identifiquen los principios sobre población y muestra, métodos de muestreo, distribución de muestreo para medias, el teorema central del límite, aplicados al cálculo de tamaños de muestras pertinentes. Objetivos específicos.  Comprender los conceptos de población y muestra.  Identificar los diferentes diseños de muestreo y su utilidad en diferentes campos del saber.  Conceptuar una distribución muestral y calcular las estimaciones requeridas, la varianza y el error de estimación para los mismos.  Conocer y comprender los elementos del teorema central de límite y su utilidad.  Determinar un tamaño de muestra representativo tanto para medias como para proporciones.  Realizar aplicaciones en Excel y SPSS.

1. 1 Elementos Básicos del Muestreo. Dentro de la inferencia estadística, el proceso de muestreo permite que a partir de los resultados obtenidos al analizar una muestra, se pueda obtener conclusiones en cuanto a una o varias de las características o parámetros de una población. Esta área de la Estadística, ayuda a

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determinar la confiabilidad de la inferencia de que los fenómenos observados en la muestra ocurrirán también en la población de donde se seleccionó la muestra. Es decir, sirve para estimar la eficacia del razonamiento inductivo con el cual se infiere que lo observado en una parte será equivalente a lo observado en la población. Las técnicas de muestreo son importantes en la medida que se utilice en forma adecuada para la situación que se requiera. De las técnicas más conocidas y utilizadas se tienen el Muestro Aleatorio Simple (M.A.S), Muestreo Aleatorio Estratificado (M.A.E), Muestro Sistemático (M.S) y Muestreo por Conglomerados (M.C). Se tratara de analizar estas técnicas, especialmente el M.A.S y M.A.E El éxito en el desarrollo del curso en mención está en los buenos conocimientos previos en Estadística Descriptiva, Probabilidad y, Álgebra, Trigonometría y Geometría analítica. Lo anterior debido a que se debe predecir resultados o tomar decisiones que tienen un grado de incertidumbre o un grado de error que se debe definir de antemano.

1.1.1 Población y muestra Existe una serie de términos estadísticos básicos, que son muy utilizados y se requiere sean comprendidos para avanzar en otros temas o unidades, en esta sección se tratarán los conceptos de población y muestra.

Figura 2.1 Población y muestra

POBLACIÓN O UNIVERSO Se considera a todo aquello sobre el que se desea hacer un estudio estadístico. Según el número de unidades, elementos o casos que la constituyen, la población puede ser finita o infinita. Cuando el número de unidades que integra una población es muy grande, se puede considerar a ésta como una población infinita. La población finita es aquella conformada por un determinado o limitado número de elementos. El investigador define la población objeto de estudio en términos de espacio y tiempo, ya que de esta manera los resultados serán sobre la población definida en el espacio demarcado y en el tiempo definido. Por ejemplo que podemos decir de las siguientes poblaciones: - Estudiantes del Programa de Ingeniería de Sistemas

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- Estudiantes del programa de ingeniería de sistemas de la UNAD - Estudiantes del programa de Ingeniería de sistemas en la UNAD de los años 2.005, 2.006 y 2.007 ¿Cual de esas poblaciones estará mejor definida? Analícelo con su grupo colaborativo y realicen las observaciones al respecto. El fin fundamental de la Inferencia Estadística es analizar algunas características de la población denominados parámetros. Entre los más importantes tenemos: N = Tamaño total de la población   Promedio Poblacional  2  Varianza Poblacional   Desviación estándar Poblacional   Total Poblacional P = Proporción Poblacional

MUESTRA Se considera una muestra al subconjunto representativo de la población, que ha sido seleccionada de manera técnica mediante un procedimiento denominado “diseño de muestreo”, para garantizar que dicha muestra es representativa de la población, es decir, que las unidades seleccionadas en la muestra mediante un proceso aleatorio, hayan tenido igual probabilidad de haber sido seleccionadas para el análisis. Entre los motivos que inducen a tomar una muestra aleatoria están: 1. Naturaleza Destructiva: Existen casos donde se requiere destruir los elementos de la muestra para medir la característica, como es el caso de medir la resistencia de un material, el vacío de un producto enlatado, otros. 2. Imposibilidad Física de Medir Todos los Elementos de la Población: Se sabe que existen poblaciones muy grandes, consideradas infinitas y es casi imposible conocer todos los elementos de la misma. 3. Costos: Estudiar todos los elementos de la población es muy costoso, tanto en tiempo como en dinero, por lo que es más rentable hacer un estudio Muestral. 4. Confiabilidad del Estudio Muestral: Esta demostrado con soporte matemático que una muestra representativa arroja resultados que permiten inferir sobre la población con una confiabilidad muy alta. El objetivo fundamental del muestreo es Estimar los parámetros de la población a partir de algunos elementos cuyas mediciones se conocen como Estadísticos. Los estadísticos más utilizados por su importancia son: n = Tamaño de la muestra X  Promedio Muestral S 2  Varianza Muestral S  Desviación estándar Muestral ˆ  Total Estimado p = Proporción Muestral 8

UNIDADES DE MUESTREO: Las unidades de muestreo son conjuntos disjuntos, cuya unión conforman la población completa. Por ejemplo en un censo poblacional los hogares conforman las unidades de muestreo, en un estudio sobre la vida útil de las llantas de un automóvil, el auto será la unidad de muestreo. UNIDAD DE OBSERVACIÓN: Son los elementos que se miden; es decir, sobre los que se toman los datos de las variables a medir. En el caso de los hogares, la unidad de observación serán las personas y en el caso de las llantas del automóvil, cada una serán las unidades de observación. MARCO DE MUESTREO: El marco de muestreo se considera el referente para identificar las unidades de observación, éste NO incluye todos los elementos de la población. Ejemplos de marcos de muestreo tenemos el directorio telefónico de una ciudad, como potenciales votantes, el registro de ventas de los últimos 5 años en una compañía comercializadora y, muchos otros. ERROR DE MUESTREO: En estadística se sabe que existen diferencias entre lo que se obtuvo en el estudio y lo que se esperaba. En el proceso de estimación es poco probable que la media Muestral sea idéntica a la media poblacional, igual para la varianza y la desviación estándar. El error de muestreo es la diferencia entre el estadístico y el parámetro.

    ˆ  Es el parámetro y ˆ es el estadístico. ERROR TOLERABLE: Se considera el error tolerable al error máximo que se está dispuesto a aceptar y aún considerar que el muestreo ha alcanzado su objetivo. En todo estudio estadístico siempre se considera un error tolerable, partiendo del principio que a menor error tolerable, mayor será el tamaño de la muestra. Si  es el parámetro y ˆ es el estadístico, el error tolerable está determinado por B, donde:

error   ˆ  B ERRORR ESTANDAR La desviación estándar de una distribución, en el muestreo de un estadístico, es frecuentemente llamada el error estándar del estadístico. Por ejemplo, la desviación estándar de las medias de todas la muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una población, es llamada el error estándar de la media. De la misma manera, la desviación estándar de las proporciones de todas las muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una población, es llamada el error estándar de la proporción. La diferencia entre los términos “desviación

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estándar” y “error de estándar” es que la primera se refiere a los valores originales, mientras que la segunda está relacionada con valores calculados. ESTADÍSTICO Un estadístico es una medida usada para describir alguna característica de una muestra , tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una muestra. PARAMETRO Una parámetro es una medida usada para describir alguna característica de una población, tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una población. Cuando los dos nuevos términos de arriba son usados, por ejemplo, el proceso de estimación en inferencia estadística puede ser descrito como el proceso de estimar un parámetro a partir del estadístico correspondiente, tal como usar una media muestral (un estadístico) para estimar la media de la población (un parámetro). ETAPAS EN LA SELECCIÓN DE LA MUESTRA E todo estudio de muestreo se debe definir las etapas que permiten su desarrollo. Definición del Objeto de Estudio: Comprende la identificación del problema y el establecimiento de las metas que busca el estudio. Marco de Muestreo: Establecimiento de una metodología para identificar los elementos que estarán en el muestreo, sus características y el modelo que los identifica. Identificación de Variables: Es pertinente identificar las variables de estudio, para así definir la forma de medición que se haría. Tamaño de la Muestra: Por medio del modelo de muestreo pertinente seleccionar la muestra representativa, sobre la que se realizarán las mediciones. Unidad de Muestreo: Se debe extraer las unidades de muestreo según el modelo definido que determinan las n unidades maestrales de la población N. Trabajo de Campo: Son todas las acciones necesarias para obtener la información, definiendo los costos, desplazamientos, herramientas física y logísticas para su realización. Análisis de Información: La información obtenida, requiere de un proceso estadístico, el cual puede ser descriptivo o inferencial, para el curso que nos ocupa se deben hacer los dos. Resultados: Con el proceso desarrollado sobre los datos obtenidos, se procede a la emisión de los resultados y la confrontación con las metas propuestas para verificar el grado de eficiencia del trabajo realizado. Es pertinente saber presentar los resultados, ya que un buen trabajo que no se presente de la mejor manera, quedaría oscuro en su información.

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TIPOS DE SELECCIÓN DE MUESTRAS En el diseño Muestral hacemos referencia a la probabilidad de selección, la cual consiste en definir el valor de probabilidad de que una muestra dada sea seleccionada. En teoría de probabilidad existen dos tipos de selección: Selección con Reemplazamiento: Consiste en que los elementos seleccionados una vez medidos vuelven a la muestra, lo que hace que el espacio Muestral permanezca constante. Por lo anterior la ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de otro, por lo que los eventos se consideran independientes. Ejemplo: Si en una bolsa se tiene 4 bolas blancas y 5 bolas negras. Cual será la probabilidad que al seleccionar dos bolas estas sean blancas. Solución: 4 9 4 A probabilidad de que la segunda sea negra es: P ( x 2  negra )  9

La probabilidad de que la primera sea negra es: P ( x1  negra ) 

Selección sin Reemplazamiento: Los elementos elegidos una vez la medición, estos NO vuelven a la muestra, lo que hace que el espacio muestral cambie a medida que se van tomado elementos de la muestra. Ejemplo: Si en una bolsa se tiene 4 bolas blancas y 5 bolas negras. Cual será la probabilidad que al seleccionar dos bolas estas sean blancas, la selección es sin reemplazamiento Solución: La probabilidad de que la primera sea negra es: 4/9 A probabilidad de que la segunda sea negra es: 3/8 Recordemos que una vez elegida la primera, ésta vuelve a la muestra. Ejemplo: Suponga que tenemos N = 4 unidades 1, 2, 3 y 5 en una población hipotética y desea seleccionar muestras con reemplazamiento y sin reemplazamiento de tamaño n=2 Solución: Para los propósitos de esta selección, los valores podrían ser el número de las personas que viven en cada una de cuatro unidades habitacionales que constituyen una población. Se realizará una comparación entre el muestreo aleatorio con y sin reemplazamiento para una muestra de tamaño n = 2. Primero se listan todas las posibles muestras no ordenadas de tamaño n = 2. 11

Podemos observar que cualquier muestra que se pueda obtener en muestreo sin reemplazamiento, también es posible obtenerla con reemplazamiento. Sin embargo, las muestras que contienen valores repetidos no se pueden obtener al realizar el muestreo sin reemplazamiento. Dado que al medir una unidad más de una vez no se está obteniendo información adicional, es de esperase que con un muestreo sin reemplazamiento tiende a recogerse mas información sobre la población de la que puede obtenerse con muestreo

1.2 Clases de muestreo. Con los conceptos previos que se han analizado, ahora corresponde estudiar las clases de muestreo. Los dos grandes grupos están enmarcados en las siguientes clases: - Muestreo probabílistico. - Muestreo no probabílistico.

1.2.1 Muestreo No Probabílistico. Son aquellos muestreos donde los elementos de la muestra se toman al azar, siendo imposible determinar el grado de representatividad de la muestra. Para el caso de una población homogénea, la representatividad de tal muestra puede considerarse satisfactoria. Por otra parte, en problemas comerciales diarios y en la toma de decisiones que a falta de tiempo no permiten diseñar métodos de muestreo probabílistico hay que recurrir a este tipo de muestreo, donde el investigador conoce la población. Dentro del muestreo no probabílistico se conoce varios tipos: - Muestreo por conveniencia. - Muestreo por juicio - Muestreo Causa – Efecto - Muestreo por Cuotas - Muestreo de Poblaciones Móviles

MUESTREO POR CONVENIENCIA La muestra se determina por conveniencia, incorporando elemento en la muestra sin probabilidades especificadas o conocida de selección. Por ejemplo un profesor que se encuentra investigando una causa universitaria, puede usar alumnos voluntarios para formar la muestra, tan solo porque dispone fácilmente de ellos y participan como elementos a un costo pequeño o nulo. Tiene la ventaja de ser de fácil selección y recolección de sus datos. Tiene la desventaja de no poderse evaluar en su “bondad” de la muestra en función de la representatividad de la población, motivo por el cual se hace imposible inferir a cerca de la población correspondiente. MUESTREO POR JUICIO En este método la persona por experiencia y capacidad selecciona a los individuos u otros elementos de la población, que supone son los más representativos de esa población. Por ejemplo un reportero puede muestrear uno o dos senadores, por considerar que ellos reflejan la opinión general de todos.

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MUESTREO CAUSA – EFECTO Se realiza cuando no hay una población definida y se requiere tomar elementos para el estudio en cuestión, caso por el cual se toman los elementos disponibles. MUESTREO POR CUOTAS: Cuando es necesario obtener una cantidad dada de elementos que constituyen una muestra proporcional a la población, se toman elementos hasta cubrir dicha cuota. El caso de tomar una cantidad de carros en una esquina para hacer un estudio sobre accidentalidad en dicho sitio.

MUESTREO DE POBLACIONES MÓVILES: Método propio de poblaciones móviles como en estudios de migración ocurridos en un sitio determinado. El caso típico es con animales que migran, donde se hace captura-marcarecaptura.

1.2.2. Muestreo probabílistico. El muestreo aleatorio o muestreo probabílistico, es aquel en que cada uno de los elementos de la población objeto de estudio, tienen una probabilidad matemática conocida, y frecuentemente igual, para ser elegido en la muestra. Dentro del muestreo probabílistico o aleatorio existen cuatro métodos: 1. Muestreo aleatorio simple. 2. Muestreo estratificado. 3. Muestreo sistemático. 4. Muestreo por conglomerados. Una muestra se considera probabilística si cumple con las siguientes condiciones: a-) se pueda definir un conjunto de muestras M1, M2, M3,… posibles derivados del proceso de selección propuesta. Así se puede identificar qué unidades de muestreo pertenecen a la muestra M1, M2,… b-) A cada muestra posible le debe corresponder una probabilidad de selección conocida P(S). c-) El proceso de selección garantiza que todos los elementos de la población tienen una probabilidad P(yi)>0 de ser elegido en alguna muestra. d-) La selección es un proceso aleatorio que garantiza que cada muestra S tenga una probabilidad P(S) de ser elegida.

1. Muestreo aleatorio simple (MAS) El M A S es la forma más sencilla de muestreo probabilístico y es la base de técnicas más complejas. La muestra se puede tomar de una población finita o infinita, la cantidad de muestras posibles depende del tipo de diseño y la forma de tomar las muestras. Este tipo de muestreo se utiliza cuando se considera que la población es más o menos homogénea. Como ya sabemos el muestreo puede ser con y sin reemplazamiento. 13

El marco de muestreo corresponde a la lista codificada de todas las observaciones que hacen parte de la población. La muestra se elige de tal manera que cada observación tiene la misma probabilidad de ser elegida, la elección de una observación NO tiene influencia sobre la elección de otra. Es de aclarar que en el M. A. S. La unidad de muestreo es igual a la unidad de observación. Para seleccionar los elementos de la muestra se puede utilizar varias técnicas: a). Tabla de números aleatorios: (Ver tabla siguiente). Se enumeran las unidades que conforman la población objetivo de estudio, partiendo desde 01 hasta 99, desde 001 hasta 999, y así sucesivamente, dependiendo del tamaño poblacional. Luego se define el tamaño de la nuestra y como los elementos de la población están listados y codificados, entonces se establece un punto de partida: Columna – Fila y se van leyendo ya sea horizontal o verticalmente los números de la tabla hasta completar el tamaño de la muestra. Ejemplo 1: Se desea obtener una muestra aleatoria de tamaño n = 10, los elementos de la población están codificados de 1 a 200. Solución: Seleccionemos la fila 06 y columna 12345, como punto de inicio y la lectura la hacemos vertical. Se debe escoger los primeros tres dígitos que estén entre 1 y 200, hasta completar el tamaño de la muestra. La lectura será de los tres primeros dígitos de la tabla. Veamos: El primer número es 884, no se incluye, el segundo es 100, se incluye, el tercero es 007, se incluye, así sucesivamente. Por consiguiente la muestra será: n = 100, 007, 141, 151, 142, 128, 146, 042, 156, 134 Ejemplo 2: Obtengamos una muestra aleatoria de 6 elementos de una población cuyos elementos están codificados de 01 a 50. Solución: Elegimos el punto de inicio de la fila 08 y columna 67890. Lectura del primer dígito y lectura vertical. n = 9, 5, 1, 3, 7, 8.

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Fuente: Web

Este método de selección permite que todos los elementos que constituyen la población tengan la misma posibilidad de ser incluidos en la muestra. Los elementos se escogen en forma individual y aleatoriamente de la totalidad de la población. Esta selección puede ser sin

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reemplazamiento, similar a la que se realiza en la extracción aleatoria de números en el juego denominado “Baloto”. Cada elemento que constituye la muestra se selecciona una sola vez, denominándose extracciones sin reposición. En otras ocasiones, cada elemento puede ser elegido más de una vez en la misma muestra, como por ejemplo, cuando se selecciona aleatoriamente el número ganador de una lotería, que puede ocurrir ser el mismo número; en estos casos se dice que las extracciones son realizadas con reposición. b). Programa de Computador: Utilizando el programa Excel que es el más común se puede desarrollar números aleatorios de la siguiente manera: Si la población es de N = 1.000 observaciones y se desea una muestra de 20, entonces: Sobre una celda se escribe =ALEATORIO ()*N y se da clic, el sistema genera el primer número aleatorio, se despliega en la parte inferior derecha de la celda del número hasta el tamaño de la muestra definida.

Sintaxis para obtener números aleatorios de una población de 1.000 observaciones

Al dar clic se genera el primer numero aleatorio y desplegando se obtiene los que se desea.

Primer numero aleatorio. Se despliega desde la parte inferior derecha hasta completar 20 elementos

De esta manera se obtiene los números aleatorios que se requieren para tomar la muestra aleatoria de la población objeto de estudio. Si se vuelve a hacer el proceso, se obtendrán nuevos números y cada que se realice un nuevo proceso, se generarán diferentes números; esto por lo de Aleatorio.

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c). Método de Fan Muller: Se definen los números aleatorios î1, î2, î3,… independientes bajo la distribución uniforme u (0,1). Si îk=1 < n / N. (Siendo N el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra), entonces k = 1 es seleccionado para la muestra, en otro caso no. Para los siguientes números k = 2, 3, 4,…, nk los seleccionados deben cumplir  n  nk  k     N  k  1 el proceso termina cuando nk = n. N – k + 1 es el marco muestral; es decir, el tamaño disponible. Los îk son generados bajo la distribución uniforme y se comparan con (n – nk) / (N – k + 1). d). Coordinado Negativo: El proceso general es de la siguiente manera: - Se adiciona una variable aleatoria U con distribución uniforme U ( 0, 1) - Se ordena el marco muestral según la distribución U. - La muestra se forma de los n primeros elementos del “marco ordenado”

Estimación en el M.A.S. El proceso de estimación conlleva a obtener un estimador que tenga ciertas condiciones deseables para hacer inferencia sobre el modelo de probabilidad que ha generado los datos. Entre los métodos de estimación de la estadística paramétrica se tiene: Momentos, Mínimos cuadrados y Máxima verosimilitud. Estimación de la Media Poblacional (µ): Al seleccionar una muestra aleatoria por M.A.S. 1 n sin reemplazamiento y pesos iguales, se tiene que: x   xi Para i = 1, 2, 3, … , n n i 1 A partir de lo anterior, se puede decir que la media muestral es un estimador insesgado y de mínima varianza de la media poblacional. Definición: El valor esperado de la media muestral es la media poblacional E( X )  

Varianza del Estimador: El valor de X indicará muy poco sobre  al menos que se evalúe la bondad del estimador. Esto quiere decir que se debe fijar un límite sobre el error de estimación, lo que se hace a partir de la varianza del estimador. Cuando se conoce la varianza poblacional, la varianza del estimador para poblaciones finitas es de la forma:  2  N n Recordemos que N = Población y n = Muestra V (X )    n  N 1  Cuando no se conoce la varianza poblacional, entonces se estima a partir de la varianza N 1 n 2 muestral, donde: S 2  ( x i  x ) 2 Donde: E ( S 2 )   N 1 n  1 i 1 De lo anterior se puede obtener la varianza estimada del estimador: 17

 s2  N  n  V (X )    n  N 

 N n Donde   Es el factor de corrección para poblaciones finitas.  N  N n N Este factor se pude despreciar si:  0,95 o cuando n N 20 Cuando se tiene poblaciones infinitas, la varianza estimada del estimador es de la forma:  s2 V (X )  n

Error de Estimación: (B) La teoría estadística ha mostrado que al multiplicar la desviación estándar por el valor de Z (1 ) y, si a esto se le suma y resta al estimador de la media, se 2

obtiene un intervalo de confianza de (1– á/2) el cual nos indica que la media poblacional esta  en dicho intervalo. De esta manera: B  Z (1 ) V ( X ) Donde I .C.  X  B 2

Ejemplo 1: Se tiene una población de elementos N = [2, 4, 6, 8], se desea tomar una muestra aleatoria de un elemento, hallar  y  2 Solución: Por definición:   E ( x)   xp( x) Como x = 2, 4, 6, 8

y p(x) = ¼

Entonces:

   xp( x)  2(1 / 4)  4(1 / 4)  6(1 / 4)  8(1 / 4)  5 n

También por definición:  2  V ( x )  E ( x   ) 2   ( x i   ) 2 p ( xi ) i 1

2

2

2

2

  (2  5) (1 / 4)  (4  5) (1 / 4)  (6  5) (1 / 4)  (8  5) 2 (1 / 4)  5 Ejemplo 2: Del ejemplo uno, tomar muestras de tamaño dos sin reemplazamiento y calcular 

y 2

Solución: N  N! 4! 24 El número de muestras es:      6  n  n!( N  n )! 2!( 4  2)! 2 * 2 MUESTRA

P(xi)

x

s2

n1: (2, 4) n2: (2, 6) n3: (2, 8) n4: (4, 6) n5: (4, 8) n6: (6, 8)

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

3 4 5 5 6 7

2 8 18 2 8 2

 V (x ) ½ 2 9/2 ½ 2 ½

Cálculos: Tomemos como ejemplo la primera muestra.

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1 1 1 1 ( x i  x ) 2  ( 2  3) 2  ( 4  3) 2  2 x i  ( 2  4)  3 s2    2 2 2 1 1  242 1 Así para las otras muestras. V (x)    2 4  2



x



En seguida calculamos la media poblacional, desde la definición de valor esperado: n

  E ( x )   x i p ( xi )  3(1 / 6)  4(1 / 6)  5(1 / 6)  5(1 / 6)  6(1 / 6)  7(1 / 6)  5 i 1

La varianza del estimador se puede calcular desde dos formas: 1. Por definición de valor esperado: 2

n

V ( x )  E ( x   )   ( xi   ) 2 p ( xi ) Reemplazando: i 1

V ( x )  (3  5) 2 (1 / 6)  (4  5) 2 (1/ 6)  (5  5) 2 (1 / 6)  (5  5) 2 (1 / 6)  (6  5) 2 (1 / 6)  (7  5) 2 (1 / 6) 

5 3

2. Por la formula de varianza del estimador: Como  2  5 del ejemplo anterior, N = 4 y n = 2,  2  N n 542 5 V (X )      n  N 1  2  3  3 Los dos ejemplos muestran que:  2  N n E( X )   y V (X )    n  N 1  Ejemplo 3: En un estudio se sabe que la varianza estimada del estimador es de 0,567. Se tomó una muestra de n = (1, 3, 5) Para un nivel de significancia del 5%, hallar el límite de error de estimación. Solución: Para los datos dados: n = (1, 3, 5) x  3  Ahora: B  Z (1 ) V ( X ) Donde Z (1 2

y 2

)

Z

s2  2 1 0 , 05

 Z 0,975 . Para la probabilidad de 0,975 2

el valor de Z es 1,96. Entonces: B  1,96 0,567  1,475 Por consiguiente la media poblacional estará en el intervalo (3 ± 1,475); es decir, (1,525 4,475) con un nivel de confianza del 95% Estimación del Total Poblacional (ô): Cuando de la población se obtiene una muestra aleatoria para estudiar una característica de la primera, uno de los parámetros a obtener es el total poblacional de la característica. Por ejemplo a partir de un número de personas se puede estimar el total de edad de la población, o el total de peso u otra característica. 19

Si definimos a  i como la probabilidad de selección del elemento i-ésimo en una muestra n dada n, en el M.A.S. sin reemplazamiento  i se define como:  i  Por otro lado el total N  n x   poblacional  es estimado por  el cual esta definido como:     i  . Al reemplazar  i i 1   i   x  n n  Nx i   xi   i   N      Nx      n  i 1  n  i 1  i 1  n   N  Entonces el estimador del total poblacional esta definido como: n

 por su equivalente:  

   Nx Análogamente el total poblacional esta dado por:

  N Varianza del Estimador: Al igual que en la estimación de  , el total poblacional también requiere identificar la bondad del estimador, para sí identificar el error del estimador. Si conocemos la varianza poblacional, la varianza del estimador esta dado por:   2  N  n    V ( )  V ( Nx )  N 2    n  N  1  Pero cuando NO se conoce la varianza poblacional, entonces se busca la varianza estimada del estimador. 2   2  s  N  n    V ( )  V ( N x )  N    n  N 

Error de Estimación: Al igual que en la media, el error de estimación nos permite obtener un intervalo de confianza con un nivel de significancia á para el total poblacional.   Se sabe que B  Z (1   ) V ( ) reemplazando la varianza estimada del estimador por su 2

equivalente obtenemos: B  Z (1

 s2 N   n 2

2

)

 N  n     N 

Ejemplo 1: En un centro de investigación se desea determinar el tiempo que los investigadores tareas administrativas, para lo cual se tomo una muestra de 60 investigadores cuyo de tiempo usado en dichas actividades fue de 15 hr/semana y varianza de 5 hr2. cuenta con 800 investigadores. Estimar el total de horas que son utilizadas administrativas por los investigadores y el error de estimación, para un á = 1%.

dedican a promedio El centro en tareas

20

Solución: Los datos son: N = 800, n = 60, x  15 y s 2  5  - Calculamos el estimador del total poblacional:   Nx  800 * 15  12.000 En el centro los investigadores utilizan 12.00 horas /semana a tareas administrativas. - Ahora el error de estimación, para lo cual debemos hallar primero la varianza.    s 2  N  n  2  5  800  60  V ( )  N 2     800     49.333,33  60  800   n  N  1  2 2  s  N  n   N  n  N  ) 2    Se busca le valor de la distribución: Z (1 )  Z

Error de estimación: B  Z (1

2

(1 0 , 01 2 )

 Z 0,995 En la tabla de distribución

normal para una probabilidad de 0,995 el valor de Z es de 2,575 Ahora se puede calcular el error de estimación: B  2,575 49.333,33  571,94 Por consiguiente el total poblacional para el tiempo dedicado a tareas administrativas estará entre 12.000 ± 571,94; es decir esta en el intervalo: (11.428,06 - 12.571,94) Estimación del Proporción Poblacional (P): Cuando se desea obtener la proporción de una atributo en la población, el experimento es binomial. 1 si y i tiene atributo yi   no tiene atributo 0 si y i N

a N i 1  Pero P (proporción poblacional) se puede estimar a partir de la muestra de tamaño n por p . p*q    Cuando n es grande, p es aproximadamente normal, donde: E ( p )  P y V ( p )  n Para el M.A.S. el estimador de la proporción poblacional P esta dado por:

Los elementos que tiene el atributo son: a   y i

1  p  n

Donde yi = 1 Entonces: P 

n



yi

i 1

Varianza del Estimador: De manera similar a los casos anteriores, la varianza del estimador esta definido por la siguiente ecuación. Para poblaciones infinitas     p*q V ( p)  n

Para poblaciones finitas     p*q  N  n V ( p)    n  N 

Error de Estimación: De la misma manera que en los casos anteriores Para poblaciones infinitas

Para poblaciones finitas

21

B  Z (1

2

  p*q n

)

B  Z (1

2

)

  p*q  N  n   n  N 

Ejemplo 1: En un estudio sobre fallas que presenta una maquina empacadora, se tomo una muestra de 120 unidades de las cuales 32 presentaron fallas de sellado. Estimar la proporción de fallas en la maquina y el error de estimación para un nivel de significancia del 5%. Solución: n 1  - Según los datos del problema: a   y i  32 Entonces: p  n i 1 La proporción estimada de fallas en la maquina es del 26,7%

n



i 1

yi 

32  0 , 267 120

- Para hallar el error de estimación debemos calcular la varianza del estimador.     p * q 0,267 * 0,733 Por ser una población infinita: V ( p )    0,00163 n 120 Buscamos el valor de la distribución: Z (1 )  Z 0,975 Para una probabilidad del 0,975, el 2

  p*q valor de Z es 1,96. Entonces: B  Z (1 )  1,96 0,00163  0,079 2 n La proporción de fallas en la maquina esta en: 0,267 ± 0,079; es decir: (0,188 - 0,346)

Tamaño de Muestra en el M.A.S. En el M.A.S. Se han analizado técnicas para estimar el promedio, la varianza, el total poblacional y la proporción poblacional, ahora el trabajo esta en buscar la forma de obtener el tamaño de la muestra. Tomar observaciones cuesta dinero, por lo cual se debe tomar la muestra de tal forma que permita al investigador obtener la información pertinente, ya que una muestra mal calculada arrojará información inadecuada que hace perder tiempo y dinero. 1. Tamaño de la Muestra para Estimar µ: Determinar el numero de observaciones que harán parte de la muestra para estimar la media poblacional, con un límite de error de estimación B, se hace a partir de las desviaciones asumidas en el error de estimación.   2  N  n     Haciendo un proceso matemático de despeje de n, )  2  n  N  1  Z (21   )  2 N 2 se obtiene: n  Para poblaciones finitas. 2 ( N  1) B  Z (21   )  2

Partiendo de: B  Z (1

2

Cuando N es muy grande entonces se asume que la población es infinita y así N -1 ~ N también N – n ~ N, lo que hace que: B  Z (1 Z (21   n  B

2 2

)



2

)

2 Despejando n obtenemos: n

2

Para poblaciones infinitas.

22

Ejemplo 1: En un estudio sobre el tamaño de manos para el diseño de guantes, se estableció que la longitud de estos sigue una distribución normal, por estudios realizados se sabe que la desviación típica es de 1,5 cm. ¿Cual debe ser el tamaño de la muestra si el error de estimación es de 0,5 cm.? El nivel de significancia es de 0,05 Solución: Según el problema se trata de una población infinita, hallamos el valor de la distribución. Z (1 )  Z 1 0, 025 )  Z 0 ,975 Para una probabilidad de 0,975 el valor de Z es 1,96 2

Calculamos el tamaño requerido: Z (21   )  2 (1, 96 ) 2 (1 , 5 ) 2 2 n    34 , 57 B2 ( 0 ,5 ) 2 En las condiciones dadas, el tamaño de la muestra debe ser de 35 personas. 2. Tamaño de la Muestra para Estimar ô: El numero de observaciones necesarias para estimar el total poblacional con un límite de error de estimación B para una muestra de tamaño n esta dada a partir del error de estimación para poblaciones donde NO se conoce la varianza, estudiado anteriormente. B  Z (1

2

)

 s2 N 2   n

 N  n     N 

Z 2N 2s2 n 2 B  NZ 2 s 2

Haciendo las transformaciones matemáticas pertinentes:

Poblaciones finitas y varianza poblacional desconocida.

Recordemos que la varianza muestral estima la varianza poblacional. Ejemplo 1: Una compañía que hace estudios a nivel social, desea estimar el total de ingresos de una población de 3.000 habitantes que tienen ingresos. Por estudios realizados con anterioridad se sabe que la varianza es $40.000 ¿Cuántas personas se deben tomar para estimar el total de ingresos si se asume un error de estimación de $100.000 y un nivel se significancia del 5%? Solución: Primero hallamos el valor de la distribución: Z (1

2

)

 Z 0,975 Para 0,975 de probabilidad el

valor de Z es 1,96, entonces:

Z 2N 2s2 (1,96 ) 2 (3.000 ) 2 ( 40 .000 ) 1.382976 X 10 12 n 2   B  NZ 2 s 2 (100 .000 ) 2  3 .000 (1,96 ) 2 ( 40 .000 ) 1.0460992 X 10 10 n  132 , 20

23

Para hacer el estudio con un nivel de significancia del 5% se necesitan 133 personas de dicha población. 3. Tamaño de la Muestra para Estimar P: Hemos vistos que la proporción es una característica muy importante cuando se desea determinar qué parte de la población esta a favor de un determinado factor. El tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional, es análogo a lo establecido en los casos anteriores para la media y el total poblacional.   p*q A partir del error de estimación para poblaciones infinitas: B  Z (1 ) se tiene que el 2 n   Z (21   ) p q 2 tamaño e la muestra es: n  B2   p*q  N  n Para poblaciones finitas se parte de: B  Z (1 )   para obtener el tamaño de la 2 n  N 

Z (21   muestra, que es de la siguiente manera:

n  NB

2

2

 p qN )

 Z (21  

2

 p q )

Ejemplo 1: En una ciudad se desea realizar una encuesta para determinar la proporción de habitantes que están de acuerdo con el consumo de cigarrillo. La ciudad cuenta con 7.500 habitantes, en estudios previos se ha determinado que por cada 100 habitantes, 15 están de acuerdo. ¿Cual debe ser el tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional P de habitantes que apoyan el consumote cigarrillo? Con un nivel de del 1% y error de estimación de 0,05. Solución:  15   A partir de los datos: p   0,15 Entonces q  1  p  1  0,15  0,85 100 Para un nivel del 1%, Z (1 )  Z 0,995 Para una probabilidad del 0,995 el valor de Z es 2,575 2

Teniendo los datos necesarios, hallamos el tamaño de la muestra.

Z (21   n  NB

2

2

)

 pqN

 Z (21  

2

( 2 , 575 ) 2 ( 0 ,15 )( 0 , 85 )( 7 . 500 )   pq 7 . 500 ( 0 , 05 ) 2  ( 2 , 575 ) 2 ( 0 ,15 )( 0 , 85 ) )

n 

( 2 , 575 ) 2 ( 0 ,15 )( 0 , 85 )( 7 . 500 ) 6340 , 535  2 2 7 . 500 ( 0 , 05 )  ( 2 , 575 ) ( 0 ,15 )( 0 , 85 ) 18 , 75  0 , 8454

n 

6340 , 535 18 , 75  0 , 8454

 323 , 57

Para hacer el estudio sobre consumo de cigarrillo en la ciudad definida, se debe tomar una muestra de 324 habitantes, con un nivel de significancia del 1% y un error de estimación de 0,05

24

2. Muestreo Aleatorio Estratificado En el diseño de muestreo probabílistico, es pertinente identificar la población objeto de estudio, ya que no siempre la variable de análisis es más o menos homogénea. Si se desea analizar la variable peso; por lo general los hombres pesan más que las mujeres, en estratos altos se paga más arriendo que en estratos bajos. En éstos y otros muchos casos el M. A. S. no es adecuado. En casos donde la población es muy heterogénea respecto a la variable de estudio el muestreo estratificado es mejor que el muestreo aleatorio simple. La palabra estratificar hace referencia a “Formar Capas”. DEFINICIÓN: Una muestra aleatoria estratificada se obtiene mediante la separación de los elementos de la población en subgrupos llamados ESTRATOS, los cuales son disyuntos Obtenidos los estratos, en cada uno se obtiene la muestra por M. A. S. para el estudio de la variable de interés. La justificación de seleccionar una muestra por muestreo aleatorio estratificado más que por muestreo aleatorio simple son entre otras. 1. Evitar la obtención de muestras erróneas, tal es el caso de escoger elementos que podrían sesgar el muestreo, por consiguiente se puede perder representatividad de la población. 2. Obtener información precisa de ciertos subgrupos para hacer comparaciones 3. Producir un límite de error de estimación (B) más pequeño, comparado con el obtenido en el M.A.S. para un mismo tamaño de muestra. 4. Los costos por observación en las encuestas son más reducidos ya que se evitan desplazamientos extremos. 5. Las estimaciones se obtienen por subgrupos así los estratos se hacen identificables. Como los elementos de los estratos son disyuntos, entonces cada unidad de muestreo pertenece solo a un estrato. Las muestras seleccionadas en los estratos deben ser independientes; es decir, la elegida en un estrato no debe afectar la elección de otra muestra en otro estrato. La esencia de la estratificación es que ésta saca provecho de la homogeneidad conocida de las subpoblaciones, de tal forma sólo se requieran muestras relativamente pequeñas para estimar las características de cada subpoblación, estas estimaciones individuales pueden entonces ser fácilmente combinadas para producir una estimación de toda la población; además, la economía en el tamaño de la muestra, un valioso subproducto del esquema de muestreo estratificado es que las estimaciones obtenidas para diferentes partes de la población se pueden usar posteriormente para hacer comparaciones. Para una descripción general del muestreo aleatorio estratificado y los métodos de inferencia asociados con este procedimiento, suponemos que la población está dividida en h subpoblaciones o estratos de tamaños conocidos N1, N2,...,Nh tal que las unidades en cada estrato sean homogéneas respecto a la característica en cuestión.

