Inductancia en líneas de transmisión

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CAPITULO IV IV. LÍNEAS DE TRANSMISIÓN. IV.1 Introducción. Las líneas de transmisión son los elementos constituyentes de un SEP a través de los cuáles se transmiten grandes cantidades de potencia eléctrica de un lugar a otro y lo cual debe de buscar realizarse en la mejor forma técnica y económicamente posible es decir hay que buscar hacerlo de manera óptima y para lograrlo hay que hacerlo a niveles de tensión de operación adecuados de tal manera que se minimicen los costos de: inversión, amortización, operación y mantenimiento. Actualmente las líneas de transmisión de potencia eléctrica lo hacen en corriente alterna (ca) y en corriente directa (cd), aunque la gran mayoría son de ‘ca’ debido a sus ventajas técnicas y económicas sobre las de ‘cd’ a los niveles de potencia que se transmite y de tensión de operación que más comúnmente se utilizan, las de ‘cd’ llegan a presentar ventajas sobre las de ‘ca’ solo si transmiten grandes cantidades de potencia eléctrica a muy altas tensiones, por lo que cuando se habla de diseñar líneas de transmisión en un SEP generalmente se refiere uno a las de ‘ca’. En éste capítulo no se pretende tratar como se diseña una línea de transmisión, sino señalar las características básicas más relevantes, como son: indicar los fenómenos eléctricos y magnéticos que se presentan en ellas durante su operación en el estado permanente, identificar y calcular los parámetros de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia, para que en base a ellos se calculen la impedancia en serie y la admitancia en derivación por fase que presentan, y en base a estas últimas se estructuren sus circuitos equivalentes y estos se utilicen para establecer las expresiones que permitan calcular las tensiones, corrientes y potencias que se transmiten a través de las líneas de transmisión en el estado permanente equilibrado. IV.1. Generalidades. Este tema se iniciará haciendo referencia a los elementos que constituyen principalmente a las líneas de transmisión, los cuáles son: conductores, torres, aisladores, hilos de guarda, herrajes y contra-antenas. Los conductores son los elementos a través de los cuáles fluye la energía eléctrica y para hacerlo adecuadamente deben de ser de una material que presente un valor bajo de resistencia a la circulación de la corriente, los más usados son el cobre y el aluminio, en líneas de transmisión de preferencia se utilizan conductores de aluminio, lo cual se debe a que tiene menor precio y peso que el cobre, lo cual permite utilizar apoyos (torres) menos robustos, pero presenta el inconveniente de tener baja resistencia a la tensión mecánica, lo cual obliga a localizar los apoyos a distancias menores. Los conductores que se utilizan en las líneas de transmisión que operan a tensiones altas actualmente son construidos a base de aluminio puro, aluminio con alguna aleación, o el reforzado con alma de acero, en el

58 mercado a los diferentes tipos de conductores se les identifica por las iniciales de su denominación en inglés, como los casos siguientes: AAC – All Aluminium Conductor. AAAC – All-Aluminium-Alloy Conductors. ACSR – Aluminium Conductor Steel Reinforce ACAR – Aluminium Conductor Alloy_Reinforced. Los conductores de las líneas son cables constituidos de varios alambres trenzados helicoidalmente en varias capas, donde una capa es enrollada en una sentido y la siguiente en sentido opuesto, lo cuál se hace con el fin de que no se destrencen fácilmente y presenten buena flexibilidad para poder manipularse. Las diferentes características de los conductores las muestran los fabricantes de conductores en tablas que indican: el nombre con que se identifica al conductor, el número de alambres del material conductor y el número de alambres que se utilizan para reforzarlos, el área en circular mils, el radio exterior, el valor de resistencia que presenta el conductor a la corriente directa y a la corriente alterna y para esta última se indica a que valor de temperatura de operación se refieren y también para que valor de frecuencia, el valor de radio medio geométrico, así como los valores de reactancia inductiva y capacitiva a un pie de separación. (Se adicionará posteriormente una tabla donde se muestren las características de los conductores en un apéndice al final del libro). Las torres de las líneas de transmisión son grandes estructuras de acero que se utilizan como apoyos localizadas a determinadas distancias una de otra de tal manera que los conductores se localicen a una altura adecuada con respecto a la superficie del suelo y no presenten un riesgo alto de que los seres vivos sean sometidos a intensidades altas de campos eléctricos y magnéticos, que los afecten negativamente. Además por supuesto, para que no vayan a ser expuestos a descargas eléctricas en alta tensión que generalmente tiene consecuencias mortales. Por supuesto también para que los autos y camiones pasen libremente y de manera segura por debajo de las líneas. Los aisladores se disponen formando cadenas de longitudes adecuadas, para aislar y colgar los conductores de las torres que se encuentran conectadas a tierra. Se les construye a base de porcelana que es vidriada en su superficie, también los hay completamente de vidrio y otro tipo de más reciente fabricación son los hechos a base de resinas sintéticas. En nuestro país de preferencia se utilizan los de porcelana y en menor cantidad los de vidrio, en los países desarrollados donde se tienen líneas que operan a tensiones muy altas se utilizan los hechos a base de resinas sintéticas. Los hilos de guarda son cables de acero que se localizan en las partes más altas de las líneas de transmisión con la finalidad de proporcionar un blindaje a los conductores que transportan la energía eléctrica y no incidan directamente sobre ellos los rayos producidos por las descargas eléctricas de las nubes a tierra y sean un conducto para que la energía eléctrica de la descarga se derive a tierra a través de dichos hilos de guarda, las torres y la conexión a tierra que termina en las contra-antenas. Las contra-antenas son electrodos a base de un material conductor como el acero que son enterrados en las bases de las torres y presentan diferentes arreglos de tal manera que propicien una conexión a tierra que minimice la resistencia y presente una trayectoria para que la energía eléctrica de los rayos se derive a tierra y se disipe en ésta. El diseño de las contra-antenas es función de la resistividad que presente el terreno.

59 Los herrajes son hechos a base se acero y sirven para que los conductores se sujeten a las cadenas de aisladores y para que estas se sujeten a la vez a las torres que sirven de soportes.

IV.2. PARÁMETROS DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN. Como se indicó anteriormente las líneas de transmisión tienen como objetivo principal el de ser un medio para transmitir potencia eléctrica en grandes cantidades a grandes distancias, dicha potencia eléctrica como se sabe es función de la tensión y de la corriente, por lo que para una línea de transmisión trifásica en cada fase se aplica tensión entre fase y tierra que propicia la circulación de corriente a través de los conductores los cuáles presentan cierto valor de resistencia a la circulación de dicha corriente, la cuál es necesario cuantificar. Además como la corriente es alterna senoidal origina líneas de campo magnético que se localizan alrededor de los conductores, lo cuál da lugar al efecto inductivo que se representa por medio del parámetro de inductancia que se localiza en serie con la resistenacia, que también es necesario cuantificar. Por otra parte las tensiones que se aplican entre fase y tierra dan lugar a la presencia de corrientes que se fugan de la línea hacia tierra y que circulan a través de grandes valores de resistencia que presentan los aislamientos y que por estar en derivación es más conveniente representarlas como conductancias. Dichas tensiones originan líneas de campo eléctrico que dan lugar a los campos eléctricos intensos que se manifiestan como efectos capacitivos considerables, que se representan por capacitancias en derivación que se localizan en paralelo con las conductancias, a través de dichas capacitancias también se fuga corriente de la línea hacia tierra y desde luego será necesario cuantificar dichas capacitancias. En resumen para el análisis de las líneas de transmisión será necesario calcular los parámetros de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia, que representan cuantitativamente los fenómenos eléctricos y magnéticos que se presentan en las líneas de transmisión solamente durante su operación en el estado permanente equilibrado. La representación de variables y parámetros de la línea de transmisión se muestran en la Fig. 4.1.

Ia

Ra

La Rb

Lb Rc

Va

Ga

Ca Gb

Lc

Ca Gc

Cc

Fig. 4.1.- Parámetros de la línea de transmisión. IV.2.1. RESISTENCIA.

60

El parámetro de resistencia de una línea de transmisión se refiere al que presenta el conductor de cada fase cuando circula por él corriente alterna senoidal a la frecuencia nominal de 60 Hz., dicho valor de resistencia depende de varios factores que son: la resistividad que presenta el material o los materiales de que es hecho el conductor, de las características de la corriente que circula por él, de la longitud, del área de la sección transversal y de la temperatura. La resistencia de los conductores es necesario determinarla porque en base a ella se determinan en gran medida las pérdidas de potencia activa en la línea, y al estar conectada en serie con la reactancia inductiva colabora a la caída de tensión. El término de resistencia se refiere a la resistencia efectiva de un conductor, que se define así: R 

Pérdidas de potencia en el conductor I

2

 

(4.1) Donde la potencia esta en watts e |I| es el valor eficaz de la corriente en amperes. La resistencia efectiva es igual a la resistencia del conductor solo si la distribución de la corriente a través de él es uniforme. La resistencia que un conductor presenta a la corriente directa es dada por la fórmula: R cd 

Donde:

ρ   A

(4.2)

 - resistividad del conductor. - longitud del conductor. A – Área de la sección transversal.

Cualquier conjunto consistente de unidades puede ser utilizado, en unidades inglesas se tiene que  es dado en pies, A en circular mils (CM), y  en  - CM por pie. En el sistema internacional de unidades  esta en metros, A en metros cuadrados y  en  - m. El circular mil es el área de un circulo cuyo diámetro es de un milésimo de pulgada. La resistividad del aluminio a una temperatura de 200 C es de 2.83 x 10-8  - m ( 17.0  - CM / pie), que es el material que preferentemente se utiliza en los conductores de las líneas de transmisión. La resistencia de los conductores metálicos varia proporcionalmente con la temperatura dentro de los rangos normales de operación, tal y como se muestra en la Fig. 4.2. En la gráfica se aprecia el punto de intersección de la recta con el eje de temperatura para un valor de resistencia cero, identificado por T, que es un valor constante para cada material, que puede tomar los valores siguientes. T = 234.5 - para cobre con 100% de conductividad. T = 241 - para cobre estirado en frío de 97.3 % de conductividad T = 228 - para aluminio estirado en frío de 61% de conductividad De acuerdo con la variación lineal del valor de resistencia con la temperatura, se puede establecer la expresión siguiente.

