Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática Matemática I (Mat-021)
Problemas Resueltos de Inducción Matemática Matemática
[email protected] ____________________________________________________________ Tema:
Inducción (Primer y segundo PIM) - Inducción Dificultad: : Simple : Intermedio : Desafiante : Nivel Certamen UTFSM __________________________________
En cada uno de los siguientes problemas demuestre, usando inducción, que el enunciado es verdadero para todo : Problema nº 1:
ሺ 1 ሻ 1234 ൌ 2 ሺ ሻ: 1 2 3 4 ൌ ൌ 1 ሺ1ሻ: 1 ൌ ሺሻ 1234 ൌ ሺ 1ሻ;
Solución:
ሺାଵሻ
Sea
ଶ ଵሺଵାଵሻ
Probemos para
ଶ
Es verdad, verdad, es decir, se cumple: cumple: ሺାଵሻ ଶ
H.I (Hipótesis Inductiva)
Pero, quiero demostrar para Inducción Matemática/Mat-021 Eleazar Madariaga -UTFSM
Página 1
1 2 3 4 1ൌ
ሺାଵሻሺାଶሻ ଶ
T.I (Tesis Inductiva)
Dem: En efecto:
1 2 3 4 1ൌ ᇣሺ 2 1ሻ 1 ൌ ൌ ൌ .
ሺାଵ ାଵሻሻାଶሺାଵሻ ଶ
మ ାଷାଶ ଶ
ሺାଵ ሻሺାଶ ାଵሻሺ ାଶሻሻ ଶ
Lo que prueba la Tesis.
Problema nº 2:
1 3 5 7 ሺ2 െ 1ሻൌ ሺ ሻ: 1 3 5 7 ሺ2 െ 1ሻ ൌ ൌ 1 ሺ1ሻ:1ൌ :1 ൌ 1 ሺሻ 1 3 5 7 ሺ2 െ 1 ሻ ൌ ሺ 1ሻ 1 3 5 7 ሺ2 െ 1ሻ ሺ2 1ሻ ൌ ሺ 1ሻ 1 3 5 7 ሺ2 െ 1ሻ ሺ2 1ሻ ൌ ด ሺ2 1ሻ ଶ
Solución:
ଶ
Sea
ଶ
Probemos para
Es verdad, entonces se cumple:
ଶ
Pero, quiero demostrar para
(H.I)
;
ଶ
(T.I)
Dem:
ଶ
.
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Página 2
ൌ 21 ൌ ሺ 1ሻ ଶ
ଶ
1 ൌ െെ11
Problema nº 3:
ଶ
ଷ
ି ଵ
( Es una una consta constante nte,, disti distinta nta de 1) Solución:
ሺ ሻ: 1 ൌ ൌ 1 ሺ1ሻ: 1 ൌ ሺሻ 1 ൌ ሺ 1ሻ; 1 ൌ 1 ൌ െെ11 ൌ ሺ െ1ሻെ 1 ሺെ1ሻ ሺ ሻ 1 െ 1 െ 1 ൌ െ1 ൌ െെ1 1 ଶ
Sea
ଷ
ି ଵ
ିଵ ି ଵ
భ ିଵ
Probemos para
ି ଵ
Es verdad, entonces se cumple: ଶ
ଷ
ି ଵ
ିଵ
(H.I)
ି ଵ
Pero, quiero demostrar para ଶ
ଷ
ି ଵ
శభ ିଵ
(T.I)
ି ଵ
Dem:
ଶ
ଷ
ି ଵ
ାଵ
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Página 3
11·3 3·51 5·71 ሺ2 െ1ሻ·ሺ21 1ሻ ൌ 2 1 ሺ ሻ: ൌ ൌ1 ሺ1ሻ: ൌ ሺሻ ൌ ሺ 1ሻ; ൌ ൌ ൌ ሺ2 ·1ሺ2 ሻ3· ሺ2ሻ 13ሻ ൌ ሺ ሻሺ ሻ 2 1 1 ൌ ሺ2 1ሻሺ2 3ሻ ൌ
Problema nº 4:
Solución:
Sea
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ·ଷ
ଷ·ହ
ହ·
ሺଶି ଵ ሻ·ሺଶାଵሻ
ଶାଵ
Probemos para
ଵ
ଵ
ଵ·ଷ
ଶାଵ
Es verdad, entonces se cumple:
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ·ଷ
ଷ·ହ
ହ·
ሺଶି ଵ ሻ·ሺଶାଵሻ
ଶାଵ
(H.I)