25

Partiendo de la población o universo U cuyo tamaño es N, se definen NL estratos. N = N1 + N2 +…+ NL Nl = Tamaño del estrato l. x l j = Valor de la observación j en el Estrato l. µl = Media poblacional en el estrato l. ó2l = Varianza poblacional en el estrato l. ô l = Total poblacional en el estrato l. p l = Proporción poblacional en el estrato l. La media poblacional del estrato, la varianza poblacional del estrato, el total poblacional del estrato y el total poblacional, se obtiene de la siguiente manera: Nl Nl L ( xlj   l ) 2 1 Nl 2 l  x     x   l  lj    l lj l N l j 1 Nl 1 l 1 j 1 j 1 pl

N

1  Nl

l

x lj



Donde x l j son los elementos j del estrato l que tiene la característica.

j 1

En cada estrato se obtiene una muestra aleatoria por M.A.S. Si tenemos el estrato l, se puede hacer el siguiente análisis. nl = Tamaño de la muestra en le estrato l xl = Promedio muestral en el estrato l sl2 = Varianza muestral en el estrato l  p l = Proporción estimada del estrato l

xl 

2 l

1 nl nl

s 

nl



x lj Donde x l j son los elementos j de la muestra en el estrato l

j 1

( xlj  xl ) 2

j 1

1  pl  nl

nl  1 nl



 x lj

 x lj = Elementos j de la muestra en el estrato l que tienen la característica

j 1

Estimación en el M.A.E. 1. Estimador de la Media Poblacional:  Por teoría estadística sabemos que xl es un estimador insesgado de  l , por otro lado  l es un  estimador insesgado de  l , donde:  l  N l  l y  l  N l xl . Hallar un estimador insesgado 26

para el promedio poblacional requiere conocer el total de cada estrato o en su defecto un estimador. Si definimos  est como el promedio poblacional para el muestreo estratificado y a xest como un estimador insesgado, entonces: 1 1 L x est   N 1 x1  N 2 x 2  ...  N L x L  Sintetizando: x est   N L xL N N l 1 Varianza del Estimador: Para el muestreo estratificado la varianza del estimador se obtiene a partir de la varianza poblacional del estrato l (  l2 ), pero por lo general esta no se conoce, luego se estima por medio de la varianza muestral del estrato l ( sl2 ), así se obtiene la varianza estimada del estimador.   s 2  N  n l  1 L  V ( x est )  2  N l2  l  l N l 1  n l  N l  Límite de Error de Estimación: Como en el caso del M.A.S. el límite de error de estimación para el M.A.E. esta definido como:

B  Z(1

2

)

 V (xest )

Ejemplo 1: Una fábrica de productos populares desea hacer un estudio para identificar el impacto del producto líder en una ciudad, para lo cual se estratifico la ciudad en 3 estratos, los datos fueron los siguientes. SECTOR A B C

Nl 155 62 93

nl 20 8 12

  33,90 25,12 19,25

 5,95 15,25 9,36

a) Estimar la cantidad media de personas que consumen el producto y su varianza b) Estimar la cantidad media de personas que consumen el producto en el sector B. c) Hallar el límite de error de estimación para los el sector A para un nivel de significancia del 5% y del sector B para un nivel del 1% Solución: 1 155 * 33,90  62 * 25,12  93 *19,25  27,75 310 Se estima que el promedio de consumo del producto es de 28 personas. 2 2 2   1  2  (5,95)  155  20  2  (15,25)  62  8  2  (9,36)  93  12        V ( xest )    ( 155 ) ( 62 ) ( 93 )       2   20  155  8  62  12  93  310            1 37.039,86  97.327,40  54.996,92  1,97  2 (personas)2 V ( xest )  96.100

a) x est 

b) Para el sector B el tamaño muestral fue de n = 8, el cual se obtuvo por medio de M.A.S.

27

 Según los datos: x B   B  25,12 Entonces la cantidad media de personas que consumen

el Producto en el sector B es de 26. c) Para el caso del sector A:  B  Z (1 ) V ( xest )  Z 0 ,975 2  2,77 Así el límite de error de estimación es de 3 2

personas. Para el caso del sector B:   s 2  N  n   (15,25) 2  62  8   B  Z (1 ) V ( xest )  Z 0,995     2,575    12,95 Para el caso 2  n  N   8  62  del sector B, el límite de error de estimación es de 13 personas.

2. Estimador del Total Poblacional: Ya sabemos la filosofía del total poblacional, para el caso de muestro aleatorio estratificado, se debe estimar el total poblacional en cada estrato, luego se suman todos los totales estimados y así obtener el total poblacional estimado. L L  N L   Partiendo de:   l  xlj  N l xl Se puede llegar a:  est   l   N l xl nl j 1 l 1 l 1 Por consiguiente el estimador es de la forma: L

  est 

N

l

xl

Para l = 1, 2, 3, … , L

l 1

Varianza del Estimador: Por los mismos principios del M.A.S. la varianza para el M.A.E.  cuando se conoce la media poblacional, esta definida como: V  est   V  N est   N 2V  est  . En los casos donde no se conoce la media poblacional, ésta se estima a través de la media muestral x , lo que conlleva a obtener la varianza estimada del estimador, así:    V  est   V Nxest   N 2V xest  Por consiguiente la varianza estimada del estimador es de la forma: 2 L  2 2  sl  Nl  nl   V  est   N V  xest    Nl   l 1  nl  Nl 

Límite de Error de Estimación: Como en el caso del M.A.S. el límite de error de estimación para el total poblacional en el M.A.E. se calcula conociendo el nivel de significancia.

B  Z(1

) 2

 V( est )

28

Ejemplo 1: Una empresa publicitaria esta interesada en identificar el tiempo que utilizan las familias en 3 ciudades que hacen parte del Distrito Especial para ver televisión. Las ciudades se han referenciado como A, B, C, donde la ciudad A tiene 125 hogares, la ciudad B tiene 62 hogares y la ciudad C tiene 93 hogares. Con los datos de la siguiente tabla, estimar el total de horas que utilizan las familias del distrito especial para ver televisión y su límite de error de estimación para el nivel de significancia del 5%.. A B C

35 41 27 8

43 37 15 14

36 31 4 12

39 45 41 15

28 34 49 30

28

29

25

38

27

26

32

25 32

10 21

30 20

37

7

11

24

29

40

35

Solución: Con los datos de la tabal anterior, podemos obtener la siguiente tabla. ESTRATO A B C

nL 20 8 12

xl 33,9 25,125 19,25

sl 5,95 15,245 9,827

Nl 125 62 93

Estimamos el total poblacional: 3     N l x l  125 * 33,9  62 * 25,125  93 * 19,25  7.585,5 l 1

El total estimado de horas que utilizan para ver televisión los habitantes del distrito especial es de 7.585,5 Ahora calculamos la varianza: 2 2    (5,95) 2  125  20  2  (15, 245)  62  8  2  (9,827)   V (t )  125 2    62    93  8  20  125    62   12   V (t )  23.232,89  97.263,59  60.621,77  181.118,25 Conocida la varianza podemos hallar el límite de error de estimación.

B  Z (1

2

)

 93  12     93 

  V ( est )  1,96 181.118,25  834,136

El total poblacional oscila entre: 7.585,5  834,136 horas. Esto significa que el intervalo del total poblacional esta dado por: (6.751,364 – 8.419,636)

3. Estimador de la Proporción Poblacional: En muchos estudios el interés es analizar la proporción poblacional que presenta cierta característica. Ya hemos analizado que P tiene una distribución binomial. Para el muestreo   aleatorio estratificado:  l  N l pl es el estimador insesgado del total poblacional para el L   estrato l y  est   N L p L es el estimador del total poblacional para la característica en l 1

29

 estudio. Si dividimos  est en N se obtiene un estimador insesgado de la proporción poblacional de los elementos que tienen la característica. Entonces: 1     p est   N 1 p1  N 2 p 2  ...  N L p L  Lo que conlleva a definir un estimador para la N proporción poblacional.

1  p est  N

L

N

l

 pl

L 1

Varianza del Estimador: En la estimación de proporciones, la varianza estimada del estimador se obtiene de la siguiente manera: L             1 1 V  p est   2 N 12V ( p1 )  N 22V ( p 2 )  ...  N L2V ( p L ) Sintetizando: V  p est   2  N l2V ( pl ) , N N l 1 así podemos definir la varianza del estimador de la siguiente manera:      p q  N  n l  1 L  V  p est   2  N l2  l l  l n  1 N N l 1 l  l  





Límite de Error de Estimación: Como en los casos anteriores el límite de error de estimación para la proporción en M.A.E. se calcula conociendo el nivel de significancia.

B  Z(1

2

)

  V ( pest)

NOTA: Como se ha estudiado cuando el nivel de significancia es del 1%, el valor de la distribución Z es 2,575 y cuando el nivel es del 5%, el valor de Z es 1,96

Ejemplo 1: Siguiendo con el estudio del Distrito Especial del ejemplo de la sección anterior, se tomaron muestras en las tres ciudades y en cada una se identifico las personas que ven televisión. Veamos la siguiente tabla: ESTRATO TAMAÑO ESTRATO A B C

155 62 93

TAMAÑO MUESTRA 20 8 12

PERSONAS ENCUESTADAS VEN TELEVISIÓN 16 2 6

QUE

Estimar la proporción de personas que ven televisión en el distrito especial y el error de estimación para un nivel de significancia del 1%. Solución: Primero calculemos la proporción estimada en cada estrato:

30

16 2 6    pA   0,8 p B   0,25 pC   0,50 20 8 12 En seguida calculamos la proporción estimada de la población:

1  pest  155 * 0,80  62 * 0,25  93 * 0,50   0,60 310 La proporción de personas que ven televisión en el distrito especial es del 60%. Ahora busquemos la varianza de cada estrato para luego si hallar la varianza estimado del estimador:      p A q A  N A  n A   0,8 * 0, 2  155  20      V  p A       0,00733  n A  1  N A   20  1  155       p B q B  N B  n B   025 * 0,75  62  8      V  p B       0,0233  n B  1  N B   8  1  62       p q  N  n C   0,8 * 0, 2  155  20     V  p C    C C  C    0,0198  nC  1  N C   20  1  155  Varianza estimada del estimador:   1 V  p est   (155) 2 (0,00733)  (62) 2 (0,0233)  (93) 2 (0,0198)  0,00455 2 310 Conocida la varianza del estimador, podemos hallar el error de estimación:



B  Z(1

)

2



  V( pest)  2,575 0,00455 0,174

la proporción de personas que ven televisión es de 60% con un límite de error de estimación de 17,4%

Tamaño de Muestra en el M.A.E. A partir del estudio de la varianza, se sabe que ésta disminuye a expensas de aumentar el tamaño de la muestra. Por lo anterior es pertinente determinar un tamaño de muestra que permita obtener la información adecuada para estimar algún parámetro de la población. 1. Tamaño de la Muestra para Estimar µ: Por la teoría de estimación se sabe que la estimación del promedio esta dentro de unidades,  con un nivel de significancia dado á. Si partimos de: B  Z (1 ) V ( xest ) Para despejar n que 2

es el tamaño de la muestra, se debe conocer la relación entre nl tamaño de la muestra en el estrato l y n que es el tamaño de la muestra de todos los estratos, para l = 1, 2, 3,…, L El número de observaciones nl asignadas al l-esimo estrato es una fracción del total n. La fracción se de denota como Afijación ai con este análisis se puede definir: nl  nal para l = 1, 2, 3, …,L 2 2  s l  N l  nl     N  l  ) 2 l 1  nl  N l  Con un proceso matemático de despeje se obtiene:

A partir de: B  Z (1

1 N2

L

Sabiendo que

nl  nal

31

L



2 l

N

s l2 al

l 1

n  N

2

B

al

L

2

Z



2 (1  

2



N ls

Afijación definida para cada estrato.

2 l

l 1

)

Ejemplo 1: Siguiendo con el ejemplo de las personas que ven televisión en el Distrito Especial, se estimaron las varianzas, ESTRATO TAMAÑO VARIANZA ESTIMADA A 155 25 B 62 225 C 93 100 Con un límite de error de estimación de 2 personas, una afijación de 1/3 para cada estrato y un nivel de significancia del 5%. a-) Hallar el tamaño de la muestra total b-) Hallar el tamaño en cada estrato. Solución: L



Con la ecuación n 

N 2B

 N l2 sl2 / al  l 1

Calculamos cada término:

al

l 1

2

3

N l2 s l2 L

2

Z (21  

 2

)



N l s l2

l 1

2

(155) (25) (62) (225) (93) 2 (100)    6'991.275 1/ 3 1/ 3 1/ 3

N 2 B 2 (310) 2 (2) 2   100.062,474 Z2 (1.96) 2 3 2 l l

N s

 155 * 25  62 * 225  93 * 100  27.125

l 1

Entonces:

n

6 '991 . 275  54 ,96  54 100 . 062 , 474  27125

El tamaño de la muestra debe ser de 55 personas en las condiciones establecidas. Ahora determinados el tamaño de cada estrato. n A  na A  54 / 3  18 n B  na B  54 / 3  18 nC  naC  54 / 3  18 Como la afijación es igual para cada estrato el tamaño debe ser igual, en este caso 18 personas por estrato.

Afijación de la Muestra: En los diseños muestrales se busca obtener estimadores con pequeña varianza al menor costo posible, una vez definido el tamaño de la muestra, el siguiente paso es establecer el tamaño en los estratos n1, n2, … , nL. La afijación pretende conseguir la información adecuada pero a bajo costo. En el ejemplo anterior se definió una 32

afijación igual para todos los estratos, pero esto no siempre es práctico. La afijación esta influenciada por: 1. Número total de elementos en cada estrato N 1 N 2 ... N L 2. Variabilidad de las observaciones en cada estrato  12  22 ...  L2 3. Costos para obtener una observación en cada estrato. C1 C 2 ... C L Como el número de observaciones en cada estrato afecta la cantidad de información en cada muestra, entonces la afijación se debe hacer tal que se establezcan tamaños grandes para estratos que tiene gran cantidad de información. Por otro lado, si el costo de obtener información varía de un estrato a otro, se deben tomar muestras pequeñas en estratos donde tomar muestras origina altos costos, ya que el costo por muestreo debe ser mínimo. Por consiguiente la afijación que minimiza los costos para valores fijos de la varianza del estimador, se obtiene de la siguiente manera:

 N l l  Cl nl  n  L N   k k Ck  k 1

     

El numerador nos indica el valor de cada estrato El denominador nos indica el total para todos los estratos. N l = Tamaño del l-ésimo estrato

 l2 = Varianza del l-ésimo estrato C l = Costo de obtener una observación en el l-ésimo estrato

La ecuación deja ver que el tamaño de la muestra en el estrato l (nl) es proporcional al tamaño de la población en el estrato l (Nl) y a la desviación estándar del mismo estrato, pero inversamente proporcional a la raíz cuadrada del costo en dicho estrato. La forma de calcular el tamaño de la muestra total; es decir, en todos los estratos se hace por medio de la siguiente ecuación:

 L Nk k  L     Nl l Cl   Ck  l 1 k 1   n 2

L

N D   Nl l2

En este caso k = l. D = B2 / 4. Para un nivel de significancia aproximadamente 5%.

l 1

Ejemplo 1: Siguiendo con el caso de las personas que ven televisión en las tres ciudades del Distrito Especial, se ha establecido que el costo de obtener una observación en cada ciudad esta definida así: CA = 9, CB = 9 y CC = 16. Las desviaciones estándar están definidas como: óA = 5, óB = 15, óC = 10. Con estos datos determinar el tamaño de la muestra n y el tamaño de los estratos nl que permitan estimar con un mínimo costos el promedio de las personas que ver televisión en el distrito especial y con un límite de error de estimación de 2 personas. Solución: Primero calculemos el tamaño de la muestra.

 L N k k   Ck k 1 n  N 2D 

 L    N l l    l 1 L

N l

 Cl  

2 l

l 1

33

L

N  k

k



Ck

k 1

155 * 5 9



62 * 15 9



93 * 10 16

 800,83

L

N 

l

N 

2 l

l

l 1 L

l

C l  155 * 5 * 9  62 * 15 * 9  93 * 10 * 16  8.835  155 * 25  62 * 225  93 * 100  27.125

l 1

(2) 2  96.100 4 Reemplazando en la ecuación: N 2 D  (310) 2 *

n 

800 ,83 * 8 . 835  57 , 418  58 96 . 100  27 . 125

El tamaño de la muestra para todos los estratos es de 58 observaciones. Para hallar el tamaño de la muestra en cada estrato, calculamos las afijaciones.  155 * 5  9 n A  n  800 ,83 

    0 ,32 n  

 62 * 15  9 n B  n  800 ,83 

    0 ,39 n  

Finalmente el tamaño en cada estrato: n A  0,32 * 58  18,56  18 n B  0,39 * 58  22,62  23

 93 * 10  16 nC  n  800 ,83 

    0 , 29 n  

nC  0,29 * 58  16,82  17

2. Tamaño de la Muestra para Estimar ô: Al igual que en el caso anterior para obtener el tamaño de la muestra para estimar el total poblacional se parte del límite de error de estimación.  sl2  N l  nl   B  Z (1 )  N   2 l 1  nl  N l  Haciendo un trabajo matemático de despeje, sabiendo que nl  nal obtenemos: L

L

 n 

l 1

2 l

 N l2 s l2   al

B2  Z2

  

L

N

l

s l2

l 1

Ejemplo 1: Con el ejemplo del Distrito Especial, determinar la muestra para estimar el Total Poblacional ô, si se establece un límite de error de estimación de 400 personas, un nivel de significancia del 5% y una afijación igual para todos los estratos. Solución. De los ejemplos anteriores ya tenemos algunos datos. L L  N l2 s l2     6 ' 991 . 275 N l s l2  27 . 125    a  l 1  l 1 l 

B 2 (400) 2   41.649,312 Z 2 (1,96) 2 34

Entonces: L

 n

l 1

 N l2 s l2   al

  6 '991 . 275    101 , 65  102 41 . 649 , 312  27 . 125 2 N l sl

L B2   Z2 l 1 Como la afijación es igual, entonces el tamaño de cada estrato será: 102/3 = 34 personas por estrato.

3. Tamaño de la Muestra para Estimar P: Para la estimación de la proporción poblacional, es pertinente indicar que cantidad de información se requiere y especificar el tamaño del límite de error de estimación. Así para determinar el tamaño de la muestra con el fin de de estimar la proporción poblacional con un límite de error de estimación B, es similar a que se utiliza para la estimación del promedio   poblacional, solo que se reemplaza  2 por p * q . Entonces a partir de la siguiente ecuación:   1 L 2  p l q l  N l  n l  B  Z (1 )  N l  n  1  N  2 N 2 l 1 l  l   Haciendo un proceso matemático de despeje se llega a la ecuación del tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional.

  N l2 p l * q l

L

 n 

al

l 1 2 2

N B Z (21  

L

 2

)



  Np * q

l 1

Para determinar la afijación en los estratos que minimizan el costo para un valor fijo de la varianza del estimador se utiliza la siguiente ecuación:

Nl nl  n

L



K 1

Nl

  pl ql Cl   p*q Cl

Ejemplo 1: Con los datos de la tabla siguiente, calcular le tamaño de la muestra para estimar P, si se sume un límite de error de estimación de 0,1 y un nivel de significancia del 1% a un costo mínimo. Tamaño del Estrato Nl 155 62 93

Probabilidad pl 0,80 0,25 0,50

Costo Cl 9 9 16

Solución: Para comenzar calculemos la afijación:

35

L

  p*q

 Nl

Cl

K 1

 155

  p Aqa

Para el estrato A: N Para el estrato B: N

0,80 * 0, 20 0, 25 * 0,75 0,50 * 0,50  62  93  41, 245 9 9 16

A

CA   pBqB

B

CB   pC qC

Para el estrato C: N C

CC

 155

0 ,80 * 0 , 20  20 , 67 9

 62

0 , 25 * 0 , 75  8 , 95 9

 93

0 , 50 * 0 , 50  11 , 625 16

Entonces:  20,67   8,95   11,625  n A  n   0,50n --- n B  n   0,22n --- n C  n   0,28n  41,245   41,245   41,245  Las afijaciones son: a A  0,50 --- a B  0,22 --- a C  0,28 Conocidas las afijaciones podemos calcular el tamaño de la muestra total: L

 l 1 L



  N l2 p l * q l al   N l2 p l * q l al

l 1 L



 (155 ) 2

0 ,80 * 0 , 20 0 , 25 * 0 ,75 0 ,50 * 0 ,50  ( 62 ) 2  (93 ) 2 0 ,50 0 , 22 0 , 28

 7 .688  3 .276 ,136  7 .722 ,32  18 .686 , 4456



 N p * q  155 * 0,80 * 0,20  62 * 0,25 * 0,75  93 * 0,50 * 0,50  59 ,675 l 1

N 2B 2 ( 310 ) 2 (( 0 ,1) 2 961    144 , 947 2 2 Z (1  ) ( 2 , 575 ) 6 , 63 2

Tamaño de la muestra: L

 n 

l 1 2

N B Z (21  

  N l2 p l * q l al 2

L

 2

)



  Np * q



18 . 686 , 456  91 , 32  92 144 , 947  59 , 675

l 1

En seguida calculamos el tamaño en los estratos: n A  0,50n  0,50 * 92  46 n B  0,22 * 92  20,24  20 nC  0,28n  0,28 * 92  25,76  26 El tamaño de la muestra total debe ser de 92 personas y de los estratos será de 46 para el A, 20 para el B y 26 para el C, así se los costos serán mínimos.

36

3. Muestreo Sistemático Es utilizado por algunos contadores para revisar sumas, cuentas, inventarios, etc., por ser un método directo y económico. Consiste en seleccionar uno a uno, los elementos de la muestra en un orden determinado, dando un inicio aleatorio. La fracción de muestreo se establece por medio de la siguiente relación: N N  Tamaño de la población. f  Donde: n n  Tamaño de la muestra. Ejemplo 1 De una población de 1.000 observaciones, se desea tomar una muestra de 10, cuales serían las observaciones que harían parte de la muestra sistemática. Solución: La fracción de muestreo es: f 

N 1.000   100 n 10

El primer elemento se selecciona aleatoriamente en el intervalo cero a cien, por ejemplo seleccionando el número 25, el segundo elemento que se selecciona es 125 (25+100), luego el 225 (125+100) y así sucesivamente, hasta completar la muestra de diez. Un problema específico del muestreo sistemático es la existencia de cualquier factor periódico o cíclico en la lista de la población que pudiera conducir a un error sistemático en los resultados muéstrales. Ejemplo: Si en un hospital hay un universo de quince mil cien historias clínicas que están numeradas interrumpidamente y se desea tener una muestra equivalente al 10%, o sea, mil quinientas diez historias, ello significa que ha de tomarse una de cada 10, ya que (15.100 ÷ 1.510 = 10). La primera historia puede seleccionarse del primer grupo de 10. Si la primera historia seleccionada es la número 8 en la población, teniendo en cuenta que el ocho es un número cualquiera tomado aleatoriamente; la segunda será la 18= (8+10) la tercera será la 28 = (18 + 10), la cuarta será la 38 = (28 + 10), y así sucesivamente. La estimación y tamaño de muestra tiene un análisis similar al muestreo aleatorio simple M.A.S.

4. Muestreo por Conglomerados Este es un método de muestreo aleatorio en el que los elementos de la población se dividen en forma natural en subgrupos, de tal forma que dentro de ellos sean lo más heterogéneo posible y entre ellos sean homogéneos, caso contrario al muestreo estratificado. Este tipo de muestreo se usa en particular cuando no se dispone de una lista detallada y enumerada de cada una de las unidades que conforman el universo y resulta muy complejo elaborarla. Se le denomina así debido a que en la selección de la muestra en lugar de escogerse cada unidad se procede a tomar los subgrupos o conjuntos de unidades, a los que se llama "conglomerados". Aunque quizá por ello se tienda a creer que es lo mismo 37

que el estratificado, ambos se diferencian en que en los conglomerados los subconjuntos se dan en la vida real o ya están agrupados de esa manera; por ejemplo: Escuelas, tipos de Industrias, bloques de casas y otros. En el estratificado el investigador decide las agrupaciones que utilizará según la posible variabilidad de los fenómenos a estudiar; otra diferencia es que en este el investigador conoce la distribución de la variable, todo lo contrario que en el muestreo por conglomerado. El proceso se indica definiendo los conglomerados, después se seleccionan los subconjuntos a estudiar (o sea, que se realiza un muestreo de conglomerados); de estos seleccionados se procede a hacer el listado de las unidades que componen cada conglomerado, continuando posteriormente con la selección de las unidades que integrarán la muestra, siguiendo algunos de los métodos aleatorios indicados. Si se desea hacer un estudio en las escuelas de educación primaria sobre un determinado fenómeno, inicialmente se seleccionan las escuelas que se estudiarán, de esas escuelas seleccionadas se determinan los grados o clases que deben incluir y posteriormente se escogen los alumnos, que serán las unidades de observación, utilizando uno de los métodos aleatorios. Se estima que las inferencias que se hacen en una muestra conglomerada no son tan confiables como las que se obtienen de un estudio hecho por muestreo aleatorio. Ejemplo: Si un analista de la secretaría de salud necesita hacer un estudio de los servicios médicoasistenciales que reciben los trabajadores del área metropolitana, sería difícil obtener una lista de todos los trabajadores de la población objetivo. Sin embargo podría obtenerse una lista de las empresas y fábricas del área. Con esta lista, el analista puede tomar una muestra aleatoria de las empresas o fábricas, que representan conglomerados de trabajadores, y obtener la información de los servicios médicos que se les están prestando.

1.3 Distribución Muestral: Como se ha señalado anteriormente, el propósito del muestreo es averiguar las características de la población en estudio, y cuando se diseña una muestra por uno de los modelos dados. Una distribución muestral es una distribución de probabilidad de un estadístico, calculado a partir de una muestra aleatoria de tamaño n, elegida de manera aleatoria de una población determinada, es decir, se está interesado en conocer una o más de las siguientes características:  La forma funcional.  La media  La desviación estándar 1.3.1 Distribución Muestral de la Media: Los estadísticos obtenidos en una muestra son variables aleatorias, por lo cual deben tener una distribución de probabilidad, así que la media muestral tiene una distribución. Supongamos que se tiene una muestra aleatoria de tamaño n observaciones, tomada de una población normal N (  ,  2 ) cada observación X1 = 1, 2, 3, …, n tendrá la misma distribución que la población de donde fue tomada la muestra. 38

Teorema: ------------------------------------------------------------------------------------------------------X  X 2  ...  X n Sea X  1 la media de la muestra aleatoria de tamaño n, proveniente de una n población infinita con media  y varianza  2 . Entonces:

2 n --------------------------------------------------------------------------------------------------------E( X )  

V (X ) 

Comentario: E( X )   V (X ) 

2 n

Valor esperado de la media muestral es la media poblacional. La varianza del estimador es igual a la varianza poblacional dividida por el tamaño de la muestra.

El caso anterior es dado para cuando la población es infinita, pero se pueden presentar los casos donde se conoce la población; es decir, es finita. En estos casos se tiene el siguiente teorema.

Teorema: ------------------------------------------------------------------------------------------------------X  X 2  ...  X n Sea X  1 la media de la muestra aleatoria de tamaño n, proveniente de una n población finita de tamaño N con media  y varianza  2 .

2 N n * n N 1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------Entonces:

E( X )  

y

V (X ) 

Comentario: N n Se conoce como el factor de corrección para poblaciones finitas. Cuando N es muy N 1 grande comparado con n, la diferencia se hace despreciable lo que origina que para poblaciones infinitas dicho factor de corrección se hace uno. Ejemplo: Un Colegio tiene siete profesores, la retribución por hora cátedra es la que se muestra a continuación:

39

Salario profesores Profesor Salario $ 1 7.000 2 7.000 3 8.000 4 8.000 5 7.000 6 8.000 7 9.000 Cuadro 2.3 a). Cuál es la media de la población? Solución: Se sabe por los conocimientos de estadística descriptiva que: 1 N Para i = 1, 2, …, 7    xi N i 1 Entonces:



7000  7000  8000  8000  7000  8000  9000 54000   $7.714.3 7 7

b). Cual será la varianza de dicha población. Solución: Al igual que el caso anterior, la varianza poblacional esta dada por: 1 N  2   ( xi   ) 2 N i 1 Entonces: 1 N  2   (7000  7714.3) 2  ...  (9000  7714.3) 2  699,85 7 i 1 c). Cuál es la distribución muestral de las medias para muestras de tamaño dos? Solución: Para determinar la distribución muestral de las medias, se seleccionaron todas las muestras posibles de tamaño 2, sabiendo que son sin reemplazamiento y que no interesa el orden de selección en la población. Se calculan las medias de cada muestra y se calcula la media de las medias maestrales. Para saber cuantas muestras posibles se pueden tomar, se utiliza la combinatoria, por los preceptos tomados: Sin repetición y no importa el orden.

40

C 27 

7! 7! 7 x6 x5! 42    21 7  2!2! 5! x2! 5! x 2 2

El valor de 21, es el número de muestras tamaño 2 que se pueden formar de una población de 7 elementos. A continuación se indican las 21 muestras posibles y el valor de la media para cada una de las muestras: Muestreo sin reemplazamiento y las medias Muestra Prof. Salario 1 1 y 2 7000-7000 2

1y3

7000-8000

3

1y4

7000-8000

4

1y5

7000-7000

5

1y6

7000-8000

6

1y7

7000-9000

7

2y3

7000-8000

8

2y4

7000-8000

9

2y5

7000-7000

10

2y6

7000-8000

11

2y7

7000-9000

Media Muestra Prof. Salario 7000 12 3 y 4 80008000 7500 13 3 y 5 80007000 7500 14 3 y 6 80008000 7000 15 3 y 7 80009000 7500 16 4 y 5 80007000 8000 17 4 y 6 80008000 7500 18 4 y 7 80009000 7500 19 5 y 6 70008000 7000 20 5 y 7 70009000 7500 21 6 y 7 80009000 8000 Suma Total Cuadro 2.4

Media 8000 7500 8000 8500 7500 8000 8500 7500 8000 8500

162.000

En el cuadro siguiente se indica la distribución de probabilidad para el muestreo de medias, donde la sumatoria de todas las probabilidades es igual a uno: Distribución de probabilidad Media muestral 7000 7500 8000 8500 Suma

Número de medias 3 9 6 3 21 Cuadro 2.5

Probabilidad 0.1429 0.4285 0.2857 0.1429 1.0000

d). Cuál es la media de la distribución Muestral? 41

Solución: La media de la distribución muestral de medias, se determina sumando las diferentes medias muestrales y dividiendo la suma entre el número de muestras. La media de todas las medias muestrales en general se expresa:

X 

1 N

N

x i 1

i



Suma de medias muestrales Número total de muestras

A partir de los datos: 162.000 XX  162.000  $$77..714 714..30 30 21 21

Según lo obtenido podemos concluir: La media de la población es igual a la media de las medias muestrales.  X   Estas características se analizan en el siguiente apartado.

Distribución Muestral de Medias: Poblaciones Finitas: Las poblaciones finitas, tiene la característica de que N es conocido, al hacer la distribución muestral de las medias y muestreo sin reemplazamiento, se obtiene una gráfica de la distribución que presenta forma aproximadamente acampanada, lo cual se puede observar en la siguiente gráfica. Distribución muestral

Distribución Muestral de Medias: Poblaciones No Finitas: La gráfica de la distribución muestras de medias para poblaciones no finitas y muestreo con reemplazamiento tiene una distribución normal, tal como se puede observar a continuación: Distribución muestral de medias

42

La tercera propiedad del teorema central del límite se expresa: No importa que distribución tenga la población, pero la distribución muestral de medias a partir de esa población, tiene una distribución normal. Ejemplo: La altura media de 400 alumnos de un plantel de secundaria es de 1,50 mts. Y su desviación típica es de 0,25 mts. Determinar la probabilidad de que en una muestra de 36 alumnos, la media sea superior a 1,60 mts. Solución: Z

P( X > 1,60) = ?

1,60  1,50 0,10 0,60    2,40 0,25 0,25 0,25 6 36

Z  2,40  A0,4918

P = 0,5000 – 0,4918 = 0,0082 = 82% 1.3.2 Distribución muestral de proporciones En el análisis de una característica cualitativa o atributo, se emplea la proporción de éxitos y no el número de éxitos como en la distribución binomial. Ahora, en vez de expresar la variable en términos de éxitos (X) nos referiremos, al número de atributos en la muestra (a) y lo dividimos por el tamaño de la muestra n: p

 ai n

43

Total

A   Ai  NP población

p  P  P

P

A  Ai  N N

de

elementos

que

presentan

la

característica

en

la

Proporción de elementos que presenta la característica en la

población Q

NA  1 P N

Proporción de elementos que no presenta la característica

P Q 1 2

Varianza de la proporción en la población

 P  PQ

Desviación estándar

 p  PQ

p 

p



n

PQ n

Error estándar de la proporción

En muchos casos podemos utilizar la distribución normal para evaluar la distribución muestral de proporciones, siendo:

Z

pP



p  p

p

PQ n

Ejemplo: Cuarenta y seis por ciento de los sindicatos del país están en contra de comerciar con la China Continental;¿Cuál es la probabilidad de que en una encuesta a 100 sindicatos muestre que más del 52% tengan la misma posición? Solución: P = 0,46 Z

pP PQ n

p = 0,52 

n = 100

0,52  0,46

0,460,54



100

P(p>0,52) = ? 0,06 0,2484 100

 1,21

Z  1,21  A0,3869  0,1131 P( p > 0,52)  11,31%

44

1.3.3 Distribución muestral de diferencias de dos medias Se tienen dos poblaciones independientes identificadas la primera por X y la segunda por Y, de tamaño y , cuyas medias se simbolizan por y , y sus desviaciones típicas son y

. Se obtiene un número (M) de pares de muestras. Las medias muéstrales de la primera

población se identifican por …

;

;

…

. Y las muestras de la segunda variable por

;

;

.

Ahora, si consideramos las diferencias para cada par, la media aritmética de dichas diferencias se simbolizará por , donde:

Se puede demostrar que la media de la diferencia de todos los pares de medias muéstrales posibles, es igual a la diferencia entre las medias poblacionales

La desviación típica de las diferencias entre los pares de medias muéstrales se simboliza por:

Se puede considerar que la desviación típica de las diferencias entre los pares de medias muéstrales, denominado como error estándar de las diferencias entre las medias muéstrales, es igual a:

Siendo:

ó

Suponiendo que la distribución de diferencias entre las medias muéstrales tenga un comportamiento similar a la distribución normal, la variante estadística estará dada por la fórmula:

45

Z

x  y    x  y



x  y    x   y  2  x2  y  n1 n2

 x y

2

Se puede aplicar esta distribución cuando no se conocen las varianzas poblacionales  x y

 y 2 , las cuales pueden ser sustituidas por varianzas muéstrales s x 2 y s y 2 siempre y cuando que n1 y n 2 sean mayores que 30. Ejemplo: El rendimiento de los autos de la marca A es de 20 kilómetros por galón de gasolina, con una desviación estándar de 6 k.p.g. las cifras comparables para los autos B son de 25 y 5,5 k.p.g. se supone que el rendimiento de cada una de ambas marcas está normalmente distribuido. ¿cuál es la probabilidad de que en un concurso, el rendimiento medio para 10 autos de la marca A sea mayor que el de 9 autos de la marca B? Solución:

 x = 20

 y = 25

x= 6

 y = 5,5

n1 = 10

n2 = 9

P( x  y > 0) = ? Z

0  20  25 36 30,25  10 9



0   5 3,6  3,36



5 6,96

 1,90

Z  1,90  A0,4713

P( x  y > 0) = 0,5000 - 0,4713 = 0,0287 = 2,87%

1.3.4 Distribución muestral de diferencias de dos proporciones En el caso de dos poblaciones independientes de tamaño N 1 y N 2 , distribuidas binomialmente, con parámetros, medias poblacionales P1 y P2 (también se pueden representar las medias por  P1 y  P2 ) y desviaciones proporcionales  P1 y  P2 , siendo:

 P  P1Q1 y  P  P2 Q2 . 1

2

El error estándar de las diferencias entre las dos medias proporcionales estará dada por:

 P P  1

2

P1Q1 P2 Q2  n1 n2

Cuando son valores poblacionales

46

Cuando n1 y n 2 corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a 30: p1 q1 p 2 q 2  n1 n2

s P1  P2 

La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza por:

 P   P   P  P  P1  P2 1

2

1

2

La variante estadística Z, estará dada en la misma forma en que fue presentada para diferencias entre dos medias muéstrales:

Z

 p1  p 2    P

1

  P2

 p 

1

P1Q1 P2 Q2  n1 n2

 p 2   P1  P2 

cuando n1 y n 2 > 30

p1 q1 p 2 q 2  n1 n2

Ejemplo: Consideremos dos máquinas que producen un determinado artículo, la primera produce por término medio un 14% de artículos defectuosos, en tanto que otra, produce el 20% de artículos defectuosos; si se obtienen muestras de 200 unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, ¿Cuál es la probabilidad que difiera A de B en 8% o más? Solución: P( P1  P2  0,08 ) = ?

n1 = 200

n 2 = 100

P1 = 0,14

P2 = 0,20

 P   P = 0,14 – 0,20 = -0.06 1

2

p1  p 2 = 8% = 0,08 Z

0,08   0,06  0140,86  0,20,8  200 100



0,14  2,98 0,047

Z  2,98  A0,4986 

P( P1  P2  0,08 ) = 0,5000 – 0,4986 = 0,0014 = 0,14%

1.4 Teorema Central del Límite. En el caso de una población con media  y varianza  2 , la distribución muestral de medias de todas las muestras posibles de tamaño n a partir de la población, tendrá una distribución

47

aproximadamente normal (siendo la media de la distribución muestral igual a  y la varianza igual a (  2 / n ) considerando que el tamaño de la muestra es bastante grande. El teorema central del límite es uno de los teoremas más importantes dentro de las ciencias estadísticas, ya que su funcionalidad es muy grande. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE: Sea X1, X2,…, Xn una variable aleatoria independiente e idénticamente distribuida de una población infinita con media µ y varianza ó2. Para ó2< ∞, X  Entonces: Z  Presenta una distribución Normal estándar.  n O sea:

Z  n(0,1)

Hay que destacar aspectos importantes del teorema central de límite.