61

t

t2

t1 R1

R2

R

T

Fig. 4.2.- Variación de la resistencia con la temperatura. R2 R1



T  t2 T  t1

(4.2)

El valor de resistencia calculado de acuerdo con la expresión (4.2) considera que la corriente es directa y que ésta se distribuye uniformemente en el área de la sección transversal del conductor, pero el tipo de corriente que circula por los conductores de las líneas de transmisión en un SEP generalmente es corriente alterna cuya distribución no es uniforme en el área de la sección transversal del conductor y dicha no uniformidad es debida al efecto piel el cual depende de la frecuencia de la corriente. La no uniformidad se manifiesta mediante una densidad de corriente que se incrementa progresivamente desde el centro del conductor hacia el exterior, provocando que la corriente alterna tienda a circular preferentemente por la periferia del conductor, razón por la cuál a éste fenómeno se le conoce como efecto piel. Esto se debe a que la corriente alterna produce líneas de flujo magnético concéntricas al conductor que parten desde el centro del mismo y se expanden teóricamente hasta el infinito, de tal manera que la cantidad de líneas de flujo que eslabonan a la parte central del conductor son en mayor número y éste decrece conforme se desplaza hacia la periferia, de tal manera que la tensión inducida en la parte central del conductor es mayor provocando una oposición mayor a la circulación de la corriente en esa parte, la cual va decreciendo de la parte interna hacia la externa produciendo el efecto piel. El cálculo de la resistencia de los conductores considera los factores siguientes: la resistividad del material, la longitud y el área de la sección transversal del conductor, la temperatura, el efecto piel y además el hecho de que los cables pueden estar constituidos de alambres del mismo material o de materiales diferentes, del mismo calibre o de calibres diferentes. Afortunadamente los fabricantes de conductores determinan los valores de resistencia y los proporcionan en tablas, en los cuales solo hay que consultarlos. Distancia Media Geométrica Propia y Mutua.

62 Antes de mostrar como se determinan los parámetros de inductancia y capacitancia se van a establecer dos conceptos matemáticos en los cuáles se basa la obtención de ambos parámetros. Para establecerlos es necesario considerar que se tiene dos grupos de conductores uno constituido por “n” conductores y otro de “m” conductores, tal y como se muestra en la Fig. 4.3. b

1

aa c

b

a

1

n

c

d

1

1

m

d

Conductor A

Conductor B

Fig. 4.3.- Dos grupos de conductores El concepto matemático de distancia media geométrica se puede aplicar a un grupo de elementos o a dos grupos de elementos, que en este caso son los grupos de conductores que se muestran en la Fig. 4.3. Primero se definirá el concepto de Distancia Media Geométrica Propia (DMGp), que es también conocida como Radio Medio Geométrico (RMG), el cuál en este caso se establece en relación al grupo de conductores A de la Fig. 4.3, como la raíz n-cuadrada-ésima del producto de las distancias de cada conductor a sí mismo y a los demás del mismo grupo, que matemáticamente se expresa así: RMG A  n

2

 D aa D ab D ac ....D an )(D ba D bb D bc ....D bn )......(D na D nb D nc ....D nn 

(4.3)

Para el grupo de conductores B se tendría: RMGB  m 2  Da1a1 Da1b1 ....Da1m )( Db1a1 Db1b1 ....Db1m )......( Dma1 Dmb1 ....Dmm 

(4.4)

El concepto de Distancia Media Geométrica Mutua entre dos grupos de conductores se define como la raíz mn-ésima del producto de las distancias de cada conductor de un grupo a cada uno de los conductores del otro grupo, que para el caso entre los grupos de conductores A y B se tiene lo siguiente:



DMG m  mn D aa 1 D ab 1 ...D am )(D ba 1 D bb 1 ...D bm ).......(D na 1 D nb 1 ...D nm



(4.5)

Debido a la coincidencia entre los valores de las distancias entre ambos grupos de conductores, la DMG mutua de A a B es igual a la de B a A. Distribuciones de los Campos Eléctricos y Magnéticos en la Línea de Transmisión.

63 A las líneas de transmisión se les aplica simultáneamente tensiones de fase a tierra y de fase a fase, así como corriente en cada fase para que transmitan potencia eléctrica a través de ellas, debido a las tensiones aplicadas se establecen campos eléctricos que pueden ser representados por líneas de flujo eléctrico dirigidas de cada conductor de fase hacia tierra y de un conductor hacia otro conductor tal y como lo muestran las líneas punteadas de la Fig. 4.4. La corriente que circula por cada conductor produce campos magnéticos que son representados por líneas de flujo magnético que enlazan a los conductores por los que circula la corriente que los originó y además puede ser que enlacen también a otro u otros conductores, lo cuál también se muestra mediante las líneas continuas en la Fig. 4.4, que muestra la distribución de los campos eléctrico y magnético entre dos conductores de una línea monofásica, que incluye también el efecto de la presencia de la tierra. Líneas de flujo magnético

+

-

Líneas de campo eléctrico

Fig. 4.4.- Distribución de campos eléctricos y magnéticos en una línea monofásica.

IV.2.2. INDUCTANCIA. El parámetro de inductancia de la línea de transmisión, es aquel que representa la cuantificación del efecto magnético producido por la circulación de la corriente alterna en cada uno de los conductores de las fases, así que la corriente en cada fase produce líneas de flujo magnético que eslabonan a la misma corriente que las produce y también una parte de ellas llegan a eslabonar las corrientes que circulan por los otros conductores que constituyen la línea y como la inductancia es la relación de la variación del flujo magnético con respecto a la variación de la corriente, entonces en la línea se pueden establecer en general dos tipos de relaciones entre flujo y corriente, una que es la relación del flujo producido por una determinada corriente a la misma corriente que lo produce a la cuál se le identifica como inductancia propia y a la relación del flujo que es producido por una determinada corriente pero que eslabona a una corriente que no lo produce se le identifica como inductancia mutua. Para considerar los efectos antes citados se establece una expresión para la inductancia por fase que los comprende ha ambos, lo cuál se mostrará en esta sección, que permitirá poder calcular la reactancia inductiva que determina en

64 proporción mayoritaria la magnitud de la impedancia en serie por fase que presenta una línea y por lo tanto de la magnitud de la caída de tensión , de la regulación de la tensión, y desde luego también es parte importante de la magnitud de las pérdidas reactivas inductivas. De acuerdo con la Ley de Faraday la tensión inducida por la presencia de flujo magnético dφ , y la expresión de la tensión aplicada a una dt dφ d ( Nφ) di  inductancia es: E  L , por lo que si se igualan , se determina que: L  N , dt di di

variable es dada por la expresión. E  N

que indica que el parámetro de inductancia en un circuito representa la relación de la variación de los eslabonamientos flujo magnético a la variación de la corriente. El eslabonamiento de flujo, se debe interpretar como aquella línea de flujo que eslabona a un conductor o más precisamente a una corriente y dichos eslabonamientos de flujo son dados por la relaciones siguientes: λ  Nφ  Li , cuando la relación de flujo a corriente es lineal. Así que la inductancia se pude expresar como L =  / i , donde i es la corriente instantánea en amperes y  es el eslabonamiento de flujo en weber-vuelta. El flujo creado por la corriente se expande en forma de líneas de flujo cerradas concéntricas, partiendo desde la parte central del conductor hacia el exterior y teóricamente hasta el infinito, de tal manera que habrá líneas de flujo interiores y exteriores. Así que el valor de la inductancia deberá comprender los eslabonamientos de flujo internos que solamente eslabona a una fracción de la corriente y los eslabonamientos de flujo externos que eslabonan a toda la corriente que transporta el conductor, es decir que la inductancia total de un conductor comprenderá la inductancia interna más la inductancia externa. IV.2.2.a. Inductancia Interna de un Conductor Cilíndrico. Para determinar la expresión de la inductancia interna de un conductor cilíndrico como el que se ilustra en la Fig. 4.4, en el cuál se considera que no hay ningún conductor cercano que influya en la distribución de las líneas de flujo, sobretodo el conductor de retorno. Se parte de la Ley de Ampere, que establece que la fuerza magnetomotriz en ampere-vueltas alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a la corriente neta encerrada por la trayectoria. La fmm es igual a la integral de línea alrededor de la trayectoria cerrada de la componente de la intensidad de campo magnético, que es tangente a la trayectoria y es dada por la ecuación (4.6). fmm 

Donde:

 H . ds  I

A-vueltas.

(4.6)

H – Intensidad de campo magnético. s – Distancia a lo largo de la trayectoria de integración. I – Corriente eslabonada. El punto entre H y ds indica que el valor de H es la componente tangente a la trayectoria ds. Si se considera que la intensidad de campo magnético a una distancia de x metros desde el centro del conductor es Hx, el cuál es constante en todos los puntos equidistantes desde el centro del conductor, de tal manera que la integración indicada en (4.6) en la trayectoria

65 circular concéntrica, da como resultado la corriente Ix, como se muestra en la ecuación (4.7).

ds dx 

x rr 4

Fig. 4.6.- Sección transversal del conductor cilíndrico

 H x ds  I x

(4.7)

Donde Ix es la corriente eslabonada, que en este caso es dada por la expresión siguiente. 2  x Hx = Ix

(4.8)

Si se supone que la densidad de corriente es uniforme, se tiene: Ix 

π x2 π r2

(4.9)

I

Donde I es la corriente total. Sustituyendo (4.9) en (4.8), se obtiene. Hx 

x 2πr

2

I

A - Vueltas m

(4.10)

Como: B =  H, entonces: Bx   H x 

xI 2  r2

Wb m2

Donde: B – Densidad de flujo magnético.  - Permeabilidad del material del conductor.

(4.11)

66 En el elemento tubular de espesor dx el flujo d es dado por el producto de B x por el área de la sección transversal del elemento normal a las líneas de flujo, donde el área es dada por dx veces la longitud axial. Por lo que el flujo por metro de longitud será: μxI

dφ 

2πr

2

dx

Wb m

(4.12)

Los eslabonamientos de flujo d por metro de longitud, que son producidos por el flujo en el elemento tubular, son dados por el producto del flujo por metro de longitud y la fracción de corriente enlazada. dλ 

π x2 πr

2

dφ 

μ I x3 2πr

4

dx

Wb - vueltas m

(4.13)

Integrando desde el centro del conductor hasta la superficie del conductor de radio r, se tiene: r

λ int 

μ I x3

μI

 2 π r 4 dx  8 π 0

Wb - vueltas m

(4.14)

Se sabe que:  = 0 r Donde: r = 1 y 0 = 4  (10-7) H / m Entonces se tiene que: λ int 

I x 10  7 2

L int 

1 x 10 - 7 2

Wb - vueltas m H m

(4.15) (4.16)

Esta última expresión es la inductancia interna por unidad de longitud de un conductor cilíndrico. IV.2.2.b. Inductancia Externa Entre Dos Puntos a un Conductor Cilíndrico. Para calcular la inductancia externa a un conductor cilíndrico es necesario primero calcular los eslabonamientos de flujo externos entre dos puntos P 1 y P2 localizados a una distancia D1 y D2 respectivamente a partir del centro de un conductor aislado que lleva una corriente I, que produce líneas de flujo concéntricas, tal y como se muestra en la Fig. 4.7, en la cuál se muestra un elemento tubular de espesor dx, localizado a x metros del centro del conductor, en donde la intensidad del campo magnético es Hx, de tal manera que la fmm alrededor del elemento es dada por la expresión (4.17).