Pero, quiero demostrar para ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ାଵ
ଵ·ଷ
ଷ·ହ
ହ·
ሺଶି ଵ ሻ·ሺଶାଵሻ
ሺଶାଵሻ·ሺଶାଷሻ
ଶାଷ
(T.I)
Dem: ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ·ଷ
ଷ·ହ
ହ·
ሺଶି ଵ ሻ·ሺଶାଵሻ
ሺଶାଵሻ·ሺଶାଷሻ
ଶାଵ
ሺଶାଵሻ·ሺଶାଷሻ
ଶమ ାଷାଵ
ሺଶାଵሻሺଶାଷሻ
ାଵ
ଶାଷ
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Página 4
Problema nº 5:
1 2 3 ൌ ሺ123 ሻ ଷ
ଷ
ଷ
ଷ
ଶ
Solución: Antes de usar Inducción, trabajemos la igualdad un poco:
1234 ൌ ሺ1ሻ 1 2 3 ൌ ൬ 2 ൰ ሺ ሻ: 1 2 3 ൌ ቀ ቁ ሺ1ሻ: ൌ1 1 ൌቀ ቁ ሺሻ 1 2 3 ൌ ቀ ሺ1ሻቁ 1 2 3 ሺ 1ሻ ൌ ቀ ቁ ᇩ ᇩ1 2 3 ሺ 1ሻ ൌ ൬ ሺ 21ሻ൰ ሺ 1ሻ ሻ4ሺ 1ሻ ൌ ሺሺ ሺ1ሻ 4 1ሻ ሺ 4ሺ 1ሻሻ ൌ 4 ൌ ሺ 1ሻሺ 2ሻ ൌ൬ 2 ൰ ሺାଵሻ
Sabemos que:
ଶ
Y reemplazando obtenemos:
ଶ
ଷ
ଷ
ଷ
Entonces sea
ଷ
ଷ
ଷ
ଷ
ሺାଵሻ ଶ
ଷ
ଶ
ଵሺଵାଵሻ ଶ
ଷ
Probemos para
ଶ
Es verdad, entonces se cumple:
ଷ
ଷ
ଷ
ሺାଵሻ ଶ
ଷ
(H.I)
ଶ
Pero, quiero demostrar para ଷ
ଷ
ଷ
;
ଷ
ሺାଵሻሺାଶሻ ଶ
ଷ
ଶ
(T.I)
Dem:
.
்.
ଷ
ଷ
ଷ
ଶ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଶ
ሺାଵሻమ ሺାଶሻమ ସ
ଶ
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Página 5
Problema nº 6 :
, ሺ ሻ ൌ2ൌ1 1, 1ൌ2 ൌ2 2 2ൌ6 ଶ
Demostrar
es divisible por 2
Solución: Lo anterior es equivalente a: ଶ
ା
ଶ
Probemos para:
ଶ
ൌ2 ሺ1ሻ 1ൌ2 ,
2 y 6 son divisibles por 2, entonces se cumple: ଶ ା (H.I) Pero, queremos demostrar: ଶ ା (T.I) Dem:
ൌ2ൌ2 െ ൌ √ 2 െ /1 1ൌ √ 2 െ 1 /ሺሻ ሺ1ሻ ൌ ሺ√ 2 െ 1ሻ /ሺ 1ሻ ሺ1ሻ ᇣ 1 ൌ ሺ√ 2 െ 1ሻ 1 ሺ1ሻ 1ൌ 2 ൫ᇣ 1√ 2 െ ൯ ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
். ଶ
Problema nº 7:
Demostrar
, ሺ 2 ሻ ଷ
es divisible por 3
Solución: Lo anterior es equivalente a: ଷ
2ൌ 3 , ൌ1 1 2·1ൌ3
Probemos para:
Inducción Matemática/Mat-021 Eleazar Madariaga -UTFSM
ା
ଷ
Página 6
ൌ2 2 2·2ൌ12 ଷ
3 y 12 son divisibles por 3, entonces se cumple:
2ൌ 3 , ሺ1ሻ 2ሺ 1ሻൌ3 , ଷ
ା
(H.I)
Pero, queremos demostrar: ଷ
ା
(T.I)
Dem:
0ൌ െ 2ൌ 3 ൌ3 െ2 ൌ √ 3 െ2 1ൌ√ 3 െ2 1 ሺ1ሻ ൌሺ√ 3 െ2 1ሻ ሺ1ሻ ൌ ሺ3 െ2 ሻ 3൫√ 3 െ2 ൯ 3√ 3 െ2 1 ሺ 1ሻ ൌሺ3 െ2 ሻ 3൫√ 3 െ2 ൯ 3√ 3 െ2 1ሺ2െ2ሻ ሺ1ሻ 2ൌሺ3 െ2 ሻ 3൫√ 3 െ2 ൯ 3√ 3 െ2 12 ሺ1ሻ 22 ൌ3 3൫√ 3 െ2 ൯ 3√ 3 െ2 12 ᇣሺ1ሻ 2ሺ 1ሻ ൌ3ሺᇣ ൫√ 3 െ2 ൯ √ 3 െ2 1ሻ
Empleare el mismo método que en el problema nº 6(despejando, sumando, restando, elevando y usando: ) ଷ
ଷ
య
య
య
ଷ
ଶ
య
ଷ
ଶ
య
ଷ
ଷ
య
ଶ
య
ଷ
య
ଷ
்.