Si el tamaño de la muestra n es suficientemente grande, la distribución muestral de las medias será más o menos normal. Esto se cumple ya sea que la población esté o no distribuida normalmente. Esto es, el teorema se verifica, ya sea que la población esté distribuida en forma normal, o bien sea sesgada o uniforme. Como se mostró con anterioridad, la media de la población, , y la media de todas



las medias muestrales posibles,  x , son iguales. Si la población es grande y se selecciona un número grande de muestras de la población, la media de las medias muestrales se aproximará a la media poblacional. 2 La varianza de la distribución de medias muestrales se determina de  / n .



No existe acuerdo general sobre lo que constituye un tamaño de muestra “suficientemente grande”. Algunos estadísticos consideran que es 30; otros piensan que un número pequeño como 12 es adecuado. El ejemplo sobre los salarios por hora de todos los profesores del colegio funcionó bastante bien con una muestra de 2. Sin embargo, a menos que la población sea aproximadamente normal, los tamaños de muestra así de pequeños, por lo general no dan como resultado una distribución muestral que se distribuya normalmente. A medida que el tamaño de la muestra se vuelve cada vez más grande, la distribución de la media muestral se aproxima más a la distribución normal con forma de campana. Ejemplo. Suponga que se tiene una población conformada por 5 empleados de una empresa (N = 5), y la variable de interés es el número de años de experiencia laboral de cada empleado. Los datos de la población son: X i  1,2,3,4,5 (Muestreo sin Reemplazamiento): 1. Determine la media y la desviación estándar para la población.

48

Solución: a-) Para este caso la media poblacional se obtiene así:



1 N 1 2  3  4  5 xi  3  5 N i1

Promedio de años de experiencia por empleado. b-) La desviación estándar de la población: Primero calculamos la varianza y luego la desviación:

2 

1 N

N

 (x

i

 )2 

i 1

1 (1  3) 2  ( 2  3) 2  ...  (5  3) 2  1.999 5

Ahora extraemos la raíz cuadrado a la varianza y obtenemos la desviación estándar.   1.414

2. Seleccione ahora todas las muestras posibles de tamaño dos, sin (poblaciones finitas):

reemplazamiento

Solución: Recordemos que cuando el muestreo es sin reemplazamiento y no interesa el orden, entonces tenemos una combinatoria. C NN 

N! N  n ! xn !

Reemplazando:

C25 

5! 5! 5 x 4 x3!    10 5  2! x 2! 3!2! 3! x2

Se tiene 10 muestras posibles de tamaño dos. Las posibles muestras se indican a continuación: Posibles muestras y su media Muestra 1-2 1–3 1–4 1–5 2–3

Muestra Media Muestral X 1.5 2–4 2.0 2–5 2.5 3– 4 3.0 3– 5 2.5 4-5 Cuadro 2.6

Media Muestral X 3.0 3.5 3.5 4.0 4.5

3. Determine el promedio de la distribución muestral de medias.

49

Solución: En la segunda y cuarta columna del cuadro 2.6 están las medias de todas las muestras posibles, lo que se debe hacer es sumarlas y dividirlas por en número de medias. 1 .5  2 .0  2 .5  3 .0  2 .5  3 .0  3 .5  3 .5  4 .0  4 .5 X  3 10 Con la información anterior se logra demostrar el primer principio del teorema central del límite, que consiste en que el promedio de la población es igual al promedio de la distribución muestral de medias:    X  3 Observe que dicho principio se ha cumplido, en consideración a que el promedio de años de experiencia para la población es de tres y el promedio de la distribución muestral de medias es igual también a tres. 4. Determine la desviación estándar de la distribución muestral de medias. Solución: Como siempre primero calculamos la varianza y luego la desviación estándar. 2



2

 X     X

X

2 2 2  1.5  3  2.0  3    4.5  3.0 

10

n

 0.7499

Ahora extrayendo raíz cuadrado a la varianza, obtenemos la desviación estándar.  X  0.7499  0.8660 Observemos que la desviación estándar de la población (1.4142) es diferente a la desviación estándar de la distribución muestral de medias (0.8660), y una forma de corregir esta diferencia es mediante la siguiente igualdad:

X 

 n

N n N 1

Donde:

X Desviación estándar de la distribución muestral de medias.  Desviación estándar de la población. n Tamaño de la muestra. N Tamaño de la población. N n Factor de corrección para poblaciones finitas. N 1 Reemplazando los valores correspondientes se tiene:

50

x 

1,4142 5  2  0,8660 5 1 2

El segundo principio del teorema central del límite para poblaciones finitas se expresa: La desviación estándar de la distribución muestral de medias es igual al factor de corrección poblacional multiplicada por la relación entre la desviación estándar poblacional y la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Dicho principio queda demostrado con la relación anterior. Muestreo con Reemplazamiento: Ahora, cuando el muestreo se realiza para poblaciones finitas, y con reemplazamiento, el número de muestras posibles esta dada por:

N

n

Para N = Tamaño de la población y n = Tamaño de la muestra

Ejemplo: 1. Hallar el número de muestras posibles con reemplazamiento de tamaño dos, para el problema anterior. Solución: El número de muestras de tamaño dos es: N n  5 2  25 Número de muestras con Reemplazamiento muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Muestra Media muestral muestra 1-1 1.0 14 1-2 1.5 15 1-3 2.0 16 1-4 2.5 17 1-5 3.0 18 2-1 1.5 19 2-2 2.0 20 2-3 2.5 21 2-4 3.0 22 2-5 3.5 23 3-1 2.0 24 3-2 2.5 25 3-3 3.0 Cuadro 2.7

Muestra 3-4 3-5 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5

Media muestral 3.5 4.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

2. Determine la media de la distribución muestral de medias.

51

Solución: Con lo estudiado:

X 

1 .0  1 .5  2 .0  2 .5    4 .0  4 .5  5 .0 3 25

El primer principio se mantiene, en el sentido, que la media poblacional es igual a la media de la distribución muestral de medias. 3. Determine la desviación estándar de la distribución muestral de medias. Solución: Como ya conocemos la forma de calcular dicha desviación, procedemos: 2

X 

 X    X



1  32  1.5  32    4.5  3.02  5.0  3.02

n

25

 1.0

Observe que la desviación estándar de la población (1.4142) sigue siendo diferente a la desviación estándar de la distribución muestral de medias (1.0) La forma de corregir esta diferencia para poblaciones no finitas es mediante la siguiente igualdad:  X  Corrección para poblaciones no finitas n 1 . 41421356  1 Reemplazando en el caso que nos ocupa:  x  2 Para poblaciones no finitas, el segundo principio de teorema del límite central se expresa: La desviación estándar de la distribución muestral de medias es igual a la desviación estándar poblacional dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Ejemplo para proporciones Sobre distribución muestral por proporción. Si tenemos una población conformada por 6 personas, de las cuales 3 son fumadores y 3 no fumadoras, designando a fumadores con la letra F y a los no fumadores con F , determine: a) La proporción poblacional del número de fumadores P. b) La desviación estándar de la proporción de fumadores en la población ó p c) Tomamos muestras de tamaño dos n = 2, con reemplazamiento. d) Promedio de las proporciones muestrales E (p) = p

52

e) Desviación estándar de todas las proporciones muestrales posibles (error estándar de la proporción) ó p . Le daremos la siguiente nominación, dándole el valor de uno, a la característica de ser Fumador, y de cero al No fumador. Fumador No fumador

= =

F=1 F= 0

Población

xi

(xi -

F1 F2 F3 N1 N2 N3

1 1 1 0 0 0

(1 (1 (1 (0 (0 (0

Total

3

a) P =

b)

p

=

=

d

(xi - P)2

- 0,5) - 0,5) - 0,5) - 0,5) - 0,5) - 0,5)

= = = = = =

0,5 0,5 0,5 -0,5 -0,5 -0,5

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

P

=

P)

1,5

Proporción de fumadores = 3/6 = 0,5 = 50% i. (3 de 6 son fumadores). 1,5 = 0,25 = 0,5 6

Proporción poblacional.

Desviación poblacional

Además podemos usar la fórmula: p

=

P • Q = P(1 - P) = 0,5(1 - 0,5) = 0,25 = 0,5

c) Tomemos todas las muestras de tamaño dos n = 2 con reemplazamiento de una población de 6: F1

F2

F3

N1

N2

N3

F1

F1F1

F1F2

F1F3

F1N1

F1N2

F1N3

F2

F2F1

F2F2

F2F3

F2N1

F2N2

F2N3

F3

F3F1

F3F2

F3F3

F3N1

F3N2

F3N3

N1

N1F1

N1F2

N1F3

N1N1 N1N2 N1N3

N2

N2F1

N2F2

N2F3

N2N1 N2N2 N2N3

N3

N3F1

N3F2

N3F3

N3N1 N3N2 N3N3

Nn = 62 = 36

53

1 1 = 0,5 y P (N) = = 0,5 2 2

P (F) =

P (F o N) = 0,5 + 0,5 = 1 d) Proporción de fumadores en cada una de las muestras p. F1

F2

F3

N1

N2

N3

F1

1

1

1

0,5

0,5

0,5

F2

1

1

1

0,5

0,5

0,5

F3

1

1

1

0,5

0,5

0,5

N1

0,5

0,5

0,5

0,0

0,0

0,0

N2

0,5

0,5

0,5

0,0

0,0

0,0

N3

0,5

0,5

0,5

0,0

0,0

0,0

e) Promedio de todas las proporciones muestrales E (p) valor esperado de p .

Distribución de proporciones de muestra. Proporción N°. de Muestral p Muestras fi

p ∙ fi

p- p =d

(p - p )2

fi (p - p )2

0,0 - 0,5 = 0,5 0,5 - 0,5 = 0,0 1,0 - 0,5 = 0,5

0,25 0,00 0,25

2,25 0,00 2,25

0,0 0,5 1,0

9 18 9

0 9 9

Total

36

18

4,5

Reemplazando en la fórmula tenemos que: Óf i • p 18 p = (4.5) E (p) = p = = 0,5 Óf i 36 Error estándar de la proporción de las muestras ( ó p ) 2

p 

fi(p  p) f i

p 

4 .5  0.3536 36

54

óp = Sp El mismo resultado puede ser obtenido mediante la fórmula simplificada siguiente: P (1  P )  n

p 

ó p = 0,3536

P   Q  n



0 , 5   0 , 5  2



0 ,125  0 . 3536

:

También se puede calcular S p de la siguiente manera:  p  0,5

Sp 

p n



0,5 2



0,5  S p  0,3536 1,4142

Observación: De los resultados anteriores puede concluirse lo siguiente: 

El promedio de todas las proporciones muestrales E(p) es igual a la proporción poblacional P.



Si bien el error estándar de la proporción mide la diferencia entre todas las proporciones posibles de las muestras y la proporción poblacional, no es necesario en la práctica seleccionar todas las posibles muestras para determinar su valor. Existe un método alternativo para calcular el error estándar de la proporción muestral. óp =

óp n

=

P.Q n

ó p = Error estándar de las proporciones muéstrales

P = Proporción poblacional Q = (1 - P) n = Tamaño de las muestras



La fórmula anterior se utiliza para calcular el error estándar de la proporción en los siguientes casos: Cuando la población es infinita o indeterminada, además cuando el tamaño de la muestra sea Inferior al 10% de la población y el muestreo sea con reemplazo, es decir: n  10% N

Con el ejemplo anterior, pero considerando las muestras extraídas sin reemplazo, se obtienen las siguientes conclusiones:

55

1. El promedio de todas las proporciones muéstrales E(p) es igual a la proporción poblacional P. 2. El número total de muestras de tamaño dos se obtienen mediante la fórmula de combinaciones NCn, teniendo en cuenta que N representa la población y n al tamaño de la muestra. El error estándar de la proporción puede obtenerse directamente empleando la fórmula siguiente: óp =

P (1 - P ) n

N -n N -1

ó p = Error estándar de la proporción

N = Tamaño de la población n = Tamaño de la muestra P = Proporción poblacional

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Una población consiste en grupo edades de jóvenes con los valores siguientes: X1 X2 X3 X4

= = = =

12 años 12 años 14 años 16 años

a) Enumere todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la media de cada muestra. b) Determine el valor medio de la distribución en medias muéstrales, y la media de la población. Compare los dos valores. ó N -n c) Muéstrese que ó x = N -1 n 2. Hay una población que consiste de los cinco pacientes hospitalizados en el Hospital Rosario Pumarejo de López. El estado civil de cada uno de ellos se da a continuación. . Pacientes Estado Civil Ana Rosa

Casado

Álvaro

Soltero

Clara

Casado

David

Soltero

Elkin

Soltero 56

a) Determine la proporción de miembros casados de esta población b) Selecciónese todas las muestras posibles de 2 elementos de esta calcúlese la proporción de miembros casados en cada muestra. c) Calcúlese la media E(p) y la desviación muéstrales calcularlas en (b).

población

y

estándar ó x de las 10 proporciones

Muéstrese que óp =

( P • Q) n

( N - n) N -1

57

CAPITULO DOS 2. INTERVALOS DE CONFIANZA

Introducción. El problema que presenta la estimación puntual de un parámetro reside en que no garantiza ni mide la precisión de la estimación. Sólo la bondad de ajuste y el tamaño de la muestra pueden proporcionar una mayor o menor confianza en la estimación obtenida. Por esta razón es necesario dar, junto a la estimación, una medida del grado de confianza que se merece, la cual se consigue mediante un intervalo de confianza que proporcione unos límites dentro de los cuales se confía esté el valor desconocido del parámetro. Esta confianza de inclusión se mide mediante un porcentaje. Con frecuencia se encuentra información como la siguiente: El peso de un objeto es 104 mas o menos 2 gramos. El diámetro de un tornillo es de 8 mas o menos 0.05 milímetros. El contenido de proteínas de la carne de pollo es de 20.2 mas o menos 1%. En estos casos y otros similares se quiere indicar que la media verdadera se encuentra en algún lugar entre el intervalo. Lo anterior indica que existe la probabilidad de error en la medición y además no se puede estar absolutamente seguro que el verdadero valor se encuentre dentro del intervalo obtenido. Nótese que si el intervalo se hace más amplio aumenta la posibilidad que se incluya el verdadero valor de la media. Objetivo general. Mostrar los diferentes métodos para calcular los intervalos de confianza, a partir de muestras grandes y pequeñas, para estimar los parámetros poblacionales de una media y proporción, así como para la diferencia de medias y proporciones. Objetivos específicos.  Calcular el intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional a partir de muestras pequeñas, para una media y una proporción.  Calcular el intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional a partir de muestras grandes, para una media y una proporción.  Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias y dos proporciones.  Exponer el uso de cálculo de intervalos de confianza utilizando paquetes de Excel y SSPS.

2.1. Nociones Fundamentales. En estadística muchos problemas exigen construir conjuntos (intervalos) que contengan el verdadero valor del parámetro en estudio con una probabilidad dada generalmente alta. Si por ejemplo X representa los grados de grasa de una margarina se puede estar interesado en encontrar los límites bajos y altos aceptables para este tipo de producto; pero no se puede

58

asegurar con probabilidad de uno que el verdadero valor se encuentre entre estos dos límites, lo máximo que se puede lograr es elegir un número uno menos alfa ( 1   ) que esté muy próximo a uno (recuerde que alfa es el nivel de significación o error tipo uno) tal que la probabilidad que el verdadero valor se encuentre entre estos dos límites inferior y superior sea mayor o igual a uno menos alfa. En la práctica se elige un alfa fijo (á) generalmente pequeño 0.01 o 0.05. La probabilidad que la afirmación del intervalo incluya al parámetro sea cierta es por lo menos (1   ) ; por lo tanto la probabilidad que la afirmación sea falsa es por lo más un alfa. Un intervalo de confianza dado que incluya o no el verdadero valor del parámetro, esto nunca se conoce con exactitud al menos que se conozca el parámetro, pero se sabe que se tendrá éxito en encontrar el valor verdadero del parámetro dentro de este tipo de intervalos por lo menos en el (1   ) 100% de las veces. Los dos tipos de problemas que resuelven las técnicas estadísticas son: estimación y contraste de hipótesis. En ambos casos se trata de generalizar la información obtenida en una muestra a una población. Estas técnicas exigen que la muestra sea aleatoria. En la práctica rara vez se dispone de muestras aleatorias, por la tanto la situación habitual es la que se esquematiza en la figura.

Entre la muestra con la que se trabaja y la población de interés, o población diana, aparece la denominada población de muestreo: población (la mayor parte de las veces no definida con precisión) de la cual nuestra muestra es una muestra aleatoria. En consecuencia la generalización está amenazada por dos posibles tipos de errores: error aleatorio que es el que las técnicas estadísticas permiten cuantificar y críticamente dependiente del tamaño muestral, pero también de la variabilidad de la variable a estudiar y el error sistemático que tiene que ver con la diferencia entre la población de muestreo y la población diana y que sólo puede ser controlado por el diseño del estudio.

2.1.1 Teoría de Estimación El proceso de estimación conlleva a obtener un estimador que tenga ciertas condiciones deseables para hacer inferencia sobre el modelo de probabilidad que ha generado los datos. Entre los métodos de estimación de la estadística parametrica, se tiene: Momentos, mínimos

59

cuadrados y máxima verosimilitud. En temáticas posteriores se analizará lo referente a la estimación Propiedades de un estimador: El concepto de estimación de parámetros mediante la especificación de las propiedades que deben cumplir los estimadores y el desarrollo de técnicas apropiadas para implementar el proceso de estimación. Se utilizará el punto de vista práctico de la teoría del muestreo, que considera un parámetro como una cantidad fija pero desconocida. Para evaluar la calidad de un estadígrafo como un estimador este debe cumplir las siguientes propiedades: 1. Insesgado: El término in sesgado se refiere al hecho de que una media muestral es igual a un estimador no sesgado de la media de una población, porque la media de la distribución muestral de las medías muestrales tomada de esa misma población es igual a la media de la población. Se puede decir que un estadígrafo es un estimador no sesgado, si en promedio tiende a asumir valores por encima de los valores que se están estimando, tan frecuentes como tienda a asumir valores que están por debajo del parámetro de la población que se estima. 2. Eficiencia: La eficiencia se refiere al tamaño del error estándar del estadígrafo de la muestra. Si se comparan dos estadígrafos de una muestra del mismo tamaño y se desea decidir cuál de los dos es el estimador más eficiente, se escogerá el estadígrafo que tenga el menor error estándar o desviación de la distribución muestral. Supóngase que se escoge una muestra de un tamaño dado y se decide cuando usar la media muestral o la mediana muestral para estimar la media de la población. Si se calcula el error estándar de la media muestral y se encuentra que es igual a 2.15 y luego se calcula el error estándar de la mediana muestral y se encuentra que es de 2.6, se podrá decir que la media muestral es un estimador más eficiente de la media de la población porque su error estándar es menor o con menos variación, tendrá una mayor oportunidad de producir un estimador más cercano al parámetro de la población bajo estudio. 3. Consistencia: Un estadígrafo es un estimador consistente de un parámetro de la población si en la medida en que el tamaño de la muestra aumenta se está seguro de que el valor del estadígrafo se acerca al valor del parámetro de la población. Cuando un estimador es consistente, se vuelve más confiable tomando muestras grandes. De esta manera, cuando usted se preocupa por aumentar el tamaño de la muestra para obtener más información acerca de un parámetro de la población, debe primero encontrar si su estadígrafo es un estimador consistente, si no es así, usted desperdiciará dinero y tiempo al tomar muestras grandes.

60

Estimación de la Media Poblacional: Al seleccionar una muestra aleatoria por M. A. S. sin reemplazamiento y pesos iguales, se tiene: 1 n X   xi n i 1 A partir de este planteamiento se tiene que la media muestral es un estimador insesgado de mínima varianza de la media poblacional. Entonces:

E( X )   Demostración: A partir de las propiedades del valor esperado: 1 n  1  n  1 n  E ( X )  E   xi   E   xi     E ( xi )   n i 1  n  i 1  n  i 1  1 n  1 n 1   E ( xi )     i  ( n )   n  i 1 n  n i 1 Varianza del Estimador: El valor de X indicaría muy poco sobre  al menos que se evalúe la bondad del estimador, lo que se hace por medio de la varianza del estimador, la cual nos indica el grado de variabilidad que tiene dicho estimador, así un estimador con varianza pequeña tiene más valor que un estimador con varianza grande. Cuando se desea hallar la varianza del estimador y se conoce la varianza poblacional, la ecuación que nos permite hacer dicho cálculo es: V (X ) 

2  N n   n  N 1 

N es el tamaño de la población, n es el tamaño de la muestra, ó2 es la varianza poblacional. Cuando no se conoce la varianza poblacional, ésta se estima por medio de la varianza muestral S2. S2 

1 n ( xi  x ) 2  n  1 i 1

Por definición: E ( S 2 ) 

N 2 N 1

Con estos argumentos, se puede determinar la varianza estimada del estimador:

 S2  N n V (X )    n  N 

En la ecuación: N n Es el factor de corrección para poblaciones finitas, se puede N

61

despreciar si

N n N  0,95 o cuando n N 20

Para poblaciones infinitas:  S2 V (X )  n

Ejemplo 1: Sea la población compuesta por los elementos U = (2, 4, 6, 8) Hallar los parámetros µ y ó2. Solución: Solucionémoslo por el principio del valor esperado.   E ( x)   xp( x) Como x = 2, 4, 6, 8 entonces: p(x) = ¼ así: 4

   xi p ( xi )  2(1 / 4)  4(1 / 4)  6(1 / 4)  8(1 / 4)  1 / 2  1  3 / 2  2  5 i 1

Ahora la varianza: 2

2

n

  V ( x )  E ( x   )   ( xi   ) 2 p ( x i ) i 1

Reemplazando: n

 2  V ( x)   ( xi   ) 2 p( xi )  (2  5) 2 (1 / 4)  (4  5) 2 (1 / 4)  (6  5) 2 (1 / 4)  (8  5) 2 (1 / 4) i 1

2

  V ( x)  9 / 4  1 / 4  1 / 4  9 / 4  5 Ejemplo 2: Utilizando muestras de tamaño 2 sin reemplazamiento hallar E ( x )  

y V (x)

Solución: Como la población tiene 4 elementos y se requieren muestras de dos si reemplazamiento, entonces: 4!  6 Muestras posibles, cada una tendrá como probabilidad 1/6 4 C2  2!(4  2)!  x MUESTRA P(xi) S2 V (x ) n1 = 2, 4 1/6 3 n2 = 2, 6 1/6 4 n3 = 2, 8 1/6 5 n4 = 4, 6 1/6 5 n5 = 4, 8 1/6 6 n6 = 6, 8 1/6 7 Veamos cómo fueron los cálculos:

2 8 18 2 8 2

1/2 2 9/2 ½ 2 1/2

62

 24 1 242 1  3 ----- s 2  ( 2  3) 2  ( 4  3) 2  2 ----- V ( x )    2 2 1 2 4  2 Ahora si podemos calcular la media y la varianza.



x1 



4

E ( x )   xi p ( xi )  3(1 / 6)  4(1 / 6)  5(1 / 6)  5(1 / 6)  6(1 / 6)  7(1 / 6)  5 i 1

n

V ( x )  E ( x   ) 2   ( xi   ) 2 p ( x i ) i 1

Reemplazando: V ( x )  E ( x   ) 2  (3  5) 2  ( 4  5) 2  (5  5) 2  (5  5) 2  (6  5) 2  (7  5) 2 (1 / 6) 





5 Si 3

utilizamos la ecuación de varianza del estimador tenemos:  2  N n 542 5 V (x)      n  N 1  2  3  3 Vemos que la varianza calculada por el principio de valor esperado es igual a la obtenida por la ecuación de varianza del estimador. Con lo anterior lo que se esta mostrando es que:  2  N n E (x )   y V ( x )    n  N 1  2.3. Estimación por Intervalos. En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada. La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza . Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- = 95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con = 10% o = 1%. 2.3.1. Intervalos de confianza para medias con muestras pequeñas ( n  30 ) La inferencia de la distribución muestral de la media en muestras grandes es una curva normal. Con mucha frecuencia la varianza se desconoce ó 2 en los problemas de la vida real. Cuando se desconoce la varianza el estadígrafo z ya no puede utilizarse para obtener intervalo de confianza. Parece lógico desarrollar procedimientos en los cuales se utilice S 2 en lugar de ó 2 , de esta manera en lugar del estadígrafo z utilizaremos el tn1 para deducir inferencias acerca de la media. Si la media de la población es ì la distribución muestral de t n-1 es una distribución t, teniendo en cuenta que las observaciones, x1, x2, x3,… xn son elegidas aleatoriamente y extraídas de una población normal.

Entonces, queda claro que cuando las muestras son pequeñas la distribución muestral es la distribución t. Esta se caracteriza porque es más puntual que la distribución normal, reuniendo mayor proporción de casos en los extremos de la curva a diferencia de la distribución normal.

63

La distribución t a medida que el tamaño de la muestra "n" aumenta, tal distribución t se va pareciendo más a la normal, de tal modo que cuando n > 30 no existen diferencias entre la distribución normal y la distribución t. Entonces, cuando n < 30 existe una curva diferente para cada valor de "n". Grados de libertad. Números de elementos en una muestra que pueden variar después de haber seleccionado cierto número de ellas. Supóngase que existen dos elementos en una muestra y se conoce la media. Se tiene libertad para especificar sólo uno de los dos valores, ya que el otro queda determinado automáticamente; queda claro que el total de los dos valores es dos veces la media. En general, para la distribución t de Student, se puede decir que el número de grados de libertad es igual al tamaño de la muestra o número de datos menos uno, es decir: g.l = tn-1 Pasos para la construcción de un Intervalo de confianza para la media ì, muestras pequeñas. 1. Determinar el nivel de confianza al que vamos a trabajar. 2. Obtener los grados de libertad g • 1 = n - 1 3. Calcular el valor t correspondiente al nivel de confianza fijado con grados de libertad y con ayuda de la tabla del anexo. 4. La tabla se divide en 10 columnas. La primera indica los grados de libertad, y las siguientes columnas corresponden a los niveles de significancía que son 0.5, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.010, 0.005 y 0.001 5. De esta manera para un valor t correspondiente a un nivel de significancía del 10% y 18 grados de libertad hay que buscar la intersección de la columna del 10% y de la fila 18 g • 1, obteniendo un valor de t = 1.734 6. Calcular el error típico de la media y determinar el error muestral 7. Determinar el intervalo de confianza para la media de la población, sumando y restando a la media de la muestra ( x ) el error muestral así:  S  X  t   n

con n – 1 grados de libertad y el valor de t depende del nivel de confianza. Ejemplo Una muestra de 10 cajas de atún dio un peso neto medio de 184 gramos y una desviación estándar de 3.0 gramos. Encontrar los límites de confianza con un 95% para el verdadero peso promedio de todas las latas de atún. La siguiente grafica nos ayuda a comprender la presente situación:

64

Figura: Intervalo de confianza para pequeñas muestras

En la tabla de la distribución t con 9 grados de libertad y un nivel de significancia del 10% para dos colas, se registra un valor de 2.26 como valor crítico. El intervalo de confianza para la media de peso de todas las cajas de atún esta dado por:  S   3 .0  X  t   184  2.26   184  2.14  n  10 

Se interpreta que las cajas de atún tienen un promedio de peso entre 181.86 y 186.14 gramos con un nivel de confianza del 95% y expresado matemáticamente es:

P181.86    186.14  0.95

2.3.2. Intervalos diferencias de medias con varianzas desconocidas pero iguales: (

=

)

Cuando las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente una prueba estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes. Para realizarlo debemos hacer uso de la distribución F, bien sea mediante el cálculo de la probabilidad de que la muestra tomada provenga de dos poblaciones con varianzas iguales, o mediante el uso de un intervalo de confianza para la relación de dos varianzas, según se estudiará más adelante. Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las varianzas son iguales, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente: a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 - µ2 será T = ,

que

es

un

estimador

suficiente.

65

b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida como:

donde

es un estimador combinado de ², mejor que

por separado, y

c) Para calcular el intervalo de confianza se debe tener en cuenta la siguiente probabilidad:

De nuevo, manipulando la expresión anterior en forma similar a los casos se llega al siguiente teorema que nos define el intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias µ1 - µ2 con varianzas desconocidas ²1 y²2, pero iguales: Teorema. Si son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un intervalo de confianza del 100(1-)% para la diferencia entre medias µ1 µ2 es:

Ejemplo. La siguiente tabla presenta los resultados de dos muestras aleatorias para comparar el contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos.

Suponiendo que los conjuntos de datos provienen de muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas desconocidas, construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia real de nicotina de las dos marcas. 66

Solución. Inicialmente mediante la distribución F debemos verificar si las varianzas son iguales

Buscando en la tabla de la distribución F para 7 grados de libertad en el numerador y 9 en el denominador, vemos que el valor de la probabilidad está entre 0.10 y 0.25 (aproximadamente 0.19, mediante interpolación lineal). Como esta probabilidad es muy alta, concluimos que no hay evidencia para rechazar la hipótesis de que las varianzas sean iguales. Como

las

varianzas

son

iguales,

calculamos

que

está

dado

por: El

intervalo

de

confianza

del

95%

está

dado

por

(t0.025,16

=

2.12):

Debido a que la diferencia real puede ser cero, no se puede concluir que existe una diferencia en el contenido de nicotina de las dos marcas de cigarrillos. Ejercicio. El gerente de una refinería piensa modificar el proceso para producir gasolina a partir de petróleo crudo. El gerente hará la modificación sólo si la gasolina promedio que se obtiene por este nuevo proceso (expresada como un porcentaje del crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso. Con base en experimentos de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso en uso es de 24.6 con una desviación estándar de 2.3, y para el proceso propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7. El gerente piensa que los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. Con base en esta evidencia, ¿debe adoptarse el nuevo proceso? 2.3.3. Intervalos para diferencias de medias y varianzas desconocidas y desiguales ó²1≠ó²2 Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las varianzas son diferentes, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente: a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 - µ2 será T = , que es un estimador suficiente 67

b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida como:

donde c) El intervalo de confianza esta dado por el siguiente teorema, basado en la distribución t con n grados de libertad. Teorema. Si son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas y desiguales, entonces un intervalo de confianza aproximado del 100(1-)% para la diferencia entre medias µ1 µ2 es:

Problema. Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos procesos. Para cada metal se seleccionan 12 ejemplares y cada uno de éstos se somete a una tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los ejemplares, en kilogramos por centímetro cuadrado:

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 95 y 99% para la diferencia entre los dos procesos. Interprete los resultados. 2.3.4. Intervalos de confianza para la Media con muestras grandes n  30 . Recordemos que para obtener un intervalo de confianza se procese como sigue: 1. Se determina el riesgo de error que se quiere asumir al afirmar que el parámetro (en este caso la media) se encuentra en el interior del intervalo. 2. El intervalo de confianza se obtiene separando a izquierda y derecha de la estimación del parámetro (en este caso la media) un múltiplo de error estándar ( ) . El múltiplo está determinado por el valor del estadístico Z asociado al n nivel de confianza escogido. Para la construcción del intervalo de confianza para la media poblacional ì, se han fijado los siguientes pasos:

68

1. Fijar el nivel de confianza 1 - á 2. Calcular la estandarización z de acuerdo al nivel de confianza predeterminado a través de la tabla de la distribución normal N (0,1) 3. Calcular la media x y desviación típica S de la muestra. 4. Calcular el error típico de la media (desviación típica de la distribución muestral) 5. Calcular el error muestral 6. Construir el intervalo de confianza, sumando y restando a la media de la muestra ( x ) el error muestral. Suponga por ejemplo que Ud. está dispuesto a aceptar un riesgo de error de   0.05 ; entonces 1    0.95 , luego se trata de un intervalo de confianza del nivel 0.95. Dado que esta probabilidad se distribuye simétricamente a los dos lados de la media, se obtiene 0.475 a cada lado. Ahora bien, el valor de Z asociado a una probabilidad de 0.475 es de 1.96 (de acuerdo a la tabla de la distribución normal) a la derecha de la media y de –1.96 a la izquierda, como se puede apreciar el la siguiente grafica: Figura: Intervalo de confianza para grandes muestras

El intervalo de confianza está dado por la siguiente relación:         X  1.96 n ; X  1.96 n       Expresado en forma generalizada, para poblaciones infinitas o si se muestrea sin    reemplazamiento una población finita, la relación es: X  1.96 n   

Si la población es finita o si se muestrea sin reemplazamiento una población finita, la relación es la siguiente:

   N  n  X  Z   n  N  1 

69

Recuerde que Z depende del nivel de confianza que se fije y que si la desviación estándar poblacional   es desconocida, se utiliza como estima la desviación muestral (S). Podrá darse cuenta las semejanzas con los procedimientos utilizados para las pruebas de hipótesis, vistas anteriormente para pruebas unilaterales y bilaterales. Ejemplo El contenido de proteínas de una muestra de 100 pollos criados en una determinada granja dio una media de 20.2 gramos con una desviación estándar de 1.14 gramos. Obtener el intervalo de confianza del 99% para el contenido medio de proteína de todos los pollos de la granja. Solución: Como el intervalo de confianza se distribuye simétricamente a los dos lados de la media, en este caso a cada lado le corresponde una probabilidad de 0.495 (0.99/2 = 0.495). El valor de Z asociado a una probabilidad de 0.795 es 2.58. El intervalo para la media será:     1.14  X  Z   20.2  2.58   20.2  0.294  n  100 

El contenido medio de proteína de toda la población de pollos de la granja esta dentro de un intervalo de 19.91 y 20.49 gramos con un nivel de confianza del 99%, y se expresa de la siguiente forma:

P19.91    20.49  0.99 Ejemplo: Se toma una muestra al azar de 40 vasos de kumis de un lote de 500, dieron un promedio de 76 calorías por cada 100 gramos con una desviación estándar 2.9 calorías. Obtener el intervalo de confianza del 95% para el contenido medio de calorías para todo el lote. Solución: Nótese que se trata de una población finita y muestreo sin reemplazamiento. El valor de Z asociado a un nivel de confianza del 95% es 1.96 (0.95/2 = 0.475) de acuerdo a la tabla de la distribución normal. El intervalo de confianza en este caso está dado por:    N  n   2.9  500  40   76    76  0.87 X  Z    499   n  N  1   40 

Por tanto el contenido medio de calorías del lote esta dentro del intervalo de 75.13 y 76.87 calorías con un 95% de nivel de confianza, y expresado matemáticamente es:

70

2.3.5. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias. El intervalo de confianza para la diferencia de medias de poblaciones infinitas está dado por:

X1  X 2  Z

 12  22  n1 n2

Ejemplo: Se analizó el contenido de vitamina A de una muestra de mantequilla y de una muestra de margarina enriquecida. En la muestra de mantequilla formada por 40 potes de 100 gramos, el contenido medio de vitamina A fue de 4.86 unidades con una desviación estándar de 0.06. En la muestra de margarina enriquecida formada por 50 potes de 100 gramos el contenido medio de vitamina A fue de 5.0 unidades con una desviación estándar de 0.08 unidades. Encontrar el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de contenido medio de vitamina A para el experimento en mención. Solución: Generalmente el mayor valor de la media se toma como X 1 . El nivel de confianza del 95% corresponde un Z = 1.96. Aplicando la fórmula se tiene:

X1  X 2  Z

 12  22 0.082 0.062   5.0  4.86  1.96  n1 n2 50 40

0.14  1.96 0.000128  0.00009  0.14  0.029

Por lo tanto se puede afirmar con un nivel del 95% que la diferencia de los dos contenidos de vitamina A de la mantequilla y la margarina enriquecida se encuentran entre 0.111 y 0.169 unidades. 2.3.6. Intervalos de confianzas para diferencias entre dos medias con muestras relacionadas o dependientes. Cuando se comparan las medias de dos niveles es deseable que las observaciones dentro de cada nivel sean lo más homogéneas posibles. Si existe un efecto debido a factores externos éstos pueden neutralizarse mediante la aplicación del principio de la aleatoriedad. Esto se logra tomando las observaciones en pares. Se supone que las condiciones exteriores son las mismas para cada par, pero pueden variar de un par a otro. Por ejemplo, suponga que se tiene un grupo de personas que se someten a una dieta para reducción de peso, y para cada persona se lleva el registro del peso, en kgs, antes de la dieta, y un tiempo razonable después de haber empezado la dieta. En este caso, el peso de cada persona después de la dieta no es independiente del peso de la misma persona antes de la dieta; por lo tanto estas dos variables están correlacionadas, y si se quiere examinar el efecto de la dieta, se debe llevar el registro del peso para la misma persona antes y después de la dieta.

71

Sean (X11, X21), (X12, X22),...(X1n,X2n) los datos consistentes de n pares; supondremos que las variables aleatorias X1 y X2 tienen medias µ1 y µ2, y varianzas , respectivamente. Podemos suponer que el conjunto de datos apareados son observaciones de un conjunto independiente de parejas de variables aleatorias provenientes de una distribución normal bivariada (X1 X2) ~f(X1, X2), y que las diferencias D = X1 - X2 se distribuyen normalmente

con

valor

esperado

D

y

varianza

.

Sea Dj la diferencia entre las variables aleatorias del j-ésimo par, es decir, Dj = X1j-X2j. El valor esperado y la varianza de la diferencia entre las variables está dado por:

Si las variables X1 y X2 se distribuyen normalmente, las diferencias estarán distribuidas también

de

manera

normal

con

media

µD

y

varianza

Para estimar la media y la varianza de la diferencia, se debe tomar una muestra aleatoria de tamaño n, antes y después, calcular la diferencia, y luego la diferencia promedio y la varianza muestral de las diferencias, como se ilustra en el siguiente cuadro.