67

P1

D1

x dx

Flujo D2

P2

Fig. 4.7.- Eslabonamientos de flujo externos entre los puntos P1 y P2. I  2 x Hx

(4.17)

La densidad de flujo en el punto x será: Bx 

I 2x

Wb/m 2

(4.18)

El flujo en el elemento tubular de espesor dx , es: d 

I dx 2x

Wb/m

(4.19)

Los enlaces de flujo externos al conductor son iguales a el flujo exterior y enlazan a toda la corriente en el conductor solo una vez. Por lo que los enlaces de flujo entre P1 y P2, son:

 12 

D2

I

I

 2  x dx  2 

D1

ln

D2 D1

Wb - vuelta/m

(4.20)

Si r = 1, entonces:  12  2 x 10 -7 I ln

D2 D1

H/m

La inductancia debida al flujo entre P1 y P2, es:

(4.21)

68

L12  2 x 10 -7 ln

D2 D1

H/m

(4.22)

IV.2.2.c. Enlaces de Flujo de un Conductor en un Grupo de Conductores. Las líneas de transmisión en alta tensión utilizan como conductores a los cables que están constituidos por grupos de alambres, así que cada a cable se le puede considerar como un grupo de n – conductores y donde cada uno de ellos correspondientemente conduce la corriente I1, I2, I3,...., In. Las distancias de cada uno de estos conductores a un punto “P” se muestran en la Fig. 4.8, que se utiliza como referencia para determinar los enlaces de flujo en un conductor, que en éste caso es el conductor 1, cuando se consideran los enlaces de flujo internos y externos producidos por I1 y los enlaces de flujo sobre dicho conductor producido por cada una de las corrientes que circula por cada uno de los demás conductores del grupo, pero se excluye todo el flujo mas allá del punto “P”.

D1p

1

“P”

D2p 2

D3p Dnp

3 n

Fig. 4.8.- Grupo de n – conductores, cuya suma de corrientes es cero y alejados de un punto “P”. Los eslabonamientos de flujo debidos a I1, son: D1p   I1 -7  2 I1 ln  x 10 r1   2

1p1  

 1p1  2 x 10 -7 I1 ln

D1p r1'

Wb - vuelta/m

(4.23)

(4.24)

Los enlaces de flujo sobre el conductor 1 debidos a I 2, pero que excluyen los que están más allá del punto “P”, son:

69  1p 2  2 x 10 -7 I 2 ln

D 2p

(4.25)

D12

Los enlaces de flujo totales sobre el conductor 1, pero excluyendo los que están más allá del punto “P”, son:

D 1p D 2p D 3p D np    1p  2 x 10 -7  I1 ln '  I 2 ln  I 3 ln  ...............  I n ln  D12 D13 D 1n  r1 

(4.26)

Al expandir los términos logarítmicos y reagrupar, se obtiene.  1 1 1 1  1p  2 x 10 -7  I1 ln '  I 2 ln  I 3 ln  ...............  I n ln D D D r 12 13 1n  1 I1 ln D1p  I 2 ln D 2 p  I 3 ln D 3p  ..............  I n ln D np



(4.27)

Si la suma de las corrientes del grupo de conductores es cero. I1  I 2  I 3  ..............  I n  0 , entonces:

In = -( I1 + I2 + I3 +…….In-1)

Sustituyendo la expresión para In en el último término de (4.27) y reagrupando los últimos n – términos de la misma ecuación se obtiene:  1 1 1 1  1p  2 x 10 -7  I1 ln '  I 2 ln  I 3 ln  ...............  I n ln D12 D13 D1n r1   I1 ln

D1p D np

 I 2 ln

D 2p D np

 I 31 ln

D 3p D np

 ............I n 1 ln

D ( n 1) p  D np 



(4.28)

Finalmente si se aleja el punto “P” hasta una distancia infinita, se igualarán las distancias D1p, D2p, e inclusive Dnp, por lo que los últimos (n –1) términos se hacen cero, quedando la expresión siguiente.  1 1 1 1   1  2 x 10 -7  I1 ln '  I 2 ln  I 3 ln  ...............  I n ln  D12 D13 D1n  r1 

Wb - vueltas/m (4.2

9) Al considerar que el punto “P” se aleja hasta el infinito se incluyen todos los enlaces de flujo sobre el conductor 1. IV.2.2.d. Inductancia de Línea Monofásica Constituida por Dos Cables.

70 Ahora se considera que se tiene una línea monofásica constituida por dos grupos de conductores, uno de los cuáles esta formado por n hilos idénticos paralelos y se le identifica como el conductor A y el otro como el conductor B constituido por m hilos idénticos paralelos, tal y como se muestra en la Fig. 4.9. Conductor B

Conductor A

b a

2

1

3

c m

n

Fig. 4.9.- Línea monofásica, constituida por dos grupos de conductores. Cada hilo del conductor A transporta una corriente de valor I / n, al cuál se le considera el conductor de ida y cada hilo del conductor B, que es el de retorno se considera que transporta una corriente de valor -I /m. Al aplicar los conceptos que implicó el establecimiento de la ecuación (4.29) al hilo ‘a´ del conductor A, se determinan los enlaces de flujo sobre el hilo ‘a’, cuya expresión es:  a  2 x 10 - 7  2 x10

I 1 | 1 1   ln  ........  ln  ln '  ln  n  D ab D ac Dan  ra

-7 I 

1 | 1 1   ln  ln  ........  ln  ln  m D a1 Da2 D a3 Dam 

(4.30)

Que se puede expresar de la forma equivalente siguiente:  a  2 x 10 - 7 I ln

m

D a1D a 2 D a 3 ...........D am n r ' D D ..........D a ab ac an

W - vuetas/m

(4.31)

Si se divide la expresión anterior entre I/n, se determinará la inductancia del hilo a. La 

m D D D ...........D a a1 a 2 a 3 am  2n x10 - 7 ln I/n n r ' D D ..........D a

ab

ac

H/m

(4.32)

H/m

(4.33)

an

La inductancia del hilo b, será: Lb 

λb I/n

 2n x10 - 7 ln

m D D D ...........D b1 b 2 b3 bm ' n D r D ..........D ba b bc bn

71

La inductancia promedio de los hilos del conductor A, será: L  L b  L c  ......  Ln L prom  a n

(4.34)

Si se considera que los n - hilos del conductor A están en paralelo y cada uno tiene una inductancia igual al de la Lprom, entonces la inductancia del conductor A se determinará por medio de la siguiente expresión. LA 

L prom n

L  L b  L c  .....  L n  a n2

(4.35)

Si se sustituye cada una de las expresiones que corresponden a las inductancias en la expresión anterior y se reagrupan los términos logarítmicos, se obtiene:

L A  2 x 10 - 7 x ln

mn (D D ....D )(D D ....D a1 a 2 am b1 b 2 bm )......(D n1D n 2 ....D nm ) 2 n (D D ....D )(D D ....D )......(D D ....D ) aa ab an ba bb bn na nb nn

H/m 4.

36 Para darle a la expresión anterior una representación homogénea se han reemplazado los valores de r’a, r’b y r’c por Daa, Dbb y Dcc respectivamente. Al numerador del argumento del logaritmo se le ha identificado como la Distancia Media Geométrica Mutua (DMG m) entre dos grupos de conductores, tal y como se indicó en la expresión (4.5) y al término del denominador se le identificó como Radio Medio Geométrico (RMG) de un grupo de conductores, tal y como se indicó en las expresiones (4.3) y (4.4), por lo que la expresión (4.36), se puede expresar así: L A  2 x 10 - 7 ln

DMG m RMG A

H/m

(4.37)

Análogamente, se tendrá que:

L B  2 x 10 - 7 ln

DMG m RMG B

H/m

(4.38)

Debido a que la corriente en cada conductor tiene dirección opuesta, las inductancias se suman y la inductancia de la línea monofásica estará dada por la expresión siguiente. L  L A  L B  2 x 10 - 7 ln

DMG m DMG m  2 x 10 - 7 ln RMG A RMG B

72 Si se considera que la DMGm entre grupos de conductores es igual a la distancia D entre centros de grupos de conductores y que los dos grupos de conductores tienen conductores idénticos y el mismo número de conductores, lo que origina que: RMG =RMG A =RMGB, entonces la expresión anterior se simplifica a la forma siguiente. L  4 x 10 - 7 ln

D RMG

H/m

(4.39)

Que es la expresión para la inductancia de una línea monofásica constituida por dos cables de la mismas características. IV.2.2.e. Inductancia de Una Línea Trifásica con Disposición Simétrica. En éste caso se considera que el conductor de cada fase, que es un cable del mismo calibre, se localiza en los vértices de un triángulo equilátero, tal y como se muestra en la Fig. 4.10. Donde la corriente en cada fase tiene forma de onda alterna senoidal, que en cada caso es representada por su fasor de corriente y las tres corrientes forman un conjunto de tres fasores equilibrados cuya suma es cero ( Ia + Ib + Ic = 0 ). a

D

D

c

D

b

Fig. 4.10.- Disposición simétrica de los conductores de una línea trifásica. La ecuación establecida para determinar los eslabonamientos de flujo sobre un conductor cuando está en un grupo de conductores, dada por la expresión (4.29), y que al aplicarse a éste caso da lugar a la expresión siguiente. 1 1 1   a  2 x 10 - 7  I a ln  I b ln  I c ln  RMG D D  

Wb - vueltas/m

Como: Ia = - ( Ib + Ic ), entonces. 1 1 D   a  2 x 10 - 7  I a ln  I a ln   2 x 10 - 7 I a ln RMG D RMG 

Wb - vueltas/m

Por lo que la inductancia por fase de la línea será: L a  2 x 10 - 7 ln

D RMG

H/m

(4.40)

La inductancia para las fases b y c tendrán la misma expresión como la ecuación (4.40), lo cuál se debe a que para esta disposición los eslabonamientos de flujo sobre cada conductor son iguales.