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య
ଶ
య
ଷ
య
య
ଶ
య
Página 7
Problema nº 8:
180ሺ െ2ሻ
Demuestre que la suma de los ángulos de un polígono convexo de es
lados
Solución: Notemos que los polígonos tienen por lo menos 3 lados, por lo que debemos demostrar lo propuesto para . Claramente para se cumple (es un triangulo).Entonces ya tenemos nuestra (H.I), de modo que asumamos como verdadero y demostremos para Es decir, debemos demostrar que la suma es:
3
1.
180ሾሺ 1ሻെ2ሿൌ180ሺ െ1ሻ 1
ൌ3
(T.I) Consideremos un polígono convexo de lados, entonces para formar uno convexo de lados basta tomar un punto P en alguna de las regiones (zonas achuradas) que se determinan por la prolongación de los lados del polígono original (sin considerar las mismas rectas).
,, ൌ180 1
Des esta manera, la suma de los ángulos de este nuevo polígono va a ser la suma de todos los ángulos del polígono original más . Notemos que son los ángulos de un triangulo, entonces:
,,
°
Finalmente la suma de los ángulos de un polígono de Inducción Matemática/Mat-021 Eleazar Madariaga -UTFSM
lados es: Página 8
180ሺ ᇣ െ2ሻ ሺ ሻ ൌ180ሺ െ2ሻ 180ൌ180ሺ െ1ሻ .
Problema nº 9:
ሺ ሻ ൌ െ 41
Determine la falla del método de inducción en la demostración de: ଶ La formula proporciona solo números primos.
1 ൌ41 ሺ41ሻ ൌ 41
Solución: Definición Número Primo: Un número natural
sus únicos factores son exactamente De acuerdo con esto, basta tomar claramente no es primo.
es primo si y solo si,
y 1.
ଶ
que
Problema nº 10:
Demuestre por inducción:
1 1 2 ൌ1െ 2 ሻ ൌ1ൌ1 ∑ ൌ ൌ1െ ∑ ൌ1െ ∑ ൌ1െ 1 1 1 1 1 1 2 ൌ ᇣ 2 2 ൌ1െ 2 2 ൌ1െᇣ 2
ୀଵ
Solución:
ଵ ଵ ୀଵ ଶభ
Para
ଵ
ଵ
ଶభ
ଶభ
se cumple, así que aceptamos:
ଵ ୀଵ ଶೖ
ଵ
(H.I)
ଶ
Pero, quiero demostrar: ାଵ ଵ ୀଵ ଶೖ
ଵ
(T.I)
ଶశభ
Dem:
ାଵ
ୀଵ
ୀଵ
ଵ .ୀଵି ଶ
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ାଵ
ାଵ
ାଵ
்.
Página 9
Problema nº 11:
െ1
Demuestre mediante inducción la “Desigualdad de Bernouilli”. Esto es si , entonces , se cumple que:
ሺ1 ሻ 1 ሺ1ሻ1 1 ሺ1ሻ, ሺ ሻ ሻሻ ሺ1ሻ: ሺ1 ሻ 11· ሺ1 ሻ 1 ሺ 1ሻ ሺ1 ሻ ሺ11ሺሻ01ሻ ሺ1 ሻ ᇣሺ1ሻ ሺ1 ሻ ሺ1 ሻ ሺ1 ሻ 1 ሺ1ሻ 11ሺ 1 ሻ
Solución:
Sea la proposición:
ሺ ሻ:
, con ଵ , entonces es verdadera Supongamos ahora que, dado un natural también es cierto: (H.I) Entonces debemos probar que se cumple: ାଵ (T.I) En efecto. Como , tenemos:
.
ାଵ
ଶ
, ya que
ାଵ
Problema nº 12:
Se define la sucesión
ሺሻ
ଶ
0
ൌ1ൌ ሺ2 െ1ሻ ; 1 .
como sigue: ଵ ାଵ
a) Escriba los primeros 5 términos de la sucesión. b) Conjeture una expresión para el termino general c) Demuestre por inducción su conjetura de la parte anterior. Solución: a) ଶ ଷ ସ ହ
b)
ൌ1 ሻ ൌൌ ሺ2െ1 ൌ2 ሺ4െ1ሻൌ5 ሺ6െ1ሻሻൌ17ൌ10 ൌൌ ሺ8െ1 ଵ
ଵ
ଶ
ଷ
ସ
La formula que parece emanar de los casos anteriores es:
Inducción Matemática/Mat-021 Eleazar Madariaga -UTFSM
Página 10
ൌ1 ሺ െ1ሻ ሻ ൌ1 ൌ1ൌ1 ሺ1െ1ሻ ሻ ൌ1ሺ െ1ሻ ሻ ൌ1 ሻ ሺ ሻ ൌ 2 െ1 ൌ1ሺ െ1ሻ ൌ ด ሺ2 െ1ሻ ൌ1ሺ െ1ሻ ሺ2 െ1ሻ ൌ1 െ 2 1 2െ 1 ൌ1 ଶ
c)
Demostrare la formula anterior por inducción matemática: ଶ
ଵ
Es verdadera, así suponemos que: ଶ (H.I) Pero, queremos probar: ଶ (T.I) ାଵ Dem: Por definición: Por H.I:
ାଵ
ଶ
Por lo tanto:
ାଵ
.