Dada la muestra aleatoria se calculan los siguientes estadísticos que servirán para estimar la media y la varianza de la diferencia,

, respectivamente:

Sabemos que la siguiente variable aleatoria sigue una distribución normal estándar:

Sin embargo, como no es conocido, lo podemos estimar mediante la varianza muestral , en cuyo caso la siguiente variable aleatoria sigue una distribución t con n-1 grados de 72

libertad. Usando la distribución t podemos calcular el intervalo de confianza para la media de observaciones pareadas, el cual está dado por el siguiente teorema. Teorema. Si son la media y la desviación estándar muéstrales de la diferencia de n pares aleatorios de mediciones normalmente distribuidas, entonces un intervalo de confianza del 100(1-)% para la diferencia de medias µD = µ1 -µ2 es:

Ejemplo: Se está investigando la utilidad de dos lenguajes de diseño para mejorar las tareas de programación. Se le ha pedido a 12 programadores expertos, familiarizados con los dos lenguajes, que codifiquen una función estándar con ambos lenguajes, y se registra el tiempo requerido, en minutos, para realizar estas dos tareas. Los datos obtenidos son los siguientes:

Encuentre un intervalo de confianza para la diferencia en los tiempos medios de codificación. Use un nivel de confianza del 95%. Existe alguna evidencia que indique una preferencia por alguno de los dos lenguajes? Tenemos que: está dado por:

. El intervalo de confianza

Dado que la diferencia puede ser cero, se concluye que no hay evidencia para rechazar la hipótesis de que ambos lenguajes requieren el mismo tiempo de programación, y por lo tanto no hay preferencia por ninguno de los dos lenguajes.

P75.13    76.87  0.95

73

2.3.7. Intervalo de confianza para proporciones. Recuerde las propiedades de la distribución binomial y de las pruebas de hipótesis vistan anteriormente. El intervalo de confianza para la proporción de la población infinita y muestreo con reemplazamiento está dada por:

PZ

PQ n

En tanto que el intervalo de confianza para la proporción de la población finita y muestreo con reemplazamiento está dada por:

PZ

PQ n

N n N 1

donde el valor de Z depende del nivel de confianza deseado. Ejemplo: De un lote de 500 frascos de jugo se extrae una muestra de 50 frascos de los cuales 43 cumplen con las especificaciones exigidas y 7 fueron rechazados. Hallar el intervalo de confianza del 95% para la proporción de frascos de jugo aceptados del lote de estudio. Solución: Para un nivel de confianza de 95% el valor de Z = 1.96 (tabla de distribución normal) Aplicando la fórmula se tiene: P  Z

PQ n

 0 . 86  1 . 96

N  n 43   1 . 96 N 1 50 ( 0 . 86 )( 0 . 14 ) 50

 0 . 86  1 . 96 0 . 049

0 . 95  

43 50 1  43 50  50

500  50 500  1

450 499 0 . 86  0 . 09

Con un nivel de confianza del 95% la proporción de frascos aceptados fue de 0.77 y 0.95, es decir el nivel de aceptación está entre 380 y 480 frascos de lujo de un lote de 500 frascos 2.3.8. Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones. El intervalo de confianza para la diferencia de proporciones de poblaciones infinitas está dado por:

P1  P2  Z

p1q1 p2 q2  n1 n2

74

Ejemplo: En un supermercado se vende queso de dos marcas diferentes. En el mismo período de tiempo se vende 380 de un total de 500 unidades de la marca A y 333 de un total de 450 unidades de la marca B. Hallar el intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las proporciones de los quesos A y B que salen al mercado y se venden. Solución: Aplicando la formula de la diferencia de proporciones se tiene:

P1  P2  Z

 380  120   333  117        p1q1 p2 q2 380 333 500  500   450  450       2.58  n1 n2 500 450 500 450

 0.76  0.74  2.58

(0.76)(0.24 (0.74)(0.26)   0.02  0.073 500 450

Por lo cual es de esperar con un nivel de confianza del 99% que la verdadera diferencia de proporción de venta de los quesos A y B se encuentre entre –0.053 y 0.093. La diferencia de proporción negativa del límite inferior del intervalo indica que en esta región la diferencia está a favor del queso B cuya proporción de venta es menor en las muestras estudiadas.

2.3.9. Intervalos de confianza para la varianza poblacional. Para ver cómo se aplica un intervalo de confianza para la varianza poblacional, suponga que se está interesado en estimar la varianza poblacional para el mecanismo de llenado de tal modo que la media de la cantidad de llenado sea de 16 onzas y es crítica la varianza de los llenados. Para el efecto se toma una muestra de 20 envases llenos y se encuentra que la varianza de las cantidades de llenado es s 2  0.0025 Sin embargo, no se puede esperar que esa varianza que procede de una muestra de 20 envases, proporcione el valor exacto de la varianza de la población de recipientes llenos con dicho producto. En consecuencia el interés está es determinar un estimado de intervalo de la varianza poblacional. Se utiliza el símbolo 2 para representar el valor de la distribución ji cuadrado que da como resultado un área, o probabilidad, de  a la derecha del valor ji cuadrado establecido. Por ejemplo en la siguiente figura, se observa la distribución ji cuadrado con  02.025  32,8523 que indica que el 2.5% de los valores de ji cuadrado esta a la derecha de 32,8523, y  02.975  8,90655 que indica que el 97.8% de los valores de ji cuadrado esta a la derecha de 8,90655. Consultan con la tabla del anexo “G” que hace relación a la tabla de distribución de ji cuadrado, los resultados son iguales. En la gráfica se puede observar que 0.95 o el 95% de los valores de la ji cuadrada están entre  02.975 y  02.025 . Significa esto que existe una probabilidad del 95% de obtener un valor de

 2 tal que:

75



2 0.975

 n  1S 2  

2

  02.025

Esta ecuación define un estimado de intervalo, porque el 95% de todos los valores posibles de n  1S 2 se encuentran en el intervalo de  2 a  2 . 0 , 975 0.025 2 Figura: Distribución ji cuadrado con 19 grados de libertad

Ahora se requiere llevar a cabo algunas operaciones algebraicas de la ecuación, para determinar un estimado de intervalo de  2 de la varianza poblacional. Realizando operaciones del extremo izquierdo de la ecuación se tiene:

 02.975 

n  1S 2 2

2 despejando la varianza se tiene:  

n  1S 2  02.975

realizando operaciones semejantes con la desigualdad del extremo derecho de la ecuación se tiene:

n  1S 2  02.025

2

despejando la varianza se tiene:

2 

n  1S 2  02.025

Por último combinando los resultados de las operaciones se llega a:

n  1S 2  02.025

2 

n  1S 2  02.975

Esta relación representa el estimado del intervalo de confianza para la varianza  2 . Ejemplo. Regresando al problema para determinar un estimado de intervalo de la varianza poblacional de las cantidades de llenado, recuerde que la muestra es de 20 envases que presenta una varianza de S 2  0.0025 . Con un tamaño de muestra de 20, los grados de libertad son de 19. En la figura presentada anteriormente, se determina que  02.975  8,90655 y  02.025  32,8523 . Con dichos valores, reemplazando en la ecuación del intervalo para la varianza poblacional se tiene: 76

20  10.0025   2  20  10.0025 32,8523

8,90655

O sea que el intervalo se encuentra dentro de los límites: 0.0374   2  0.0728 . Con lo anterior se ha ilustrado el proceso de aplicar la distribución ji cuadrado para establecer estimados de intervalo de una varianza y de una desviación estándar de una población. Específicamente observe que como se usó  02,975 y  02.025 el estimativo tiene un coeficiente de confianza de 0.95. Cuando la ecuación se amplia a un caso general de cualquier coeficiente de confianza, el estimativo del intervalo de confianza es:

n  1S 2 2

2

2 

n  1S 2  21  2

En donde los valores de  2 se basan en una distribución ji cuadrado con (n-1) grados de libertad, y en donde 1    es el coeficiente de confianza.

EJERCICIOS COMPLEMENTARTIOS 1. Una investigación efectuada a 400 familias de clase medias, reveló que un 62% de sus ingresos anuales son utilizados para servicios de salud. Determinar los límites de confianza del 99% 2. En una muestra de 14 observaciones que tienen una media de 34.86 y una desviación estándar de 4.23, encuentre los límites que en el 95% de los casos permiten acertar al afirmar que la media poblacional queda incluida entre ellos. 3. Un laboratorio químico desea estimar la reacción promedio de mercurio utilizadas en un medicamento. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para garantizar que habrá un riesgo de solo 0.001 de sobrepasar un error de 5mm o más en la estimación? La desviación estándar de la reacción se estima en 50mm 4. Un sondeo efectuado a 400 familias de clase media reveló un gasto trimestral promedio de $ 374.000 en productos de salud, con desviación de $80.000. a) Determine un intervalo de confianza del 95% b) ¿Cual es el máximo error, cuando se afirma que dicha media es de $374.000 con una confianza del 99%?

77

UNIDAD DOS

PRUEBAS DE HIPÓTESIS, ANÁLISIS DE VARIANZAS Y ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS

78

CAPITULO TRES 3. PRUEBAS DE HIPÓTESIS Introducción. En casos relacionados con situaciones especiales en las cuales se desea comprobar la efectividad de estándares preestablecidos, la técnica de prueba de hipótesis resultaba bastante apropiada, por cuanto permite comprobar con bastante certeza el grado de acierto en la fijación de éstos. Una hipótesis estadística se define como un supuesto hecho sobre algún parámetro de la población. Por ejemplo, los siguientes enunciados podrían ser tomados como hipótesis: - El ingreso promedio de los trabajadores de la fábrica es de $X. - El rendimiento promedio de los empleados de dos fábricas es diferente. - El promedio de duración de las bombillas es de 1.000 horas. - El promedio de duración de las llantas es de 100.000 kilómetros. Ya se ha recabado en muchas ocasiones, que el objetivo es tomar muestras para extraer alguna conclusión o inferencia sobre la población y que el único objetivo de examinar muestras, es que las poblaciones suelen ser demasiado grandes y costosas de estudiar. Objetivo general. Contrastar la validez de una hipótesis o conjetura que se haya planteado en relación con una situación determinada de la empresa, analizando errores estadísticos posibles en las pruebas de hipótesis Objetivos específicos.      

Examinar que se entiende por hipótesis y qué por prueba de hipótesis. Describir los pasos que se siguen para demostrar una hipótesis. Describir los errores estadísticos que se pueden presentar. Realizar pruebas en relación con una y dos medias poblacionales, con una y dos colas. Realizar pruebas con una y dos proporciones poblacionales. Realizar pruebas de hipótesis para datos que se encuentran en una escala nominal u ordinal con aplicación de la distribución chi cuadrado.

3.1. Nociones Fundamentales. La prueba de hipótesis consiste en aplicar técnicas estadísticas que permitan aceptar o rechazar una hipótesis. Este procedimiento se conoce como contraste de hipótesis. Las pruebas de hipótesis utilizan un procedimiento de cinco pasos, los cuales se mencionan a continuación: 1. Plantear las hipótesis nula y alternativa. 2. Determinar el nivel de significancia. 3. Estimar el valor estadístico de prueba. 4. Establecer la regla de decisión.

79

5. Tomar la decisión.

3.1.1 Tipos de pruebas. En la prueba de investigación, o de validez de una afirmación, se conocen las siguientes clases de pruebas:  Pruebas para grandes muestras.  Pruebas para pequeñas muestras.  Pruebas de varianza. En las pruebas de grandes muestras se realizan para los siguientes casos:  Pruebas de medias y de proporciones.  Pruebas de diferencias de medias y proporciones. En las pruebas de pequeñas muestras se realizan para los siguientes casos:  Pruebas para medias y diferencias de medias.

3.1.2 Nivel de significancia. Una vez planteada la hipótesis nula y la alternativa, el siguiente paso es definir el nivel de significancia. Es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. El nivel de significación se denota mediante alfa (  ), también se denomina nivel de riesgo, y es el riesgo de rechazar un planteamiento cuando en realidad es cierto. Tradicionalmente se ha escogido un nivel de significancia del 0.05 (5%) para proyectos de investigación de consumo, el 0.01 (1%) para control de calidad y el 0.10 (10%) para encuestas políticas. 3.1.3 Clases de hipótesis. Una hipótesis estadística es un enunciado provisional referente a uno o más parámetros de una población o grupo de poblaciones. En el proceso de estadística inferencial hay dos tipos de hipótesis: 1. Hipótesis nula, designada mediante Ho y se lee “H subcero”. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero indica “no hay diferencia”. Por lo general en la hipótesis nula se plantea en términos de “no hay cambio”, “no hay diferencia”, se plantea con el objetivo de aceptarla o rechazarla. 2. Hipótesis alternativa, describe lo que se considerará si se rechaza la hipótesis nula. A menudo también se le denomina hipótesis de investigación, y se designa por H1, que se lee “h subuno” 3.1.4 Tipos de error. La hipótesis nula y alternativa son entonces aseveraciones sobre la población que compiten entre sí, en el siguiente sentido: ó la hipótesis nula (Ho) es verdadera, o lo es la hipótesis alternativa (H1), pero no ambas. En el caso ideal, el procedimiento de prueba de hipótesis debe conducir a la aceptación de Ho cuando sea verdadera y al rechazo de H1. Desafortunadamente no siempre es posible puesto que como las pruebas de hipótesis se basan en la información de

80

la muestra, se debe considerar la posibilidad de cometer errores. La siguiente cuadro muestra los dos tipos de errores que se pueden cometer: Cuadro: Tipos de errores DECISIÓN SOBRE Ho

VERDADERA

FALSA

Correcta

Error tipo I I  

1   

Aceptar H0 Rechazar H0

Error tipo I   Nivel de significancia

Correcta 1    Potencia de la prueba

Cuando se tiene una hipótesis esta puede ser verdadera o falsa y la decisión que se toma en la prueba es aceptar o rechazar la hipótesis. Si la decisión que se toma está de acuerdo con la realidad no se cometen errores, en este caso las dos buenas decisiones son: aceptar la hipótesis nula cuando es cierta o rechazar la hipótesis nula cuando es falsa. Pero cuando la decisión no está de acuerdo con la realidad se pueden cometer dos tipos de errores vistos anteriormente: rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es cierta, llamado error tipo I representado por alfa (  ); aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falso, llamado error tipo II representado por beta (  ), llamados también nivel de significancia. El procedimiento utilizado consiste en limitarlos a un nivel preestablecido pequeño, generalmente 0.01 ó 0.05. Este planteamiento se le denomina la potencia de la prueba y se representa así: Probabilidad de cometer el error tipo I  Probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera. (1 -  ) Probabilidad de acertar la Ho cuando es verdadera. Probabilidad de cometer el error tipo II  Probabilidad de aceptar Ho cuando es falsa. (1 -  ) Probabilidad de rechazar Ho cuando es falsa. Toda prueba de hipótesis determina una región de rechazo de la hipótesis llamada región crítica, la cual depende del tipo de hipótesis que se pruebe y se determina utilizando un nivel de significancia   . 3.1.5 El p-valor Es el mínimo nivel de significancia en el cual Ho sería rechazado cuando se utiliza como procedimiento de prueba específico con un conjunto dado de información. Si el p-valor es menor que el nivel de significancia, la hipótesis nula se rechaza.

3.2. Pruebas para Grandes Muestras. Este procedimiento de formulas dos hipótesis es muy similar al de un juicio en donde se supone que el acusado es inocente hasta que se le demuestre su culpabilidad. Por tanto se hace una hipótesis de culpabilidad cero, lo cual también ayuda a explicar el nombre de la hipótesis. 81

Sin embargo una evidencia contraria hace que la hipótesis nula sea descartada y aceptar la única alternativa posible de declararlo culpable. El procedimiento de los cinco pasos indicado en líneas arriba, se empieza a aplicar n para muestras grandes: n  30 pero con  0.05 para pruebas en donde intervienen N una o dos medias, por lo tanto se supone que la distribución muestral del estadístico de prueba se aproxima por la curva normal.

3.2.1 Prueba para la media (muestra grande). En las pruebas para la media de población de muestra grande se distingue dos situaciones:  Conocida la desviación estándar de la población.  Desconocida la desviación estándar de la población.

CONOCIDA LA DESVIACIÓN ESTANDAR POBLACIONAL. Las pruebas de hipótesis utilizan un procedimiento de cinco pasos, los cuales se recuerdan a continuación: a. b. c. d. e.

Plantear las hipótesis nula y alternativa. Determinar el nivel de significancia. Estimar el valor estadístico de prueba. Establecer la regla de decisión. Tomar la decisión.

Dependiendo del planteamiento de la hipótesis alternativa (H1) se distingue dos tipos de pruebas:  Pruebas bilaterales.  Pruebas unilaterales PRUEBA BILATERAL El procedimiento de prueba de hipótesis para pruebas bilaterales a cerca de la media de una población, cuando se considera el caso de muestra grande ( (n  30) , en que el teorema del límite central permite suponer que la media de la distribución muestral de medias se puede aproximar a una distribución normal de probabilidad, y la desviación estándar de la población es conocida, sigue la siguiente forma general:  Muestra grande (n  30)  Planteamiento de hipótesis: H 0 :   0 H1 :    0  Estadístico de prueba para desviación estándar poblacional   conocida: Z

x  n

 Regla de rechazo a un nivel de significancia  :

82

Rechazar H 0 si z  -Z o si Z  Z 2

2

Ejemplo La empresa coca cola ha establecido como política general para su producción en pequeña escala, un promedio (  ) de llenado para sus envases de 200 centímetros cúbicos con una desviación estándar (  ) de 16 centímetros cúbicos. Dado que recientemente se han contratado y diseñado nuevos métodos de producción, utilizando un nivel de significancia del 0.01, se desea probar la hipótesis, que el promedio de llenado sigue siendo de 200 centímetros cúbicos. Para tal efecto se tomó una muestra de 100 envases llenos, los cuales mostraron una media de llenado de 203.5 centímetros cúbicos. Solución: Paso 1 Planteamiento de la hipótesis nula: la media poblacional es 200 Planteamiento de la hipótesis alternativa: La media poblacional es diferente a 200. Estas hipótesis se expresan como sigue: H 0 :   200 H 1 :   200 Esta es una prueba de dos colas, debido a que la hipótesis alternativa ( H 0 ) es planteada en palabras de diferencia, es decir, la hipótesis no indica si la media es mayor o menor que 200. Paso 2 El nivel de significancia es de 0.01 que es el alfa (  ), la probabilidad de cometer el error de tipo uno, es decir la probabilidad de rechazar la hipótesis siendo verdadera. Para éste tipo de problema se utiliza la distribución normal estandarizada en Z. Paso 3 El valor estadístico de prueba para este tipo de problema es utilizando la distribución normal estandarizada en Z: X   203.5  200 3.5    2.19 Z 16  1 .6 100 n Paso 4 La formulación de la regla de decisión consiste en hallar el valor crítico de Z con una prueba de dos colas. En el anexo C (tabla de la distribución normal) se identifica el valor de Z correspondiente a una probabilidad igual a 0.4950 (0.5 – 0.01/2). El valor más cercano a 0.4950 es 0.4951 que corresponde a una valor de Z igual a 2.58, que es el valor crítico para la prueba de hipótesis. Dado que es una prueba de dos colas, se tendrán dos valores críticos, tal como se indica en la siguiente figura:

83

Figura: Prueba de dos colas

La regla de decisión es aceptar la hipótesis nula (Ho), puesto que el valor estadístico de prueba (2.19) ha caído en la zona de aceptación de dicha hipótesis. Paso 5 Se concluye que el llenado de los envases cumple con las políticas generales de la empresa, y la diferencia de promedios se atribuye a variaciones aleatorias. PRUEBA UNILATERAL Con anterioridad de dijo que la hipótesis alternativa indica una dirección ya sea “mayor que” o “menor que”, la prueba es de una cola. El procedimiento para demostrar la hipótesis es por lo general igual a la prueba de dos colas, excepto que el valor crítico es diferente. Ahora se modificará la hipótesis alternativa del problema anterior, sobre el llenado de los envases de una factoría de coca cola H 0 :   200 Paso uno: H :   200 1 Paso dos: igual. Paso tres: igual Paso cuatro: El valor crítico cambia. En el anexo C (tabla de la distribución normal) se identifica el valor de Z correspondiente a una probabilidad igual a 0.490 (0.5 – 0.01). El valor más cercano a 0.4900 corresponde a una valor de Z igual a 2.33, que es el valor crítico para la prueba de hipótesis. Dado que es una prueba de una cola, se tendrá el valor crítico, tal como se indica en la siguiente gráfica: Figura: Prueba una cola a la derecha

84

La región de rechazo para una prueba de una extremidad se ubica en la cola de la derecha, y el valor crítico es +2.33. Paso cinco: Igual, puesto que el valor estadístico de prueba está ubicado en la zona de aceptación de la hipótesis nula, es decir, se está diciendo que el promedio de llenado es de 200, tal como está planteada la hipótesis nula. A continuación se presentan un ejemplo para que Ud. lo aborde y aplique los métodos de pruebas de hipótesis vistos anteriormente. Ejercicio El análisis del contenido de grasa de una muestra de 40 tarros de leche en polvo de una determinada marca dio como resultado un contenido promedio de grasa de 27.5% en peso. Si asume que la varianza es de 0.85 y se pide un nivel de significancia del 5%; probar la hipótesis que el contenido promedio de grasa de la leche es de 28% contra la hipótesis: a. El contenido de grasa es mayor que 28%. b. El contenido de grasa es menor que 28%. c. El contenido de grasa es diferente que 28%.    X   Sugerencia: Utilice el siguiente estadístico de prueba:  Z     n   DESCONOCIDA LA DESVIACIÓN ESTANDAR POBLACIONAL En la mayoría de los casos se desconoce la desviación estándar de la población (  ) , la cual debe calcularse en estudios previos o se estima utilizando la desviación estándar de la muestra (s). En estos casos se utiliza la desviación estándar de la muestra, quedando la formula para el estadístico de prueba así: Z

X  S n

Ejemplo Una cadena grande de almacenes expide su propia tarjeta de crédito y Ud. desea saber si los saldos promedios por créditos de los clientes son mayores que 400 unidades monetarias. El nivel de significancia se fija en 0.05. Una revisión aleatoria de 172 clientes, reveló que el promedio por crédito de los clientes es de 407 unidades monetarias y la desviación estándar de la muestra es de 38 unidades monetarias. ¿Concluye UD. que la media poblacional es mayor que 400 unidades monetarias? Solución: Las hipótesis se enuncian como sigue: H 0 :   400 H1 :   400

85

Dado que la hipótesis alternativa se enuncia “mayor que”, se aplica una cola a la derecha, y como la muestra es grande ( n >= 30), se aplica la distribución normal estandarizada en Z. El estadístico de prueba es: Z

X   407  400   2.42 38 S 172 n

La regla de decisión es: Figura: Prueba de una cola a la derecha

El valor crítico es 1.645 y la ubicación del estadístico de prueba se encuentra en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto se acepta la hipótesis alternativa. La decisión a tomar por Ud. es que el promedio de los créditos es mayor que 400 unidades monetarias con un grado de confianza del 95%.

3.2.2 Prueba para diferencia de medias (muestra grande). En la mayor parte de los casos no se conoce la varianza o desviación estándar real de ninguna población. En general la única información que es posible obtener se relaciona con las medias muestrales X 1 y X 2 , las varianzas muestrales S12 yS 22  y las desviaciones estándar de las muestras S1 yS 2  . Si se hacen las suposiciones que las muestras se obtienen de manera aleatoria e independiente a partir de las poblaciones respectivas que tiene una distribución normal y que las varianzas poblacionales son iguales, es decir,  12   22  , se puede utilizar una prueba de distribución normal de varianzas combinadas para determinar si existe una diferencia significativa entre las dos poblaciones.





Recordemos que para diferencias de medias se utiliza el siguiente estadístico de prueba: Z

( X 1  X 2 )  1   2 

 12  22  n1 n2

86

Ejemplo Una obra de construcción requiere un gran número de bloques de concreto. Dos empresas abastecedoras A y B licitan para su adjudicación, y dentro del pliego de condiciones se estipula que la resistencia mínima es de 1.000 unidades métricas a la resistencia, y el contrato se adjudicará a la empresa que mayor resistencia presente su producto. Solución: Paso 1: Se plantea la hipótesis nula (Ho) que no existe diferencia entre las resistencias medias a la compresión de los bloques de concreto. La hipótesis alternativa se plantea en términos que hay alguna diferencia significativa entre las dos resistencias medias a la compresión. Simbólicamente se expresa así: H0 :  A  B H1 :  A   B Dado que la hipótesis alternativa no indica una dirección específica, la prueba es de dos colas Paso 2: Se elige un nivel de significancia de 0.01. Esto equivale a cometer un error de tipo I. Se usará una distribución normal estandarizada en Z, razón por la cual se debe seleccionar una muestra que al menos contenga como mínimo 30 unidades de bloque, cada una de las empresas licitantes. Paso 3: El estadístico de prueba a aplicar está dado por la siguiente fórmula:

Z

X1  X 2 S12 S 22  n1 n2

Suponga que Ud. seleccionó una muestra de cada una de las empresas licitantes y determinó la resistencia a la compresión, con los siguientes resultados: Cuadro 3.2 Resultados de muestra Licitante A Licitante B = 1.070 X X = 1.020 n = 81 n = 64 S = 63 S = 57 El valor del estadístico de prueba es: Z

X1  X 2 2 1

2 2

S S  n1 n2



1.070  1.020 2

63 81

2



57 



50  5.01 9.98827

64

87

Paso 4 Recuérdese que se seleccionó un nivel de significancia del 0.01 y se utilizará una prueba de dos colas. Los valores críticos y zonas de aceptación para las hipótesis se presentan en la siguiente figura: Figura Toma decisión para prueba de hipótesis

Paso 5 El valor Z calculado queda en el área de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto se concluye que la media poblacional de la resistencia a la compresión es diferente en las dos empresas y la diferencia no se debe al azar del muestreo, con un grado de confianza del 99%. Ejercicio de pruebas de medias - Se analizó el contenido de calorías de dos lotes de leche condensada de diferente marca. El lote A constituido por 45 tarros de 100 gramos su contenido promedio de calorías fue de 320 y una desviación de 3. El lote B constituido por 55 tarros igualmente de 100 gramos el promedio de calorías fue de 321.5 con una desviación de 2.5. ¿Existe diferencia entre los contenidos calóricos de las dos marcas de leche al nivel de significación de 0.05? Sugerencia: Plantear las hipótesis en función de hay diferencia ó no existe diferencia de contenido promedio de calorías. - El contenido medio de carbohidratos de 50 litros de leche de vaca entera cruda fue de 4.6% con un desviación de 0.5 y el de 50 litros de leche pasteurizada fue de 3.9% con una desviación de 0.4. Probar la hipótesis que el contenido de carbohidratos de la leche cruda es mayor que el la leche pasteurizada con un alfa de 0.01. Sugerencia: Se concluye que el contenido de la leche cruda es significativamente mayor que el la pasteurizada con un nivel de confiabilidad del 99%

3.3. Pruebas de Hipótesis para Pequeñas Muestras. Ahora veamos el caso en que las muestras son pequeñas, n  30 , pero donde la distribución muestral del estadístico de prueba se puede aproximar a una distribución t student. Dicha aproximación es posible cuando los valores subyacentes de la población son casi normalmente distribuidos, y cuando intervienen poblaciones donde las desviaciones estándar, aunque

88

desconocidas, se sabe que son iguales. Habiendo estudiado pruebas para muestras grandes con todo detalle, podemos restringirnos a ejemplos en donde se aplique este tipo de distribución. 3.3.1 Prueba para media (pequeña muestra) Si también es razonable suponer que la población tiene una distribución normal de probabilidad, con la distribución t se puede hacer inferencia a cerca del valor de la media de la población. Ejemplo Una compañía de seguros revela que en promedio la investigación por demandas en accidentes y todos los trámites tiene un costo promedio de 60 unidades monetarias. Este costo se considera exagerado comparado con el de otras compañías del mismo tipo. A fin de evaluar el costo se seleccionó una muestra aleatoria de 26 demandas recientes y se realizó el estudio de costos. Se concluyó que el costo promedio es de 57 unidades monetaria con una desviación estándar de 10 unidades monetarias. Con un nivel de significancia del 0.01 se puede decir que ¿el estudio reveló un costo menor al establecido por la empresa? Solución: Paso 1 La hipótesis nula se plantea en el sentido que el costo promedio es de 60 unidades monetarias. La hipótesis alternativa que el costo es menor a 60 unidades monetarias. Esto se expresa en la H 0 :   600 siguiente forma: H :   600 1 La prueba es de una cola a la izquierda, según el planteamiento de la hipótesis alternativa. Paso 2 Se usa un nivel de significancia del 0.01 con una distribución “t”, en consideración a que la muestra en menor a 30, es decir, es una pequeña muestra. Paso 3 Utilizando los datos de la muestra, se utiliza la siguiente fórmula como estadístico de prueba: t

X   57  60   1.530 10 S 26 n

Paso 4 Los valores críticos para la distribución “t” se encuentran en la tabla correspondiente (anexo D), con 25 grados de libertad (26 – 1), prueba de una cola a un nivel de significancia de 0.01, correspondiendo un valor crítico de 2.485. En el siguiente figura se indica el presente planteamiento:

89

Figura: Prueba de una cola

Paso 5 Puesto que –1.53 se encuentra en la región de aceptación de la hipótesis nula a un nivel del 1% de significancia, se concluye que los costos para los tramites de seguros de accidente no se han disminuido y se mantiene a un nivel promedio de costo de 60 unidades monetarias. Ejemplo Una empresa produce elementos con un promedio de 43 mm de largo. Un ajuste en las máquinas de producción supone que dicho estándar ha cambiado. Se quiere probar ésta hipótesis con un nivel de significancia del 0.02. Para afrontar el problema Ud. selecciona una muestra aleatoria de 12 elementos y procede a medir su largor con los siguientes resultados: Cuadro 3.3 Selección muestra aleatoria Elemento 1 2 3 4 5 6 Medida 42 39 42 45 43 40

7 39

8 41

9 40

10 42

11 43

12 42

Solución: Paso 1 H 0 :   43 Plantea sus hipótesis: H :   43 1 Como hipótesis nula que no se ha producido un cambio en las dimensiones del producto. Como hipótesis alternativa que se ha producido un cambio en las características internas del producto debido a los ajustes en las máquinas. Paso 2 Se dispone a probar la hipótesis con un nivel de significancia del 0.02, utilizando la distribución “t” porque es una pequeña muestra, con 11 grados de libertad aplicando el principio de ( n- 1) y calculo para dos colar puesto que la hipótesis alternativa está planteada desde el punto de vista de “diferente”.

90

Paso 3 El estadístico de prueba a utilizar es el siguiente: t 

X  S n

Procede al cálculo de la media y la desviación estándar muestral: X

X  n

2

498   41.5 12

S

 X  X  n 1



35  1.78 11

Con la información anterior, aplica la fórmula del estadístico de prueba:

t

X   41.5  43.0   2.92 1.78 S 12 n

Paso 4 Para aplicar la regla de decisión, muestra en el siguiente gráfico el planteamiento anterior: Figura: Prueba de dos colas

Paso 5 La hipótesis nula que la media poblacional es 43 mm se rechaza a un nivel de significancia del 0.02 y se acepta la hipótesis alternativa, concluyendo que los ajustes en las máquinas sí causaron un cambió en la calidad de control en el largor de los diferentes elementos que se producen. Anteriormente se analizó ampliamente la prueba de hipótesis para cuando las muestra son pequeñas, es decir, el tamaño de la muestra es menor a 30. A continuación se propone un ejercicio de aplicación, para que Ud. los desarrolle atendiendo las sugerencias dadas. Ejemplo Un fabricante de pastas alimenticias sostiene que el contenido medio de proteínas del producto es de 10.7. Un análisis de una muestra de 8 paquetes dio como resultado un contenido medio de 10 con una desviación de 1. ¿Se puede aceptar como verdadera la afirmación del fabricante a un nivel de 0.01?

91

X  Sugerencia: Utilizar el siguiente estadístico de prueba: t  S n

Solución: H0: µ = 10,7 y H1: µ ≠10,7 Un ensayo bilateral con un nivel significativo de 0.01 el valor critico con 7 grados de libertad es igual a 2,988 (ver tabla de t-student) 10  10,7 0,7 Según el estadístico: t    1,98 1 0,3535 8 Como el estadístico (1,98) es menor que el valor crítico (2,988) se acepta la hipótesis nula.

3.3.2 Prueba para dos medias muéstrales (pequeñas muestras) Una prueba que utiliza la distribución t también puede aplicarse para comparar dos medias muestrales que tienen las siguientes características: 1. Las poblaciones deben de distribuirse normalmente. 2. Las poblaciones deben de ser independientes. 3. Las varianzas de las poblaciones deben de ser iguales. 4. Las muestras tienen menos de 30 observaciones. 5. Las desviaciones estándar de las poblaciones no se conocen. Cuando se está frente a estas características, el estadístico de prueba a utilizar es el siguiente: t

Donde: X1 y X 2

n 1 yn 2 1

S yS G.L.

( X 1  X 2 )  1   2  2 1

 S n1  1  S 22 n2  1   1 1      n1  n2  2    n1 n2 

Las medias de las muestras 2 2 2

Los tamaños de las muestras Las varianzas de las muestras Grados de libertas, igual a = n1  n2  2

Ejemplo Se ha propuesto realizar un examen de estadística a dos grupos de estudiantes, con el propósito de saber si los grupos tienen similares conocimientos sobre pruebas de hipótesis. Para ello Ud. seleccionó el grupo A compuesto de 5 estudiantes de educación a distancia y el grupo B compuesto por 6 estudiantes de educación presencial, y los sometió a la prueba, dando como resultado los siguientes tiempos en minutos:

92

Cuadro: prueba para dos grupos Educación a Educación distancia presencial 2 3 4 7 9 5 3 8 2 4 3 Probar con un nivel de significacia del 0.10 si existe alguna diferencia de habilidad en los conocimientos de los dos grupos. Solución: Paso 1: Las hipótesis las plantea en los siguientes términos: Ho : 1   2 H1 : 1   2 La hipótesis nula consistente en que los dos grupos no tienen alguna diferencia en la habilidad de conocimiento, y la hipótesis alternativa en que existe diferencia entre los grupos sobre la habilidad en la aplicación de los conocimientos. Paso 2: Prueba la hipótesis con un nivel de significancia del 10%, utilizando la distribución t student porque las muestras son menores que 30, con 9 grados de libertad (5+6 – 2) y prueba de dos colar porque la hipótesis alternativa está planteada en función de “diferente”. Paso 3 Para el cálculo del estadístico de prueba se requiere estimar las medias de los grupos y sus varianzas, los cuales se presentan en el siguiente cuadro: Cuadro:Resultados para los grupos de estudiantes Grupo estudiantes a distancia Grupo presencial Media = 4 Media = 5 Varianza = 8.5 Varianza = 4.4 Muestra = 5 Muestra = 6

t

X1  X 2 2 1

2 2

 S n1  1  S n2  1   1 1      n1  n2  2    n1 n2 



45  8.55  1  4.46  1   1 1   5  6  562   

 0.6620

Paso 4: La regla de decisión se presenta en la siguiente gráfica:

93

Figura: Pruebas para comparación de dos medias

Paso 5: La decisión es no rechazar la hipótesis nula debido a que el valor del estadístico de prueba –06620 ha caído en la zona de aceptación de dicha hipótesis, concluyendo que no existe diferencia en la habilidad de aplicación de conocimientos entre los estudiantes a distancia y los estudiantes de presencial, con un nivel de significancia del 10%.

3.3.3 Prueba de hipótesis para observaciones pareadas o relacionadas. La característica principal para aplicar este tipo de prueba, es que las muestras sean dependientes y el tamaño de cada muestra sea inferior a 30 elementos seleccionados. Ejemplo: Un grupo de alumnos registra un índice de puntuación en estadística, que se considera muy bajo para aceptarlos al siguiente nivel. Proceden a tomar un curso de nivelación, obteniendo los siguientes registros antes y después del curso. Con un nivel de significancia del 0.05 probar si el curso de nivelación mejoró las condiciones del grupo. Antes 128 Después 135

105 110

119 131

140 142

98 105

123 130

127 131

115 110

122 125

145 149

En estas condiciones hay un par de índices de eficiencia para cada miembro del grupo, antes y después del curso,; éste conjunto de pares es lo que se denomina muestra por pares. La prueba de hipótesis que se realiza para determinar si hay diferencia entre los índices antes y después del curso de nivelación, es lo que denomina prueba de diferencia por pares. Obsérvese que las dos muestras, una antes y una después, dependen entre sí, debido a que los mismos alumnos están en ambas pruebas, por tanto son dependientes. La muestra está constituida por la diferencia entre los registros de puntuación antes y después del programa. Así, la media de las diferencias entre los registros de rendimiento, se designa mediante  d . Se presenta a continuación el procedimiento de la prueba:

94

Solución: Ho :  d  0 Paso 1: H :   0 1 d La hipótesis nula plantea que no hay diferencia de eficiencia después del curso. La hipótesis alternativa plantea que el programa de nivelación mejoró el nivel de los estudiantes. Paso 2 Se usa un nivel de significancia del 5%, la muestra seleccionada es de 10 estudiantes considerada pequeña muestra, la distribución de probabilidad a utilizar es la t-student , con n – 1 grados de libertad. Paso 3 t

El estadístico de prueba a utilizar es:

d Sd n

Donde: d Sd n G.L

:es la media de la diferencia entre las observaciones por pares. :es la desviación estándar de las diferencias entre las observaciones por pares. :es el número de observaciones por pares. :son los grados de libertad (n –1)

Para determinar el calculo del estadístico de prueba se requiere conocer la media de las diferencias y su desviación estándar, para lo cual procedemos a su cálculo utilizando el siguiente cuadro: Cuadro: Calculo estadístico sobre diferencia de medias Muestra Registro antes Registro Diferencia d después 1 128 135 7 2 105 110 5 3 119 131 12 4 140 142 2 5 98 105 7 6 123 130 7 7 127 131 4 8 115 110 -5 9 122 125 3 10 145 149 4 Sumas 46

Diferencia cuadrado 49 25 144 4 49 49 16 25 9 16 386

2

 d  d  n 2

d

d n



46  4.60 10

Sd 

n 1

386  

al

462

10 10  1

 4.40

Aplicando la fórmula, se obtiene: 95

t

4 .6 d   3.30 4 .4 Sd 10 n

Paso 4 El valor crítico de t para esta prueba de una cola a la derecha, es 1.833 que se obtiene en la tabla de la distribución “t” (anexo D), ubicando en la columna de la izquierda 9 grados de libertad y recorriendo a la derecha hasta la columna de una cola con 0.05 nivel de significancia. En la siguiente gráfica se indica lo expuesto: Figura: Prueba de hipótesis por pares

Paso 5 Como el valor t (3.30) está en la región de rechazo de la hipótesis nula, entonces se acepta la hipótesis alternativa y se concluye que el programa de adiestramiento para los alumnos fue eficaz para aumenta su eficiencia. 3.4. Prueba de Hipótesis para Proporciones. Se entiende por proporción, la porción relativa o porcentaje que expresa la parte de la población o muestra que tiene un atributo particular de interés como el resultado comparativo de contar algo, Se cuenta el número de partes defectuosas; se cuenta el número de votantes por la preferencia de un candidato. Así la prueba de proporción implica niveles nominales de medida.