73 IV.2.2.f. Inductancia de una Línea Trifásica con Disposición Asimétrica. En el caso de que los conductores de cada fase de una línea trifásica sean dispuestos en los vértices de un triángulo que no es equilátero los eslabonamientos de flujo sobre cada conductor serán diferentes, lo que ocaciona que la inductancia de cada uno de ellos sea diferente, lo cuál no es deseable, por lo que se recomienda efectuar con ellos un ciclo de transposición, que consiste en cambiar de posición cada conductor cada tercera parte de la longitud total de la línea, de tal manera que a lo largo del ciclo completo de transposición cada conductor habrá ocupado las tres posiciones en longitudes iguales, lo que propiciará que los eslabonamientos de flujo sobre cada conductor de fase en promedio será igual y dará lugar a una inductancia igual para cada fase, esto se muestra en la Fig. 4.12, donde los conductores de las fases a, b y c ocupan las posiciones 1, 2 y 3 a lo largo de la línea. 1 D31 3

D12

2

Posición 1 Posición 2

D23

Posición 3

a

b

c

b

a

c

c

b

a

L/3

L/3

L/3 L

Fig. 4.11.- Ciclo de transposición de una línea trifásica. En realidad las líneas de transmisión es difícil que se transpongan a intervalos regulares y lo más común es que la transposición se llegue a efectuar en las subestaciones o en algún lugar a lo largo de la línea, que lo permita por las características del terreno y no necesariamente en un ciclo completo. Inclusive gran cantidad de líneas ni siquiera se transponen en algún lugar, pero independientemente de que la línea se transponga o no desde el punto de vista analítico se considera que las líneas son transpuestas en un ciclo completo. Para calcular los eslabonamientos de flujo promedio sobre cada conductor en una línea que se supone está transpuesta, se determinan las expresiones de los eslabonamientos de flujo en cada posición del ciclo de transposición y luego se obtiene el valor promedio. De acuerdo con la Fig. 4.11 para la fase “a”, el primer tercio el conductor está en la posición 1, el de la fase “b” en la posición 2 y el de la fase “c” en la posición 3. Los eslabonamientos de flujo sobre el conductor de la fase “a” se obtiene aplicando la expresión (4.29).  1 1 1  λ a1  2 x 10 - 7  I a ln  I b ln  I c ln  RMG D12 D 31  

Con “a” en la 2, “b” en la 3 y “c” en la 1, se tiene.

Wb - vueltas/m

(4.41

74

 1 1 1  λ a 2  2 x 10 - 7  I a ln  I b ln  I c ln  RMG D 23 D12  

Wb - vueltas/m

(4.42)

Con “a” en la posición 3, “b” en la1 y “c” en la 2, se tiene.  1 1 1  λ a 3  2 x 10 - 7  I a ln  I b ln  I c ln  RMG D 31 D 23  

Wb - vueltas/m

(4.43)

El valor promedio de los eslabonamientos de flujo sobre el conductor “a”, son: λ  λ  λ a3 λ a  a1 a 2 3 λa 

(4.44)

 2 x 10 -7  1 1 1  I b ln  I c ln  3 I a ln  3 RMG D12 D 23 D 31 D12 D 23 D 31  

(4.45)

Si en la línea trifásica se cumple que: Ia = - ( Ib + Ic ), entonces. λ a  2 x 10 - 7 I a ln

3D D D 12 23 31

Wb - vueltas/m

RMG

(4.46)

La inductancia promedio por fase es. La 

Donde:

λa Ia

 2 x 10 - 7 ln

D eq RMG

(4.47)

H/m

D eq  3 D12 D 23 D 31

(4.48)

Ejemplo 4.1.- Calcule la inductancia y la reactancia inductiva por Km. y por fase, de una línea trifásica que tiene un conductor por fase el cuál es del tipo ACSR, denominado Rail, cuyo RMG es de un valor de 0.0386 pies. La disposición y distancias se muestran en la Fig. 4.12. 3.5 m

3.5 m 5.66 m

Fig. 4.13.- Conductores de línea trifásica de un conductor por fase. Solución. El RMG que esta expresado en pies es conveniente expresarlo en metros, así.

75 RMG = 0.0386 pies = 0.01176 metros La inductancia se calcula con la expresión 4.47, por lo que es necesario determinar D eq, por medio de igualdad siguiente. D eq  3 3.5 x 5.66 x 3.5  4.108 m

L  2 x 10 - 7 ln

4.108  11.711 x 10 - 7 H/m  11.711 x 10 - 4 H/Km 0.01176

La reactancia inductiva si f = 60 Hz. es: X L  ωL  2 π f L  2 x π x 60 x 11.711 x 10 -4  0.4414

 / Km. por fase

IV.2.2.g. Inductancia de Líneas Trifásicas de Varios Conductores por Fase En las líneas trifásicas en alta tensión ha sido necesario incrementar las magnitudes de las tensiones de operación, lo que ha ocasionado que las intensidades de campo eléctrico en las vecindades de los conductores se incrementen también y esto ha provocado que la ionización del aire circunvecino a los conductores se incremente, manifestándose por medio del aumento de las pérdidas por efecto corona y de los niveles de interferencia en las señales de radio, televisión y en general de comunicaciones. Estos efectos indeseables se pueden reducir si se utilizan varios conductores por fase debido a que se logra una mejor distribución del campo eléctrico, por lo que se utilizan varios conductores por fase que pueden ser dos, tres y hasta cuatro, en las disposiciones que se muestran en la Fig. 4.14. d d

d

d

d

d

d

d

Fig. 4.14.- Grupos de conductores por fase. Otras consecuencias positivas de utilizar grupos de conductores se debe a que el RMG del grupo de conductores se incrementa con el número de estos, lo cuál se manifiesta con la reducción de la inductancia del grupo de conductores comparada con la que se calcula para un solo conductor por fase. La inductancia de las líneas que están constituidas por grupos de conductores se determinan mediante la misma fórmula que se estableció para el caso de un conductor por fase, pero con la diferencia de que en la fórmula en lugar de utilizar el RMG del conductor se debe de utilizar el RMG del grupo de conductores, que en cada caso es igual a la expresión siguiente. Para dos conductores por fase. RMG g  4 ( RMG x d) 2 

RMG x d

(4.49)

76

Para tres conductores por fase. 3 RMG g  9 ( RMG x d x d) 3  RMG x d 2

(4.50)

Para cuatro conductores por fase. 2 d) 4  1.09 4 RMG x d 3

RMG g  16 ( RMG x d x d x

(4.51)

Donde: “d” es la distancia entre conductores del grupo, tal y como se muestra en la Fig. 4.14, RMG es el radio medio geométrico de cada conductor del grupo que desde luego son iguales y RMGg es la distancia media geométrica propia del grupo de conductores o radio medio geométrico del grupo, que se obtiene aplicando los conceptos señalados anteriormente en las expresiones (4.3) y (4.4). Entonces la expresión para la inductancia para grupos de conductores es: L g  2 x 10 - 7 ln

D eq RMG g

H / m por fase

(4.52)

Ejemplo 4.2.- Calcule la inductancia y la reactancia inductiva por fase de una línea trifásica con disposición asimétrica que tiene tres conductores por fase, que se muestra en la Fig. 4.15. Se utilizan conductores ACSR denominados Dove, que tienen un RMG de 0.0314 pies, considere que f = 60 Hz. Las distancias entre centros de grupos de conductores son: D12 = D31 = 5 m. y D23 = 8.66 m. Además calcule la reactancia inductiva total si la línea tiene una longitud de 320 Km. 1 d = 25 cm.

d 3

D31

d

D12

2

D23 Fig. 4.15.- Línea trifásica asimétrica de tres conductores por fase. Solución. De acuerdo con la expresión (4.48), se calcula Deq: D eq  3 5 x 8.66 x 5  6.0 m.

77 De acuerdo con la expresión (4.50), se calcula RMG g, cuando el RMG del conductor en metros es: RMG = 0.00957 m. y d = 0.25 m., por lo tanto: RMG g  3 0.00957 x (0.25) 2  0.0842 m.

La inductancia por fase de acuerdo con (4.52), es:

L  2 x 10 - 7 ln

6.0  8.532 x 10 - 7 H / m. por fase.  8.532 x 10 - 4 H / Km. por fase. 0.0842

La reactancia inductiva por fase es: X L  2 π f L  2 π (60) ( 8.532 x 10 -4 )  0.3216 Ohms / Km. por fase.

La reactancia inductiva total por fase si la línea tiene una longitud de 320 Km. es: X LT  (0.3126) (320)  100.032 Ohms

IV.2.3. CAPACITANCIA. En la líneas de transmisión al aplicárseles voltajes entre fase y tierra y entre conductores se crean campos eléctricos que se manifiestan por la presencia de líneas de campo eléctrico que van desde las cargas positivas a las negativas, en el primer caso desde el conductor hacia tierra y en el segundo caso de un conductor hacia el otro, tal y como se ilustra en la Fig. 4.4, dichas líneas de flujo eléctrico se propagan en un medio aislante que en el caso de las líneas aéreas es el aire el cuál presenta una determinada constante de permitividad (0 = 8.85 x 10-12 F/m), y como es sabido todo aislante bajo la aplicación de un campo eléctrico se polariza en la dirección del campo, formándose en el dipolos que se alargan almacenando energía potencial que en éste caso se manifiesta como energía eléctrica. Entonces en las líneas de transmisión se aplica tensión entre dos electrodos que pueden ser un conductor y tierra, o un conductor y otro conductor, y que en ambos casos se localiza un aislante entre ellos que es el aire, que tiene la capacidad de almacenar carga eléctrica, y si a la relación de carga a voltaje se le conoce como capacitancia, entonces en las líneas de transmisión aéreas habrá capacitancia entre conductor y tierra y entre conductores, los cuáles son parámetros que hay que cuantificar ya que afectan el comportamiento eléctrico de las líneas de transmisión. A la capacitancia se le ha identificado como la relación de carga a voltaje, pero también se puede demostrar que depende geométricamente de la forma y dimensiones de los electrodos, de la separación entre estos, y del tipo de aislante que se localiza entre ellos, de tal manera que éste parámetro alcanza valores más significativos a medida que las dimensiones de la líneas aumentan y como se sabe éstas son función de la magnitud de la tensión que se les aplique, así que el efecto capacitivo es más significativo en líneas de transmisión que operan a niveles de tensión mayores y que generalmente son las más largas, debido a que el efecto capacitivo se localiza en derivación y éste crece de manera proporcional con la longitud de la línea. El voltaje que se aplica a las líneas de transmisión tiene forma de onda senoidal y como éste tiene una relación lineal con la carga entonces el comportamiento de la carga