ଶ
ାଵ
ଶ
ାଵ
ଶ
ାଵ
Problema nº 13:
Se define:
ൌ1 ൌ 11 ଵ
ାଵ
Demuestre que para todo
:
ൌሺ 1ሻ െ
ୀଵ
Solución:
ሻ ൌ1 ൌ ൌ ሺ11ሻ െ1ൌ1 ଵ
ଵ
ଵ
ୀଵ
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Página 11
Es verdadera, así suponemos que:
ሻ ∑ ൌሺ 1ሻ െ ሻ ∑ ൌ ሺ 2ሻ െሺ 1ሻ ሻ ൌ ൌ െ ሺሻ ൌᇣ ൌ ሺ 1ሻ ด െ 1 ൌሺ 1ሻ൬ െ 1൰െ ൌ ሺ 1ሻ െെ1 ൌ ሺ 2ሻ െ ሺ 1ሻ ୀଵ
(H.I)
Pero, queremos probar: ାଵ ୀଵ
(T.I)
ାଵ
Dem:
ଵ
Observemos que:
ାଵ
ଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ୀଵ
ାଵ
ୀଵ . ሺ ሻ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
Problema nº 14:
െ ൌ1 െ ൌെ െ ൌ ሺ ሻ · ሺ െ ሻ െ െ ൌൌ െെ
Demostrar por inducción que
ଶ
Solución: La proposición es cierta para ଶ·ଵ
ଶ·ଵ
Supongamos ahora que demostrar que también Tenemos que:
ଶ
ଶሺାଵሻ
ଶሺାଵሻ
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ଶ
es divisible por
.
, ya que:
ଶ
ଶ
ଶ
es divisible por
ଶሺାଵሻ
ଶሺାଵሻ
. Queremos
es divisible por
ଶାଶ
ଶାଶ
ଶ ଶ
ଶାଶ
Página 12
ൌሺ ᇣ െ ሻ െ ൌൌ ሺሺ െെ ሻሻ ሺ െെ ሻ ൌ ሺ ሻሺ െ ሻ െ ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶାଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
El primer termino es divisible por ଶ
segundo lo es ya que ଶሺାଵሻ
es divisible por
Problema nº 15:
ଶ
ଶାଶ ଶ
por hipótesis de inducción y el
ଶ
. Por lo tanto
ଶሺାଵሻ
y eso completa la demostración.
32 4 ሻ ൌ3 2 ด 24 ᇣ
Demuestre que, para todo
:
Solución: Empleare Inducción:
ଷ
଼
ሻ 2 4 ሻሻ 2 5 2 ൌ2·2ᇣ ሺ 4ሻ ·2 2ሺ 4ሻ ൌ2 8 5 ሺሻ
Es verdadera, así suponemos: (H.I) Pero, debo probar: ାଵ (T.I) Dem: ାଵ
.
Además Luego por transitividad se demuestra lo pedido Observación: Para más formalidad usar
Problema nº 16:
: 4 3
Demuestre que
ଶି ଵ
ାଵ
, es múltiplo de 13
Solución: Inducción Matemática/Mat-021 Eleazar Madariaga -UTFSM
Página 13
4 3 ൌ13 , 4 3 ൌ13 3 ൌ13 , 3 ൌ13 , ᇩ4 43ൌ16ൌ133 ൌ13 ሺ ሻ 4 3 133 ൌ16·13 4 13·3 4 3·33 ൌ16·13 ൌ16·13 െ13·3 4 3 ൌ13 ᇣሺ16 െ3 ሻ
Lo anterior equivale a:
ଶି ଵ
ሻ ൌ1 ሻ4 ሻሻ 4
ଵ
ାଵ
ା
ଶ
Es verdadera, así suponemos: ଶି ଵ
ାଵ
ା
(H.I)
Pero, quiero demostrar: ଶାଵ
Dem:
ାଶ
ା
(T.I)
.