3.4.1 Prueba para una proporción Para demostrar una proporción muestral se requiere cumplir con ciertos principios binomiales, tales como: 1. Los datos recolectados son el resultado de un conteo. 2. El resultado de un experimento se clasifica en una de las dos categoría mutuamente excluyentes: un éxito o un fracaso. 3. La probabilidad de éxito se mantiene constante. 4. Los intentos para realizar cada experimento son independientes. 5. El tamaño de la muestra debe ser tan grande para que se dé la siguiente condición: (n)(p)>5 y (n)(1-p)>5

96

Para realizar una prueba de hipótesis a fin de evaluar la magnitud de la diferencia entre la proporción muestral p y la proporción poblacional ( P ), se puede usar el siguiente estadístico de prueba:



Z

PP P (1  P ) n

donde: P es la proporción muestral. P es la proporción poblacional. n es el tamaño de la muestra. De otra manera, en lugar de examinar la proporción de éxitos en una muestra como en el caso anterior, es posible estudiar el número de éxitos en una muestra, para determinar el número de éxitos esperados o hipotéticos en la población, se utiliza el siguiente estadístico de prueba:

Z

X  n  p  n  p q 

donde: X es el número de éxitos en la muestra. P es la proporción hipotética de éxitos. PRUEBA UNILATERAL Ejemplo Suponga que para que lo elijan a Ud. como alcalde, es necesario que logre al menos el 80% de los votos del barrio donde vive. Dado su interés decide hacer una encuesta en el barrio con una muestra de 2.000 personas, para ver la posibilidad y 1.550 dieron respuesta favorable por sus aspiraciones. Pruebe la hipótesis de favorabilidad, con un nivel de significancia del 0.05. Solución: Antes de realizar el procedimiento de los cinco pasos, veamos si cumple la condición de: (n)(p)>5 (n)(1-p)>5

(2.000)(0.8)>51.600>5 (2.000)(0.2)>5400>5

Cierto Cierto

Paso 1 La hipótesis nula se plantea diciendo que Ud. sí tiene el 80% de favorabilidad de voto en su barrio y la hipótesis alternativa en que no alcanza a tener este porcentaje de favorabilidad de voto. Simbólicamente se expresa como sigue: Ho : P  0.80 H1 : P  0.80

Paso 2 La distribución de probabilidad a utilizar es la normal estandarizada en Z, con un nivel de significancia del 5%, con una cola a la izquierda.

97

Paso 3 El estadístico de prueba a utilizar es: Z 

PP P(1  P) n

Donde: P es la proporción muestral. P es la proporción poblacional. n es el tamaño de la muestra. P (1  P )  P n

es el error estándar de la proporción poblacional.

Reemplazando los diferentes valores en la ecuación se tiene:

Z

PP  P (1  P ) n

1.550  0.80  0.025 0.775  0.80 2.000    2.80 0.0089443 0.80(1  0.80) 0.00008 2.000

Paso 4 La regla de decisión se toma sobra la base de un valor critico calculado a partir de la tabla de distribución Z, con un área de 0.4500 (0.5000-0.0500) Cuadro: Prueba de hipótesis de una proporción

Paso 5 Como el valor Z (-2080) está en la región de rechazo de la hipótesis nula, entonces se acepta la hipótesis alternativa y se concluye la favorabilidad de voto es menos al 80%.

98

PRUEBA BILATERAL Ejemplo Probar al nivel de significancia del 0.01 la aseveración que el 55% de las familias que planean adquirir una residencia en Melgar desean su ubicación en un condominio. Para su estudio Ud. toma una muestra aleatoria de 400 familias que planean comprar una residencia en Melgar, de las cuales 228 familias desean en un condominio. Solución: Paso 1 La hipótesis nula se plantea diciendo que el 55% de las familias desean adquirir residencia en un condominio en Melgar. Ho : P  0.55 H1 : P  0.55

Paso 2 La distribución de probabilidad a utilizar es la normal estandarizada en Z, con un nivel de significancia del 1%, con dos colas.

Paso 3 Z 

PP  P (1  P ) n

280

 0.55 0.02 400   0.80 0.55(1  0.55) 0.0248747 400

Paso 4 La regla de decisión se toma sobre la base del siguiente grafico: Figura: Prueba de proporción de dos colas

Paso 5 La hipótesis nula que la proporción verdadera es del 55% no es rechazada a un nivel de significancia del 1%, concluyendo que el 55% de las familias planean adquirir residencia vacacional en Melgar lo desean en un condominio. A continuación se proponen dos ejercicios para que los desarrolle aplicando las sugerencias propuestas:

99

Ejemplo: Se lanza una moneda 200 veces y se obtienen 105 caras. Si el nivel de significancia es de 1% probar la hipótesis que la probabilidad de caras es de ½ contra la hipótesis: a. Que es mayor de ½. b. Que es menor de ½. c. Que es diferente de ½. Sugerencia: En este caso utilice las propiedades de la distribución binomial donde:

  np  200 1 2  100

 

 

n  p q   2001 2 1 2   7.07

Z

X  n  p  n  p q 

Ejemplo Un fabricante de un empaque para harinas garantiza que tiene una efectividad de 95% en la protección contra la humedad durante un período de 6 meses. Se observó una muestra de 100 paquetes encontrándose resultados positivos en 85 paquetes. Comprobar si la afirmación del fabricante es verdadera con un nivel de significancia de 0.05. Sugerencia: Utilizar prueba de una proporción. 3.4.2 Prueba de hipótesis para diferencias entre dos proporciones Se presenta a continuación un ejemplo donde se emplea la prueba de proporción para dos poblaciones, utilizando el siguiente estadístico de prueba:

Z

( P1  P2 )  P1  P2  PC (1  PC ) PC (1  PC )  n1 n2

Donde: n1 Es la cantidad seleccionada en una muestra. n2 Es la cantidad seleccionada en la otra muestra. X  X2 Es la media ponderada de las proporciones muestrales. PC  1 n1  n2 X1 Es la cantidad de éxitos de la primera muestra. X2 Es la cantidad de éxitos de la segunda muestra. P1 yP2 Proporción de éxitos de la población uno y dos respectivamente. Ejemplo Una fábrica de perfumes ha desarrollado un nuevo producto. Varias pruebas de comparación indican que el perfume tiene un buen potencial en el mercado. Sin embargo el departamento de mercadotecnia y publicidad quieren planear una estrategia de manera que el producto llegue e impresione al sector más grande posible del público comprador. Una de las preguntas es si prefiera el perfume una proporción mayor de mujeres jóvenes o una proporción mayor de

100

mujeres maduras. Por tanto, existen dos poblaciones: una que consta de mujeres jóvenes y otra de damas maduras. Se usó una prueba estándar de aroma. Se seleccionaron aleatoriamente damas y se les pidió que olieran varios perfumes, incluyendo el que suelen usar, y por supuesto el nuevo perfume. La persona que realiza la prueba es la única que conoce el nombre de los perfumes. Cada mujer selecciona el perfume que le agrada más. Solución: Paso 1 La hipótesis nula se plantea diciendo que no hay diferencia entre la proporción de mujeres jóvenes y maduras que prefieren el nuevo perfume. La hipótesis alternativa se plantea que las dos proporciones no son iguales. Ho : P1  P2 H1 : P1  P2 Se designa P1 (Psubuno) como la proporción de mujeres jóvenes y P2 (Psubdos) como la proporción de mujeres maduras. Paso 2: Se decidió un nivel de significancia del 0.05. Paso 3: Los planes son tomar una muestra al azar de 100 mujeres jóvenes designada por n1 (nsubuno) y una muestra de 200 mujeres mayores designada como n subdos. Los resultados una vez hecha el experimento dio los siguientes resultados: de las 100 mujeres jóvenes 20 eligieron el nuevo perfume, designando este valor como X subuno; y de las 200 mujeres maduras 100 prefirieron el nuevo perfume, designando este valor como X subdos. La proporción ponderada, da como resultado:

PC 

20  100 120 X1  X 2    0.40 100  200 300 n1  n2

Z

P1  P2 PC (1  PC ) PC (1  PC )  n1 n2



20  100  0.30 100 200   5.0 0.06 0.40(1  0.40) 0.40(1  0.40)  100 200

Paso 4 Los valores críticos para un nivel de significancia del 5% son –1.96 y +1.96. Igual que en los otros casos, la siguiente grafica establece la regla de decisión:

101

Figura: prueba de dos proporciones

Paso 5 El valor de Z calculado de –5.0 se encuentra en el área de rechazo de la hipótesis nula. Por tanto, la hipótesis que las proporciones son iguales se rechaza a un nivel del 5% de significancia. Ejercicio: Diferencia de proporciones Dos lotes de frutas conformados cada uno por 250 unidades son tratados y almacenados en iguales condiciones salvo que el lote No 1 está a temperatura ligeramente inferior que el lote No 2. Pasado un tiempo se encuentra que el lote No 1 hay 225 frutas sanas y en el lote No 2 hay 200 sanas. Probar la hipótesis que la temperatura más baja favorece la conservación de las frutas al nivel de significación de 0.05. Ho : P1  P2 Paso 1: H : P  P 1 1 2 Paso 2: Utilizando la distribución de probabilidad normal con ensayo unilateral a la derecha con un nivel significativo de 0.05, el valor critico es de 1.645. Paso 3: Z 

P1  P2 PC (1  PC ) PC (1  PC )  n1 n2

PC 



0.90  0.80 0.10   3.13 (0.85)(0.15) (0.85)(0.15) 0.0319  250 250

X 1  X 2 225  200   0.85 250  250 n1  n2

102

Figura: Prueba de dos proporciones

Como 3.12>1.645 se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa. Paso 5 La temperatura más baja favorece la conservación de las frutas. 3.5. Pruebas de hipótesis para la varianza Como su nombre lo indica, consiste en comparar tres o más medias de una muestra para identificar su homogeneidad o variabilidad. esta técnica estadística, normalmente es utilizada para analizar resultados en la investigación con diseños experimentales y cuasiexperimentales; muchas veces necesitamos comparar dos o más distribuciones que corresponden a variaciones de una misma variable dependiente, afectada por una o más variables independientes. Comparación de Varianzas de Dos Poblacionales: Su utilidad radica en determinar si una población normal tiene más variación que otra población que se considera también normal. Como ejemplo se pueden mencionar, si dos máquinas dedicadas a producir cierto artículo de precisión pueden ser confiables en el control de calidad, es decir, el producto tiene el mismo largor, el mismo diámetro y las variaciones presentadas son similares.

Ejemplo 16 La tasa media de rendimiento de dos tipos de acciones se pueden apreciar en el siguiente cuadro, se desea saber si el rendimiento promedio es diferente a un nivel de significancia del 0.10. Acciones Tipo A Tipo B

Rendimiento promedio 56 58

Desviación estándar 12 5

Tamaño de la muestra 7 8

103

Ho :  12   22

Paso 1:

H1 :  12   22

La variación de los rendimientos promedios de las acciones es igual como la hipótesis nula. La variación de los rendimientos de las acciones es diferente como hipótesis alternativa. Paso 2: Se selecciona un nivel de significancia de 0.01 utilizando la distribución F. Paso 3: El valor del estadístico de prueba sigue una distribución F, con la siguiente relación:

F

S12 12 2  2  5.76 S 22 5

Se acostumbra a colocar el mayor valor en el numerador, de tal forma que la relación siempre será por lo menos igual a uno. Paso 4 El valor crítico se obtiene del Anexo F, para lo cual se reproduce una parte de la tabla. Debido a que utiliza una prueba de dos colas, el nivel de significancia para cada cola será de:



2

 0.10  0.05 . 2

Grados de libertad para el numerador: n – 1 = 7-1 = 6 Grados de libertad para el denominador: n – 1 : 8 – 1 = 7 Para encontrar el valor crítico, se incorpora parte de la tabla del Anexo F: Cuadro: Grados libertad numerador denominador

G.L Denominador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

GRADOS LIBERTAD NUMERADOR 5 6 7

8

230 19.3 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33

239 19.4 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07

234 19.3 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22

2.7 19.4 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14

104

Paso 5: Dado que el valor de la distribución F (5.76) se encuentra a la derecha del valor crítico (3.87), se acepta la hipótesis alternativa y se concluye que los rendimientos promedios de las acciones son diferentes. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. La secretaria de salud quiere saber si esta en lo cierto, cuando afirma que la proporción de fumadores en su localidad, para personas mayores de 16 años es del 40%. La secretaría lleva a cabo una muestra de 600 personas mayores de 16 años, de las cuales 210 son fumadoras. Pruebe la hipótesis de que la proporción de fumadores mayores de 16 años es diferente del 40%, para un nivel de significancia de 0.05. 2. A nueve pacientes que sufren de la misma enfermedad física, pero de lo contrario comparables, se les pidió que llevaran a cabo cierta tarea como parte de un experimento. El tiempo promedio requerido para realizar la tarea fue de 7 minutos, con una desviación estándar de 2 minutos. Probar la hipótesis nula de que el promedio de la población (ì) es de 10 minutos con un nivel de significancia de 10%. 3. Una muestra de 100 pacientes con la enfermedad "A", admitidos en un hospital de enfermedades crónicas, permanecieron en el hospital como término medio 35 días. Otra muestra de 100 pacientes con la enfermedad "B" permaneció en promedio 28 días. Si las desviaciones estándar para las dos poblaciones son estimadas en 10 y 15 respectivamente. Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique que la permanencia promedio en el hospital para pacientes con la enfermedad "A" es algo diferente a la permanencia promedio para los pacientes con la enfermedad "B"? con un nivel de significancia de 1% 4. Una muestra de 25 niños de 10 años proporcionaron un peso medio y una desviación estándar de 36.5 Kg. y 5 Kg., respectivamente. Suponiendo una distribución normalmente repartida. Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para indicar que "ì" es diferente de 37.5? Considere un nivel de significancia de 5%

5. Supongamos que se quiere estudiar la efectividad de una dieta y se nos proporciona la siguiente información referente a los pesos, antes y después en una muestra al azar de 8 mujeres adultas con edades de 35 a 40 años o más (datos en libras): Mujeres Nº Antes x Después y

1

2

3

4

5

6

7

8

137 130 124 138 149 140 168 152 132 121 126 130 147 141 159 147

Probar al nivel del 5% que la dieta fue efectiva. 6. Una encuesta de 64 profesionales de una institución hospitalaria reveló que el tiempo promedio para la acción de cierta droga es de 5 horas, con una desviación típica de 4 horas. ¿Sirven estos datos de soporte a la hipótesis de que el tiempo promedio de acción para este medicamento está por debajo de 6 horas? Con una significancia de 5%

105

3.6

Aplicaciones en Excel y SPSS.1

A. Excel Excel dispone de funciones que permiten realizar contrastes de hipótesis de igualdad de medias y varianzas, de independencia y ajuste de la chi – cuadrado y otros contrastes. A continuación se presenta la sintaxis de estas funciones: Cuadro: Funciones de pruebas de hipótesis PRUEBA. CHI (rango Realiza las pruebas de independencia y ajuste de la CHI – 1; rango 2) CUADRADO para los valores actuales (definidos por rango 1) y esperados dados (definidos por rango 2). Calcula el valor de la CHI – CUADRADO y el p-valor del contraste. PRUEBA F (x, y) Realiza la prueba de igualdad de varianzas para dos muestras x e y, calculando la probabilidad de la igualdad. PRUEBA T( x; y) Realiza la prueba T de Student de igualdad de medias para dos muestras x e y, calculando la probabilidad de la igualdad. El parámetro n puede valer 1 ó 2, según el número de colas de la T. El parámetro tipo vale 1 si los datos son pareados, vale 2 si las varianzas de las muestras se suponen iguales, y vale 3 si las varianzas de las muestras se suponen desiguales. PRUEBA Z (x; a; b) Realiza la prueba de que la observación a provenga de la población cuya muestra es x, siendo b la desviación típica. La función devuelve la probabilidad de dicho evento. B.

SPSS

Ejemplo 2.17 Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que una persona con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Determine la probabilidad que dentro de 30 años vivan: a. Al menos 3 individuos. b. Como mucho dos individuos. Dado que la situación de cada individuo es que viva o que no viva, y una de las dos alternativas se debe de presentar, la situación de cada individuo se ajusta a una variable de Bernoulli con probabilidad de éxito (vivir 30 años más) igual a 3./5 = 0.6. Al considerar los 5 individuos, se esta ante una variable X Binomial con n = 5, p = 0.6. Se designa F(X) como la función de distribución, en donde para el literal a, habrá de calcularse P(X>=3). Para calcular la probabilidad pedida se selecciona transformar, calcular (previamente es necesario tener cargado un fichero cualquiera en memoria como se indica en la siguiente figura.. Figura: Editor de SPSS

106

Se trata de identificar la distribución Bernoulli, que solicita la cantidad y la probabilidad para calcular la probabilidad acumulada para los parámetros solicitados. En la figura siguiente se detalla la función desplegada en la ayuda. Figura: Función de distribución acumulada

En la siguiente figura se muestra la pantalla como resultado de la selección relacionada con el cálculo de la variable. Figura: Bernoulli

107

3.6.1 Actividades de aprendizaje. Excel contiene varias herramientas de análisis útiles para realizar contrastes de hipótesis. La opción análisis de datos del menú herramientas le lleva al cuadro de dialogo de la siguiente figura: Figura:Ventana de análisis de datos

Observe que puede realizar contrastes de pruebas t para medias de dos muestras emparejadas, para dos muestras suponiendo varianzas iguales, para dos muestras suponiendo varianzas desiguales y prueba z para medias de dos muestras.

PRUEBA T PARA MEDIAS DE DOS MUESTRAS ENPAREJADAS Es posible ejecutar una prueba T de Student de dos muestras pareadas para determinar si las medias de las dos muestras son iguales suponiendo que las varianzas de ambos conjuntos de datos son iguales. Esta prueba generalmente se utiliza cuando un par natural de observaciones en las muestras, como por ejemplo, cuando un grupo de muestra se somete dos veces a prueba, antes de un experimento y después de este. Si elige dicha opción en el cuadro de dialogo aparece la siguiente figura:

Figura: Ventana de prueba t de dos muestras

108

Rango para la variable 1 y 2: Se introduce la referencia de celda correspondiente al primer y segundo rango de datos que desea analizar. El rango debe constar de una única fila o una única columna. Diferencia hipotética entre medias: Se introduce el número cero para indicar, que según la hipótesis, las medias de las muestras son iguales. Rótulos: Activa la casilla si la primera fila o columna del rango de entrada contiene rótulos y la desactiva si carece de rótulos. El programa genera los rótulos de datos correspondientes para la tabla de resultados. Alfa: Se introduce el nivel de significancia para la prueba, valor que debe estar comprendido entre el rango de cero y uno. El nivel alfa es un nivel de importancia relacionado con la probabilidad de que haya un error de tipo I (rechazar una hipótesis verdadera). Rango de salida: Se introduce la referencia correspondiente a la celda superior izquierda de la tabla de resultados y el programa determina el tamaño del área de resultados y muestra un mensaje si la tabla de resultados reemplaza datos ya existentes. En cuanto a las opciones de salida, se presenta “En una hoja nueva” para insertar una hoja en el libro actual y pegar los resultados comenzando por la celda A1 de la nueva hoja de cálculo. “En un libro nuevo” para crear un nuevo libro y pegar los resultados en una hoja del libro creado. En el siguiente ejemplo de muestras emparejadas suponga que en un experimento de 6 lotes de terreno, la mitad de cada lote fue sembrado con una semilla resistente y la otra mitad con semilla corriente. Los resultado al momento de la recolección fue el siguiente en Kilos: Semilla resistente 84 76 104 103 91 90

Semilla corriente 72 70 90 94 93 90

Se desea probar si existe alguna diferencia significativa entre las semillas. En el presente ejemplo de muestras apareadas se tiene la opción de salida utilizando después de haber registrado la información:

109

Figura:Resultados de prueba de muestras pareadas

De acuerdo con los resultados se rechaza la igualdad de medias para el contraste de una cola puesto que el valor crítico de T (2,01504918) es menor que el valor del estadístico de prueba t (2,47152458), es decir, esta ubicado en la región critica o de rechazo de la hipótesis nula. Además, la probabilidad o p-valor (0.02821228) es menor que el nivel alfa propuesto de 0.05. Observando los resultados para el contraste de dos colas, se acepta la igualdad de medias, puesto que el valor crítico de t (2.57057764) es mayor que el valor del estadístico de prueba t (2.47152458), es decir, cae fuera de la región crítica o de rechazo, además, la probabilidad o p-valor (0.05642456) es mayor ligeramente al nivel alfa estipulado de 0.05. PRUEBA T PARA DESCONOCIDAS.

DOS

MUESTRAS

SUPONIENDO

VARIANZAS

IGUALES

Y

En Excel es posible ejecutar una prueba t de Student en dos muestras para determinar si sus medias son iguales suponiendo que las varianzas de ambos conjuntos de datos son desconocidas e iguales. Esta prueba se conoce con el nombre de prueba t homocedástica. En el cuadro de diálogo de “Análisis de datos” se elige prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales. El siguiente ejemplo permite entender el contraste, suponga que se están utilizando ampollas de la marca A durante muchos años, pero se contempla el cambio a la marca B debido a un mejor precio. Se afirma que la marca B es tan bueno como el A y a fin de contrastar dicha afirmación se toman las siguientes muestras de cada una de las marcas y se verifica el tiempo en horas de efecto y si se admite que no existe competencia entre las dos marcas, se trata de probar la hipótesis de que el efecto en horas de las ampollas de la marca B es igual a las de la marca A. El cuadro de dialogo para la prueba se muestra a continuación:

110

Figura: Prueba t para dos muestras

La salida correspondiente a las opciones de la prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales se muestran en la siguiente figura: Figura: Resultados prueba t dos muestras

En el ejemplo de las ampollas marca A y B se puede apreciar en el cuadro anterior que se rechaza la igualdad de medias, tanto para el contraste de una cola como para el contraste de dos colas, puesto que ambos valores críticos de t (1.7396064 y 2.1098185) son menores que el valor del estadístico de prueba t (2.5235223), es decir, caen dentro de la región crítica o de

111

rechazo. Además las dos probabilidades o p-valores (0.0109339 y 0.0218678) son menores que el alfa propuesto de 0.05. PRUEBA T PARA DOS MUESTRA SUPONIENDO VARIANZAS DESIGUALES Y DESCONOCIDAS. En Excel es posible ejecutar una prueba t Student en dos muestras para determinar si sus medias son iguales, suponiendo que las varianzas de ambos conjuntos de datos son desconocidas y desiguales. Esta prueba se conoce con el nombre de prueba t heterocedástica. Si en el cuadro de dialogo de “Análisis de datos” se elige la prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales, se obtiene el siguiente cuadro de diálogo: Figura: Ventana para prueba t de dos muestras

Para entender la prueba de t para dos muestras suponga que un ingeniero químico quiere analizar la cantidad de nicotina de dos marcas diferentes de cigarrillos (X y Y) para lo cual dispone de la información que se presenta junto con el cuadro de salida de la prueba: Figura: Resultados para prueba t de dos muestras

112

En el ejemplo del contenido de nicotina para las dos marcas de cigarrillos, se rechaza la igualdad promedio de nicotina, tanto para el contraste de una cola como para el contraste de dos colas, puesto que ambos valores críticos de t (1.7396064 y 2.1098185) son menores que el valor estadístico de prueba t (2.5156445), es decir, caen dentro de la región crítica o de rechazo. Además las dos probabilidades o p-valores (0.011112 y 0.0222241) son menores que el nivel alfa propuesto de 0.05. CONTRASTE CONOCIDAS.

Z PARA DIFERENCIAS DE MEDIAS SUPONIENDO VARIANZAS

En Excel también es posible ejecutar una prueba Z de la normal en dos muestras para determinar si sus medias son iguales, suponiendo que las varianzas de ambos conjuntos de datos son conocidas. Si en el cuadro de diálogo “Análisis de datos” se elige la opción Prueba Z para medias de dos muestras, suponiendo que las cifras que se registran corresponden al análisis de proteínas realizadas a una misma variedad de trigo cosechada en dos distritos diferentes, y se desea contrastar si existe alguna diferencia significativa en la cantidad promedio de proteína en los dos distritos, se obtiene el siguiente cuadro de diálogo: Figura: Ventana para prueba z de dos muestras

La opción de salida se muestra en el siguiente cuadro u corresponde a las opciones de la prueba Z para medias de dos muestras: Figura: Resultados de una prueba Z para dos muestras

113

En el presente ejemplo de las muestras de trigo de los dos distritos, se acepta la igualdad del contenido promedio de proteínas, tanto para el contraste de una cola como para el contraste de dos colas, puesto que ambos valores críticos de Z ( 1.64485348 y 1.95996279) son mayores que el valor estadístico de prueba Z (0.19377279), es decir, cae fuera de la región crítica o de rechazo. Además, la probabilidad o p-valor (0.42317692) es mayor que el nivel alfa preestablecido de 0.05.

3.6.2 Otras aplicaciones en Excel y SPSS. A. Excel GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS Excel dispone de funciones para la obtención de números aleatorios independientes, extraídos según una distribución dada, utilizando herramientas de análisis. Si en el cuadro de diálogo “Análisis de datos” de la figura 2.5 elige “Generación de números aleatorios” de la figura 2.6. Figura: Ventana de análisis de datos

Figura: Generación de números aleatorios

En el cuadro de número de variables introduzca el número de columnas de valores que desee incluir en la tabla de resultados; si no introduce valor alguno, el programa rellenará todas las

114

columnas del rango de salida que se haya especificado. En el cuadro de “Cantidad de números aleatorios” introduzca el número de puntos de datos que dese ver; si no introduce algún número el programa rellenará todas las columnas del rango de salida que haya especificado. En el cuadro de “Distribución” haga clic en distribución estadística que desee utilizar para crear los valores aleatorios Las distribuciones posibles son:  Uniforme: caracterizada por los límites inferior y superior. Se extraen las variables con probabilidades iguales de todos los valores del rango.  Normal: Caracterizada por una media y una desviación estándar. Una aplicación normal utiliza una media cero y una desviación estándar de uno para la distribución estándar normal.  Bernoulli: Caracterizada por la probabilidad de éxito (valor P) en un ensayo dado. Las variables aleatorias de Bernoulli tiene un valor cero ó uno; por ejemplo, puede trazarse una variable aleatoria uniforme en el rango 0...... Si la variable es menor o igual que la probabilidad de éxito, se asigna el valor uno a la variable aleatoria de Bernoulli; en caso contrario se le asigna el valor de cero.  Binomial: Caracterizada por una probabilidad de éxito (valor P) durante un número de pruebas; por ejemplo, se puede generar variables aleatorias de Bernoulli de número de pruebas, cuya suma es una variable aleatoria binomial. 1  Poisson: Caracterizada por un valor lambda, igual a . La distribución Media de Poisson se utiliza con frecuencia para caracterizar el número de incidencias por unidad de tiempo; por ejemplo, el ritmo promedio al que llegan los vehículos a una garita de peaje.  Frecuencia relativa: Caracterizada por un límite inferior y superior, un incremento, un porcentaje de repetición para valores y un ritmo de repetición de la secuencia.  Discreta: Caracterizada por un valor y el rango de probabilidades asociado. El rango debe contener dos columnas. La columna izquierda debe contener valores, y la derecha probabilidades asociadas con el valor de esa fila. La suma de las probabilidades debe ser igual a uno En el campo de parámetros introduzca un valor o varios valores para caracterizar la distribución seleccionada.- En el campo “Iniciar con” escriba un valor opcional a partir del cual se generan los números aleatorios. En el cuadro de “Rango de salida” introduzca la referencia correspondiente a la celda superior izquierda de la tabla de resultados. Haga clic en aceptar y se muestra la salida correspondiente a la opción de generación de números aleatorios OBTENCIÓN DE MUESTRA ALEATORIA SIMPLE Adicionalmente Excel permite obtener una muestra aleatoria simple con reposición de una población numerada dada como rango de entrada. En el cuadro de diálogo “Análisis de datos” se elige “Muestra como se indica en el cuadro 2.7, se obtiene el cuadro de diálogo de la

115

muestra de la figura 2.8. A continuación se explica la funcionalidad de todos los campos del cuadro de diálogo de la muestra. Figura: Ventana de análisis de datos

Figura: Ventana del dialogo para la muestra

Rango de entra: Introduzca la referencia correspondiente al rango de datos que contenga la población de valores de los que desee extraer una muestra. Rótulos: Active ésta casilla si la primer afila y la primera columna del rango de entrada contiene rotulo. Desactive si el rango de entrada carece de rotulo. Método de muestreo: Haga clic en el periódico o aleatorio para indicar el intervalo de muestreo que desee. Periodo: Introduzca el intervalo en el que desee realizar la muestra. El valor n del período del rango de entrada y cada valor n del período siguiente se copian en la columna de resultados. El muestreo termina cuando se llegue al final del rango de entrada. Número de muestra: Introduzca el número de valores aleatorios que desee en la columna de resultados. Cada valor se extrae de una posición aleatoria del rango de entrada, y puede seleccionarse cualquier número más de una vez. Rango de salida: Introduzca la referencia correspondiente a la celda superior izquierda de la tabla de resultados. Los datos se escriben en una sola columna debajo de la celda. Si selecciona “Periódico”, el número de valores de la tabla de resultados es igual al número de valores del rango de entrada dividido por la tasa de muestreo. Si selecciona “Aleatorio”, el número de valores de la tabla de resultados es igual al número de muestras.

116

En hoja nueva: Hace clic en ésta opción para insertar nueva hoja en e libro actual y pegar los resultados, comenzando por la celda A1 de la nueva hoja de cálculo. Para darle un nombre a la nueva hoja de cálculo, escríbalo en el cuadro. En libro nuevo: Haga clic en ésta opción para crear un libro nuevo y pegar los resultados en una hoja nueva del libro creado. Al pulsar aceptar en la figura 2.8, se obtiene la muestra aleatoria simple con ó sin reposición.

B.

SPSS

Ordenar casos Para ordenar una variable aleatoria de un archivo en SPSS, elija en los menús: datos, seleccionar casos como se indica en la figura: Figura: Editor de datos SPSS

Al hacer clic en ordenar datos aparece la siguiente figura que permite ordenar por la variable en que se esté interesado, para el caso se ha seleccionada la edad. Figura:

117

Seleccionar una muestra aleatoria En la barra de menú elija datos, y selecciona casos como se indica en la figura: Figura: Selección de casos

Al pulsar clic en seleccionar casos se logra la siguiente figura:

Al lado derecho de la figura selecciona muestra aleatoria de casos y pulsando muestra le obtiene la siguiente figura: Figura: Selección casos muestra aleatoria

El método de muestreo le permite introducir el porcentaje o el número de casos, que para el caso se selecciona el 10% y hace clic en aceptar, donde se puede observar en la vista de datos la selección de la muestra correspondiente al 10% del total de la muestra.

118

Actividades de aprendizaje. Ejercicio Generar 20 números aleatorios distribuidos uniformemente en el intervalo (0,1). Generar igualmente 20 números aleatorios entre 50 y 100. Desarrollo: En la primera fila escribe en A1 “número de orden”; En A2 escribe ALEATORIO (0,1) y en A3 ALEATORIO (50,100), como se indica en la siguiente pantalla: Figura 2.14 Ventana Excel de entrada de información

Aunque no es necesario en este caso, se inicia introduciendo los 20 primeros números naturales en el rango A2:A21 aunque solo sea para usarlos como referencia. En la celda B2 introduce la fórmula =ALEATORIO(), y en la celda C2 introduce la fórmula =ALEATORIO.ENTRE(50;100). En la figura 2.14 se presentó la estructura de fórmulas, y los resultados obtenidos al arrastrar hacia abajo 20 lugares ambas fórmulas. Ejercicio: Generar 15 números aleatorios distribuidos según una variable de Poisson de media 4 y según una binomial(40,1/10) Desarrollo: En el menú Herramientas de Excel elige “Análisis de datos”, a continuación selecciona “Generación de números aleatorios” y rellena la pantalla de entrada como se indica en la figura 2.7 y 2.8, obteniendo los resultados de la figura 2.9. Se observa que los rangos de los dos conjuntos de números aleatorios son parecidos, puesto que una binomial (n,p) puede aproximarse por una Poisson de parámetros np, siempre que np  5 y p  1 para el caso 10 del enunciado.

119

Figura: Ventana variable Poisson

Figura: Ventana variable binomial

Figura: Resultados ejercicio 2

120

Resumen Cuando las personas toman decisiones lo hacen con base en creencias que tienen en relación a su concepto de realidad. Cada una de estas creencias origina una hipótesis, que es una proposición avanzada con posibilidad de ser verdadera. La prueba de hipótesis es un método sistemático de evaluar creencias sobre la realidad que requiere de la confrontación de una creencia con una evidencia y decidir si puede mantenerse como razonable o descartarse por insostenible, e intervienen 5 pasos principales. El primer paso es la formulación de dos hipótesis opuestas, la hipótesis nula simbolizada por H 0 y la hipótesis alternativa simbolizada por H1 siendo ambas mutuamente excluyentes y también colectivamente exhaustivas, las cuales se pueden expresar en varias formas, mientras que la hipótesis nula puede ser expresada como exacta o inexacta, la alternativa siempre se expresa como inexacta de dos o una cola. El paso dos es la determinación del nivel de significancia y por supuestamente el tipo de distribución de probabilidad a utilizar, con el propósito de fijar los puntos críticos de la prueba, sea para una prueba de una cola o de dos colas. El paso tres es la selección del estadístico de prueba a calcular a través de una muestra aleatoria simple tomada de la población de interés para establecer la probable verdad o falsedad de la hipótesis nula. El paso cuatro es la confrontación con la regla de decisión, que consiste en aceptar o rechazar la hipótesis nula. El rechazo erróneo de una hipótesis nula que en realidad es verdadera se llama error tipo I y ocurre con una probabilidad de  . La aceptación errónea de una hipótesis nula que en efecto es falsa se llama error tipo II y ocurre con una probabilidad  . Dado el tamaño muestral de n, cualquier cosa que reduzca  hará aumentar  en forma automática. Las dos probabilidades complementarias 1   con respecto a  y 1   con respecto a  , se conocen respectivamente como el nivel de confianza y la potencia de la prueba de hipótesis. La relación entre los errores tipo I y tipo II se pueden describir con ayuda de la correspondiente curva. El paso 5 es la toma de la decisión con relación a la hipótesis nula planteada. Los procedimientos modernos de pruebas de hipótesis aún están sujetos a controversia considerable y los críticos presentan preocupaciones por las violaciones serias de suposiciones.

121

CAPITULO CUATRO 4. ANÁLISIS DE VARIANZA Introducción. En esta unidad se prosigue con el análisis de pruebas de hipótesis. Recuerde que en capítulo anterior se examinó la teoría general de la prueba de hipótesis y se describió el caso en el que fue seleccionada una muestra grande a partir de la población. Se empleó la distribución Z como base para determinar si es razonable concluir que una media calculada a partir de una muestra, proviene de una población hipotética. Además se probó si dos medias muestrales provienen de poblaciones iguales. También se efectuaron pruebas de una y dos muestras para relaciones proporcionales utilizando la distribución normal como entidad estadística de prueba. Se utilizó la distribución t como entidad estadística de prueba para muestras pequeñas (con menos de 30 observaciones) Cuando se desea conocer la homogeneidad que existe entre tres o más medias muestrales, se procede a determinar la variabilidad entre esas medias, técnica que se conoce como “análisis de varianza”. Es decir, cuando productos o individuos son sometidos a tratamientos determinados para ver cómo éstos influyen en resultados o comportamientos, lo más aconsejable es utilizar la técnica de análisis de varianza. El objetivo del análisis de varianza es determinar cuales son las variables independientes de importancia en un estudio, y en qué forma interactúan y afectan la respuesta. Objetivo general. Reconocer la importancia principios en que se basa y campos de aplicación de la técnica de Análisis de Varianza. Objetivo específico.  Comprender la noción general del análisis de varianza.  Realizar una prueba de hipótesis para determinar si dos varianzas muestrales provienen de poblaciones iguales.  Probar e interpretar hipótesis aplicando el análisis simple de varianza.  Establecer y organizar datos en una tabla de ANOVA de una y de dos direcciones.  Plantear, probar e interpretar hipótesis de análisis de varianza de dos factores de diseño de bloque aleatorizado.  Plantear, probar e interpretar hipótesis de análisis de varianza de dos factores con interacción o diseño de factorial.  Definir los términos tratamientos y bloques.  Dar a conocer el manejo de la herramienta de Análisis de varianza en Excel. 4.1. Generalidades. Como su nombre lo indica, el ANALISIS DE VARIANZA, consiste en comparar tres o más medias de una muestra para identificar su homogeneidad o variabilidad.