78 incrementará y decrecerá con el incremento y decrecimiento del valor instantáneo del voltaje en un punto determinado. Como se sabe a la variación de la carga se le conoce como corriente, y si ésta es producida por la carga y descarga de la línea debido a la aplicación de un voltaje alterno sobre la capacitancia en derivación, provoca que dicha corriente fluya del conductor hacia tierra o hacia otro conductor y se manifieste como una corriente de fuga o de carga, ésta corriente se fugará de la línea aunque no halla carga conectada. IV.2.3.a. Campo Eléctrico y Voltaje en la Vecindad de un Conductor Cilíndrico Sólido. Partiendo de considerar que se tiene un conductor cilíndrico recto en el cuál se localiza carga uniformemente distribuida alrededor de su periferia, que esta fuera de la influencia de otras cargas e inmerso en un medio aislante, tal y como se muestra en la Fig. 4.16, donde la circunferencia en línea punteada representa puntos equipotenciales que tienen la misma densidad de flujo.

q +

+ +

+ +

+

Fig. 4.16.- Líneas de flujo eléctrico alrededor de un conductor cilíndrico. La densidad de flujo a x metros del centro del conductor puede ser calculada considerando una superficie cilíndrica concéntrica al conductor que tiene un radio de x metros. La densidad de flujo eléctrico en la superficie del cilindro es igual a flujo por metro de longitud saliendo del conductor dividido por el área de la superficie en una longitud axial de un metro, y la expresión es. D

q 2 πx

C

m2

(4.53)

Donde: q – carga en el conductor en coulombs por metro de longitud. x – distancia en metros desde el centro del conductor al punto donde D es calculado. Si se sabe que en un medio aislante lineal la relación entre los vectores de densidad de flujo eléctrico y el de intensidad de campo eléctrico es dado por la expresión. D =  E, entonces la intensidad de campo eléctrico a una distancia x del centro del conductor es dada por la expresión.

79 E

q 2π xε

V

(4.54)

m

La intensidad de campo eléctrico es la fuerza que se aplica sobre la carga en un punto determinado del campo y la integral de línea entre dos puntos de la fuerza que actúa sobre una carga positiva es el trabajo hecho para mover la carga desde un punto de menor a uno de mayor potencial, es igual a la diferencia de potencial entre los dos puntos. Para establecer la expresión de la diferencia de potencial entre dos puntos en la vecindad de un campo eléctrico creado por una carga que se considera que esta uniformemente distribuida a lo largo de un conductor, que se puede reemplazar por una carga equivalente concentrada en el centro de dicho conductor de valor “q” [C/m], tal y como se muestra en la Fig. 4.17.

P1 +q

Trayectoria de integración.

D1 D2

P2

Fig. 4.17.- Trayectoria de integración entre dos puntos P1 y P2 de dos superficies equipotenciales. Los puntos P1 y P2 se localizan a las distancias D1 y D2 a partir del centro del conductor y la carga positiva sobre el conductor ejercerá una fuerza de repulsión sobre las cargas positivas que se coloquen en el campo, por lo que en este caso como D 2 es mayor que D1 se debe de realizar trabajo sobre una carga positiva para moverla de P 2 a P1, ya que P1 esta a un mayor potencial que P2. Debido a que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga, la forma más simple de determinar la diferencia entre los dos puntos P 1 y P2 será mediante la integración de la intensidad de campo en una trayectoria radial entre las superficies equipotenciales, por lo que: D

v12 

2

 E dx 

D 1

D

2



D 1

D q dx q  ln 2 2 x 2 D1

V.

(4.55)

La diferencia de potencial dada por la ecuación (4.55) puede ser positiva o negativa dependiendo de si la carga “q” es positiva o negativa y de que si la diferencia de potencial se calcule desde el punto más cercano a la carga hasta el más alejado, o viceversa. Además el término logarítmico es positivo o negativo dependiendo de que D 2 sea mayor o menor que D1. IV.2.3.b. Capacitancia de una Línea de Dos Alambres.

80 La capacitancia entre dos alambres se debe interpretar como la relación de la carga sobre los conductores por unidad de diferencia de potencial entre ellos, por lo que la capacitancia por unidad de longitud se puede expresar así. C

q v

F/m

(4.56)

Donde: q – carga en la línea en coulombs por metro. v – diferencia de potencial entre conductores en volts. La capacitancia entre los dos alambres se puede determinar si se sustituye en (4.56) la expresión obtenida para v de la ecuación (4.55), en éste caso para llevarlo a cabo se tomará como referencia la Fig. 4.18, donde el voltaje v ab entre los dos alambres a y b se determinará aplicando el principio de superposición considerando que es la suma de las caídas de voltaje causadas por la carga en cada conductor. ra a

b

rb

D

Fig. 4.18.- Dos alambres separados una distancia D. Entonces la expresión de la diferencia de potencial vab ocasionada por la presencia de las cargas qa y qb sobre cada conductor de acuerdo con la expresión (4.55) se determina así. Primero se considera el efecto de qa, donde ra representa a D1 y D representa a D2, luego se superpone el efecto de qb donde D representa a D1 y rb representa a D2, dando lugar a la expresión (4.57). Vab 

qa

ln

2πε

q r D  b ln b ra 2 π ε D

V.

(4.57)

Como en este caso se cumple que: qa = - qb, entonces. Vab 

qa 

 ln

2 π ε 

r  D  ln b  ra D 

V.

(4.58)

Que da lugar a la expresión. Vab 

qa 2πε

ln

D2 ra rb

V.

(4.59)

81 De tal manera que la capacitancia será dada por la expresión.

C ab 

qa Vab



2πε

F/m

 2  ln D ra rb  

(4.60)

Generalmente se tiene que ra = rb = r, por lo que:

C ab 

πε ln D

 r

F/m

(4.61)

Esta expresión permite el cálculo de la capacitancia entre los conductores a y b, en función de la cuál se puede establecer una expresión que calcule la capacitancia al neutro o a tierra, cuya interpretación se muestra en la Fig. 4.19. a

Cab

a

b

n

b



Can

Cbn

Can = Cbn = 2 Cab (B)

(A)

Fig. 4.19.- Representación de capacitancia entre conductores (A) y al neutro (B). Si la capacitancia entre conductores Cab de la ecuación (4.60) es dividida entre Vab, la correspondiente para Can o Cbn de acuerdo a la Fig. 4.19(B) solo se le aplicará Vab/2, por lo que la expresión resultante será.

q C an  C bn  a Vab

 2

2πε ln D r

 

F/m a el neutro

(4.62)

IV.2.3.c. Capacitancia de una Línea Trifásica con Disposición en Triángulo Equilátero. Cuando tres conductores de radio “r” se localizan en los vértices de un triángulo equilátero y las cargas en cada uno de ellos se considera que están uniformemente distribuidas, tal y como se muestra en la Fig. 4.20. Entonces el voltaje V ab debido a las cargas qa, qb y qc es qa dado por la expresión (4.63).

D qb

D

D

qc

Fig. 4.20.- Disposición equilátera de conductores de una línea trifásica.

82

Vab 

1  D r D q ln  q b ln  q c ln  2 π ε  a r D D

(4.63)

Determinando análogamente el voltaje Vac, se tiene. Vac 

1  D D r q a ln  q b ln  q c ln   2πε r D D

(4.64)

Hay que señalar que solo existen las tres cargas de los conductores y que el efecto de la tierra es ignorado, por lo que se cumple que: q a + qb + qc = 0, de tal manera que si se suman los voltajes Vab y Vac, se obtiene la expresión (4.65). 1  D r Vab  Vac  2q a ln   q b  q c  ln   2πε  r D

(4.65)

Como qb + qc = - qa, entonces se tiene. 3 qa D Vab  Vac  ln 2πε r

(4.66)

Ahora se construye el diagrama fasorial con los voltajes de línea y el voltaje al neutro de la fase a como se muestra en la Fig. 4.21.

Vab Van

Vbc

Vca Fig. 4.21.- Diagrama fasorial de voltajes de línea y al neutro. La relación entre los voltajes de línea Vab y Vac, y el voltaje de fase a neutro Van de acuerdo a la Fig. 4.21, es la siguiente.

Vab  3 Van 30 0  3 Van ( 3  j 1 ) 2 2

83

Vac  Vca  3 Van   30 0  3 Van ( 3  j 1 ) 2 2 Sumando los voltajes de línea anteriores, se obtiene. Vab + Vac = 3 Van

(4.67)

Sustituyendo (4.57) en (4.66), es obtiene. Van 

qa 2πε

ln

D r

(4.68)

V.

Si la capacitancia es la relación de carga a voltaje, la capacitancia al neutro, será.

C an 

qa Van



2πε ln D r

F respecto al neutro. m

 

(4.69)

IV.2.3.d. Capacitancia de Líneas Trifásicas con Disposición Asimétrica. Cuando los conductores de las líneas de un conductor por fase se localizan en los vértices de un triángulo que no es equilátero se dice que están localizados en una disposición asimétrica, tal y como se muestra en la Fig. 4.22. 2 D12

D23

3 D31 Fig. 4.22.- Disposición asimétrica de conductores en una línea trifásica. 1

En este caso las capacitancias al neutro de cada fase serán diferentes puesto que las diferencias de potencial entre cada par de conductores es diferente debido a que el campo eléctrico global producido por la presencia de las cargas sobre los conductores no presenta una distribución que propicie la igualdad de dichas diferencias de potencial, así que lo más conveniente para aproximarse a que esto se de, se considerará que la línea se transpone en un ciclo de transposición, tal y como se consideró anteriormente para calcular la inductancia. Por lo que si se toma como referencia la Fig. 4.22, donde se considera que durante el primer tercio del ciclo de transposición el conductor de la fase “a” esta en la posición 1, el de la fase “b” en la posición 2 y el de la fase “c” en la posición 3: La expresión para Vab, será. Vab,1 

D  D12 1  r  q b ln  q c ln 23   q a ln 2πε  r D12 D 31 

Volts.

(4.70)

84 Cuando el conductor de la fase “a” esta en la posición 2, el de la fase “b” en la posición 3 y el de la fase “c” en la posición 1, se tiene que Vab, es. Vab,2 

D 23 D  1  r  q b ln  q c ln 31   q a ln 2 πε  r D 23 D12 

Volts.