ଶି ଵ
Multiplicando ambos lados por ଶାଵ
ାଵ
ଶ
ାଵ
ଶାଵ
ାଵ
ାଵ
ଶାଵ
ାଶ
ଶାଵ
ାଶ
ାଵ
ାଵ
Problema nº 17:
Demuestre que
ቆ3 2 6 ቇ ଶ
ଷ
Solución: Lo demostrare por inducción:
ሺ ሻ: ሻ ሺ1ሻ: ൌ1 , ሻ ሺ ሻ: ሻሻ ሺ 1ሻ:
Sea
మ
య
ଶ
ଷ
ଵ
ଵ
ଵ
ଷ
ଶ
Luego se satisface
Suponemos:
మ
య
ଷ
ଶ
ሺሻ
(H.I)
Probaremos:
ାଵ
ሺାଵሻమ
ሺାଵሻయ
ଷ
ଶ
(T.I)
Dem:
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Página 14
13 ሺ 1ሻ2 ሺ1ሻ6 ൌ 3 13 2 121 61 12 2 16 ൌ ᇣ3 2 6 ᇣ3 2 6 ᇣ 2 2 ሺ1ሻ , ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଶ
Solo nos queda demostrar que inducción:
ሺ ሻ: ሻ ሺ1ሻ: ൌ2 , ሻ ሺ ሻ: ሻሻ ሺ 1ሻ:
ଶ
ଷ
Sea
ଷ
, de modo que volvemos a usar
ሺାଷሻ
ଶ ଵሺଵାଷሻ ଶ
Luego se satisface
Suponemos:
ሺାଷሻ ଶ
ሺሻ
(H.I)
Probaremos:
ሺାଵሻሺାସሻ ଶ
(T.I)
Dem:
ሺ 1ሻሺ2 4ሻ ൌ 2ሺ 3ሻ32 2 ൌ ᇣ 2 ᇣ2 ଶ
ሺଵሻ
ሺଶሻ
(1) , por H.I y (2) , por definición ya que Con esto queda demostrado que y con ello
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2ሺ ሻ
Página 15
Problema nº 18:
Un polinomio de chebyshev esta definido por la siguiente relación de recurrencia:
ሺሻൌ1 ቐ ሺ ሻൌ2 · ሺ ሺሻെሻൌ ሺ ሻ , 2 cosሺ ሻൌ ሺ ሻ cosሺ1· ሻ ൌ ሺ ሻ ൌ
ଵ
ି ଵ
ି ଶ
Demuestre que para la función coseno, las formulas de ángulos múltiples se pueden expresar mediante este polinomio, es decir, pruebe que:
Así por ejemplo:
ଵ
Solución:
Demostrare por Inducción
ሻ ൌ1 ሻ cosሺ ሻ ൌ ሺ ሻ , ൌ 1: ሻcosሺሺ1ሻ ሻൌ ሺ ሻ ሻ ሺ ሻൌ2 · ሺ ሻെ ሺ ሻ ൌ2 · ᇣ െcos ሺሺ 1ሻ ሻ ൌ2 · െሾcosሺ ሻ·cosሺ ሻ ሺ ሻ· ሺ ሻሿ ൌcosሺ ሻ·cosሺ ሻെ ሺ ሻ· ሺ ሻ ൌcosሺ ሻ , es verdadero (demostrado en el ejemplo)
Asumimos:
(H.I)
Por demostrar, para
(T.I)
ାଵ
Dem:
ାଵ
ି ଵ
௦ ௨௦௧ .
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ൌcos൫ሺ 1ሻ ൯ Problema nº 19:
: cosሺ ሻൌሺെ1ሻ : ൌሼ : cosሺ ሻ ൌሺെ1ሻ ሽ
Demuestre rigurosamente que:
Solución:
Definimos el subconjunto de
ൌ
Y aplicamos el Principio de Inducción Matemática para demostrar que
ሻ cosሺ ሻ ൌെ1 1 ് ሻ cosሺ ሻ ൌሺെ1ሻ 1 ሻ cosሺሺ1ሻ ሻൌሺെ1ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ cos ൌcos cos െ ሺ ሻ cosሺ ሻ ൌെ1 ሺ ሻ ൌ0 ሻ cosሺ ሻ ൌcosᇣ ሺ ሻ ሺെ1ሻ െ0· ሺ ሻ ൌ ሺെ1ሻ ሺെ1ሻ ൌሺെ1ሻ Como
se tiene que
Supongamos que
y en consecuencia
, es decir:
Por demostrar que
(H.I)
, esto es:
ାଵ
(T.I)
Para demostrar que (H.I) implica (T.I) basta recordar la ley del coseno de la suma de ángulos: y que y . En efecto: Dem:
ୌ.୍
ାଵ
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Problema nº 20:
Demuestre
, 2 ሺ !ሻ ൌሺ 1ሻ!െ 2!