122

Del análisis de varianza, podemos decir que esta técnica estadística, normalmente es utilizada para analizar resultados en la investigación con diseños experimentales y cuasiexperimentales; muchas veces necesitamos comparar dos o más distribuciones que corresponden a variaciones de una misma variable dependiente, afectada por una o más variables independientes. Teóricamente es posible dividir la variabilidad del resultado de un experimento en dos partes: la originada por factores o tratamientos que influyen directamente en el resultado del experimento, y la producida por el resto de factores desconocidos o no controlables, que se conoce con el nombre de error experimental Un modelo de análisis de varianza es de efectos fijos cuando los resultados obtenidos sólo son válidos para esos determinados niveles del factor estudiado y lo que ocurra a otros niveles del factor puede ser diferente. Un modelo de análisis de varianza es de efectos aleatorios cuando los resultados obtenidos son válidos para cualquier nivel del factor estudiado. Un modelo es replicado si el experimento se repite varias veces para cada nivel del factor; en caso contrario se dice que el modelo es por unidad de casilla. SUPUESTOS DEL ANÁLISIS DE VARIANZA  Para cada población la variable de respuesta está normalmente distribuida.  La varianza de la variable respuesta es la misma para todas las poblaciones.  Las observaciones deben ser independientes. 4.2. Comparación Múltiple de Medias Muestrales. El análisis de varianza se usa para probar la igualdad de K medias poblacionales y la forma general del planteamiento de las hipótesis es: H o :  1   2  ...   K H 1 : No todas las medias de la población son iguales.

Donde:  j = Media de la j-ésima población. Si supone que se ha tomado una muestra aleatoria simple de tamaño n j de cada una de las K poblaciones, se tiene: X ij  Valor de cada observación i para el tratamiento j. n j  Cantidad de observaciones en el j - ésimo tratamiento. X j  Media de la muestra del j - ésimo tratamiento. S2j  Varianza de la muestra del j - ésimo tratamiento. S j  Desviación estándar de la muestra del j - ésimo tratamiento. La media general de las muestra, está representada por X , y es la suma de todas las observaciones divida entre la cantidad total de las mismas, expresada de la siguiente forma: 123

nj

K

 X X 

ij

j 1 i 1

nt

Donde: nt  n1  n2  ...  nK Si el tamaño de cada muestra es n, nT  kn , la ecuación de la media general se reduce a: K

nj

K

 X ij X 

j 1 i 1

nj

 

j 1 i 1

nt

K

X ij

X

n 

j

j 1

K

K

En otras palabras, cuando los tamaños de muestra son iguales, la media general muestral es justamente el promedio de las medias de las K muestras. Ejemplo: Suponga que una empresa tiene tres dependencias diferentes en donde produce tubos de iluminación, y desea verificar el control de calidad en cuanto a duración se refiere de las bombillas, y para ello toma una muestra de 6 unidades de cada factoría y las somete a desgaste hasta que dejan de iluminar con los siguientes resultados en horas: Observación 1 2 3 4 5 6 XJ

Planta 1 85 75 82 76 71 85 79

Planta 2 71 75 73 74 69 82 74

Planta 3 59 64 62 69 75 67 66

S J2

34

20

32

SJ

5.83

4.47

5.66

nJ

6

6

6

18

474

444

396

1314

n

X

total

73

iJ

J !

Solución: La media general es igual a: 3

X X 

J 1

nJ

J



79  74  66 219   73 18 3

Se observa que se obtienen las medias para cada tratamiento (79,74,66) y una media general (73). Para llevar a cabo la prueba de la igualdad de las medias de la población, se subdivide la variación total en dos mediciones:  Diferencia entre los grupos.  Diferencia dentro de los grupos.

124

La varianza de la muestra total se particiona en la varianza dentro de las plantas y la varianza entre las plantas, tal como se indica en el siguiente gráfico: Figura 5.1 Componentes de la variación total Variación total (VT)

Variación dentro del grupo (VDG)

=

k

n

+

2



Variación total (VT) =  X ij  X j 1 i 1

Variación entre grupo (VEG)



= VT

2

 X  X   85  732  75  732  ...  71  732  75  732  ...    ij  6

3

VT  

i 1

J 1

K

n

 X X 

59  732  64  732  946

j 1 i 1

ij

La gran media o media general.

n X ij  es la i-ésima observación del grupo, nivel o tratamiento j. n j  es el número de observaciones del grupo, nivel o tratamiento j.

n  es el total del número de observaciones en todos los grupos combinados. K  es el número de grupos, niveles o tratamientos del factor de interés. k

n



Variación dentro del grupo (VDG) =  X ij X j

2



= VDG

j 1 i 1

85  79 2  75  792  ...  71  742  75  742  ...  VDG   2 2 j 1 I 1 59  66   64  66   ....  430 3

6

X ij  es la i-ésima observación del grupo, nivel o tratamiento j.

X j  es la media de la muestra del grupo, nivel o tratamiento j. K

Variación entre grupos (VEG) =

n j 1

3

j

X

2

j

X

 = VEG

2

2 2 2 VEG   n6  X  X   679  73  674  73  666  73  516   J 1

125

K= es el número de grupos, niveles o tratamientos que se están comparando. n j  es el número de observaciones del grupo, nivel o tratamiento j. X j  es la media de la muestra del grupo, nivel o tratamiento j. X  es la media general o gran media. Compruebe que la variación total sea igual a la sumatoria de la variación entre y dentro de los grupos. Puesto que K niveles están siendo comparados, existen (K-1) grados de libertad asociados con la suma de cuadrados entre los grupos, niveles o tratamientos. Como cada uno de los K niveles contribuye con ( n j  1 ) grados de libertad, existen (n–k) grados de libertad asociados con la suma de cuadrados dentro de los grupos. Si cada suma de cuadrados se divide entre sus grados de libertad asociados, se obtienen tras varianzas o términos cuadráticos medios, como se indica en el siguiente cuadro: Cuadro: Componentes del análisis de varianza Variación Suma cuadrados Grados libertad K 2 Entre (K-1) nj X j  X tratamiento



j 1

Dentro o error

k



n

 X

2

(n-K)

VDT B n  k 

2

(n-1)

VT n  1

ij

X j



ij

X



j 1 i 1

Total

k

n

 X j 1 i 1

Cuadrado medio VET A K 1

Distribución F A B

Los resultados para el problema de análisis es el siguiente: Cuadro: Resultados del análisis de varianza Variación Suma cuadrados Grados libertad Entre 516 (K-1)= 2 tratamiento Dentro o error 430 (n-K)=15 Total

946

Cuadrado medio 516  258.00 2 430  28.67 15

Distribución F 258  8.99 28.67

(n-1)=17

En el anexo “F” Tabla de Distribución F determina el correspondiente valor crítico para el numerador (k-1= 3-1=2) y el denominador (n-K = 18-3=15), con una probabilidad de error tipo 1 o un nivel de significancia del 5%, que corresponde a F0.05  3.68 , significando que si se tuviera que seleccionar un valor al azar de una distribución F con 2 grados de libertad en el numerador y 15 en el denominador, sólo el 5% de las veces se obtendría un valor mayor que 3.68. Además la teoría del análisis del varianza indica que si es cierta la hipótesis nula, la relación entre los cuadrados medios entre y dentro de los tratamientos seria un valor dentro de esa distribución, tal que se rechaza si, el valor de dicha relación es mayor que el valor crítico:

126

Rechaza H 0 si

A  Valor crítico B

Para el caso la relación es igual a 8.99 mayor que el valor crítico 3.68, entonces se tienen pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula consistente en que las medias de las tres poblaciones son iguales. En otras palabras el análisis de varianza apoya la conclusión que las medias para la duración de las bombillas es diferente en las tres plantas. El gráfico para dicho planteamiento es el siguiente: Figura: Decisión del análisis de varianza

El valor de la relación es superior al valor crítico, por tal razón se rechaza la hipótesis nula consistente en que las medias poblacionales sean iguales. 4.3. Análisis de Varianza de un Factor. El análisis de varianza simple se presenta cuando se tiene un solo factor estudiado en sus distintos niveles que influyen sobre una variable respuesta que mide el resultado del experimento, y el resto de los factores conforman el error experimental influyendo sobre la variable respuesta de manera no controlable. El factor se presenta con I niveles, y dentro de cada nivel se analiza una serie de observaciones del experimento en control (unidades experimentales) y su efecto sobre la variable respuesta, es decir, para cada nivel se repite el experimento varias veces (replicación). El análisis de varianza descompone la variabilidad del resultado de un experimento en componentes independientes (variación total descompuesta en variaciones particulares). Como ejemplo se puede considerar los rendimientos de un mismo cultivo en parcelas diferentes, que aunque labradas en las mismas condiciones, producen cosechas que son distintas. La variabilidad de rendimientos es producida por factores o tratamientos controlables (abono, riego, etc.), donde cada factor o tratamiento puede presentar diferentes niveles (diferentes cantidades o calidades de abono, distinta intensidad de riego); también puede ser producida por otros factores o tratamientos no controlables (humedad relativa, clima, plagas, etc.). Así, X ij es la observación j-ésima de la variable respuesta relativa al j-ésimo nivel de factor, y en el ejemplo anterior, X ij es el rendimiento obtenido (variable respuesta) bajo el nivel i del factor (abono) en la observación j-ésima (Para cada nivel i de factor se repite el cálculo de rendimiento ni veces para recoger el efecto del error experimental). Se representa por ui la parte de X ij debida a la acción del factor.

127

Se representa por uij la variación causada por todos los factores no controlables (error experimental). En consideración a lo anterior el valor de la variable respuesta X ij , se debe a la variación debida al factor que se esta analizando y a la variación de los otros factores no controlables, por tanto se puede expresar que: X ij  ui  uij Se supone que uij es una variable normal de media cero y varianza constante. En esta sección se considera el análisis de varianza de un solo factor , en el cual solo interviene en el experimento un solo tipo de tratamiento. Cuando se desea contrastar las hipótesis sobre la diferencia global entre tres o más medias de población, se aplica la distribución de probabilidad F encontrando en cociente de dos varianzas calculadas a partir de los datos experimentales. El modelo lineal en que se basa el método de análisis de varianza de un solo factor es: X iJ     i   ij donde:

X ij : es la i - ésima observación del j - ésimo grupo experimental.

  la gran media de todas las poblaciones j del tratamiento.Es una constante  i  efecto del tratamiento en la población j. Son variables aleatorias independientes.  iJ  error aleatorio asociado a la í - ésima observación de tratamiento de la población j. Entre estas tres componentes, la gran media  se comprende por sí misma. El efecto  i del tratamiento o factor es la diferencia entre la gran media y la media  J de la población en tratamiento J, esto es:  i   J   Por consiguiente, si hay J tratamientos en un experimento, la suma de todos los J efectos de los tratamientos debe ser igual a cero: J

J

     i

J 1

J 1

J J

      J  J  0 J 1

El último término  iK refleja la variabilidad dentro de cada una de las poblaciones en tratamiento, y su presencia se atribuye al proceso aleatorio, y se interpreta como lo resultante de la diferencia entre el resultado observado y la media de la población del tratamiento:  iJ  X iij   j

El valor esperado o la esperanza de  ij es igual a cero. El modelo se basa en las siguientes suposiciones:  Admite que los errores aleatorios  ij tienen una distribución normal para cada población en tratamiento J.

128

 Admite que los errores  iJ se distribuyen independientemente tanto entre poblaciones en tratamiento como dentro de ellas.  Acepta que la varianza  2 del error permanece constante para cada una de las poblaciones. Un ejemplo numérico sencillo contribuye a la comprensión de las relaciones anteriormente expresadas en las fórmulas. Ejemplo: Suponga que dispone de un conjunto de árboles clasificados por altura (en metros) y por especie, según los siguientes datos: Cuadro: Registro de altura de un conjunto de árboles Especie

Altura

Especie

Altura

Especie

Altura

A

8.52

B

8.52

A

8.13

B

6.45

A

6.43

E

7.17

C

7.41

A

6.21

A

8.40

A

7.15

E

7.07

C

8.87

B

8.73

B

8.83

A

6.12

D

7.55

B

8.53

B

8.91

E

6.54

D

7.84

C

8.81

D

7.74

C

8.59

D

7.40

C

8.65

C

7.41

B

8.19

C

8.81

B

8.94

B

8.56

Solución: Para ajustar la información a un modelo de análisis de varianza, se considera como variable respuesta la altura de los árboles en metros, y como único factor la variable cualitativa especie con cinco niveles (A, B, C, D, E). Dado que se tiene un modelo de un solo factor, se desea probar si las variadas especies de árboles tienen igual o diferente promedio de altura con un nivel de significancia del 1%. Primero se estiman las medias para cada una de las especies y la media total, conforme al siguiente cuadro: Cuadro: Registro de estadísticos para diferentes especies Especie A

Especie B

Especie C

Especie D

Especie E

8.52 7.15 6.43 6.21 8.13 6.12

6.45 8.73 8.52 8.83 8.53 8.94

7.41 8.65 8.81 8.59 8.87 8.81

7.55 7.74 7.84 7.41 7.40

6.54 7.07 7.17

Total

129

Sumas

42.56

8.40 8.91 8.19 8.56 84.06

Promedio

7.093

8.406

8.523

7.588

6.926

7.707

Observaciones

6

10

6

5

3

30

5

37.94

20.78

236.48

nj

 X X 

51.14

j 1 i 1

nt

ij



8.52  7.15  ...  6.45  8.76  ...  7.41  8.65  ...  .... 236.48   7.882666 30 30

k

Variación total (VT) =

2

n

 X

ij

X

j 1 i 1

2



2

2

2

VT  8.52  7.88  ...  6.12  7.88  ...  7.07  7.88  7.17  7.88  24.0741867 k

n

 X

Variación dentro del grupo (VDG) =

2

ij

X j



j 1 i 1

2

2

2

2

VDG  8.52  7.09   ...  6.45  8.406   ...  7.41  8.523  ....  7.17  6.926   11.9584533

K

Variación entre grupos (VEG) =

n j 1

2

j

X

2

j

X



2

2

VEG  7.093  7.88  8.406  7.88  ....  6.926  7.88  12.1157333

Para calcular el estadístico de prueba perteneciente a la distribución F , se resume en el siguiente cuadro: Cuadro: Cálculos del cuadro de análisis de varianza Variación

Suma cuadrados 12.1157333

Grados libertad (K-1)= 4

Cuadrado medio 3.0289

Entre tratamiento Dentro o error Total

11.9584533 24.0741867

(n-K)=25 (n-1)=29

0.4783

Distribución F 6.332

130

En el anexo “F” Tabla de Distribución F determina el correspondiente valor crítico para el numerador (k-1= 5-1=4) y el denominador (n-K = 30-5=25), con una probabilidad de error tipo 1 o un nivel de significancia del 1%, que corresponde a F0.01  4.18 . Para el caso la relación es igual a 6.332 mayor que el valor crítico 4.18, entonces se tienen pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula consistente en que las medias de las cinco variedades de árboles son iguales. En otras palabras el análisis de varianza apoya la conclusión que las medias para la altura de las diferentes especies de árboles es diferente.

Pruebas “a posteriori” Las pruebas "a posteriori" son un conjunto de pruebas para probar todas las posibles medias que podría ser diferente al rechazar la hipótesis. Existen varias, (Duncan, Newman-Keuls, LSD): todas ellas muy parecidas. Usan el rango (diferencia entre medias) de todos los pares de muestras como estadístico y dicho rango debe superar un cierto valor llamado mínimo rango significativo para considerar la diferencia significativa. La principal diferencia con respecto a la t de Student radica en que usan MSE como estimador de la varianza, es decir un estimador basado en todas las muestras. Ejercicios 1.- Un inspector de un distrito escolar quiere estudiar el ausentismo de los profesores de diversos grados escolares. Se seleccionaron muestras aleatorias de profesores en escuelas primarias, secundarias, y preparatorias, y el número de días de ausencia el año anterior fue como sigue: Primaria 7 4 10 6 5

Secundaria 13 14 9 8 7 10

Preparatoria 7 2 6 9 9

Con un nivel de significancia de .025, determine si hay una diferencia en el ausentismo entre los diversos grados. 2.- El propietario de una distribuidora de combustible pretende investigar la rapidez con la cual le pagan sus facturas en tres áreas suburbanas. Se seleccionaron muestras de clientes en cada zona y se registró el número de días entre la entrega y el pago de la factura, con los siguientes resultados:

131

Área 1 8 18 14 20 12 14 15 16

Área 2 10 16 28 25 7 17

Área 3 32 8 16 27 17 20 19 21 20

Con un nivel de significancia de .025, determine si hay una diferencia en la rapidez con que pagan las facturas en estas tres áreas. 3.- Un agrónomo desea estudiar el rendimiento (en libras) de cuatro variedades diferentes de calabacitas. Se dividió una parcela en 16 lotes y se asignaron cuatro lotes al azar a cada variedad. Los resultados del experimento (en libras) fueron Calabacita redonda 86 74 88 76

Calabacita común 40 48 54 46

Calabaza alargada 30 36 42 34

Calabacita rayada 48 54 42 56

Con un nivel de significancia de .01, determine si hay una diferencia en el rendimiento de las diferentes variedades de calabacitas. 4.- Un distribuidor de automóviles nuevos quiere estudiar la cantidad de dinero aplicado a la compra de equipo opcional en automóviles de tamaño grande. Se seleccionó una muestra de 20 compras. Los sujetos se dividieron en las siguientes clasificaciones por edades: 18-24, 2529, 30-39, 40-59, 60 y más. La cantidad de equipo opcional comprado (en miles de pesos) se organizó en grupos de edad como sigue:

18-24 6.31 4.27 5.75

25-29 7.64 5.36 3.85 6.24

Edad 30-39 8.37 9.26 10.16 6.48 7.86

40-59 11.23 10.64 8.32 9.00 7.53

60 y más 6.74 7.36 5.12

Con un nivel de significancia de .05, determine si hay una diferencia en la cantidad de dinero aplicado a la compra de equipo opcional en automóviles nuevos entre los diferentes grupos de edad.

132

5.- Los alumnos de la clase de mercadotecnia calificaron el desempeño del profesor como excelente, bueno, malo y pésimo. Las calificaciones que dieron los estudiantes al profesor fueron comparadas con sus calificaciones finales del curso de mercadotecnia. Lógicamente, se pensaría que en general, los estudiantes que calificaron al profesor con excelente tendrían una calificación final mucho más alta que los que lo calificaron como bueno, malo o pésimo. Esto supondría también que quienes calificaron al docente como pésimo obtendrían las calificaciones mas bajas. Se seleccionaron muestras de calificaciones finales de los alumnos por cada tipo de calificación dada al maestro.

Excelente 94 90 85 80

Calificaciones finales de la clase de Mercadotecnia Bueno Malo 75 70 68 73 77 76 83 78 88 80 68 65

Pésimo 68 70 72 65 74 65

Se pretende determinar si hay una diferencia estadística entre la calificación promedio obtenida por los estudiantes de acuerdo a la calificación otorgada al maestro. Utilice un nivel de significancia de .01 6.- En un esfuerzo por determinar la más efectiva manera de enseñar principios de seguridad a un grupo de empleados de una compañía, cuatro diferentes métodos fueron tratados. Veinte empleados fueron asignados aleatoriamente a cuatro grupos. El primer grupo recibió instrucción programada en folletos y trabajaron a lo largo del curso a su propio paso. El segundo grupo atendió lecturas. El tercer grupo observó presentaciones en televisión, y el cuarto fue dividido en pequeños grupos de discusión. Al final de las sesiones, una prueba fue aplicada a los cuatro grupos. Los resultados fueron:

Calificaciones Instrucción programada 6 7 6 5 6

Lecturas

Televisión

8 5 8 6 8

7 9 6 8 5

Grupos de discusión 8 5 6 6 5

Pruebe en el nivel de significancia de .05 si hay o no diferencia entre las cuatro medias. 7.- Una revista para consumidores esta interesada en saber si existe o no alguna diferencia en la duración promedio de cuatro marcas diferentes de pilas para radios de transistores. Se probó una muestra aleatoria de cuatro pilas de cada marca, con los siguientes resultados (en horas):

133

Marca 1 12 15 18 10

Marca 2 14 17 12 19

Marca 3 21 19 20 23

Marca 4 14 21 25 20

Con un nivel de significancia de .05, pruebe si hay alguna diferencia en la duración promedio de estas cuatro marcas de pilas para radios de transistores 4.4 Análisis de Varianza con Dos Factores (Diseño de Bloques Aleatorizados). Con frecuencia interesa analizar los efectos de dos tipos de factores o tratamientos. Suponga que un experimento incluye dos tipos de factores: el uno llamado C (lo que sugiere columna) consistente en K tratamientos diferentes, y el otro, denominado F (lo que sugiere fila) consistente en J tratamientos diferentes. Se admite que respecto al j-ésimo tratamiento de F y el K-ésimo tratamiento de C, existen cuatro componentes así: X ijK     i   j   ijk donde:

  La gran media de X independiente del tratamiento.  i  Efecto del tratamiento i.  j  Efecto del tratamiento j.  ijk  Error aleatorio asociado a la i - ésima observación en la combinación del tratamiento j y k.

La varianza total de la muestra se particiona en la varianza entre las filas, varianza entre columnas, varianzas entre la j x k, y las varianzas del error aleatorio. Para este modelo, los cálculos del análisis de la varianza para las sumas de los cuadrados son idénticos a los realizados en el modelo de un solo factor, tan solo que se calculan variaciones para el factor de fila, de columna y para el error aleatorio. De manera análoga, los grados de libertad y los cuadrados medios son los mismos. A continuación se indica el cuadro resumen para el análisis de varianza de dos factores: Cuadro: Análisis de varianza para dos factores Fuente Suma de los cuadrados, SC de variació n Entre 2 C los  X . j  X  VEC  r  grupos  j 1  o column as (j) Entre 2 r los   VEF  c   X i.  X  bloques  i 11  o filas

Grados de Media Libertad, cuadrática, gl MC

c 1

r 1

Relación F

MCA 

VEC c 1

F

MCA MCE

MCB 

VEF r 1

F

MCB MCE

134

(i) Error 2 c r de   muestre VE    X ij  X . j  X i.  X  j 1 i 1 o, E c

Total, T

r

VT    X ij  X   j 1 i 1 

r  1c  1

MCE 

VE r  1c

2

rc  1

La definición de los términos del cuadro son los siguientes: X ij  Valor del bloque i - ésimo para el tratamiento del grupo i - ésimo. X i  La media de todos los valores en el bloque i. X j  La media de todos los valores para el tratamiento del grupo j. c

r

 X

ij

 X  La sumatoria de los valores de todos los bloques y de todos los grupos,

j 1 i 1

equivalente al gran total. r  El número de bloques. c  El número de grupos. n  Número total de observaciones.

Para contrastar los efectos de los factores en el modelo, se construye un estadístico que se compara los cuadrados medios, que bajo la hipótesis nula sigue una distribución F. Ejemplo: Suponga que existen cuatro parcelas diferentes las cuales son sometidas sucesivamente a seis tipos de insumos y se piensa que la producción es afectada por el tipo de insumo y mantenimiento a que es sometida. Se desea probar los diferentes tratamientos afectan la producción por parcela, y la producción es la siguiente: Cuadro: Rendimientos en kilos por parcela Tratamiento RENDIMIENTO EL KILOS Parcela Parcela 2 Parcela 1 3 A 70 61 82 B 77 75 88 C 76 67 90 D 80 63 96 E 84 66 92 F 78 68 98 Totales 465 400 546 Medias 77.50 66.67 91.00

Parcela 4

Total

Medias

74 76 80 76 84 86 476 79.33

287 316 313 315 326 330 1.887

71.75 79.00 78.25 78.75 81.50 82.50 78.625

135

Los totales por grupo (parcelas) y sus correspondientes promedios, los totales y los promedios por tratamientos o bloques ( insumo y manteniendo), así como la gran media se indican en el cuadro. Además de las estadísticas representadas en el cuadro, se tiene: r  6; c  4; n  rc  24 c

r

 X X 

j 1 i 1

ij



rc

1.887  78,625 24

Para determinar los resultados del experimento de diseños de bloques aleatorizados con fines ilustrativos, se hacen los siguientes cálculos: c

2

r

  Variación Total de Cuadrados: VT    X ij  X  j 1 i 1

2

2

2

VT  70  78,625  77  78,625  ...  86  78,625  2.295,63 2

C

  Variación entre grupos o columnas: VEC  r   X . j  X  j 1 2



2

2



VEC  6 77.5  78,625  66.67  78,625  ...  79.33  78,625  1.787,46 2

r

  Variación entre bloques o filas: VEF  c   X i.  X  i 11

2



2

2



VEF  4 71.75  78,625  79  78,625  ...  82.5  78,625  238,38 c

2

r

  Variación del error de muestreo: VE    X ij  X . j  X i.  X  j 1 i 1

2

VE  70  77.5  71.75  78,625 

77  77.50  79.00  78,6252   . . 2

 86 - 79.33 - 82.50  78,625  244.79

Para calcular los medios o promedios cuadráticos, se calculan así:

136

MCA 

VEC 1.787,46   595,82 c 1 4 1

MCB 

VEF 283.38   56,676 r 1 6 1

MCE 

VE 224.79 224.79    14,986 r  1c  1 6  14  1 15

Los cálculos anteriores se pueden resumir en el siguiente cuadro: Cuadro: Resultados del análisis de varianza para dos factores Fuente Suma de Grados Cuadrado medio F cuadrados libertad (varianza) Entre grupos 595.82 1.787.46 VEC  F  1.787.46 4-1=3 14,986 3  595,820  39,758 Entre Bloques 56,676 283.38 F VEF  283.38 6-1=5 14,986 5  56,676  3,782 Error

Total

224.79

(6-1)(4-1)=15

2.295.63

(6)(4)-1=23

224.79 15  14,986

VE 

Además de los registros anteriores, en las tablas ANOVA de los diferentes paquetes de software estadísticos, incluyen el p-valor que consiste en la probabilidad de obtener un estadístico F igual o mayor a la obtenida dado que la hipótesis nula sea verdadera, es decir, si el p- valor es menor que el nivel especificado de significancia  , la hipótesis nula es rechazada. Para nuestro caso se utiliza la información contenida en el cuadro anterior. Si se desea probar las diferencias entre los rendimientos de las parcelas con un nivel de significancia del 5%, la regla de decisión consiste en rechazar la hipótesis nula H o : 1   2  3   4  si el valor F calculado es mayor que 3.29 (Ver anexo F con 3 grados de libertad en el numerados y 15 grados en el denominador). Para el caso F = 39,758 es mayor que el valor crítico 3.29, entonces se rechaza la hipótesis nula y se llega a la conclusión que existe evidencia de una diferencia entre la producción promedio de las diferentes parcelas, como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

137

Figura: Región de aceptación de hipótesis

Como una verificación de la efectividad de la utilización de insumos, se puede probar la diferencia de efectividad de los diferentes insumos aplicados. La regla de decisión utilizando un nivel de significancia del 5%, sería la de rechazar la hipótesis nula H o : 1   2  3   4  5  6  si el valor F calculado excede a 2.90 (Ver anexo F con 5 grados de libertad en el numerados y 15 grados en el denominador). Para el caso el valor F = 3,782 es mayor al valor crítico, lo que se concluye que la utilización de los diferentes insumos, produce diferencia significativa entre los promedio de producción para las parcelas, y que la conformación de dichos bloques es ventajosa para reducir el error experimental, situación que se presenta en el siguiente gráfico: Figura: Región de aceptación de hipótesis

4.5. Análisis de Varianza de Dos Factores con Interacción. (Diseño Factorial). Se ha visto hasta ahora el análisis de varianza de una dirección o el modelo de diseño completamente aleatorizado, después el modelo de diseño de bloque aleatorizado, y en la presente sección el análisis de varianza de dos factores con interacción. Con el propósito de desarrollar el procedimiento de la prueba F, se define a continuación los siguientes términos:

138

X ijk  Valor de la k - ésima observación del nivel i del factor A t del nivel j del factor B. Xij  Suma de los valores de la celda ij (las observaciones del nivel i del factor A y del nivel j del factor B. X i..  Suma de los valores de la hilera i del factor A. X.j.  Suma de los valores de la columna j del factor B. GT  Gran total de todos los valores en todas las hileras y columnas. r  Número de niveles del factor A. c  Número de niveles del factor B. n '  Número de valores(replicas) para cada celda. n  Número total de observaciones del experimento (con n  r.c.n '

Con fines ilustrativos se hacen planteamientos tanto conceptuales como de cálculos para la descomposición de la variación total necesaria para el desarrollo del procedimiento de la prueba F. Debido a la gran cantidad de cálculos se recomienda que dicho proceso sea llevado por el paquete de software analizado más adelante. Tabla resumen para el análisis de varianzas de dos vías con más de una observación por célula se resume en el siguiente cuadro: Cuadro: Resumen de análisis de varianza de dos vías Fuente de variación Entre grupos de tratamiento A Entre grupos de tratamiento, B Interacción entre factores A y B.

Suma de los cuadrados, SC 2

X 2 GT  VEGA   i..'  rcn ' i 1 cn r

c

VEGB  

X .2j.

j 1

rn '

r

c

VEAB   i 1 j 1

c

 j 1

X .2j . rn '



2 GT   

rcn '

X ij2

X i2..  ' n' i 1 cn

Grados de Media cuadrática, Relación libertad, gl MC F VEGA MCA MCA  F r 1 r 1 MCE

c 1

MCB 

BEGB c 1

r  1c  1

MCC 

VEABI MCI F r  1c  1 MCE

MCE 

VE rc n '  1

r

F

MCB MCE

GT 2 rcn '

r c n' r c X2 Error de ij . 2 muestreo, E VE   X ijk   ' i 1 j 01 k 1 i 1 j 1 n ' r c n Total, T GT 2 VT   X ijk2  rcn ' i 1 J 1 K 1

'

rcn  1





rcn '  1

Ejemplo: Para ilustrar el modelo factorial de dos factores, suponga que UD como dueño y propietario de una cadena de supermercados esta interesado en saber el efecto de la colocación de los 139

estantes en la venta de un producto. Para ello estudia 4 posibles lugares distintos donde colocar los estantes: Colocación normal entre el pasillo(A), colocación ingreso del pasillo (B), colocación a la entrada del pasillo con impulsadora (C) y colocación normal con propaganda (D). Se toman ventas aleatorias en las jornadas de la mañana, tarde y noche y los resultados de las ventas semanales se resumen en la siguiente tabla: Cuadro: Colocación de productos en un estantes durante jornadas JORNADA COLOCACIÓN ESTANTE A B C D Totales Mañana 45 56 65 48 451 50 63 71 53 Tarde 57 69 73 60 539 65 78 80 57 Noche 70 75 82 71 622 78 82 89 75 Totales 365 423 460 364 1.612 Medias 60.83 70.50 76.67 60.67 Se tiene las siguiente información: X .1.  365 X 1..  451 r 3 X .2.  423 c4 X 2..  539 X .3.  460 X 3..  622 n'  2 X .4.  364

Medias 56,375 67,375 77,750

67,167

X 11.  95

X 21.  122

X 31.  148

X 12.  119

X 22.  147

X 31.  157

X 13.  136

X 23.  153

X 33.  171

X 14.  101

X 24.  117

X 34.  146

GT  1.612 r

n'

c

 X

2 ijk

 452  50 2  ...  752  111.550

i 1 j 1 k 1

X i2.. 4512  5392  6222   110.100,75  ' 42 i 1 cn r

c

X .2j .

 rn

'

3652  4232  460 2  3642  109.375 32



j 1

r

c

 i 1 j 1

GT 2 rcn'

X ij2. n'





952  119 2  ...  146 2  111.292 2 

1.612 2  108.272.66 342

140

Variación Total de Cuadrados: r

n'

c

VT   X ijk2  i 1 J 1 K 1

GT 2 rcn '

 111.550  108.272.66  3.277.34

Variación entre grupos del tratamiento A: 2

r

VEGA   i 1

X i2.. GT    110.100.75  108.272.66  1.828.09 cn' rcn '

Variación entre grupos del tratamiento B: c

VEGB   j 1

X .2j .

2 GT   

rn '

rcn '

 109.375  108.272.66  1.102.34

Variación entre los factores A y B: r

c

VEAB   i 1 j 1

X ij2

2

2

X i2.. c X . j . GT    '   ' n' rcn ' i 1 cn j 1 rn r

 111.292 - 110.100.75 - 109.375  108.272.66  88.91 Variación del error de muestreo: r

n'

c

VT   X

2 ijk

i 1 J 1 K 1

2  GT  

rcn '

 111.550  111.292  258

Para el cálculo de las varianzas se utilizan las siguientes relaciones:

MCA 

VEGA 1.828.09   914.045 r 1 3 1

MCB 

BEGB 1.102.34   367.447 c 1 4 1

MCC 

VEABI 88.91   14,818 r  1c  1 3  14  1

MCE 

VE 258   21.5 ' rc n  1 34 2  1





Los cálculos anteriores se resumen en el siguiente cuadro:

141

Cuadro: Resumen de análisis de varianza de dos vías Fuente de Suma de los Grados de variación cuadrados, libertad, gl SC Entre grupos de 1.828.09 3 1  2 tratamiento A Entre grupos de 1.102.34 4 1  3 tratamiento, B Interacción entre 88.91 factores A y B. 3  14  1  6 Error de 258 342  1  12 muestreo, E 3.277.34 Total, T 342  1  23

Media cuadrática, MC

Relación F

914.045

42.51

367.447

17.09

14.818 21.5

0.69

Si utiliza un nivel de significancia del 0.05 y se prueba la diferencia entre las ventas en las diferentes jornadas (mañana, tarde, noche), la regla de decisión es la rechazar la hipótesis nula ( H 0 : 1   2  ...   r ) si el valor calculado para F (42.51) es mayor que 3.49 (observar anexo F para 2 grados de libertad en el numerador y 12 grados de libertad en el denominador); se rechaza la hipótesis nula y se llega a la conclusión que existe evidencia que entre las diferentes jornadas las ventas en promedio son diferentes. Así mismo si utiliza un nivel de significancia de 0.05 para probar si existe alguna diferencia entre la ubicación de los estantes, la regla de decisión es rechazar la hipótesis nula ( H 0 : 1   2  ...  c ), si el valor calculado F (17.09) es mayor que 3.49 (observar anexo F para 3 grados de libertad en el numerador y 12 grados de libertad en el denominador); se rechaza la hipótesis nula y se concluye que existe una diferencia entre los promedios de ventas para la colocación de los diferentes estantes en el almacén. Finalmente se puede probar si existe algún efecto de interacción entre el factor A (ventas en las diferentes jornadas) y el factor B (colocación de los estantes). Utilizando un nivel de significancia del 5%, la regla de decisión es rechazar la hipótesis nula ( ABij  0, para todo i y j ), si el valor calculado F (0.69) es mayor que 3.0 (observar anexo F para 6 grados de libertad en el numerador y 12 grados de libertad en el denominador); no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que no existe evidencia de un efecto de interacción entre las jornadas del día y la colocación de los estantes. INTERPRETACIÓN DE LOS EFECTOS DE LA INTERACCIÓN Se ha realizado hasta ahora las pruebas para la significación del factor A, del factor B y de la interacción, corresponde entender en mejor forma el concepto de interacción, si se grafica las medias, empleando la siguiente fórmula:

X ij 

X ij n'

142

95  47.5 2 119  2 136  2 101   50.5 2

122 2 147  2 153  2 117  2

148  74.0 2 157   78.5 2 171   85.5 2 146   73.0 2

X 11. 

X 21. 

 61.0

X 31. 

X 12.

X 22.

 73.5

X 32.

 76.5

X 33.

 58.5

X 34.

X 13. X 14.

X 23. X 24.

Se procede a graficar las ventas semanales promedio de cada jornada y de cada colocación de la estantería, como se indica a continuación: Figura: Ventas de producto en tres jornadas

Ventas

Ventas Jornada mañana-tardenoche 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40

A B C D

Mañana

Tarde

Noche

Jornada

Las cuatro líneas representan las colocaciones de las estanterías aparecen apuntando casi representando en la misma dirección, lo que significa que la diferencia en las ventas entre las cuatro colocaciones de los estantes es virtualmente la misma para las ventas de las diferentes jornadas. En otras palabras, no existe interacción entre los dos factores (jornada y estantería), como claramente se evidenció en la prueba F vista anteriormente. ‘Cual es la interpretación si se presenta el efecto de interacción? En tal situación, algunos niveles del factor A responden mejor con ciertos niveles del factor B; por ejemplo, suponga que algunas colocaciones en los estantes fueran mejor para las jornadas. Si este fuera el caso, las líneas de la figura no estarían apuntando en la misma dirección que las hace casi paralelas y el efecto de interacción sería estadísticamente significativo, y por consiguiente, las diferencias entre las diferentes localizaciones de estantes no serían las mismas para las diferentes jornadas Ejercicios 1.- Un psicólogo industrial querría determinar el efecto del consumo de bebidas alcohólicas sobre la capacidad mecanográfica de un grupo de secretarias. Se asignaron en forma aleatoria cinco secretarias a cada uno de los tres niveles de consumo y a cada una de las tres diferentes bebidas. Se dieron a cada secretaria las mismas instrucciones para mecanografiar la misma página. Se registró el número de errores cometido por cada secretaria con los siguientes resultados

143

Consumo de alcohol 1 onza 2 onzas 3 onzas Tequila Brandy Ron Tequila Brandy Ron Tequila Brandy 2 3 4 7 5 9 10 8 5 4 4 5 6 4 6 7 3 4 4 6 4 8 10 8 6 5 4 3 4 2 12 13 4 5 4 9 7 11 12 10

Ron 12 5 12 11 12

Con un nivel de significancia de .01, pruebe las siguientes hipótesis: 

Es diferente la cantidad de errores dependiendo de la cantidad de bebida.



Es diferente la cantidad de errores dependiendo del tipo de bebida.