(4.71)

Cuando el conductor de la fase “a” esta en la posición 3, el de la fase “b” en la posición 1 y el de la fase “c” en la posición 2, se tiene que Vab, es. Vab,3 

D 31 D  1  r  q b ln  q c ln 12   q a ln 2πε  r D 31 D 23 

Volts

(4.72)

Si se desprecia la caída de voltaje a lo largo de la línea entonces el voltaje al neutro de una fase en una parte del ciclo de transposición es igual en cualquier parte del ciclo y esto tiene como consecuencia que el voltaje entre cualquier par de conductores será el mismo en cualquier parte a lo largo de la línea. Respecto a la carga en un conductor esta es diferente cuando la posición del conductor cambia con respecto a los otros conductores, pero con los espaciamientos y conductores usuales suficiente exactitud se obtiene si se considera que la carga por unidad de longitud es la misma en cada parte del ciclo de transposición. Cuando ésta última suposición es asumida con relación a la carga entonces el voltaje entre un par de conductores es diferente para cada parte del ciclo de transposición, por lo que un valor representativo será un valor promedio del voltaje entre conductores para cada parte del ciclo de transposición y en función de este voltaje promedio se podrá determinar un valor representativo para la capacitancia. Entonces el voltaje promedio entre los conductores “a” y “b” es.

Donde:

Vab 

Vab,1  Vab,2  Vab,3 3

Vab 

D12 D 23 D 31 D D D  1  r3  q b ln  q c 12 23 31   q a ln 6 πε  D12 D 23 D 31 D12 D 23 D 31  r3

Vab 

D eq 1  r   q a ln   q b ln 2 πε  r D eq   

D eq  3 D12 D 23 D 31

(4.73) (4.74)

Análogamente se determina que el valor promedio del voltaje entre los conductores “a” y “c”, es. Vac 

D eq 1  r   q a ln   q c ln 2 πε  r D eq   

(4.75)

85

Ahora de acuerdo con la igualdad (4.67), se tendrá que: D eq 1  r r   2q a ln  3Van  Vab  Vac   q b ln  qc 2 πε  r D eq D eq   

Debido a que:

qa + qb + qc = 0, entonces:

3Van 

D eq 3 q a ln 2 πε r

Y la capacitancia al neutro será: Cn 

qa Van



2 πε D  ln  eq  r  

F/m al neutro

(4.76)

Esta es la expresión que se utiliza para calcular la capacitancia al neutro de una línea trifásica con disposición asimétrica tal y como se ilustra mediante el ejemplo siguiente. Ejemplo 4.3.- Calcule la capacitancia y la reactancia capacitiva por Km. para la línea trifásica cuyos datos se citan en el ejemplo 4.1 y cuyo radio del conductor es 1.165 pulg. solución. Para calcular la capacitancia se hace por medio de la fórmula (4.76), donde. D eq  3 (3.5)(3.5)(5.66)  4.108 m.

r  1.165 pulg.  1.165 (0.0254)  0.029 m.

Sustituyendo en (4.76) se tiene. C

2 π (8.85x10 -12 )  11.2647 x10 12  4.108  ln    0.0295 

F/m

La reactancia capacitiva será: XC 

1 1   0.23547 x10 6 2 π f C 2 π (60) (11.2647x1 0 -12 )

 - Km. al neutro

IV.2.3.e. Capacitancia de Líneas Trifásicas con Varios Conductores por Fase.

86 Las líneas trifásicas pueden estar constituidas por uno, dos, tres y hasta cuatro conductores por fase, para las cuales se deben de establecer las ecuaciones para voltaje del conductor “a” al “b” como se hizo para la ecuación (4.70), excepto que ahora se deben considerar las cargas en todos los conductores de los tres grupos de conductores. Por ejemplo si se considera una línea trifásica de dos conductores por fase como la mostrada en la Fig. 4.23, donde se considera que la carga por grupo de conductores se divide igualmente entre cada conductor del grupo y que las distancias entre centros de grupos de conductores es mucho mayor que las distancias entre conductores de un mismo grupo o conductores de una fase. La exactitud en los resultados no se ve alterada por estas consideraciones de manera significativa. D31 D23

D12 a

d

a’

b d

b’

c

c’ d

Fig. 4.23.- Línea trifásica de dos conductores por fase.

Si la carga del conductor “a” es qa, cada uno de los conductores “a” y a’ tendrán una carga de qa/2 y similar división de carga es asumida para los otros conductores de las fases b y c, entonces. D 23   D  q  1  q a  D12 r d  q c  D 23   (4.77)  ln Vab   ln 12   b  ln  ln  ln  ln  2 πε  2  r d  2  D12 D12  2  D 31 D 31   Haciendo simplificaciones se llega a la expresión siguiente. Vab 

D  D12 1  rd  q b ln  q c ln 23   q a ln 2πε  D12 D 31  rd

(4.78)

La ecuación (4.78) es equivalente a la ecuación (4.70) con la diferencia de que en lugar de “r” esta la cantidad rd . Por lo que si se considera que la línea es transpuesta, se obtendrá que la capacitancia es dada por la expresión (4.79). Cn 

2πε  D eq ln  rd 

F/m al neutro. 





(4.79)



El término rd es similar al término RMGg de la expresión (4.49) excepto que “r” reemplaza al término RMG, esto da lugar a que se concluya que el método de la Distancia

87 Media Geométrica se aplique al cálculo de la capacitancia, pero modificado debido a que en lugar de usar el RMG del conductor se utiliza el radio del conductor. Si se hace extensivo el método a los casos de tres y cuatro conductores por fase se obtiene. Para un grupo de dos conductores por fase se tiene. RMG C  4 (r d) 2 

(4.80)

rd

Para tres conductores por fase se tiene. RMG C  9 ( r d d) 3 

3

r d2

(4.81)

Para cuatro conductores por fase, se tiene. RMG C  16 ( r d d d

2 ) 4  1.09 4 r d 3

(4.82)

Por lo que la ecuación general para la capacitancia tendrá la forma. 2πε  D eq

C ln



(4.83) 

 RMG  C 

Ejemplo 4.4.- Calcular la reactancia capacitiva al neutro en Ohm-Km por fase de una línea trifásica de tres conductores por fase cuya disposición es la mostrada en la Fig. 4.24, si los conductores de cada fase son bluejay y están localizados en los vértices de un triángulo equilátero. El diámetro del conductor es de 1.259 pulgadas. d D23

D12 D31

Fig. 4.4.- Línea trifásica de tres conductores por fase. Donde:

d = 40 cm,

D12 = D23 = 7.5 m,

D13 = 15 m.

Solución El radio del conductor en metros es. r

1.259 x 0.3048  0.016 m. 2 x 12

El radio medio geométrico corregido es.

88 RMG C 

3

r d 2  3 (0.016) (0.4) 2  0.1368 m.

La Deq es: D eq  3 D12 D 23 D 31  3 (7.5)(7.5)(15)  9.45 m

La capacitancia al neutro por fase es: Cn  ln



2 D eq

2  (8.85x10 12 )  13.129 x 10 12  9.45  ln   0.1368 



 

  RMG C 

F/m

Si la frecuencia es de 60 Hz., la reactancia capacitiva será.

XC 

1 1   202039.941  0.202 x10 6   Km por fase al neutro. 2  f C 2  (60) (13.129 x 10 12 )

IV.3. ECUACIONES DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN. Para el establecimiento de las ecuaciones de voltaje y de corriente de las líneas de transmisión en alta tensión es conveniente clasificarlas de acuerdo a su longitud en cortas, medianas y largas. Se considera como una línea corta a la que tiene una longitud menor a 80 Km., a una línea mediana la que tiene entre 80 y 240 Km. y una línea larga aquella que tiene más de 240 Km. Como se ha señalado anteriormente toda línea de transmisión contiene los cuatro parámetros de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia, pero respecto a ellos prácticamente en cada caso se hacen algunas consideraciones para llevar a cabo su representación y modelado, que se señalarán cuando se trate cada caso. IV.3.1. LÍNEA DE TRANSMISIÓN CORTA. En este caso debido a que los efectos de conductancia y capacitancia en derivación llegan a tener valores muy pequeños se desprecian y por lo tanto solo se consideran la resistencia y la inductancia en serie que constituyen la impedancia en serie, por lo que la línea se representa tal y como se muestra en la Fig. 4.24 Is

R

L

IR

+

+

Vs

VR

-

-

Fig 4.24.- Representación de una línea de transmisión corta.

89

La nomenclatura que se utilizará en el desarrollo de éste tema es la siguiente. r – resistencia por unidad de longitud. l – inductancia por unidad de longitud. g – conductancia por unidad de longitud. c – capacitancia por unidad de longitud. z – impedancia por unidad de longitud. y – admitancia por unidad de longitud. l – longitud total de la línea. R – resistencia en serie total de la línea. L – inductancia en serie total de la línea. G – conductancia en derivación total de la línea. C – capacitancia en derivación total de la línea. Z = z l - impedancia en serie total de la línea. Y = y l - admitancia en derivación total de la línea. Donde: Z=(r+jl)l= R+jL Y=(g+jc)l =G+jC Además: Vs – voltaje de fase a neutro en la terminal transmisora de la línea. Is – corriente en la terminal transmisora. VR – voltaje de fase a neutro en la terminal receptora. IR – corriente en la terminal receptora. Como se puede apreciar en este caso la corriente en ambas terminales son iguales y los voltajes en ambas terminales difieren debido a la caída de tensión, por lo que las ecuaciones de voltaje y de corrienteVs en este caso son: Vs X L IR

Is = IR IRR + Z IR Vs = V

V R R IR

(4.84)

(4.85) VR R IR IR Es conveniente este caso construir los diagramas fasoriales para diferentes tipos de carga (a) carga en resistiva (b) carga predominantemente inductiva como son: resistiva, predominantemente inductiva y predominantemente capacitiva, las cuales se muestran en la Fig 4.25. Vs XL IR (c) carga predominantemente capacitiva IR VR R IR Fig. 4.25.- Diagramas fasoriales para una línea de transmisión corta.