ୀଶ
Solución: Probemos para
ൌ2 ሺ !ሻ ൌ ሺ !ሻ െ ሺ !ሻ ൌ0ሺ0!ሻ 1ሺ1!ሻ 2ሺ2!ሻ െሺ0ሺ0!ሻ 1ሺ1!ሻሻ ൌ4 ሺ21ሻ!െ 2!ൌ 3!െ 2! ൌെ62 ൌ4 ሺ !ሻ ൌሺ 1ሻ!െ 2! … ሺ . ሻ ଶ
ଶ
ଵ
ୀଶ
ୀ
ୀ
Por otro lado tenemos
Por lo tanto asumimos que es verdadera
ୀଶ
Pero, debemos probar
ሺ !ሻ ൌ ሺ 2ሻ!െ 2!
ାଵ
ୀଶ
…ሺ.ሻ
Dem:
ሺ !ሻ ൌ ሺ !ሻ െ ሺ !ሻ
ାଵ
ାଵ
ଵ
ୀଶ
ୀଵ
ୀଵ
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Página 18
ൌ ሺ !ሻ െ1 ൌ ሺ !ሻ ሺ 1ሻ൫ሺ 1ሻ!൯ െ1 ൌ൭ ሺ !ሻ െ1൱ ሺ 1ሻ൫ሺ 1ሻ!൯ ൌ൭ ሺ !ሻ െ ሺ !ሻ൱ ሺ 1ሻ൫ሺ 1ሻ!൯ ൌᇣ ሺ !ሻ ሺ 1ሻ൫ሺ 1ሻ!൯ ൌ ሺ 1ሻ!െ 2! ሺ 1ሻ൫ሺ 1ሻ!൯ ൌ ሺ 1ሻ! ሾ1 ሺ 1ሻሿ െ2! ൌሺ 2ሻሺ 1ሻ!െ 2! ൌ ሺ 2ሻ!െ 2! ାଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଶ
.
Problema nº 21:
Demuestre por Inducción que
·5 ൌ 161 ሾ5 ሺ4 െ1ሻ5 ሿ
ାଵ
ୀଵ
Solución:
Probemos para
ൌ1
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·5 ൌ1·5 ൌ5 116 ሾ5 ሺ4െ1ሻ5 ሿൌ 8016 ൌ5 ଵ
ଵ
ୀଵ
Por otro lado tenemos
ଶ
Por lo tanto asumimos que es verdadera
·5 ൌ 161 ሾ5 ሺ4 െ1ሻ5 ሿ … ሺ . ሻ ·5 ൌ 161 ሾ5 ሺ4 3ሻ5 ሿ … ሺ . ሻ
ାଵ
ୀଵ
Pero, debemos probar ାଵ
ାଶ
ୀଵ
Dem:
·5 ൌᇣ ·5 ሺ 1ሻ5 ൌ 161 ሾ5 ሺ4 െ1ሻ5 ሿሺ 1ሻ5 ሺ ሻ 5 4 െ1 5 ൌ 16 16 ሺ 1ሻ5 5 4 െ1 ൌ 16 5 16 1൨ ൌ 165 5 20 1615൨ ൌ 165 5 4 163൨ ାଵ
ୀଵ
ାଵ
ୀଵ
.
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ାଶ
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ൌ 161 ሾ5 ሺ4 3ሻ5 ሿ ାଶ
Problema nº 22:
Sea
െሼ0ሽ !0! ሺ 1ሻ! ሺ 2ሻ! ሺ െ1ሻ! ሺ ሻ ! ൌ 1! 2! ሺ െ1ሻ! ሺ 1ሻ·ሺ െ1ሻ! un número natural fijo. Probar por Inducción que
Solución: Primero debemos notar que
ሺ ሻ !0! ሺ 1ሻ! ሺ 2ሻ! ሺ െ1ሻ! ! ൌ 1! 2! ሺ െ1ሻ! ! ሺ ሻ !െ1ሻ! ሺ ! ሻ! ൌ ሺ 1ሻ·ሺ ൌ1 ሺ ! ሻ! ൌ ሺ 00! ሻ! ൌ ! ሺ 1ሻ! ሺ 1ሻ! ሺ 1ሻ ·ሺ1െ1ሻ! ൌ ሺ 1ሻ ൌ ! ି ଵ
ୀ
Por lo tanto, la expresión inicial se puede escribir como ି ଵ
ୀ
Probemos para
ଵିଵ
ୀ
Por otro lado tenemos
Por lo tanto asumimos que es verdadera
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ሺ ሻ ! ሺ ሻ ! ൌ ! ሺ 1ሻ ·ሺ െ1ሻ! … ሺ . ሻ ሺ ሻ! ሺ 1ሻ! ! ൌ ሺ 1ሻ· ! … ሺ . ሻ
ି ଵ
ୀ
Pero, debemos probar
ୀ
Dem:
ሺ ሻ ሺ ሻ ! ! ሺ ሻ ! ! ൌᇣ ! ! ሺ ሻ ! ሺ ሻ ! ൌ ሺ 1ሻ ·ሺ െ1ሻ! ! ሺ ሻ ! ሺ ሻ ! ൌ ሺ 1ሻ·ሺ െ1ሻ! ሺ െ1ሻ! ሺൌ ሺ െ1ሻ!ሻ ! 11 1൨ ሺൌ ሺ െ1ሻ!ሻ ! ቈሺ ሺ1ሻ 1ሻ ൌ ሺሺ 1ሻ·1ሻ!!
