Induccion Ej Resueltos

Reflexiones Matemática

Nagua, Rep. Dom.

Inducción matemática. La inducción matemática: Es un procedimiento o método de demostración que se utiliza para probar y/o demostrar que algunas operaciones o proposiciones se verifican para cualquier número natural, es decir, ( n N). Principio de inducción matemática Si una propiedad p se cumple para un número natural k cualquiera, también se cumplirá para su sucesor k+1 y por consiguiente se cumplirá para cualquier número natural. Pasos para probar una proposición por inducción matemática 1.- Se prueba la proposición dada para n=1 2.- Se prueba para n=k, lo cual se acepta como verdadero por ser la hipótesis de la inducción. 3.- Si la propiedad se cumple para n=1 y para n=k, entonces se prueba para n=k+1. Ejemplo 1. Pruebe por inducción matemática que 3+7+11+………..+4n-1= n (2n+1) Solución: Para n=1 4(1)-1=1[2(1)+1] 4-1=1(3) 3=3 Para n=k 3+7+11+……..+4k-1=k (2k+1)

hipótesis

Para n=k+1 3+7+11+……. +4k-1 +4(k+1)-1=k+1[2(k+1) +1] k (2k+1)+4k+4-1=k+1(2k+2+1) 2k2+k+4k+3=2k2+2k+k+2k+2+1 2k2+5k+3=2k2+5k+3

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Ejemplo 2. Pruebe por inducción que n N se cumple que 3+5+7+………+ (2n+1)=n(n+2) Solución: Probamos que se cumple para n=1 2(1)+1=1(1+2) 3=3 Si se cumple para n=1, entonces debe cumplirse para n=k 3+5+7+…………+2k+1=k (k+2)

hipótesis

Probamos para n=k+1 3+5+7+………..+2k+1+ 2(k+1) +1= (k+1) [(k+1) +2] Como: 3+5+7+………..+2k+1 es igual a k (k+2) entonces: k (k+2) +2k+2+1= (k+1)(k+3) k2 +2k+2k+3= k2+3k+k+3 k2+4k+3= k2+4k+3

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Ejemplo 3 Probar por inducción matemática que: 1+3+5+……….+2n-1=n2 se cumple para cualquier numero natural. Solución: Probamos la propiedad para n=1 2(1)-1= (1)2 2-1=1 1=1. Probamos ahora para n=k 1+3+5+………..2k-1=k2

hipótesis

Se hace n=k+1 y se prueba la propiedad 1+3+5+……….+2k-1 + 2(k+1)-1= (k+1)2 Como: 1+3+5+……….+2k-1 = k2 tendremos que: k2+2k+2-1=k2+2(k) (1)+ (1)2 k2+2k+1=k2+2k+1

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Se desarrolla el cuadrado del binomio (k+1)2

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Ejemplo 4. Pruebe por inducción que 5+9+13+…………+4n+1=n (2n+3) se cumple para cualquier numero natural. Solución: Para n=1 4(1)+1=1[(2(1)+3] 4+1= 1(5) 5=5 Para n=k 5+9+13+………..+4k+1=k (2k+3)

hipótesis inductiva

Para n=k+1 5+9+13+………+4k+1 + 4(k+1)+1= (k+1) [2(k+1)+3] k (2k+3)+4k+4+1=(k+1)(2k+2+3) 2k2+3k+4k+5=k2+2k+3k+2k+2+3 2k2+7k+5= k2+7k+5

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Ejemplo 5. Pruebe aplicando el método de inducción matemática que 1.2+2.3+3.4+……..+n(n+1)=

se cumple para cualquier

numero natural. Solución: Paso 1. Se hace la prueba para n=1 1(1+1)= 1(2)= 2= 2=2 Paso 2. Ahora se hace n=k 1.2+2.3+3.4+……..+k (k+1)=

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hipótesis inductiva

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Paso 3. Se hace n=k+1 1.2+2.3+3.4+……..+k (k+1) + (k+1) (k+1+1) = La parte subrayada se sustituye por

por lo que:

+ (k+1) (k+2) = Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo. = Extrayendo (k+1) (k+2) como factor común del lado izquierdo, nos queda que: =

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Ejemplo 6. Pruebe por inducción matemática que 1.3+2.4+3.5+………..+n(n+2)=

se cumple para cualquier

numero natural. Solución: Paso 1. Verificamos si la proposición se cumple para n=1 1(1+2)= 1(3)= 3= 3=3 Paso 2. Al cumplirse para n=1, ahora se sustituye por n=k 1.3+2.4+3.5+………..+k (k+2)=

hipótesis

Paso 3. Se sustituye a n por k+1 1.3+2.4+3.5+………..+k (k+2) + (k+1) (k+1+2) = La parte subrayada se sustituye por la expresión:

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Por tanto: + (k+1) (k+1+2) = + (k+1) (k+3) = Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo. = Del lado izquierdo se extrae (k+1) como factor común = Se multiplica k (2k+7) y 6(k+3) = = Se toma el trinomio 2k2+13k+18 y lo factorizamos. Este trinomio tiene la forma ax2+bx+c, por lo que: 2(2k2)+2(13k)+2(18) (2k)2+13(2k)+36 Haciendo a=2k, se tiene que: a2+13a+36 (a+9)(a+4), pero como a=2k

(k+2)(2k+9) Sustituyo estos factores en el lugar del trinomio 2k2+13k+18 = =

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Ejemplo 7. Pruebe aplicando el método de inducción que 0.1+1.2+……+(n-1)n =

se cumple para cualquier numero natural.

Solución: Paso 1. Se sustituye n por 1. (1-1)(1)= (0)(1) = 0= 0=0 Paso 2. Se sustituye a n por k. 0.1+1.2+…….+ (k-1) k =

hipótesis inductiva.

Paso 3. Se sustituye n por k+1 0.1+1.2+……. + (k-1) k + (k+1-1) (k+1) = La parte subrayada se sustituye por +k (k+1) = Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo. = Se extrae k (k+1) como factor común = Simplificando nos queda: =

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Ejemplo 8. Pruebe por inducción matemática que +…….+

+

=

se cumple n N.

Solución: Paso 1 Se sustituye n por 1 = = = Paso 2 Se sustituye n por k +

+…….+

=

hipótesis inductiva

Paso 3. Se sustituye n por k+1

+……+

+

+

=

La parte de la elipse se sustituye por +

=

+

=

Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo. = Se extrae (4k+1) como factor común y simplificamos. =

R

Prof.

S. -

-

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= Se multiplica k por (4k+5) = Factorizamos el trinomio 4k2+5k+1 Como tiene la forma ax2+bx+c, se procede del siguiente modo. 4(4k2)+4(5k)+4(1) (4k)2+5(4k)+4 Hacemos a=4k a2+5a+4 (a+4)(a+1) Y como a=4k, Entonces:

(k+1)(4k+1) =

=

R

simplificamos eliminando (4k+1)

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Prof.

S. -

-

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Ejercicios propuestos. Pruebe por el método de inducción matemática que las siguientes proposiciones se cumplen para cualquier número natural. 1.- 12+22+32+………..+n2 = 2.- 13+23+33+…………+n3 = 3.- 12+32+52+…………+(2n-1)2 = 4.-

+

+………….+

=

5.- 2+6+10+…………..+ (4n-2)= 2n2 Sustituye a n por cualquier número natural y pruebe que An es divisible por b. 1.- An=22n -1

b=3

2.- An=n (2n2-3n+1)

b=6

3.- An=n3+5n

b=6

4.- An=n5-n

b=5

5.- An = 4n -1

b=3

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