Es diferente la cantidad de errores dependiendo de la interacción de las dos variables.

2.- El gerente de menudeo de una cadena de tiendas desea determinar si la ubicación del producto tiene o no algún efecto sobre la venta de juguetes de peluche en forma de animales. Se van a considerar tres ubicaciones diferentes en el pasillo: frente, centro y atrás. Se seleccionó una muestra de 18 tiendas y se hizo una asignación aleatoria en seis tiendas para cada ubicación en el pasillo. Los juguetes estaban presentados en cuatro figuras de animales diferentes. Al final de un periodo de prueba de una semana las ventas de los productos fueron como sigue:

osos 86 72 54 40 50 62

frente perros gatos 81 76 77 82 49 44 45 50 45 40 67 72

león 71 87 39 55 35 77

osos 20 32 24 18 14 16

centro perros gatos 16 19 36 32 20 23 22 18 10 13 20 16

león 24 29 28 15 18 13

osos 46 28 60 22 28 40

Atrás perros gatos 51 56 24 20 65 68 18 16 33 34 36 36

león 56 21 66 19 30 41

Con un nivel de significancia de .01 pruebe las siguientes hipótesis: 

Las ventas en las diferentes ubicaciones del pasillo son diferentes



Las ventas de las diferentes figuras de animales son diferentes



Las ventas son diferentes debido a la interacción de las dos variables.

3.- El departamento de nutrición de cierta universidad lleva a cabo un estudio para determinar si hay diferencia o no en el contenido de ácido ascórbico entre tres diferentes marcas de concentrado de jugo de naranja. Se hacen cuatro pruebas de los tres tipos de concentrado de jugo de naranja que fue congelado durante tres periodos de tiempo diferentes (en días). Los resultados, en miligramos de ácido ascórbico por litro, son los siguientes:

144

MARCA RICA BUENA BARATA

0 52.6 49.8 56.0 49.6 52.5 51.8

54.2 46.5 48.0 48.4 52.0 53.6

TIEMPO ( DÍAS ) 3 49.4 49.2 42.8 53.2 48.8 44.0 44.0 42.4 48.0 47.0 48.2 49.6

7 42.7 40.4 49.2 42.0 48.5 45.2

48.8 47.6 44.0 43.2 43.3 47.6

Utilice un nivel de significancia de .05 para probar la hipótesis de que: 

Los contenidos de ácido ascórbico por marca de jugo son diferentes



Los contenidos de ácido ascórbico por tiempo de congelamiento son diferentes



Los contenidos de ácido ascórbico son diferentes debido a la interacción de las dos variables.

4.- Se estudia el comportamiento de tres camadas de ratas bajo dos condiciones ambientales en una prueba de laberinto. Las calificaciones de error para las 48 ratas se registran a continuación: Ambiente

Camada Brillante Mezclada Lenta

28 12 36 83 101 94

Libre 22 25 23 10 33 41 14 76 33 122 56 83

36 86 22 58 35 23

72 48 60 89 136 120

Restringido 25 32 91 31 35 83 126 110 38 64 153 128

93 19 99 118 87 140

Utilice un nivel de significancia de .05 para probar la hipótesis de que: 

Las calificaciones de error para las camadas son diferentes



Las calificaciones de error para los ambientes son diferentes

Las calificaciones de error son diferentes debido a la interacción de las dos variables 5.- Considere la combinación de dos factores en la eliminación de mugre en cargas estándar de lavandería. El primer factor es la marca del detergente, X, Y o Z. El segundo factor es la temperatura del agua, caliente o tibia. El experimento se replica seis veces. La respuesta es el porcentaje de eliminación de mugre. Los datos son los siguientes:

145

Temperatura

Marca X Y Z

85 78 90 92 85 87

Caliente 88 75 78 92 60 88

80 72 76 76 70 68

82 75 86 88 76 55

Caliente 83 75 88 76 74 57

85 73 76 77 78 54

Utilice un nivel de significancia de .05 para probar la hipótesis de que: 

Los porcentajes de eliminación de mugre son diferentes dependiendo del detergente.



Los porcentajes de eliminación de mugre son diferentes dependiendo de la temperatura.



Los porcentajes de eliminación de mugre son diferentes debido a la interacción de las dos variables.

6.- Los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento motor hecha a dos grupos de estudiantes que participan en deportes universitarios, el primer grupo está formado por estudiantes que practicaron deporte en la preparatoria, mientras que el segundo esta formado por estudiantes que no practicaron deporte en la preparatoria. Los puntajes obtenidos por ambos grupos son los siguientes: GRUPO 1 GIMNASIA FUTBOL 55 56 59 40 63 59 58 70 50 52 52 43 69 28 77 37 60 51

GRUPO 2 GIMNASIA FUTBOL 58 86 48 55 58 65 54 56 51 55 42 32 79 45 45 32

Utilice un nivel de significancia de .01 para probar la hipótesis de que: 

El rendimiento motor es diferente dependiendo del grupo



El rendimiento motor es diferente dependiendo del deporte



El rendimiento motor es diferente debido a la interacción de las dos variables.

7.- La asociación de egresados de la escuela “Mao Meno”, sospecha que sus miembros reciben en promedio un sueldo inferior al ingreso de los egresados de la escuela “Much A. Money”. Para comprobarlo se obtuvieron muestras de egresados de ambas escuelas. La información que se obtuvo fue la siguiente: (en miles de pesos)

146

MAO MENO MUCH A. MONEY CRIMINOLOGÍA PSICOLOGÍA CRIMINOLOGÍA PSICOLOGÍA 5.0 3.2 5.5 7.5 5.5 3.5 3.5 5.5 4.5 4.5 9.5 4.5 3.5 8.2 3.4 8.5 7.5 6.6 6.8 3.2 Utilice un nivel de significancia de .01 para probar la hipótesis de que: 

El ingreso es diferente dependiendo de la escuela



El ingreso es diferente dependiendo de la carrera



El ingreso es diferente debido a la interacción de las dos variables.

8.- En una secundaria se formaron al azar dos grupos de estudiantes, formados por alumnos de todos los grados. En un grupo se utilizó un nuevo método de enseñanza. En el otro se utilizaron los métodos tradicionales. Las calificaciones al final del curso fueron las siguientes: MÉTODO TRADICIONAL MÉTODO NUEVO PRIMERO SEGUNDO TERCERO PRIMERO SEGUNDO TERCERO 8 9 8.5 8 8 7.5 6.5 10 10 7 10 8.5 7 8 9 5 10 7.5 8 7 8.5 8 9 8 6 7.5 8 7 8.5 9 8 8 8 7.5 9 9 Utilice un nivel de significancia de .025 para probar la hipótesis de que: 

Las calificaciones son diferentes dependiendo del método



Las calificaciones son diferentes dependiendo del grado



Las calificaciones son diferentes debido a la interacción de las dos variable

- Aplicaciones en Excel y SPSS. A.

ANOVA EN EXCEL Siguiendo con el mismo ejercicio desarrollado anteriormente y que hace relación con el rendimiento de las acciones, se tiene nuevamente el enunciado: Ud. como analista financiero desea determinar si hay diferencia en la tasa promedio de rendimiento de cuatro tipos de acciones: de servicios públicos, de comercio, de industria y de la banca. Para ello se obtuvo la siguiente la información muestral:

147

Cuadro: Rendimientos de 4 tipos de acciones Rendimientos Promedios por tipo de acción Meses Servicios(A) Comercio(B) Industria(C) 1 94 75 70 2 90 68 73 3 85 77 76 4 80 83 78 5 88 80 6 68 7 65

Banca(D) 68 70 72 65 74 65

Utilizando un nivel e significancia del 0.01, pruebe si existe diferencia en la tasa media de rendimiento de los cuatro tipos de acciones. Paso 1. Ingrese la siguiente información en una hoja Excel: Figura: Registro de información

Paso 2:En el menú de Excel haga clip en herramientas y seleccione análisis de datos. Figura: Ventana desplegada de herramientas

Paso 3:Selecciona análisis de varianza de un factor y hace clip en aceptar.

148

Figura: Ventana de análisis de datos

Paso 4:Aparece un cuadro de dialogo como el siguiente: Figura: Ventana de análisis de varianza de un factor

Paso 5:En rango de entrada selecciona los valores registrados en la hoja de excel: Figura: Registro de información

Paso 6: Selecciona rótulos en la primera fila.

149

Figura: Registro de información

Paso 7:Seleccione un alfa de 0.01 y rango de salida en donde quiere ubicar la información: Figura: Selección del nivel alfa

Paso 8: Hace clip en aceptar y le aparece la siguiente información: Figura: Resultados del análisis de varianza

Observe que la información aquí registrada es igual a la que se calculo en la tabla ANOVA realizada en los cuadros anteriores:

150

El valor de la distribución F es igual a 8.99 y el valor crítico es igual a 5.09. La suma de los cuadrados toman el nombre de “entre grupos” denominados anteriormente tratamientos. y “dentro de los grupos” denominados anteriormente errores. De esta forma el análisis de varianza de un factor aplicando la hoja electrónica de Excel resulta ser muy sencillo.

B.

ANOVA en SPSS

Para obtener un análisis de varianza de un factor elija en los menú Analizar; Comparar medias; ANOVA de un factor como se indica en la siguiente figura. Figura: ANOVA de un factor

Seleccione una o más variables independientes y seleccione una sola variable de factor independiente, como se indica en la figura. Se pretende analizar el precio actual según el factor de titulación del estrato. Figura: ANOVA de un factor

151

Haciendo clic en el botón contrastes permite dividir las sumas de cuadrados Inter. – grupos en componentes de tendencia. En polinomio se puede contrastar la existencia de tendencia en la variable dependiente a través de los niveles ordenados de la variable de factor. Por ejemplo se puede contrastar si existe una tendencia lineal (creciente o decreciente) de un precio a través de los niveles ordenados del estrato. En coeficientes se pueden elegir contrastes a priori especificados por el usuario que serán contrastados mediante el estadístico T; si introduce un coeficiente para cada grupo (categoría) de la variable factor y se pulsa añadir después de cada entrada. Cada nuevo valor se añade al final de la lista de coeficientes. Para especificar conjuntos de contrastes adicionales, pulse en siguiente para desplazarse entre los conjuntos de contrastes.

Figura: ANOVA Contrastes

Haciendo clic en continuar y aceptar se presenta la tabla de ANOVA, como se indica en la siguiente figura con un valor F de 1.148 ANOVA

Intergrupos Intragrupos Total

Suma de cuadrados 198123,71 6 10144438, 614 10342562, 330

Media gl cuadrática 39624,74 5 3 34504,89 294 3

F 1,148

Sig. ,335

299

Actividades de aprendizaje. Las actividades de aprendizaje están orientadas a desarrollar los ejercicios vistos anteriormente pero no en forma manual, sino utilizando las herramientas de Excel para el análisis de varianza de un factor, análisis de varianza con dos factores o de diseño de bloques aleatorizados y finalmente análisis de varianza de dos factores con interacción o de diseño factorial.

152

Análisis de varianza de un factor: Suponga que dispone de un conjunto de árboles clasificados por altura (en metros) y por especie, según los siguientes datos: Cuadro: Registro de información sobre alturas en metros de árboles Especie A Especie B Especie C Especie D Especie E 8.52 7.15 6.43 6.21 8.13 6.12

Total

Sumas

42.56

6.45 8.73 8.52 8.83 8.53 8.94 8.40 8.91 8.19 8.56 84.06

Promedio

7.093

8.406

8.523

7.588

6.926

7.707

10

6

5

3

30

Observaciones 6

7.41 8.65 8.81 8.59 8.87 8.81

7.55 7.74 7.84 7.41 7.40

6.54 7.07 7.17

51.14

37.94

20.78

236.48

Ingrese los datos en la hoja como se indica en el siguiente cuadro: Figura: Registro de información en hoja de Excel

En el cuadro de dialogo de análisis de datos elija “Análisis de varianza de un factor” y rellene el cuadro de dialogo como se indica en la siguiente figura:

153

Figura: Registro de información en ventana

Pulse aceptar y obtiene los siguientes resultados: Figura: Resultados del análisis de varianza de un factor

Como el p-valor del test de Fisher (0.00115963) de igualdad de todas las medias de os niveles es menor que 0.05, existen diferencias significativas entre las alturas medias de los árboles de diferentes especies al 95% de confianza. Por otra parte el valor crítico (2.75871059) es menor que el valor del estadístico F (6.33220127), lo que corrobora la aceptación de la hipótesis de alturas medias distintas para las diferentes especies de árboles al 95% de confianza y corrobora los mismos valores calculados en igual ejemplo visto anteriormente en análisis de varianza de un solo factor, el cual se muestra a continuación: Cuadro: Resultados de análisis de varianza de un factor Variación Suma Grados Cuadrado cuadrados libertad medio 12.1157333 (K-1)= 4 3.0289 Entre tratamiento (n-K)=25 0.4783 Dentro o error 11.9584533 24.0741867 (n-1)=29 Total

Distribución F 6.332

154

Podrá darse cuenta que los resultados son idénticos, teniendo como ventaja el uso de la herramienta, un ahorro considerable de tiempo y menor riesgo a equivocarse. Análisis de varianza con dos factores (diseño de bloques aleatorizados). Suponga que existen cuatro parcelas diferentes las cuales son sometidas sucesivamente a seis tipos de insumos y se piensa que la producción es afectada por el tipo de insumo y mantenimiento a que es sometida. Se desea probar los diferentes tratamientos afectan la producción por parcela, y la producción es la siguiente: Cuadro: Registro de información sobre rendimientos en parcelas Tratamiento RENDIMIENTO EL KILOS Parcela 1 Parcela 2 Parcela 3 Parcela 4 Total A 70 61 82 74 287 B 77 75 88 76 316 C 76 67 90 80 313 D 80 63 96 76 315 E 84 66 92 84 326 F 78 68 98 86 330 Totales 465 400 546 476 1.887 Medias 77.50 66.67 91.00 79.33

Medias 71.75 79.00 78.25 78.75 81.50 82.50 78.625

La herramienta realiza un análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo, comprobando la hipótesis según la cual las medias de dos o más muestras son iguales (extraídas de poblaciones con la misma media). En el cuadro de dialogo de “Análisis de datos” elige la opción “Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo”, se obtiene el siguiente cuadro de dialogo: Figura: Venta de ANOVA de dos factores

Después de dar la opción de aceptar se tienen los siguientes resultados:

155

Figura: Resultados sobre análisis de varianza de dos factores

El p-valor es menor a un nivel de significancia del 0.05, por tal razón los rendimientos medios son diferentes para las parcelas como para la utilización de los diferentes tipos de insumos. De otra parte el valor estadístico de prueba F es superior al valor crítico afirmando la conclusión anterior. Los resultados son los mismos a los calculados anteriormente y que nuevamente se muestran a continuación: Cuadro: Resultados de análisis de varianza de dos factores Fuente Suma de Grados libertad Cuadrado medio F cuadrados (varianza) Entre grupos 595.82 1.787.46 VEC  F 1.787.46 4-1=3 14,986 3  595,820  39,758 Entre Bloques 56,676 283.38 F  VEF  283.38 6-1=5 14,986 5  56,676  3,782 Error

Total

224.79

(6-1)(4-1)=15

2.295.63

(6)(4)-1=23

224.79 15  14,986

VE 

Análisis de Varianza de Dos Factores con Interacción. (Diseño factorial): Suponga que UD como dueño y propietario de una cadena de supermercados esta interesado en saber el efecto de la colocación de los estantes en la venta de un producto. Para ello estudia

156

4 posibles lugares distintos donde colocar los estantes: Colocación normal entre el pasillo(A), colocación ingreso del pasillo (B), colocación a la entrada del pasillo con impulsadora (C) y colocación normal con propaganda (D). Se toman ventas aleatorias en las jornadas de la mañana, tarde y noche y los resultados de las ventas semanales se resumen en la siguiente tabla: Cuadro: Colocación de productos JORNADA COLOCACIÓN ESTANTE A B C Mañana 45 56 65 50 63 71 Tarde 57 69 73 65 78 80 Noche 70 75 82 78 82 89 Totales 365 423 460 Medias 60.83 70.50 76.67

D 48 53 60 57 71 75 364 60.67

Totales 451

Medias 56,375

539

67,375

622

77,750

1.612 67,167

El problema se relaciona con un diseño de dos factores con medidas repetitivas o replicas de dos veces, puesto que se toman dos muestras en cada jornada de cada una de las colocaciones de los estantes. La variable respuesta son las ventas semanales obtenidas, y los dos factores son la jornada y la colocación del estante. Para resolver el problema se introducen los datos tal como se indica a continuación: Figura: Registro de información

A continuación en el cuadro de dialogo de análisis de datos elige la opción “Análisis de varianza de dos factores con varias muestras por grupo, y rellena el cuadro de dialogo como se indica en la siguiente figura: Figura: Ventana de análisis de varianza

157

Pulsa aceptar y obtiene los siguientes resultados: Figura: Resultados de análisis de varianza de dos factores

A la vista de los p-valores obtenidos, se concluye que es significativa la diferencia entre las jornadas porque el p-valor (3.5787E-06) es menor que 0.05; igualmente es significativa la diferencia entre la colocación de los estantes porque el p-valor (0.00012489) es menor que el nivel e significancia 0.05; no es significativa la diferencia entre la interacción de los factores porque el p-valor (0.66276957) es mayor al nivel de significancia del 0.05. Podrá darse cuenta, que los resultados utilizando la herramienta de Excel son idénticos, a los trabajados manualmente en el ejercicio desarrollado anteriormente, como se indica en el siguiente cuadro: Cuadro: Resultados de análisis de varianza de dos factores Fuente de Suma de los Grados de Media variación cuadrados, SC libertad, gl cuadrática, MC Entre grupos de 1.828.09 914.045 3 1  2 tratamiento A Entre grupos de 1.102.34 367.447 4 1  3 tratamiento, B

Relación F 42.51 17.09

158

Interacción 88.91 entre factores A y B. Error de 258 muestreo, E Total, T 3.277.34

3  14  1  6

14.818

342  1  12

21.5

0.69

342  1  23

Cuadro elaborado manualmente en ejercicio anterior para análisis de varianza de dos factores. Auto evaluación - Para los siguientes enunciados indique si es cierto o falso. Si es falso, corríjalo * La distribución F esta positivamente sesgada * La distribución F se basa en dos conjuntos de grados de libertad. * Un tratamiento es una fuente de variación en los datos. * Para el procedimiento de ANOVA, las poblaciones deben ser positivamente sesgadas. * Rechazar la hipótesis nula en un procedimiento ANOVA, indica que difieren todos los pares de medias. * Si el nivel de significancia es de 0.05 y existen 3 grados de libertad en el numerador y 12 en el denominador, el valor crítico de F es iguala 3.49 * Si existen 4 tratamientos, el número de grados de libertad en el numerador de F es también de 4. * Una variable de bloque es una fuente de variación similar a una variable de tratamiento. * Existe una familia de distribuciones F, es decir, hay una distribución para 17 y 14 grados de libertad, y otra para 6 y 4 grados de libertad. - Durante los últimos meses el operario A ha producido un promedio de 9 componentes defectuosos con una desviación estándar de 2 piezas defectuosas. El operario B ha tenido un promedio mensual de 8.5 componentes defectuosos con una desviación estándar de - piezas en el mismo período.- Al nivel de significancia de 0.05, ¿es posible concluir que hay más variación mensual en el número de componentes defectuosos que se atribuye al operario A? - Se han seleccionado 20 personas las cuales aleatoriamente se han distribuido en 4 grupos de 5 personas cada uno, para adelantar una instrucción con 4 profesores diferentes. Al final se cada sesión se aplicó una prueba con una calificación de hasta 10 puntos y los resultados fueron los siguientes: Instructor A 6 7 6 5 6

Instructor B 8 5 8 6 8

Instructor C 7 9 6 8 5

Instructor D 8 5 6 6 5

Pruebe al nivel de significancia del 0.05 que no hay diferencia entre los promedios para los 4 grupos. - Se distribuyen 3 clases de jabones: A, B y C. Las ventas mensuales en unidades monetarias se indican en la siguiente tabla:

159

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo

Jabón A 7 11 13 8 9

Jabón B 9 12 11 9 10

Jabón C 12 14 8 7 13

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, aplique el procedimiento para demostrar si: * Las ventas medias para los diferentes tipos de jabones son iguales. * Las ventas medias son iguales para cada uno de los cinco meses.

ANOVA

Resumen. Se ha indicado cómo se usa el análisis de varianza para ver si existe diferencias significativas entre las medias de varias poblaciones o tratamientos. Además se introdujo el diseño de experimentos para un factor, el análisis de varianza de dos factores mediante el diseño de bloques aleatorizados y finalmente el análisis de varianza de dos factores con interacción mediante el diseño factorial. El objetivo principal de formar bloques en el diseño de bloques aleatorizado es eliminar fuentes extrañas de variación a partir del término de error. Ese agrupamiento da como resultado un mejor estimado de la varianza verdadera del error, y una mejor prueba para determinar si las medias de población o tratamiento del factor difieren apreciablemente. En el análisis de varianza de un solo factor, la estimación se basa en la variación entre los tratamientos; ese estimador permite contar con un estimado insesgado sólo si todas las medias poblacionales son iguales. Calculando la relación de ese estimador mediante el estadístico F, se llega a establecer una regla de rechazo para determinar si se rechaza la hipótesis nula que hace relación a que si las medias poblacionales o de tratamientos son iguales. En todos los diseños de experimento vistos, el agrupamiento o repartición de la suma de cuadrados y de los grados de libertad en sus diversas fuentes permite calcular los valores adecuados para el análisis de varianza y sus pruebas.

160

4.6 Análisis de Covarianza El análisis de la covarianza es una técnica estadística que, utilizando un modelo de regresión lineal múltiple, busca comparar los resultados obtenidos en diferentes grupos de una variable cuantitativa, pero "corrigiendo" las posibles diferencias existentes entre los grupos en otras variables que pudieran afectar también al resultado (covariantes). Para una muestra de n elementos , con sus correspondientes parejas de valores de datos  X 1 , Y1 ,  X 2 , Y2 , etc , la covarianza de la muestra se define mediante la siguiente ecuación: Covarianza de la muestra S XY 

 X

i



 X Yi  Y



n 1

En la fórmula cada valor de X i está aperado con uno de Yi . En la fórmula el producto de la desviación de cada X i respecto a su media X de la muestra, por la desviación de Yi respecto a su correspondiente media Y , divida entre la suma de n – 1. Ejemplo: Suponga que se desea comparar la cantidad de comerciales con el volumen de ventas diarias, para lo cual se dispone de la siguiente información: Cuadro: Cantidad de comerciales y nivel de ventas Cantidad Día Volumen ventas comerciales 1 2 50 2 5 57 3 1 41 4 3 54 5 4 54 6 1 38 7 5 63 8 3 48 9 4 59 10 2 46 El diagrama de dispersión para la información suministrada es:

161

Figura: Diagrama de dispersión

VENTAS

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 80 60 40 20 0 0

2

4

6

COMERCIALES

Para medir la intensidad de la relación lineal entre la cantidad de comerciales X, y el volumen de ventas Y, se calcula la covarianza de la muestra aplicando la anterior ecuación: Cuadro: Cálculos para la covarianza Xi Yi 2 5 1 3 4 1 5 3 4 2 30

X

50 57 41 54 54 38 63 48 59 46 510

S XY 

 X

i

i

X -1 2 -2 0 1 -2 2 0 1 -1 0



 X Yi  Y n 1



Y  Y  i

-1 6 -10 3 3 -13 12 -3 8 -5 0



X

i



 X Yi  Y 1 12 20 0 3 26 24 0 8 5 99



99  11 10  1

La ecuación para calcular la covarianza de una población de tamaño N se parece a la anteriormente descrita, pero con distinta notación para indicar que se está trabajando con la población: Covarianza de una población:  XY 

 X

i



  X Yi  Y



N

Interpretación de la covarianza Para auxiliar en la interpretación de la covarianza de la muestra, se hace necesario tomar en cuenta la siguiente figura: Figura: Partición del diagrama de dispersión 162

VENTAS

PARTICIÓN DEL DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

100 II

I

III

IV

50 0 0

2

4

6

COMERCIALES

La figura es la misma del diagrama de dispersión pero con una recta vertical en X = 3 (el valor de la X ) y una recta horizontal que corresponde a Y = 51 ( el valor de Y ). En la gráfica se presentan cuatro cuadrantes: los puntos del cuadrante I corresponden a valores de X i superiores a la X y a valores de Yi mayores que Y ; los puntos del cuadrante II a valores de X i menores a la X y a valores de Yi mayores que Y , y así sucesivamente. Entonces el







valor de X i  X Yi  Y debe ser positivo para los puntos ubicados en el cuadrante I, negativo para puntos del cuadrante II, positivo para del cuadrante III y negativo para los ubicados en el cuadrante IV. Si el valor de S XY es positivo, los puntos de máxima influencia sobre S XY deben estar en los cuadrantes I y III. Por consiguiente un valor positivo de S XY , indica una asociación lineal positiva entre X y Y, esto es, al aumentar el valor de X, el de Y aumenta. Sin embargo, si el valor de S XY es negativo, los puntos de mayor influencia sobre S XY están en los cuadrantes II y IV; por consiguiente, un valor de S XY negativo, indica una asociación lineal negativa entre X y Y; esto es, al aumentar el valor de X, el valor de Y disminuye. Por último, si los puntos se distribuyen uniformemente en los cuadrantes, el valor de S XY será cercano a cero, indicando que no existe asociación lineal entre X y Y. La siguiente figura muestra los valores de S XY que se pueden esperar con tres tipos distintos de diagrama de dispersión. Figura: Interpretación de la covarianza

163

En la figura anterior se observa que el diagrama de dispersión sigue el patrón de la primera figura anterior, y desde luego, se espera que el valor de la covarianza de la muestra es positivo, con S XY  11 . De conformidad con todo lo anterior, parecería que un valor positivo grande de la covarianza indica una fuerte relación lineal positiva y que un valor negativo grande indica una fuerte relación lineal negativa. Sin embargo, un problema usando la covarianza como medida de intensidad de relación lineal, el valor de la covarianza depende de las unidades de medida de X y Y. Por ejemplo, suponga que interesa la relación entre la altura (X) y el peso (Y) de ciertos individuos. Cuando la altura se expresa en centímetros se obtienen valores numéricos mucho mayores X i  X que cuando se expresa en metros. Así con la altura expresada en











centímetros, se obtiene un mayor valor en el numerador expresado por  X i  X Yi  Y y con él una mayor covarianza, cuando de hecho no hay diferencia en la relación. Para evitar dicha dificultad se utiliza el coeficiente de correlación, que igualmente mide la relación entre dos variables. 4.7. Coeficiente de Correlación: Para los datos de una muestra, se define el coeficiente de correlación Pearson del momento del producto de conformidad con la siguiente fórmula: S rXY  XY S X SY En donde: rXY  Coeficient e de correlació n de la muestra. S XY  Covarianza de la muestra. S X  Desviación estándar muestral de X. SY  Desviación estándar muestral de Y. La anterior ecuación indica que el coeficiente de correlación del momento del producto de Pearson para datos de la muestra (que generalmente se le denomina coeficiente de correlación de la muestra) se estima dividiendo la covarianza de la muestra entre el producto de la desviación estándar de X por la desviación estándar de Y. Para calcular el coeficiente de correlación de la muestra para el ejemplo que se está analizando (ejemplo 7.2), se estima las desviaciones estándar de la muestra para las dos variables. 2

SX 

 X

SY 

 Y  Y 

i

X





n 1

20  1.4907 9

2

i

n 1



566  7.9303 9

Como S XY  11 estimado anteriormente, el coeficiente de correlación de la muestra es: 11 S  0.93 rXY  XY  S X SY 1.4907 7.9303

164

En ocasiones cuando se dispone de calculadora, se prefiere utilizar las siguiente fórmula, en consideración a que no es necesario calcular las desviaciones estándar, evitando cometer errores de redondeo.  X Y 220  690 X iYi   i  i  3 n  rXY  2 2 2   X i   Y 2   Yi    14  6  3500  90  2   X 3  3  n   i n     i      40  1 2 800 Se observa que el coeficiente de correlación de la muestra para este conjunto de datos es igual a 1.

 



En general se puede demostrar que so todos los puntos de un conjunto de datos caen en una línea recta con pendiente positiva, el valor del coeficiente de correlación es +1, que corresponde a una relación lineal positiva perfecta entre las dos variables X y Y. Si los puntos de un conjunto de datos están en una recta que tiene pendiente negativa , el coeficiente de correlación de la muestra es de -1, que corresponde a una relación lineal negativa perfecta entre las variables X y Y. Suponga ahora que para cierto conjunto de datos, existe una relación lineal positiva entre X y Y, pero que esa relación no es perfecta, el valor de rXY es menor que 1, lo que indica que los puntos del diagrama de dispersión no están todos es una línea recta. A medida que los puntos se desvían de una relación lineal perfecta, el valor de rXY se hace más pequeño. Un valor de rXY igual a cero indica que no existe relación lineal entre X y Y, y los valores de rXY cercanos a cero señalan una relación lineal muy débil. Para el conjunto de datos del ejemplo 7.2 correspondiente a la cantidad de avisos publicitarios y el nivel de ventas se ha obtenido un rXY = +0.93, llegando a la conclusión que existe una relación lineal positiva entre la cantidad de anuncios comerciales y las ventas, específicamente, un aumento en la cantidad de anuncios se asocia con un incremento en las ventas.

- Actividades con Excel y SPSS A.

Excel

Regresión múltiple Ejemplo: Se considera las variables demanda, precio, ingreso y nivel de precipitación de alcachofas, con siguientes registros: Demanda Precio Ingreso Precipit

11 20 8.1 42

16 18 8.4 58

11 22 8.5 35

14 21 8.5 46

13 27 8.8 41

17 26 9.0 56

14 25 8.9 48

15 27 9.4 50

12 30 9.5 39

18 28 9.9 52

165

Ajustar a esta información a un modelo adecuado que ajuste la demanda en función del precio, el ingreso y el nivel de precipitación. En la opción Análisis de datos del menú de herramientas le lleva a la ventana de dialogo Análisis de datos y en la funciones para análisis selecciona Regresión como se indica en la siguiente figura. Figura: Análisis de datos para regresión

El cuadro de dialogo permite realizar un ajuste de regresión múltiple como se indica en la siguiente figura. Figura: Regresión

Al pulsar aceptar se obtiene la salida numérica que incluye los estadísticos de regresión, cuadro del análisis de varianza del modelo, estimadores, contrastes de significación de F y T con sus correspondientes p - valores asociados, intervalos de confianza para los parámetros y para las predicciones al 95% y residuos, como se indica en la siguiente figura.

166

Figura: Resultados del análisis

En la siguiente figura se presenta el gráfico de cada variable independiente contra los residuos que sirve para detectar problemas de no colinealidad, heterocedasticidad y autocorelación en el modelo de ajuste. Lo ideal es que todas las gráficas presenten una estructura aleatoria de sus puntos, como lo puede observar para las curvas de regresión pertenecientes al ingreso y al precio, no así para la curva de la precipitación. Figura: Grafico de curvas de regresión

Demanda

Precipit Curva de regresión ajustada 20 10 0

Demanda 0

20

40

60

80

Pronóstico Demanda

Precipit

Demanda

Ingreso Curva de regresión ajustada 20 10 0

Demanda 0

5

10

15

Pronóstico Demanda

Ingreso

167

Demanda

Precio Curva de regresión ajustada 20 10 0

Demanda 0

10

20

30

Pronóstico Demanda

40

Precio

En la siguiente figura se presenta el gráfico para detectar la hipótesis de normalidad del modelo, la cual cumple con el principio. Figura: Grafico de probabilidad normal

Demanda

Gráfico de probabilidad normal 20 10 0 0

20

40

60

80

100

Muestra percentil

En las siguientes figuras se presenta el gráfico de cada variable independiente contra los valores predichos, que sirve para detectar problemas de heterocedasticidad. Lo ideal es que todas las gráficas presenten una estructura aleatoria de puntos. Figura: Grafico de Residuales

Residuos

Precipit Gráfico de los residuales 1 0 -1 0 -2

10

20

30

40

50

60

70

Precipit

Residuos

Ingreso Gráfico de los residuales 1 0 -1 0 -2

2

4

6

8

10

12

Ingreso

168

Residuos

Precio Gráfico de los residuales 1 0 -1 0 -2

5

10

15

20

25

30

35

Precio

Análisis de Covarianza A continuación se presenta una relación de funciones de Excel para correlación, regresión y variables multidimensionales. Figura 7.19 COVAR

Devuelve la covarianza, o promedio de los productos de las desviaciones para cada pareja de puntos de datos definida por: 1 n Cov x, y    x j   x  y j   j  n j 1 COEFICIENTE DE Devuelve el coeficiente de correlación entre dos rangos de celdas definidos por los argumentos matriz1 y matriz2 definida por: CORRELACIÓN Cov x, y  px , y   x y Devuelve el cuadrado del coeficiente de correlación de momento del producto Pearson mediante los puntos de datos de conocido y y conocido x definido por: n xy    x  y  r 2 2 n x 2   x  n  y 2   y 

Coeficiente R^2

B.

SPSS

Regresión múltiple Si se continua con el ejemplo anterior para realizar el desarrollo en SPSS del modelo de regresión lineal, a continuación se transcribe el enunciado: Se considera las variables demanda, precio, ingreso y nivel de precipitación de alcachofas, con siguientes registros: Demanda Precio Ingreso Precipit

11 20 8.1 42

16 18 8.4 58

11 22 8.5 35

14 21 8.5 46

13 27 8.8 41

17 26 9.0 56

14 25 8.9 48

15 27 9.4 50

12 30 9.5 39

18 28 9.9 52

Ajustar a esta información a un modelo adecuado que ajuste la demanda en función del precio, el ingreso y el nivel de precipitación.

169

Se comienza con la introducción de la información en el editor de SPSS con los nombres de demanda, precio, ingreso y precipitación. Para estimar el modelo ingresa a la barra de menú; Regresión; Lineal como se aprecia en la siguiente figura. Figura: matriz de datos

En la barra de menú selecciona Analizar; Regresión; Lineal como se observa en la siguiente figura. Figura: Regresión

Rellena la pantalla de entrada del procedimiento regresión como se indica en la siguiente figura. Figura: Variable de análisis

Hace clic en el botón guardar y rellena la ventana como se indica en la siguiente figura, para guardar los residuos estudentizados como una nueva variable.

170

Figura: Variable estudentizado

Al pulsar aceptar la variable ser_1 que contiene los residuos se incorpora en el editor de SPSS, como se puede observar en la siguiente figura. Figura: matriz de datos con residuales

A continuación se halla la matriz de correlaciones de las variables independientes y los residuos rellenando la pantalla de entrada del procedimiento Correlaciones divariadas tal como se indica en la siguiente figura. Figura: Correlaciones

171

Rellenando la ventana de correlaciones vibariadas como se indica en la siguiente figura. Figura: Variable de análisis

Al pulsar aceptar se obtiene la matriz de correlaciones como se indica en la siguiente figura, en la cual se indica la fuerte correlación de los residuos con las variables independientes, lo que viola uno de los principios o supuestos esenciales del modelo de regresión. Figura Correlaciones Studentized INGRES PRECIO Residual O PRECIO

Correlación de 1 Pearson Sig. (bilateral) . N 10 Studentized Correlación de -,034 Residual Pearson Sig. (bilateral) ,926 N 10 INGRESO Correlación de ,868(**) Pearson Sig. (bilateral) ,001 N 10 ** La correlación es significativa al nivel 0,01 (bilateral).

-,034

,868(**)

,926 10

,001 10

1

-,023

. 10

,950 10

-,023

1

,950 10

. 10

Ante este problema, para ajustar el modelo se utiliza el procedimiento Regresión por Mínimos cuadrados de dos fases como se indica en la siguiente figura.

172

Figura: Análisis de regresión

Rellenando la pantalla de entrada como resultado del anterior procedimiento se logra la siguiente figura. Figura: Mínimos cuadrados en dos fases

Se utiliza como instrumentos la variable predictora ingresos en consideración a que los niveles de ingreso sean usados para predecir niveles de precios. Al pulsar aceptar se obtienen las siguientes figuras.

173

Figura: Resultados

Auto evaluación - ¿Cuál es la forma general de una ecuación de regresión múltiple con dos variables independientes? - Se estudio una muestra de personas selectas viudas para determinar su grado de satisfacción en su vida actual. Se utilizó un índice de satisfacción para medir dicha cualidad, estudiando 6 factores: La edad en el momento del primer matrimonio (  X 1  , ingreso diario  X 2  , número de hijos vivos  X 3  , valor de los bienes poseídos  X 4  , estado de salud expresado en índice  X 5  , y número promedio de actividades sociales por semana  X 6  . Suponga que la ecuación de regresión múltiple es: Y '  16.24  0.017 X 1  0.0028 X 2  42 X 3  0.0012 X 4  0.19 X 5  26.8 X 6 *¿Cuál es el índice estimado de satisfacción de una persona que se casó por primera vez a los 18 años, tiene un ingreso diario de $26.500, tres hijos vivos, bienes por $150.000, un índice de estado de salud de 14.1, y 2.5 actividades sociales por semana en promedio? * ¿Qué proporcionaría más satisfacción; un ingreso adicional de $10.000 al día, o dos actividades sociales más por semana? - Un estudio del departamento de transito a cerca de la velocidad y la distancia recorrida para automóviles medianos arrojó los siguientes datos:

174

Velocidad 30 Distancia 28

50 25

40 25

55 23

30 30

25 32

60 21

25 35

50 26

55 25

* Trace el correspondiente diagrama de dispersión. * ¿Qué indica el diagrama de dispersión a cerca de la relación entre las variables? * Calcule e interprete la covarianza de la muestra de datos * Calcule e interprete el coeficiente de correlación de la muestra de datos.

