Inecuaciones

MATEMÁTICAS 11 Números Reales y Desigualdades NÚMEROS REALES

Entre dos números reales siempre es posible encontrar otro número real.

Los conjuntos numéricos fueron construidos debido a diferentes necesidades de la humanidad. El primer conjunto conocido es el de los naturales  el cual surgió principalmente de la necesidad de contar objetos.

(ℕ)

DESIGUALDADES EN LOS REALES Una desigualdad entre dos números reales a y b es una expresión de la forma

 < ,,  >

, ≤ , ≥ 

Propiedades de las desigualdades Luego, surgió el conjunto de los números enteros   como solución a las deudas. Posteriormente, aparecieron los números racionales  para solucionar el problema de fracciones.

(ℤ) (ℚ)

 Ante una dificultad con c on expresiones decimales infinitas no periódicas surgen los números irracionales (I) algunos ejemplos son: .

√ 2,2, √ 3,3,



Finalmente, el conjunto de números reales  está formado por la unión de los Raciones Raciones y los Irracionales.

(ℝ)

1. Si

 <   y  <  entonces  < .

2. Si se suma o se resta un mismo número en los dos miembros de la desigualdad el sentido se conserva. Es decir .

 <  →  ± <  ±



3. Si se multiplica o divide los dos miembros por de la desigualdad por un mismo número positivo el sentido de la desigualdad se conserva .

 <    > 0 →  < 

4. Si se multiplica o divide los dos miembros por de la desigualdad por un mismo número negativo el sentido de la desigualdad cambia .

 <    < 0 →  > 

Las desigualdades se pueden representar en intervalos.

Intervalo: es un subconjunto no vacío de números reales. Las clases de intervalos se muestran a continuación.

(ℝ)

El conjunto de los números reales es ordenado. Entre dos números reales a y b se cumple solo una de las siguientes relaciones:

 JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORES  COMPUTADORES 

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MATEMÁTICAS 11 Números Reales y Desigualdades  Abierto

(∞,] =  { ∈ ℝ/ ≤ }

(, ) =  { ∈ ℝ/ <  < }

INECUACIONES

Cerrado

[, ] =  { ∈ ℝ/ ≤  ≤ }

Una desigualdad en la que intervienen una o más variables se denomina inecuación. Resolver una inecuación consiste en hallar los valores que hacen verdadera la desigualdad.

Semiabierto

[,) , ) = { ∈ ℝ/ ≤  < }

+5 }

Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. a.

 + 20 < 10

solución

[,∞) , ∞) = { ∈ ℝ/ ≥ }

 + 20 < 10  + 20 20 20  20 < 10  20

 < 10

Restamos 20 a ambos miembros

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MATEMÁTICAS 11 Números Reales y Desigualdades b.

 > 5 

VALOR ABSOLUTO



El valor absoluto de un número   se define como la distancia que hay entre cero y en la recta numérica. Se simboliza  y cumple con:

solución

 > 5   ∗ 3 > 5 ∗ 3 

Se multiplica por 3 en ambos miembros

 >    

Dividimos entre 2 a ambos miembros

 >   El conjunto estará formado por

 , ∞

ACTIVIDAD



|| || =  {   ≥ 0;    < 0}

Propiedades Propiedades de valor absoluto.

|| =  ↔  ≥ 0,0, ⋀,  =  ⋁  =  , ⋁, =  2. | | =  | | ↔  = , 3. || =  | | 4. ||  =  | ||| 1.

5.

 | |  =  | ||   ≠ 0

1. Ubica los siguientes intervalos en le recta real.

6.

(1,8) (7,1] [8, 8) [4, ∞)   e.  ,   

Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto.

2. Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

a.

a. b. c. d.

4 ≤ 3  + 1 < 0 c. 4 + 3 ≤ 7  10 d.  5 ≤ 10 a.  b.

| + | =  || + || 7. ||  = √

3    = 5

Solución

3    = 5 ⋁ 3     = 5

Se aplica propiedad 1

la

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|| ≥  ↔  ≥  ⋁  ≤  5. | | ≤  ↔  ≤  ≤ 

3 = 4 ⋁  3 = 16

Se multiplica por 2 ambos miembros

4.

 =   ⋁   =  163

Dividimos entre 3 ambos miembros

Ejemplos

 =   ⋁  = 163

Se multiplica por -1 toda la ecuación.

  Por lo tanto, el conjunto solución es  ,    b.

|4 + 6| =  |2 + 8|

Solución

4 + 6 = 2 2 + 8 ⋁ 4 + 6 = 2 2  8 4  2 = 8  6 ⋁ 4 + 2 = 8 8  6 2 = 2 ⋁ 6 = 14  =   ⋁  =  − 

a.

|2 6  6| ≤ 12

Solución

12 ≤ 2 2  6 ≤ 12

Se aplica propiedad 5

la

12 + 6 ≤ 2 ≤ 12+ 6

Sumo 6 inecuación

la

6 ≤ 2 ≤ 18 3 ≤  ≤ 9 Luego, [3,9] b.

 = 1 ⋁  =   | + | ≤ 

Son inecuación de la forma para resolverlas utilizamos las siguientes propiedades.

|| >  ↔  >  ⋁  < 

en

Divido entre 2

  +  >  

  +  >     

Inecuaciones Inecuaciones con valor absoluto

1.

Hallar los valores de x que satisfacen las inecuaciones.

⋁   +  <  

4 +3 > 51 ⋁ 4 +3 < 51 4 > 48 ⋁ 4 < 54  > 12 ⋁  < 13,5 ACTIVIDAD

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| + 5| = 7 b. |3 | = 21 a.

c.

| ÷ 25| = 4

d.

   5 = 23

e.

 + 7 = 11

2. Determina el conjunto solución de las siguientes desigualdades. Expresa la respuesta en una recta numérica.

|  7| < 18 b. |2 + 3|  ≤ 5 c. |5  2|  > 3 a.

d.

   <  

e.

2   > 5 (°) |°  15| ≤ 10

3. La temperatura en grados centígrados necesaria para mantener un medicamento en buen estado está dada por: . a. ¿Cuál es el intervalo de temperatura necesario para mantener el medicamento en buen estado? b. ¿Cuál es la temperatura mínima para mantener el medicamento?