ି ଵ
ୀ
ୀ
.
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Problema nº 23:
Sea
una constante real
െ1 െ1 : ሺ11 ሻ ൌ ሺ1ሻ ሺ1 ሻ
, pruebe usando Inducción sobre
que:
ୀଵ
Solución:
Probemos para
ൌ1
ሺ11 ሻ ൌ 11 ሺ1ሻ െ1 1 ൌ ൌ ሺ1 ሻ ሺ1 ሻ 1 ଵ
ୀଵ
Por otro lado tenemos
ଵ
ଵ
Por lo tanto asumimos que es verdadera
1 ሺ1 ሻ െ1 ሺ1 ሻ ൌ ሺ1ሻ … ሺ . ሻ 1 ሺ1 ሻ െ1 ሺ1ሻ ൌ ሺ1 ሻ … ሺ . ሻ
ୀଵ
Pero, debemos probar ାଵ
ାଵ
ାଵ
ୀଵ
Dem:
ሺ1ሻ1 ൌ ᇣ ሺ11 ሻ ሺ11 ሻ ൌ ሺ1ሺ1ሻ െ1ሻ ሺ1ሻ1
ାଵ
ୀଵ
ାଵ
ୀଵ
.
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ାଵ
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ሺ ሻ ሺ1 ሻ െ 1 ൌ ሺ1ሻ ൌ ሺ1ሺ1ሻ ሻ െ1 ାଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
Problema nº 24:
Demuestre por Inducción:
ሺ 1ሻ !ൌ ሺ 1ሻ!
ଶ
ୀଵ
ൌ1
Solución: Probemos para
ሺ 1ሻ !ൌ ሺ1 1ሻ1!ൌ 2 1ሺ11ሻ!ൌ2 ሺ 1ሻ !ൌ ሺ 1ሻ! … ሺ . ሻ ଵ
ଶ
ଶ
ୀଵ
Por otro lado tenemos
Por lo tanto asumimos que es verdadera
ଶ
ୀଵ
Pero, debemos probar
ሺ 1ሻ!ൌሺ 1ሻሺ 2ሻ! … ሺ . ሻ
ାଵ
ଶ
ୀଵ
Dem:
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ሺ 1ሻ !ൌ ᇣ ሺ 1ሻ ! ሾሺ 1ሻ 1ሿሺ 1ሻ! ൌ ሺ 1ሻ! ሾሺ 1ሻ 1ሿሺ 1ሻ! ൌ ሺ 1ሻ! ሾ ሺ 1ሻ 1ሿ ൌ ሺ 1ሻ! ሾ 3 2ሿ ൌሾሺ 1ሻሺ 2ሻሿሺ 1ሻ! ൌ ሺ 1ሻሺ 2ሻ!
ାଵ
ଶ
ୀଵ
ଶ
ଶ
ୀଵ
.
ଶ
ଶ
ଶ
Problema nº 25:
Demuestre por Inducción que:
2 ൏ ! ; 4 ൌ4 16ൌ2 ൏4!ൌ 24 2 ൏! …ሺ.ሻ 2 ൏ሺ 1ሻ! …ሺ.ሻ 2 ൌ2·2ᇣ ൏ ! ·2 2൏ 1 4 2 ൏ 2 · ! ൏ ሺ 1ሻ !ൌ ሺ 1ሻ!
Solución: Probemos para
ସ
Lo cual es verdadero, así que asumimos
Pero, debemos probar
ାଵ
Dem:
ାଵ
.