90

X L IR

Los diagramas fasoriales de la Fig. 4.25 muestran el efecto de variar la magnitud y el factor de potencia de la carga, que para la carga resistiva la magnitud de voltaje en la terminal transmisora es ligeramente mayor que la de la terminal receptora  Vs  VR , para la carga predominantemente inductiva se tiene que  Vs VR , y para la carga predominantemente capacitiva se tiene que  Vs  VR , que se le identifica a este último como efecto Ferranti . Regulación de Voltaje.- Es conveniente establecer lo que se debe entender por regulación de voltaje de una línea de transmisión que es la elevación en el voltaje en la terminal receptora expresada en por ciento del voltaje en la misma terminal a plena carga, cuando se remueve la plena carga y pasa a la condición de no carga a un factor de potencia específico mientras se mantiene constante el voltaje en la terminal transmisora. La expresión que comprende el concepto anteriormente citado es:

% Re g 

VR , NC  VR , PC VR , PC

x 100

(4.86)

Donde: VR,NC – Voltaje en la terminal receptora cuando no hay carga. ( IR = 0 ) VR,PC – Voltaje en la terminal receptora a plena carga. IV.3.2. LÍNEA DE LONGITUD MEDIA. En la línea de longitud media se toman en cuenta los cuatro parámetros R, L, G y C, pero se considera que están concentrados de tal manera que constituyen un circuito “”, donde la impedancia en serie que comprende la resistencia y la inductancia se considera concentrada

91 en la parte media de la línea, y la admitancia en derivación que comprende a la conductancia y la capacitancia en derivación se considera que esta concentrada la mitad en el lado de la terminal transmisora y la otra mitad en el lado de la terminal receptora, tal y como se muestra en la Fig. 4.26. Is

IR

Z

+

+ Vs

Y/2

-

Y/2

VR -

Fig. 4.26.- Circuito “” equivalente de la línea de longitud media. Del circuito se observa que la expresión del voltaje en el extremo transmisor Vs es posible obtenerla en función del voltaje en el extremo receptor VR más la caída de voltaje en la impedancia en serie que se da al circular por ella la corriente I R + VR Y/2, lo cual da lugar a la expresión siguiente: Y   Vs   VR  I R  Z  VR 2  

(4.87)

Que da lugar a la expresión siguiente.  ZY   1 VR  ZI R  2 

VS  

(4.88)

La expresión para la corriente en la terminal transmisora será función de la corriente que circula a través de la admitancia en derivación de lado de dicha terminal VsY/2, más la corriente que circula por la impedancia en serie, que se citó previamente, obteniéndose la expresión siguiente. I S  VS

Y Y  VR  I R 2 2

(4.89)

Al sustituir la expresión (4.88) en la (4.89) y reordenarla se llega a la expresión siguiente.  ZY   ZY   1 Y VR    1 I R 4    2 

IS  

(4.90)

En este caso la expresión para el por ciento de regulación obtendrá la forma siguiente.

92 VS

 VR , PC ZY 1 2 % Reg  x 100 VR , PC

(4.91)

Donde el primer término del numerador de la expresión anterior representa el voltaje en la terminal receptora cuando no hay carga VR,NC, que se obtiene en función de la expresión (4.88), despejando para VR y considerando que IR = 0, debido a que no hay carga. Desde luego la expresión (4.86) se toma como referencia. Para ilustrar la aplicación de las expresiones establecidas para las líneas corta y mediana se mostrará un ejemplo. Ejemplo 4.5.- Una línea de transmisión trifásica que opera a 60 Hz, que tiene una longitud de 150 Km, que presenta una impedancia en serie total de 32 + j 145  y una admitancia en derivación de 915 x 10-6 900 S. La cual suministra potencia a una carga trifásica de 50 MW a un factor de potencia en atraso de 0.88. Calcule el voltaje, la potencia activa en la terminal transmisora y el por ciento de regulación considerando que: a) se trata de una línea corta y b) que se trata de una línea mediana. Solución. a).- Cuando se trata de una línea corta se desprecia la admitancia en derivación y se cumple que: PR 50,000 IR    203.752 A. 3 VRL FPR 3 (161) (0.88) Donde:  R  cos 1 0.88  28.35 0 Por lo que la corriente en la terminal transmisora es: I S  I R  203.752  - 28.35 0 A. Si el fasor de tensión de fase en la terminal receptora se toma como referencia, entonces: VRF 

161 0 0  92.9530 0 KV. 3

La impedancia en serie por fase de la línea es: Z  32  j145  148.48977.55 0 . Sustituyendo valores en la ecuación (4.88), se obtiene la tensión de fase en la terminal transmisora.





VSF  92953.3930 0  148.48977.55 0 203.752 - 28.35 0 VSF  112722 .587  j22902.832  115025 .74211.48 0 VSF  115 .02511.48 0



Volts.

KV.

La tensión de línea en la terminal transmisora es: VSL  3 115 .025  199.229 KV. La potencia activa en la terminal transmisora será:

93

PS 

3VSL I S cos S 





3 199.229  203.752  cos 11.48 0  28.35 0  53.994 MW.

En este caso el por ciento de regulación de la línea de acuerdo a la expresión (4.86) es. % Re g 

VS  V R , PC V R , PC

x100

Donde:  VS  =  VR,NC , cuando IR = 0 % Re g 

115 .025  92.953 x100  23.74 92.953

b).- En el caso de la línea de longitud media las expresiones para calcular V S, IS y el %Reg son dadas por (4.88), (4.89) y (4.91) respectivamente. Empezando por calcular V S, primero se hará el cálculo correspondiente a (ZY/2 + 1).







ZY 148.48977.550 915x10 6 90 0 1   1  0.93370.9 0 2 2

Así que la tensión de fase en la terminal transmisora por fase de acuerdo a (4.88), será.





 



VSF  0.9337 0.9 0 92953.3930 0  148.48977.55 0 203.752  28.35 0 VSF  106549.064  j24266.078  109277.3712.830 Volts. VSF  109.27712.830 KV.

Para calcular IS, es conveniente calcular primero el término (ZY/4 + 1)Y.







 148.48977.55 915x10  6 90 0   ZY   1 Y    1 915x10  6 90 0  4  4   



 ZY   1 Y  0.8846 x10  3 90.43 0 S.   4 

Sustituyendo en la ecuación (4.89), se obtendrá la corriente en la terminal transmisora.





 



I S  0.8846 x10 3 90.430 92953.3930 0  0.93370.9 0 203.752  28.35 0 I S  168.206  j5.474  168.295  1.86 0

A.





94

La tensión de línea en la terminal transmisora es: VSL 

3 (109.277)  189.273 KV.

La potencia activa en la terminal transmisora es. PS 

3VSL I S cos S 

3 189.273168.295 cos(12.830  1.86 0 )

PS  53368.757 KW.  53.368 MW.

El por ciento de regulación en este caso es dado por la expresión (4.91) y sustituyendo en ella se obtiene: 109.277  92.953 0 . 9337 % Re g  x100  25.9 92.953

Comparando los resultados obtenidos en ambos casos se puede establecer que la tensión en la terminal transmisora en el caso (a) es mayor que en el caso (b) debido a que se produce una mayor caída de tensión cuando no hay corriente en derivación, esto también lógicamente se refuerza al ver los valores de corriente en la terminal transmisora que es mayor en el caso (a) que en el (b) y en éste último caso se le debe sumar la corriente que suministra el efecto capacitivo en derivación. Por lo tanto las pérdidas activas (P S – PR) en el caso (b) son ligeramente mayores en el caso (a) que en el (b). El por ciento de regulación es ligeramente mayor en el caso (b) que en el (a). IV.3.3. LÍNEA DE TRANSMISIÓN LARGA. En las líneas de transmisión largas se considera que sus parámetros de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia están uniformemente distribuidos, aunque esto solo se cumple en gran medida en el caso de la resistencia y la inductancia en serie, pero no así con la conductancia y la capacitancia en derivación. La representación de la línea se muestra la Fig. 4.27 donde un elemento diferencial de línea de longitud dx se encuentra localizado a una distancia “x”, con respecto al extremo receptor y debido a que el voltaje y la corriente varían en función de la distancia x, al inicio del elemento diferencial tendrán respectivamente los valores de V + dV e I + dI y al final V e I, la diferencia lógicamente se debe en que en el elemento diferencial se presenta una variación en la tensión dada por “I zdx” y una variación en la de corriente en dada por “V ydx”. IR IS I+ dI I + + + + VS -

V+dV dx

V

VR

-

x

Fig. 4.27.- Línea de transmisión larga con parámetros uniformemente distribuidos.

95

La variación de la tensión en elemento diferencial de línea es dada por la expresión. dV  I zdx

(4.92)

La variación de la corriente en el elemento diferencial es dada por la expresión. dI  V ydx

(4.93)

De (4.92) y (4.93) se establece respectivamente que: dV  Iz dx

(4.94)

dI  Vy dx

(4.95)

Derivando ambas ecuaciones nuevamente con respecto a x, se obtiene: d 2V dI z 2 dx dx d 2I dV  y 2 dx dx

(4.96)

(4.97)

Ahora sustituyendo (4.95) en (4.96) y (4.94) en (4.97), se obtiene. d 2V  yz V dx 2

(4.98)

d 2I  yz I dx 2

(4.99)

Al observar las dos últimas ecuaciones se aprecia que tienen la misma estructura, pero con la diferencia de que una se refiere a voltaje y otra a corriente y las soluciones deben ser expresiones que cuando se diferencian dos veces con respecto a x deben dar la expresión original propuesta como solución, pero multiplicada por la constante “yz”. El tipo de solución que satisface esta característica es de la forma exponencial y como se trata de una

96 ecuación de segundo grado entonces debe tener dos constantes, que en este caso son A1 y A2, por lo que la solución propuesta para el voltaje tiene la estructura siguiente. V  A1 e

zy x

 A 2 e

zy x

(4.100)

Derivando dos veces la expresión anterior con respecto a “x”, se obtiene. d 2V  yz  A1 e  dx 2

yz x

 A2 e-



yz x

(4.101) 

La cual es “yz” veces la solución asumida para V, por lo que (4.100) es la solución de (4.98). Ahora si se sustituye (4.100) en (4.94) y se despeja I, se obtiene.

1 z

I

A1 e

yz x



y

1 z

A2 e -

yz x

(4.102)

y

Las constantes A1 y A2 se pueden determinar en base a considerar las condiciones en la terminal receptora, que son: x = 0, V = VR e I = IR, que al sustituirse en (4.100) y (4.102), se obtiene.