Resumen. El análisis de regresión múltiple es una técnica que utiliza diversas variables independientes (en lugar de una sola) para estimar el valor de una variable dependiente; el análisis de correlación múltiple mide la intensidad de asociación entre todas estas variable. A diferencia del análisis de regresión simple, el análisis de regresión múltiple permite ejercer el control estadístico sobre factores externos y determinar la influencia de cualquier variable independiente  X i  en la variable dependiente (Y) para valores específicos constantes de otras variables que pudieran afectar a Y. La técnica de regresión múltiple son extensiones sencillas de las de regresión simple. En presencia de dos variables explicativas, se plantea una ecuación de regresión múltiple de la siguiente forma: 

Y  b0  b1 X 1  b2 X 2

Los bi son los coeficiente de regresión múltiple que dan el cambio parcial en la variable dependiente Y que esta asociada con un cambio unitario en una variable independiente cuando la otra se mantiene constante. A partir de la ecuación de regresión múltiple de tres variables como la citada anteriormente, se calcula el error estándar, se hacen las inferencias sobre la base de los supuestos, también se logra probar la significancia completa de una regresión múltiple por medio del análisis de varianza, en la cual se prueba que todos los coeficientes de regresión reales son diferentes de cero y por tanto, las variables independientes ayudan a explicar la variación de la variable dependiente. En todo el contenido se usaron los resultados del paquete estadístico de Excel para llamar la atención que los programas estadísticos de computo son un medio realista de llevar a cabo numerosos cálculos que requiere el análisis de regresión múltiple. Se presentó el coeficiente de determinación múltiple como medida de la bondad del ajuste de la ecuación de regresión que termina la proporción de la variación de la variable dependiente que se puede explicar con la ecuación de regresión. El coeficiente ajustado de determinación múltiple es una medida parecida a la bondad de ajuste, que toma en cuenta la cantidad de variables independientes y con ello evita sobreestimar el impacto al agregar más variable independiente. Se describió la prueba F y la prueba t como métodos para determinar estadísticamente si la relación entre las variables es significativa,. La prueba F se aplica para determinar si existe una relación significativa entre la variable dependiente y el conjunto de variables independientes. La prueba t se utiliza para determinar si existe una relación significativa entre la variable dependiente y una variable individual independiente

175

CAPITULO CINCO 5. PRUEBAS NO PARAMETRICAS Introducción Uno de los problemas más difíciles para el principiante y para el investigador experimentado, es decidir cuál de las pruebas estadísticas es la más adecuada para analizar un conjunto de datos. La aplicación de la estadística en el análisis de datos es muy amplia y las áreas en las que se aplica son diversas, desde las ciencias exactas hasta las ciencias sociales. La selección de la prueba estadística necesaria para el caso, depende de varios factores, en primer lugar se debe saber cuál es la escala con la que se están midiendo los datos que se analizarán, pues no se puede aplicar la misma prueba estadística para el caso en que la variable de interés sea el peso de un producto que cuando lo es la profesión del usuario de un producto. Queremos introducir en este parte la noción de pruebas no paramétricas como aquellas que no presuponen una distribución de probabilidad para los datos, por ello se conocen también como de distribución libre. En la mayor parte de ellas los resultados estadísticos se derivan únicamente a partir de procedimientos de ordenación y recuento, por lo que su base lógica es de fácil comprensión. Cuando trabajamos con muestras pequeñas (n < 10) en las que se desconoce si es válido suponer la normalidad de los datos, conviene utilizar pruebas no paramétricas, al menos para corroborar los resultados obtenidos a partir de la utilización de la teoría basada en la normal. En estas técnicas, solamente se necesitan conocimientos elementales de matemáticas, pues los métodos son relativamente más sencillos que en las pruebas paramétricas. En estas pruebas, también se tienen supuestos, pero son pocos y no tienen que ver con la naturaleza de la distribución de la población, por lo que a estas técnicas también se les conoce como de libre distribución. En general el único supuesto que se debe cumplir en la mayoría de las pruebas no paramétricas para confiar en ellas, es que la muestra haya sido seleccionada en forma probabilística. Las pruebas que se mencionarán son las que se podrían necesitar con mayor frecuencia, se mencionarán sus principales características y aplicaciones.

Objetivo general. Contrastar la validez de hipótesis o conjetura sobre la relación entre variables y sobre las distribuciones de probabilidad teórica que adoptan dichas variables, sin sujetarse a los condicionamientos de la validez de supuestos paramétricos.

Objetivos específicos.  

Examinar que se entiende por hipótesis y por prueba de hipótesis No paramétricas. Realizar pruebas No paramétricas para una variable y para datos pareados

176

  

Realizar pruebas sobre la bondad de ajustes de variables a distribuciones de probabilidad teórica de carácter cuantitativas. Realizar pruebas de hipótesis para datos que se encuentran en una escala nominal u ordinal con aplicación de la distribución chi- cuadrado. Realizar pruebas sobre la relación entre dos y más variables poblacionales.

5.1 Generalidades Las pruebas de hipótesis hacen inferencias respecto a los parámetros de la población, como la media. Estas pruebas paramétricas utilizan la estadística paramétrica de muestras que provinieron de la población que se está probando. Para formular estas pruebas, hicimos suposiciones restrictivas sobre las poblaciones de las que extraíamos las muestras. Por ejemplo: suponíamos que las muestras eran grandes o que provenían de poblaciones normalmente distribuidas. Pero las poblaciones no siempre son normales. Los estadísticos han desarrollado técnicas útiles que no hacen suposiciones restrictivas respecto a la forma de las distribuciones de las poblaciones. Éstas se conocen como pruebas sin distribución, o pruebas no paramétricas. Las hipótesis de una probabilidad no paramétrica se refieren a algo distinto del valor de un parámetro de población Ventajas de los métodos no paramétricos. 1.

No requieren que hagamos la suposición de que una población está distribuida en forma de curva normal u otra forma específica. 2. Generalmente, son más fáciles de efectuar y comprender. 3. Algunas veces, ni siquiera se requiere el ordenamiento o clasificación formal. Desventajas de los métodos no paramétricos. 1. 2.

Ignoran una cierta cantidad de información A menudo, no son tan eficientes como las pruebas paramétricas. Cuando usamos pruebas no paramétricas, efectuamos un trueque: perdemos agudeza al estimar intervalos, pero ganamos la habilidad de usar menos información y calcular más rápidamente.

5.2 Prueba del Chi Cuadrado ÷ 2 La prueba de chi cuadrado puede emplearse para comparar frecuencias de dos o más grupos, como en muchas otras aplicaciones. Se utiliza en esta forma, para hacer referencia al ensayo como prueba de chi cuadrado para la independencia. Su versatilidad es una de las razones por la cual los investigadores usan esta prueba con tanta frecuencia. Esta prueba se denomina como Ji-cuadrado, derivada de la letra griega mayúscula Ji que se escribe ÷ y que se lee chi, el cuadrado se debe a que la suma de las diferencias entre los valores observados y esperados cuyo valor sea igual a 0, por lo tanto, se hace necesario elevarlos al cuadrado, para cuantificar la diferencias. La distribución normal se utiliza en todos aquellos casos en que el experimento ofrece dos resultados posibles; cuando se presentan más de dos resultados debe aplicarse la prueba de

177

chi-cuadrado, frecuentemente usada para probar hipótesis concernientes a la diferencia entre un conjunto de frecuencias observadas de una muestra y un conjunto correspondiente de frecuencias teóricas o esperadas. Cuando se trabaja con variables cualitativas podemos estar interesados en saber si las dos variables que clasifican a los individuos de una población están relacionadas o no. Por esta razón trabajamos con una muestra representativa de la población y dos variables cualitativas cuya relación queremos estudiar. Si al final de nuestro estudio concluimos que ambas variables no están relacionadas, decimos con un determinado nivel de confianza previamente fijado, que son independientes. A menudo nos formulamos preguntas referentes a las relaciones entre dos variables cualitativas, por ejemplo: ¿Existen diferencias en la recuperación de pacientes sometidos a distintos tratamientos? ¿Existen diferencias entre hombres y mujeres respecto a sus hábitos alimenticios?

El estadígrafo de la prueba chi cuadrado ÷ 2 Con el fin de resolver este tipo de situaciones aplicamos la prueba de chi-cuadrado ÷ 2 , que presenta las siguientes características: Intervienen dos o más variables cualitativas. Su valor sólo puede ser positivo. Hay una familia de distribuciones de esta clase, una para cada grado de libertad. Las distribuciones tienen sesgo positivo, pero conforme aumenta el número de grados de libertad, la distribución se aproxima a la de tipo normal.  Las variables presentan dos o más modalidades.  Los datos se presentan en frecuencias que se tabulan en tablas de contingencia o tablas de doble entrada.    

El estadígrafo de prueba es: Ó(O - E) 2 ÷ = . E 2

Ejemplo: Si un ingeniero de control de calidad toma una muestra de 10 neumáticos que salen de una línea de ensamblaje y él desea verificar sobre la base de los datos que siguen, los números de llantas con defectos observadas en 200 días, si es cierto que el 5% de todos los neumáticos tienen defecto; es decir, si el muestrea una población binomial con n = 10 y  = .05 Solución: 1. Establecer la hipótesis: Ho: La población es binomial y Ha: La población no es binomial

178

2. Establecer la estadística de prueba 3.

Establecer la estadística de prueba k

2

 

f

oi

 f ei f ei

i 1

Oi = Ei = K = m= 4.

2



Valor observado en la i-ésimo celda. Valor esperado en la i-ésimo celda. Categorías o celdas. Parámetros

Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo

g,l = k- m – 1 = (3 – 0- 1) = 5.99 Nivel de significancia = 0.05 2 2 Zona de rechazo = {  /   5.99) m = 0 porque no se necesito estimar ningún parámetro 2

k

 

f

oi

 f ei

2



f ei

i 1

5. Calculo de la estadística de prueba Para poder calcular las frecuencias esperadas tenemos que calcular las probabilidades utilizaremos la formula de la binomial f ( x )   nx  x ( 1   ) n  x Donde n = 10

f (0) 

 = 0.05 10 0

 0.05

0

( 1  0.05)10  0 = .599

1 10 1 f (1)  10 1 0.05 ( 1  0.05) = .315

y la probabilidad de 2 ó más = 1.0 - .599 - .315 = .086 Ahora ya podemos encontrar las frecuencias esperadas: 200 ( .599) = 119.8 200(.315) = 63 200 (.086) = 17.2

Al aplicar la formula se tiene: 179

2 

(138  119.8) 2 (53  63.0) 2 (9  17.2) 2   119.8 63 17.2 = 8.26

6. Como 8.26 es mayor que 5.99,se rechaza la hipótesis nula con un nivel de significancia de 0.05. 7. Conclusión: Se concluye que el porcentaje verdadero de neumáticos con defecto no es el 5%. 5.3. Prueba de Kolmogorov-Smirnov: La única premisa que se necesita es que las mediciones se encuentren al menos en una escala de intervalo. Se necesita que la medición considerada sea básicamente continua. Además dicha prueba es aplicable cualquiera sea el tamaño de la muestra. Compara las funciones de distribución teórica y empírica (sólo válido para variables continuas). Características de la prueba La prueba de K-S de una muestra es una hipótesis de bondad de ajuste. Esto es, se interesa en el grado de acuerdo entre la distribución de un conjunto de valores de la muestra y alguna distribución teórica específica. Determina si razonablemente puede pensarse que las mediciones muéstrales provengan de una población que tenga esa distribución teórica. En la prueba se compara la distribución de frecuencia acumulativa de la distribución teórica con la distribución de frecuencia acumulativa observada. Se determina el punto en el que estas dos distribuciones muestran la mayor divergencia. Se trata de un método no paramétrico sencillo para probar si existe una diferencia significativa entre una distribución de frecuencia observada y otra frecuencia teórica. Es otra medida de la bondad de ajuste de una distribución de frecuencia teórica. Se basa en la comparación de distribuciones acumuladas: la distribución acumulada de los datos observados y la distribución acumulada teórica correspondiente al modelo elegido. Hipótesis Ho: La distribución observada se ajusta a la distribución teórica. F(x) = Ft(x) para todo x. H1: La distribución observada no se ajusta a la distribución teórica. Ft(x): es la función teórica. Esta puede ser por ejemplo la función normal con cierta media y varianzas conocidas. Estadístico de prueba D = máxima Sn(x): es la función de distribución empírica.

180

Tiene varias ventajas: es una prueba poderosa y fácil de utilizar, puesto que no requiere que los datos se agrupen de determinada manera. Es particularmente útil para juzgar qué tan cerca está la distribución de frecuencias observada de la distribución de frecuencias esperada, porque la distribución de probabilidad Dn depende del tamaño de muestra n, pero es independiente de la distribución de frecuencia esperada (Dn es una estadística de distribución libre). Para calcular la estadística K-S, simplemente se elige Dn (la desviación absoluta máxima entre las frecuencias observadas y teóricas). Una prueba K-S siempre debe ser una prueba de un extremo. Luego se busca el valor crítico en la tabla, para las n observaciones, considerando el nivel de significancia adoptado. Si el valor de la tabla es mayor que el valor de Dn, entonces aceptaremos la hipótesis nula.

SUGERENCIAS:   

 

La prueba de Kolmogorov puede usarse con muestras muy pequeñas, en donde no se pueden aplicar otras pruebas paramétricas. Podemos usar la prueba de Kolmogorov para verificar la suposición de normalidad subyacente en todo análisis de inferencia. Si bien constituye una prueba de implementación sencilla, tenga en cuenta que carga con las desventajas de los métodos no paramétricos en general, en el sentido de producir resultados menos precisos que los procedimientos convencionales. Cuando trabaje con muestras pequeñas, recuerde usar la frecuencia cumulada experimental. El procedimiento general para realizar esta prueba para valores agrupados en intervalos de clase es el siguiente: 1) Especificar la distribución nula es f0(x,), y estimar sus parámetros si es necesario. 2) Organizar la muestra en una distribución de frecuencia, en intervalos de clase. 3) Con base en la distribución observada de frecuencia, se calcula la distribución acumulativa Sn(Xi) = mi/n, siendo Xi el límite superior del intervalo de clase, y mi el número de valores de la muestra menores o iguales que Xi. Sn(Xi) corresponde simplemente a la frecuencia relativa acumulada hasta el intervalo i. 4) Se calcula la función de distribución teórica FXi). 5) Para cada intervalo de clase se calcula la diferencia entre F (Xi ) y Sn (Xi), y se busca la máxima Dmax = Max | FX (Xi) - Sn (Xi), i = 1, 2, ..., k. 6) Se busca en la tabla el valor crítico Dmaxp(,n) con el nivel de significancia . Si el valor observado Dmax es menor o igual que el valor crítico, entonces se acepta la hipótesis nula de que no existen diferencias significativas entre la distribución teórica y la distribución dada por los resultados muestrales, es decir, que los valores generados siguen la distribución que se había supuesto. Cuando la muestra es pequeña y/o los valores no se van a organizar en intervalos de clase el procedimiento es similar, sólo que el paso 2 se cambia por "ordenar los valores de la muestra" en forma ascendente, de menor a mayor", y en los pasos 3 y 4 se calculan las funciones de distribución teórica y empírica para cada valor de la muestra.

181

Ejemplo. Considere de nuevo el ejemplo de la prueba de habilidad aplicada a un grupo de 80empleados. Mediante la prueba de Smirnov Kolomogorov. Con un nivel de significancia del 5%, pruebe la hipótesis de que los puntajes obtenidos siguen una distribución norma. Solución. De la tabla construida para realizar la prueba chi cuadrado tomaremos la información pertinente y la complementaremos con la información faltante, relativa al cálculo de Sn(Xi). Los cálculos se muestran a continuación.

 

El valor crítico para n = 80 valores y un nivel de significancia del 5% es Dmaxp(0.05,80) = 1.36/ = 0.152. Como la diferencia máxima observada fue de 0.0236 no hay razón para dudar que los puntajes se puedan aproximar mediante una distribución normal.

Ejemplo: Prueba de Smirnov - Kolmogorov - Valores agrupados. En la tabla siguiente se presentan los cálculos para realizar la prueba S-K para la muestra de 100 números aleatorios generados mediante un generador congruencial multiplicativo con a = 899, C = 0 y M = 32768, usados para la prueba chi cuadrado. Solución:



182



La diferencia máxima observada es Dmax(x) = 0.09 y el valor crítico para un nivel de significancia del 1% es de 1.63/ = .163. Como Dmax(x) < D(0.01,100) no podemos rechazar la hipótesis nula y debemos concluir que la muestra tomada del generador de números aleatorios proviene de una distribución uniforme (0,1).

5.4. Prueba de Wilcoxon de los Rangos con Signo Esta prueba nos permite comparar nuestros datos con una mediana teórica. Llamemos M0 a la mediana frente a la que vamos a contrastar nuestros datos, y sea X1, X2 .. Xn los valores observados. Se calcula las diferencias X1-M0, X2-M0, ..., Xn-M0. Si la hipótesis nula fuera cierta estas diferencias se distribuirían de forma simétrica en torno a cero. Para efectuar esta prueba se calculan las diferencias en valor absoluto |Xi-M0| y se ordenan de menor a mayor, asignándoles su rango (número de orden). Si hubiera dos o más diferencias con igual valor (empates), se les asigna el rango medio (es decir que si tenemos un empate en las posiciones 2 y 3 se les asigna el valor 2.5 a ambas). Ahora calculamos R+ la suma de todos los rangos de las diferencias positivas, aquellas en las que Xi es mayor que M0 y R- la suma de todos los rangos correspondientes a las diferencias negativas. Si la hipótesis nula es cierta, ambos estadísticos deberán ser parecidos, mientras que si nuestros datos tienen a ser más altos que la mediana M0, se reflejará en un valor mayor de R+, y al contrario si son más bajos. Se trata de contrastar si la menor de las sumas de rangos es excesivamente pequeña para ser atribuida al azar, o, lo que es equivalente, si la mayor de las dos sumas de rangos es excesivamente grande. 5.4.1 Prueba de Wilcoxon para contrastar datos pareados El mismo razonamiento lo podemos aplicar cuando tenemos una muestra de parejas de valores, por ejemplo antes y después del tratamiento, que podemos denominar (X1,Y1), (X2,Y2), ... ,(Xn,Yn). De la misma forma, ahora calcularemos las diferencias X1-Y1, X2-Y2, ... , Xn-Yn y las ordenaremos en valor absoluto, asignándoles el rango correspondiente. Calculamos R+ la suma de rangos positivos (cuando Xi es mayor que Yi), y la suma de rangos negativos R-. Ahora la hipótesis nula es que esas diferencias proceden de una distribución simétrica en torno a cero y si fuera cierta los valores de R+ y R- serán parecidos. Ejemplo Para muestras pequeñas utilizando la prueba de dos colas: Un investigador desea comparar el grado de hiperactividad en obesos cuando están en un programa para bajar de peso (dieta) y sin programa para bajar de peso. Elección de la prueba estadística. Se tienen dos muestras dependientes y, por el tipo de medición, es posible listarlas en una escala ordinal. Planteamiento de la hipótesis. 

Hipótesis alterna (Ha). Existe diferencia significativa entre el grado de hiperactividad en obesos cuando están en un programa de dieta y sin el programa de dieta.

183



Hipótesis nula (Ho). No existe diferencia significativa entre el grado de hiperactividad en obesos cuando están en un programa de dieta y sin el programa de dieta, esto es debido al azar.

Nivel de significación. Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho. Zona de rechazo. Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha. Aplicación de la prueba estadística. Con base a los pasos, se obtienen las diferencias observadas en los incrementos de hiperactividad en obesos, estando en un programa de dieta o no. Estos valores podrán tener signos positivos y negativos, los cuales quedarían abolidos al ordenarse los rangos y éstos los adoptan.

Sumatoria de T = 15.5 El valor T de la prueba de Wilcoxon obtenido se compara con los valores críticos de la tabla T en pruebas de rangos señalados de pares iguales de Wilcoxon, y se puede apreciar que para ser significativo (es decir, por debajo de 0.05, que fue el nivel de significancia), requiere que este 0.05 sea menor; por lo tanto, la probabilidad es mayor que 0.05. tc = 15.5 tt = 8 Para dos colas =  = 0.05 N= 10 tc  tt  rechaza Ho Decisión. En virtud de que la probabilidad es mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha. Interpretación. Las diferencias en el incremento o disminución de la hiperactividad en personas obesas con dieta o sin dieta, no son significativas. Estadísticamente resultan iguales, en razón de que pueden ser diferencias dadas al azar.

184

5.5. Prueba de Mann-Whitney para muestras independientes La prueba de Mann-Whitney puede utilizarse para probar la hipótesis nula de que las medianas de dos poblaciones son iguales. Se supone que las dos poblaciones tienen la misma forma y dispersión, porque tales diferencias también podrían conducir al rechazo de la hipótesis nula. Es necesario que los valores de las dos muestras aleatorias independientes estén al menos en la escala ordinal. Las dos muestras se combinan en un conjunto ordenado, en el que cada valor muestral se identifica según el grupo muestral original. Los valores se clasifican entonces de menor a mayor, asignando el rango 1 al menor valor muestral observado. En caso de valores iguales, se les asigna el rango medio. Si la hipótesis nula es cierta, el promedio de los rangos de cada grupo muestral debería ser aproximadamente igual. La estadística calculada para efectuar esta prueba se denomina U, y puede basarse en la suma de los rangos de cualquiera de las dos muestras aleatorias, de este modo:

Donde n1 = tamaño de la primera muestra n2 = tamaño de la segunda muestra R1 = suma de los rangos de la primera muestra R2 = suma de los rangos de la segunda muestra Dado que n1 > 10, n2 > 10 y la hipótesis nula sea cierta, la distribución de muestreo de U es aproximadamente normal, con los siguientes parámetros:

Por lo tanto, la estadística de prueba para probar la hipótesis nula de que las medianas de dos poblaciones son iguales es

Donde U es igual a U1 o U2. En situaciones en las que n1 < 10, n2 < 10 o tanto n1 como n2 < 10, la distribución normal de probabilidad no puede emplearse en esta prueba. No obstante, en libros de texto especializados en estadística no paramétrica se dispone de tablas especiales de la estadística U para esas pequeñas muestras. Ejemplo: Suponga que queremos saber cuál es el efecto de un material con sentido sobre la memoria. Se le pide a un grupo de seis sujetos que se aprenda de memoria un material sin sentido, y a otro grupo de seis sujetos que se aprenda de memoria un material con sentido. La memoria se medirá por el número de palabras recordadas y predecimos que los puntajes de recuerdo serán más altos para la condición 2.

185

Solución: Condición 1 (material sin sentido) Puntajes

Rango (1)

Condición 2 (material con sentido) Puntajes

Rango (2)

3 4 2 6 2 5

3 4 1.5 7.5 1.5 5.5

9 7 5 10 6 8

11 9 5.5 12 7.5 10

22

T1=23

45

T2=55

U = N1N2 + Nx(Nx + 1)/2 – Tx Donde: N1: Muestra 1 N1 = 6 N2: Muestra 2 N2 = 6 Tx: Mayor de total de rangos Tx = T2 = 55 Nx: Número de sujetos con el grupo de mayor total de rangos Nx = N2 = 6 Reemplazando U = 6 x 6 + ( 6 x 7)/2 – 55 = 36 + 21 – 55 = 2 El valor de U tabulado al nivel del 5% es de 7. Por lo tanto no podemos rechazar la hipótesis y aceptar que no existe una diferencia significativa a favor de un mayor recuerdo del material con sentido.

5.6. Prueba H de Suma de Rangos o Prueba de Kruskal-Wallis para comparar k muestras independientes Cuando se tiene interés o necesidad de probar una hipótesis nula en la que se afirma que k tratamientos son iguales o que k muestras aleatorias independientes provienen de poblaciones idénticas, siendo k > 2, la prueba estadística que se realizaría dentro de la estadística paramétrica sería el análisis de varianza de un sentido y para la prueba se utilizaría la distribución F; sin embargo, cuando la escala es ordinal o se desconfía del supuesto de que las muestras provienen de poblaciones con forma de distribución normal, se puede utilizar esta prueba para muestras independientes. La hipótesis alternativa sería que al menos dos poblaciones tienen una distribución diferente. La prueba de Kruskal-Wallis sirve para probar la hipótesis nula de que varias poblaciones tienen las mismas medianas. Así, es el equivalente no paramétrico del diseño completamente aleatorizado de un factor de análisis de varianza. Se supone que las diversas poblaciones tienen la misma forma y dispersión para que la hipótesis anterior sea aplicable, ya que diferencias en forma o dispersión podrían también conducir al rechazo de la hipótesis nula. Es

186

necesario que los valores de las diversas muestras aleatorias independientes estén al menos en la escala ordinal. Las varias muestras son vistas primeramente como un conjunto de valores, y cada valor de este grupo combinado se clasifica de menor a mayor. En caso de valores iguales, se les asigna el rango medio. Si la hipótesis nula es cierta, el promedio de los rangos de cada grupo muestral debería ser más o menos igual. La estadística de prueba calculada se denomina H y se basa en la suma de los rangos de cada una de las varias muestras aleatorias, de la siguiente manera:

donde N = tamaño de muestra combinado de las diversas muestras (nótese que en este caso N no designa al tamaño de la población) Rj . = suma de los rangos de la jésima muestra o grupo de tratamiento nj. = número de observaciones de la jésima muestra Dado que el tamaño de cada grupo muestral sea de al menos nj  5 y la hipótesis nula sea cierta, la distribución de muestreo de H es similar a la distribución X2 con g1 = K - 1, donde K es el número de tratamientos o grupos muestrales. El valor de X2 que aproxima el valor crítico de la estadística de prueba es siempre el valor de la cola superior. Este procedimiento de prueba es análogo a la cola superior de la distribución F que se emplea en el análisis de varianza. En el caso de rangos empatados, la estadística de prueba H debe corregirse. El valor corregido de la estadística de prueba se denomina HC y se calcula en la siguiente forma:

Donde tj representa el número de puntajes empatados en la jésima muestra. El efecto de esta corrección es incrementar el valor de la estadística H calculada. En consecuencia, si el valor no corregido de H conduce al rechazo de la hipótesis nula, no hay necesidad de corregir este valor para el efecto de rangos empatados. Ejemplo: Un investigador desea probar que los directores escolares son característicamente más autoritarios que los maestros de clase. Toma 17 maestros y los divide en tres grupos: maestros orientados a la enseñanza (permanecerán en la enseñanza), maestros orientados hacer directores y directores. Se les aplica una prueba de autoritarismo. Su hipótesis supone que los tres grupos diferirán con respecto a los promedios en la escala de autoritarismo) Puntaje de autoritarismo de los tres grupos: Profesores orientados a la

Profesores orientados a ser

enseñanza

Directores

96

82

Directores

115

187

128

124

149

83

132

166

61

135

147

101

109

180

171

177

Rango de autoritarismo de los tres grupos: Profesores orientados a la

Profesores orientados a ser

Directores

enseñanza

Directores

4

2

7

9

8

13

3

10

14

1

11

12

5

6

17

15

16

R1= 37

R2=53

R3=63

Realice los cálculos Los cálculos del estadístico H de prueba y compare este con el valor crítico al 5% de nivel de significación. 5.7. Introducción a la Inferencia Bayesiana La inferencia bayesiana es un tipo de inferencia estadística en la que las evidencias u observaciones se emplean para actualizar o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta. El nombre "bayesiana" proviene de uso frecuente que se hace del Teorema de Bayes durante el proceso de inferencia. La incertidumbre y la imprecisión son connaturales en el proceso de razonamiento. La lógica establece unas reglas de inferencia a partir de las cuales se construye el sistema de razonamiento deductivo, en el que una proposición de terminada es considerada como cierta o falsa, sin que se admitan grados entre estos dos extremos. Los métodos de razonamiento aproximado, entre los que se encuentran los métodos bayesianos, aportan modelos teóricos que simulan la capacidad de razonamiento en condiciones de incertidumbre, cuando no se

188

conoce con absoluta certeza la verdad o falsedad de un enunciado o hipótesis, e imprecisión, enunciados en los que se admite un rango de variación. Entre los métodos de razonamiento aproximado se encuentran los métodos bayesianos, basados en el conocido teorema de bayes. Todos ellos tienen en común la asignación de una probabilidad como medida de credibilidad de las hipótesis. En este contexto, la inferencia se entiende como un proceso de actualización de las medidas de credibilidad al conocerse nuevas evidencias. Matemáticamente se trata de obtener las probabilidades de las hipótesis condicionadas a las evidencias que se conocen. La actualización de las probabilidades condicionadas hipótesis a las evidencias se fundamenta en la aplicación del Teorema de Bayes. La diferencia entre los distintos métodos bayesianos, modelos causales y redes Bayesiana, estriba en las hipótesis de independencia condicional entre hipótesis y evidencias. Dichas relaciones se expresan comúnmente mediante un grafo dirigido aciclíco. La inferencia bayesiana es una inferencia estadística en la que se utiliza la evidencia o las observaciones para actualizar o inferir nuevamente que una hipótesis puede ser verdadera. El nombre "bayesiano" proviene del uso frecuente del teorema de Bayes en el proceso de inferencia. El teorema de Bayes ha sido derivado de la obra del Reverendo Thomas Bayes. Evidencia y creencias cambiantes La inferencia bayesiana utiliza aspectos del método científico que implica recolectar evidencia que se considera consistente o inconsistente con una hipótesis dada. A medida que la evidencia se acumula, el grado de creencia en una hipótesis se va modificando. Con evidencia suficiente, a menudo podrá hacerse muy alto o muy bajo. Así, los que sostienen la inferencia bayesiana dicen que puede ser utilizada para discriminar entre hipótesisen conflicto: las hipótesis con un grado de creencia muy alto deben ser aceptadas como verdaderas y las que tienen un grado de creencia muy bajo deben ser rechazadas como falsas. Sin embargo, los detractores dicen que este método de inferencia puede estar afectado por un prejuicio debido a las creencias iníciales que se deben sostener antes de comenzar a recolectar cualquier evidencia. Ejemplos de inferencia Un ejemplo de inferencia bayesiana es el siguiente: Durante miles de millones de años, el sol ha salido después de haberse puesto. El sol se ha puesto esta noche. Hay una probabilidad muy alta (o 'Yo creo firmemente que' o 'es verdad que') el sol va a volver a salir mañana. Existe una probabilidad muy baja (o 'yo no creo de ningún modo que' o 'es falso que') el sol no salga mañana. La inferencia bayesiana usa un estimador numérico del grado de creencia en una hipótesis aún antes de observar la evidencia y calcula un estimador numérico del grado de creencia en la hipótesis después de haber observado la evidencia. La inferencia bayesiana generalmente se basa en grados de creencia, o probabilidades subjetivas, en el proceso de inducción y no necesariamente declara proveer un método objetivo de inducción. Definiciones formales A pesar de todo, algunos estadísticos bayesianos creen que las probabilidades pueden tener un valor objetivo y por lo tanto la inferencia bayesiana puede proveer un método objetivo de inducción. (Vermétodo científico.) El teorema de Bayes ajusta las probabilidades, dada una nueva evidencia, de la siguiente manera:

189

Donde H0 representa una hipótesis, llamada hipótesis nula, que ha sido inferida antes de que la nueva evidencia, E, resultara disponible. P(H0) se llama la probabilidad a priori de H0. P(E | H0) se llama la probabilidad condicional de que se cumpla la evidencia E dado que la hipótesis H0 es verdadera. Se llama también la función de verosimilitud cuando se expresa como una función de E dado H0. P(E) se llama la probabilidad marginal de E: la probabilidad de observar la nueva evidencia E bajo todas las hipótesis mutuamente excluyentes. Se la puede calcular como la suma del producto de todas las hipótesis mutuamente excluyentes por las correspondientes probabilidades condicionales:

.

P(H0 | E) se llama la probabilidad posteriori de H0 dado E. El factor P(E | H0) / P(E) representa el impacto que la evidencia tiene en la creencia en la hipótesis. Si es posible que se observe la evidencia cuando la hipótesis considerada es verdadera, entonces este factor va a ser grande. Multiplicando la probabilidad a priori de la hipótesis por este factor va a resultar en una gran probabilidad a posteriori dada la evidencia. En la inferencia bayesiana, por lo tanto, el teorema de Bayes mide cuánto la nueva evidencia es capaz de alterar la creencia en la hipótesis. Establecimiento de la Inferencia Los estadísticos bayesianos sostienen que aun cuando distintas personas puedan proponer probabilidades a priori muy diferentes, la nueva evidencia que surge de nuevas observaciones va a lograr que las probabilidades subjetivas se aproximen cada vez más. Otros, sin embargo, sostienen que cuando distintas personas proponen probabilidades a priori muy diferentes, las probabilidades subjetivas a posteriori pueden no converger nunca, por más evidencias nuevas que se recolecten. Estos críticos consideran que visiones del mundo que son completamente diferentes al principio pueden seguir siendo completamente diferentes a través del tiempo por más evidencias que se acumulen. Multiplicando la probabilidad anterior P(H0) por el factor P(E | H0) / P(E) nunca se podrá obtener una probabilidad superior a 1. Ya que P(E) es al menos mayor que que permite la igualdad

, lo

(véase probabilidad conjunta), reemplazando

P(E) con en el factor P(E | H0) / P(E) esto dejará una probabilidad posterior de 1. TPor lo tanto, la probabilidad posterior no llegará a ser mayor que uno sólo si P(E) fuese menor que

lo que nunca es cierto.

La probabilidad de E dado H0, P(E | H0), puede ser representada como una función de su segundo argumento, lo que puede hacerse proporcionando un valor. Tal función se denomina función de verosimilitud; es función de H0 dado E. Una proporción de dos funciones de verosimilitudes que se denomina proporción de verosimilitud, Ë. Por ejemplo:

190

La probabilidad marginal P(E), puede ser representada además como la suma de los productos de todas las probabilidades de las hipótesis exclusivas mutuamente y que corresponden a probabilidades condicionales: resultado, se puede reescribir el teorema de Bayes como:

. Como

Con dos evidencias independientes E1 y E2, la inferencia bayesiana se puede aplicar iterativamente. Se puede emplear la primera evidencia para calcular la primera probabilidad posterior y emplear ésta en el cálculo de la siguiente probabilidad y continuar de esta forma con las demás. La independencia de evidencias implica que:

Aplicando el teorema de Bayes de forma iterativa, implica

Empleando los ratios de verosimilitud, se puede encontrar que

, Esta iteración de la inferencia bayesiana puede ser expandida con la inclusión de más evidencias. La inferencia bayesiana se emplea en el cálculo de probabilidades en la toma de decisión. Se emplean en las probabilidades calculadas en la teoría de cálculo de riesgos, en la denominada función de pérdida que refleja las consecuencias de cometer un error.

191

GLOSARIO. TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA: Tabla que se usa para resumir los cálculos y resultados del análisis de varianza. En las columnas se indican la fuente de variación, la suma de cuadrados, los grados de libertad, el cuadrado medio y los valores F. REPARTICIÓN O PARTICIÓN: Proceso de asignar la suma total de cuadrados y los grados de libertad a los diversos componentes. PROCEDIMIENTO DE COMPARACIÓN MÚLTIPLE: Procedimientos estadísticos para llevar a cabo comparaciones estadísticas entre pares de medias poblacionales o de tratamientos. FACTOR:

Sinónimo de la variable de interés en un experimento.

TRATAMIENTO:

Distintos niveles de un factor.

EXPERIMENTO DE UN SOLO FACTOR:Un experimento donde solo interviene un factor con k poblaciones o tratamientos. UNIDAD EXPERIMENTAL: Los objetos de interés en el experimento. DISEÑO TOTALMENTE ALEATORIZADO: Diseño de experimento en el que los tratamientos se asignan aleatoriamente a las unidades experimentales. CUADRADO MEDIO: La suma de los cuadrados divida entre los grados de libertad correspondientes. Esta cantidad se usa en la relación F para determinar si existe diferencias significativas entre las medias poblacionales. AGRUPAMIENTO EN BLOQUES: Proceso de usar las mismas o semejantes unidades experimentales para todos los tratamientos. El objeto del agrupamiento en bloques es eliminar una fuente de variación del termino de error, y en consecuencia, obtener una prueba mas poderosa para investigar una diferencia entre promedios de población o de tratamientos. DISEÑO DE BLOQUE ALEATORIZADO: Diseño agrupamiento en bloques.

de

experimento

EXPERIMENTO FACTORIAL: Diseño de experimentos conclusiones estadísticas acerca de dos o más factores.

que

donde

permite

se

llegar

usa

a

REPLICACIÓN: O repetición, es la cantidad de veces que aparece cada condición experimental en un experimento. INTERACCIÓN: Efecto producido cuando los niveles de un factor interactúan con los de otro factor, influyendo sobre la variable respuesta. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN MÚLTIPLE: Medida de bondad de ajuste de la ecuación estimada de regresión múltiple. Se puede interpretar como la proporción de variación en la variable dependiente que es explicado mediante la ecuación estimada de regresión.

192

COEFICIENTE AJUSTADO DE DETERMINACIÓN MÚLTIPLE. Medida de bondad de ajuste para la ecuación estimada de regresión múltiple, que ajusta teniendo en cuenta la cantidad de variables independientes en el modelo, y en consecuencia evita sobre estimar el impacto de agregar más variables independientes. ECUACIÓN ESTIMADA DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: Es el estimado de la ecuación de regresión múltiple, basado en los datos de la muestra y en el método de los mínimos cuadrados. ECUACIÓN DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: Ecuación matemática que relaciona el valor esperado o valor medio de la variable dependiente con los valores de las variables independientes MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS: Método para determinar la ecuación estimada de regresión. Minimiza la suma de residuales elevados al cuadrado. MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: Ecuación matemática que describe cómo se relaciona la variable dependiente (Y) con las variables independientes  X i  y un término que se denomina error ui  . MULTICOLINEALIDAD: independientes.

Término

REGRESIÓN MÚLTIPLE: independientes.

Análisis de regresión donde se manejan dos o más variables

que

describe

la

correlación

entre

variables

RESIDUAL: Es la desviación que existe entre el valor observado de la variable dependiente y el valor estimado de la misma.

193

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