Por otro lado Así que
ାଵ
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Problema nº 26:
ൌ0 ൝ ൌ ൌ1 , ሼ0ሽ1 1√ 5 1െ√ 5 ൌ √ 5 ቆ 2 ቇ െቆ 2 ቇ ൩ 0 1 1√ 5 1െ√ 5 ൌ √ 5 ቆ 2 ቇ െቆ 2 ቇ ൩ 1 ൌ √ 5 ሾ1 െ1ሿ ൌ0 ൌ √ 15 ቆ1√ 2 5ቇ െቆ1െ√ 2 5ቇ ൩ … ሺ . ሻ ൌ √ 15 ቆ1√ 2 5ቇ െቆ1െ√ 2 5ቇ ൩ … ሺ . ሻ ൌ ൌ 1െ√ 2 5 ൌ 1√ 2 5 1 1 ሾ ሿ ൌ √ 5 െ √ 5 ሾ െ ሿ
La sucesión de Fibonacci se define recursivamente como:
ଵ
ାଵ
Demuestre
ି ଵ
Solución: de la definición recursiva es , veamos que sucede con la formula
Lo cual es verdadero, así que asumimos
Pero, debemos demostrar
ାଵ
ାଵ
Dem:
ାଵ
Sabemos de la definición recursiva que se cumple ାଵ
Sea
Entonces
ାଵ
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ି ଵ
ି ଵ
ି ଵ
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ൌ √ 15 ሾ െሺ ሻሿ ൌ √ 15 ൬1 1 ൰െ ൬1 1൰൨ 1 2 3√ 5 1√ 5 1 ൌ1 1√ 5 ൌ 1√ 5 ൌ 2 1 2 3െ√ 5 1െ√ 5 1 ൌ1 1െ√ 5 ൌ 1െ√ 5 ൌ 2 ൌ √ 15 ቆ1√ 2 5ቇ ቆ1√ 2 5ቇെቆ1െ√ 2 5ቇ ቆ1െ√ 2 5ቇ൩ ൌ √ 15 ቆ1√ 2 5ቇ െቆ1െ√ 2 5ቇ ൩
ାଵ
ାଵ
Veamos que
Por lo tanto
ି ଵ
ାଵ
ାଵ
ାଵ
ି ଵ
ାଵ
Problema nº 27:
Considere la siguiente figura:
En ella hay
2
resistencia
.
2
Sea la resistencia total del circuito entre A y B cuando hay resistencias . Conjeture y pruebe por inducción una formula general para calcular .
Solución:
Si calculamos con los primeros valores de , vamos a tener: Inducción Matemática/Mat-021 Eleazar Madariaga -UTFSM
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ଵ
ൌ 2 , ൌ 35 , ቐ ൌ ൌ2ൌ3 ൌ5ൌ8 ଶ
ൌ 138 , ൌ 2134 ൌ1ൌ1 ൌ13 ൌ21 ൌ34 ଷ
ସ
Ahora, para poder conjeturar un formula general, necesitamos conocer la sucesión de Fibonacci que se define recursivamente por:
ାଵ
ଵ
ି ଵ,
ஹଵ
Si calculamos para los primeros valores, tenemos: ଶ
ଷ
ସ ହ
଼
Y si notamos en nuestras resistencias calculadas anteriormente, podemos deducir que:
ൌ2ൌ ൌ 35 ൌ ൌ 138 ൌ ൌ 2134 ൌ ൌ …ሺ.ሻ ଵ
ଵ
ଶ
ଷ
ଶ
ସ
ହ
ଷ
ସ
଼
Lo anterior nos da para conjeturar que:
ଶି ଵ
ଶ
Ahora, debemos demostrar a partir de nuestra hipótesis de inducción (H.I) que:
Dem:
ൌ
ଶାଵ ଶାଶ
…ሺ.ሻ
2 2
Si hay resistencias, entonces hay dos resistencias más que en el primer caso. De ellas hay una que se agrega en serie y la otra en paralelo. Inducción Matemática/Mat-021 Eleazar Madariaga -UTFSM
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:
Calculamos primero la resistencia equivalente, considerando la resistencia en serie
ൌ ൌ ൌ൬ ൰ ൌ െ െ ൌ൬ ൰ ൌ൬ ൰ ଵ
ଶି ଵ ଶ
ଶି ଵ
ଶ
ଶ
Pero,
ଶି ଵ
ଶାଵ
ଶ
por recurrencia de Fibonacci, entonces: ଶାଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶାଵ
ଵ
ଶ
Ahora, calculemos la resistencia del circuito agregando la resistencia paralelo:
en
1 ൌ 1 1 ൌ൬ ൰ 1 1 ൌ൬ ൰ 1 ൌ൬ ൰ ൌ ൌ ାଵ
ଵ
ଶ
ଶାଵ ଶ
ଶାଵ
ଶାଵ
ଶାଵ
ାଵ
Pero,
ଶାଶ
ଶାଵ
ଶ
ଶ
ଶାଵ
por recurrencia de Fibonacci, entonces: ଶାଵ
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ଶାଶ
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Problema nº 28:
Sea un número natural fijo. Demuestre que para todo la siguiente igualdad
se satisface
1 ൬ ൰ ൌ൬ ൰
ୀ
Solución:
Probemos para
ൌ1 ൬ ൰ ൌ൬ 00൰൬ 11൰ ൌቀ0ቁ൬ 11൰ ൌ1 1 ൌ 2 2 ൬ 11 ൰ൌ൬ 1 1 ൰ൌ 2 ൬ ൰ ൌ൬ 1൰ … ሺ . ሻ 2 ൬ ൰ ൌ൬ 1 ൰ … ሺ . ሻ ൰ ൬ 11൰ ൬ ൰ ൌ൬ ᇣ ଵ
ୀ
Por otra parte
Lo cual es verdadero, así que asumimos
ୀ
Pero, debemos probar
ାଵ
ୀ
Dem:
ାଵ
ୀ
ୀ
.
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