VR  A1  A2

IR 

e

1 ( A1  A2 ) z y

Estableciendo que la impedancia característica de una línea de transmisión se define como: Z C  z , y resolviendo para A1 y A2, se obtiene. y A1 

VR  Z C I R 2

A2 

y

VR  Z C I R 2

Al sustituir las expresiones obtenidas para A1 y A2 en las ecuaciones (4.100) y (4.102), considerando que la constante de propagación se define como   yz , se obtiene. V 

VR  Z C I R x VR  Z C I R -x e  e 2 2

VR I

ZC 2

 IR

VR x

e 

ZC 2

 IR

e-x

(4.103)

(4.104)

La constante de propagación  es una cantidad compleja cuya parte real  se le conoce como constante de atenuación medida en nepers por unidad de longitud y la parte

97 imaginaria  se le conoce como constante de fase, que es medida en radianes por unidad de longitud, entonces.     j

(4.105)

Arreglando las expresiones (4.103) y (4.104)de la manera siguiente. V  VR

I 

ex  e x ex  e x  ZC I R 2 2

(4.106)

VR ex  e x ex  e x  IR ZC 2 2

(4.107)

Si se sabe que las igualdades trigonométricas para el seno y coseno hiperbólico son: sen 

e  e  2

y

cos 

e  e  2

(4.108)

Al considerar estas igualdades en (4.106) y (4.107), cada una toma la forma respectiva siguiente. V  VR cosh x  I R Z C senhx

I  I R cosh x 

VR senhx ZC

(4.109) (4.110)

Cuando x = l de (4.109) y (4.110) se obtendrán las expresiones para el voltaje y la corriente en la terminal transmisora, cuyas expresiones son: VS  VR cosh   I R Z C senh

I S  I R cosh  

VR senh ZC

(4.111) (4.112)

Debido a que  l es una cantidad compleja, entonces las funciones trigonométricas de seno y coseno son funciones hiperbólicas de variable compleja, que pueden ser evaluadas auxiliándose de alguna calculadora o una computadora, pero también se puede recurrir a las igualdades siguientes que están expresadas en términos de funciones circulares e hiperbólicas de argumentos reales. cosh (  j)  cosh  cos  j senh  sen 

(4.113)

senh (  j )  senh  cos   j cosh  sen 

(4.114)

98 IV.3.3.a. Circuito “” Equivalente de una Línea Larga. Se ha indicado anteriormente que los parámetros en una línea de transmisión larga se considera que están uniformemente distribuidos y en base a estas consideraciones se llegaron a establecer las ecuaciones para voltaje y corriente en la terminal transmisora (4.111) y (4.112) y que el circuito “” equivalente para una línea mediana tiene la estructura mostrada en la Fig. 4.26, cuyas ecuaciones para voltaje y corriente en la terminal transmisora son (4.88) y (4.90). Si se considera que es posible que un circuito cuya estructura es igual al de la línea mediana pero con valores de sus componentes diferentes sea un circuito equivalente al de una línea larga, sería posible solamente si se cambiarán las cantidades de Z y Y/2 por Z’ y Y’/ 2 de las ecuaciones (4.88) y (4.90), de tal manera que en base a (4.88) se obtendría una nueva ecuación cuya estructura es.  Z ' Y'   1 VR  Z ' I R  2 

VS  

(4.115)

Y al comparar esta ecuación con la (4.111) la equivalencia sería posible solo si los coeficientes respectivos de VR e IR de ambas ecuaciones fueran idénticos, y por lo tanto se tendría que. Z '  Z C senh 

Z '

z

Z ' Z

senh  

y

senh   z

(4.116) senh  zy

(4.117)

En esta expresión se observa que la impedancia total en serie de la línea es multiplicada por un factor que esta encerrado entre paréntesis que hace que el circuito nominal “” para la línea mediana de la Fig 4.26 se convierta a el equivalente “” para la línea larga. Para determinar el elemento en derivación para el equivalente de la línea larga se igualan los coeficientes de VR de las expresiones (4.88) y (4.111), obteniéndose. Z ' Y'  1  cosh  2

Sustituyendo (4.116) en (4.118), se tiene. Y ' ZC senh   1  cosh  2 Despejando para Y’/2, se tiene.

(4.118)

99 Y' 1 cosh  - 1  2 Z C senh 

Si:

tanh

 2



(4.119)

cosh  - 1 senh 

Y' 1   tanh 2 ZC 2

Entonces:

Que se puede adecuar de la forma siguiente.

tanh    Y' Y  2   2 2 2

(4.120)

Esta ecuación muestra el factor de corrección por el cual se debe de multiplicar Y/2 para que el elemento en derivación del circuito “” equivalente de la línea mediana de lugar al elemento Y’/2 del circuito “” equivalente de la línea larga. Por lo tanto en general se puede establecer que el circuito equivalente de una línea de transmisión corta, mediana o larga tiene la forma general de un circuito “” , donde en el caso de la línea corta el elemento en derivación es nulo, en el caso de la línea mediana la admitancia en derivación se divide en dos partes iguales y concentrada cada una en cada terminal, y en el caso de la línea larga sus elementos componentes son dados por las expresiones (4.117) y (4.120). Ejemplo 4.6.- Se tiene una línea de transmisión de 350 Km. de longitud que opera a la frecuencia de 60 Hz., cuyos parámetros son: resistencia de 0.115 /Km., reactancia inductiva de inductancia 0.55 /Km., y admitancia de 3.55 x 10-6 S/Km. La línea alimenta una carga de 90 MW., cuyo FP = 0.85(-), a la cual le aplica una tensión de línea de 230 KV. Determine: a) La tensión, corriente y potencia activa en la terminal transmisora. b) El por ciento de regulación. c) Los elementos que constituyen el circuito “” equivalente de la línea larga. Solución. Primero se calcularán los elementos que se necesitan para calcular las cantidades señaladas en el inciso a), que son los siguientes. La impedancia en serie total. Z   0.115  j 0.55 350  40.25  j 192.5  195.6678.19 0  La admitancia en derivación total es.





Y  3.55x10 6 90 0 350  1242.5x10 -6 90 0

S.

100 La impedancia característica es. Zc 

Z  Y

195.6678.19 0 1242.5x10

6

90

0

 396.82 - 5.9 0 

El producto del coeficiente de propagación por la longitud total de la línea es:  

ZY 

(195.6678.19 0 )(1242.5x10  6 90 0 )  0.4930584.09 0

    j    0.05976  j0.49043

La corriente en la terminal receptora es. IR 

90,000  265.787   31.78 0 A. 3 ( 230)(0.85)

Para calcular la tensión de fase a neutro en la terminal transmisora se recurre a la ecuación (4.111), de la cual es conveniente primero evaluar las funciones hiperbólicas por medio de las identidades (4.113) y (4.114), tal y como se muestra a continuación. cosh(0.05076  j0.49043)  cosh 0.05076 cos 28.09 0  j senh0.05076 sen28.09 0

Donde:

  0.49043 radianes  28.09 0 ,

de tal manera que:

cosh   (1.00128)(0.8922)  j (0.05078)(0.47085) cosh   0.8933  j 0.03391  0.89392.17 0

senh (0.05076  j0.49043)  senh 0.05076 cos28.09 0  j cosh0.05076 sen 28.09 0 senh  (0.05078)(0.8922)  j (1.00128)(0.47085)

senh  0.04479  j 0.47146  0.473584.57 0

a).- Sustituyendo en la expresión para VS, que es la (4.111), se tiene. VS 

230,0000 0 (0.89392.17 0 )  ( 265.787  31.78 0 )(396.82  5.9 0 )(0.473584.57 0 ) 3

VS  118701 .4832.17 0  49939.85446.89 0

VS  118616 .359  j4494.583  34128.956  j36458.241 VS  152745.315  j40952.824  158140.017 15 0

V.  158.1415 0

KV.

La corriente en la terminal transmisora se calculará de acuerdo a la ecuación (4.112) y sustituyendo en ella los valores previamente calculados se tiene. I S  ( 265.787  31.78 0 )(0.89392.17 0 ) 

230,0000 0 (0.473584.57 0 ) 3 (396.82  5.9 0 )

I S  237.586  29.610  158.4590.47 0  206.55  j117 .38  1.29  j158.44

101 I S  205.26  j41.05  209.32511 .310

A.

La potencia activa en la terminal transmisora será dada por la expresión siguiente. PS 

3VSL I S cos S

Donde: VSL  3VS  3 (158.14)  273.9 KV Entonces: PS 

3 ( 273.9)(209.325) cos(15 0  11.310 )  99099.73 KW  99.099 MW.

b).- El por ciento de regulación de la línea que en este caso es dado por la expresión siguiente. VS % Re g. 

cosh 



VR , PC

VR, PC x 100

Donde: VR , NC  VS cosh  , que se sustituye en la expresión (4.86) y sustituyendo valores se obtiene el resultado siguiente. 158.14  132.79 % Re g.  0.8939 x 100  33.22 132.79

c).- Los elementos componentes que constituyen el circuito “” equivalente de esta línea larga cuya estructura es igual al de la Fig.4.27, tendrán los valores que se calculan a continuación. La impedancia serie. Z'  Z C senh  (396.82  5.9 0 )(0.473784.57 0 )  187.97378.67 0



La admitancia en derivación. Y' 1 cosh   1 1 0.89392.17 0  1    612.4X10  6 79.87 0 S. 0 0 2 Z C senh 396.82  5.9 0.473584.57

IV.3.4. Constantes Generalizadas de las Líneas de Transmisión. Al observar la estructura de las ecuaciones para las líneas corta, mediana y larga de voltaje y corriente en la terminal transmisora, que son expresadas todas en función del voltaje y la corriente en la terminal receptora, como se puede apreciar en las ecuaciones respectivas (4.85), (4.84), (4.88), (4.90), (4.111) y (4.112). Estas expresiones se pueden representar en base a su estructura general de acuerdo a unas constantes que se les conoce como constantes generalizadas de las líneas de transmisión, denominadas A, B, C y D, dando las expresiones generales siguientes. VS  A VR  B I R

(4.121)

102

I S  C VR  D I R

(4.122)

Por lo tanto para la línea corta de acuerdo a las ecuaciones (4.85) y (4.84), se tiene. A=1

y

B=Z (4.123)

C=0

y

D=1

Para la línea mediana de acuerdo con las ecuaciones (4.88) y (4.90), se tiene. A

ZY 1 2

BZ

y

(4.124)  ZY  C  1 Y  4 

ZY D 1 2

y

Para la línea larga de acuerdo con las ecuaciones (4.111) y (4.112), se tiene. A  cosh  C

B  Z C senh

y

1 senh ZC

y

D  cosh

(4.125)

Finalmente en general el por ciento de regulación de una línea de transmisión se puede expresar así. VS % Re g. 

A

-

VR, NC

VR, NC

x 100

(4.126)