Indices de Miller Formato Inacap.ppt

Índices de Miller Índices de Dirección

Ciencia de los materiales. Gabriel Ahumada Aguilera

Índices de Miller

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Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde es susceptible de deslizar unos átomos sobre otros átomos en la celda cristalina.

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Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números n úmeros que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l)

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Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho d icho número.

Ejes y celdas unitarias Eje X positivo se usa saliendo del papel. Eje Y positivo hacia la derecha y Eje Z positivo hacia la parte superior. En sentidos opuestos se encuentran sus respectivas zonas y cuadrantes negativos

Direcciones en la celda unitaria Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran interés, dichas direcciones son los denominados Índices De Miller y son particularmente las posiciones o lugares por donde es más susceptible un elemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su interior cristalino. Procedimiento para hallar los Índices De Miller de las direcciones: • • • •

Usar sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas positivas y zonas negativas). Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos cola), generando el vector dirección y la cantidad de parámetros de red recorridos Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mínima expresión Encerrar los números resultantes entre corchetes , sin comas, si el resultado es negativo en cualquier eje (X, Y, Z) debe situarse una barra o raya encima de dicho numero, o números.

Ejemplo de dirección en celdas cubicas Determinar los índices de Miller de las siguientes direcciones. Marque direcciones en la celda. a) Punto de inicio, origen, punto final (1,0,0) b) Punto de inicio, origen, punto final (1,1,1)

c) Punto de inicio, (½,-1,0) , punto final (0,0,1)

Importancia en el análisis y creación de las direcciones en los Índices De Miller •

Las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede ser positivo o negativo, y con ello poseer la misma línea de acción pero diferente sentido.

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Una dirección y sus múltiplos son idénticos solo que estos aun no han sido reducidos.

Ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en un sistema cubico es ocasionado por el orden y el sentido de los vectores, ya que, es posible redefinir el sistema coordenado para una misma combinación de coordenadas. Estos grupos reciben el nombre de direcciones de una forma o familia, y se denota entre paréntesis especiales . Es importante resaltar que un material posee las mismas propiedades en todas y cada una de las diferentes direcciones de una familia. •

Direcciones de forma o Familia

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Dirección 6 planos

Planos. (1 0 0) (0 0 1) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)



(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) (1 1 0) (1 1 0) (1 0 1) (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) (0 1 1) (0 1 1) (1 0 1)

12 planos 08 planos

(1 1 1) (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1)

(1 1 1) (1 1 1)

Importancia de las direcciones cristalográficas •

Si son conocidas las direcciones cristalográficas, se asegura la orientación de un solo cristal o de un material poli cristalino.

Dicha orientación nos ayudará a determinar en un material, por ejemplo en que dirección es más fácil deformarlo. En la dirección a lo largo de la cual los átomos están en mayor contacto. En la industria esto es de vital importancia para el uso, deformación y construcción de nuevos elementos y materiales. En general es necesario encontrar o tener en cuenta la posición y dirección cristalográfica de los elementos, ya que, así podrá aprovecharse al máximo sus propiedades mecánicas.

Planos en la celda unitaria Los planos cristalinos son con mayor precisión los lugares por donde un material facilita su deslizamiento y transformación física. En los planos existe la mayor posibilidad de que el elemento sufra una dislocación. Los metales se deforman con mayor facilidad a lo largo de los planos en los cuales los átomos están compactados de manera más estrecha o cercana en la celda unitaria. Es importante resaltar la orientación y forma en la que puede crecer el cristal, para ello es necesario analizar las tensiones superficiales producidas en los principales planos de una celda unitaria. Los Índices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistema cartesiano (X, Y, Z) = (h, k, l)

Procedimiento para identificar los planos de importancia: Identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z en función de los parámetros de red (si el plano pasa por el origen se debe trasladar el origen del sistema de coordenadas). los Índices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos de un plano cartesiano. se calculan los recíprocos o inversos de los puntos o intersecciones. si el reciproco es N /∞, donde N es cualquier numero entero real, esto significara en el plano que para este eje el plano quedara paralelo a él sin tocarlo. la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no ocurre en el estudio de las direcciones de los Índices de Miller.

Ejemplo de planos en celdas unitarias

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Determine los índices de Miller de los planos Desarrollo: Paso 1) Identificar los puntos por donde pasa el plano. H, k, l Paso 2) Calcular el reciproco Paso 3) Simplificar fracciones o eliminar fracciones Paso 4) Determinar valor del plano

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 Aspectos importantes para los planos en los Índices de Miller Los planos positivos y negativos son idénticos. • los planos y sus múltiplos no son idénticos. Esto se demuestra por medio de la densidad planar y el factor de empaquetamiento. •

Los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Se representan con llaves >

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En los sistemas cúbicos, una dirección es perpendicular a un plano si tiene los mismos Índices de Miller que dicho plano.

Índices de Miller para celdas hexagonales •

Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto de índices de Miller-Bravais, debido a la simetría de la estructura. Se utilizan cuatro ejes, aunque es de tenerse en cuenta que el eje a3 es redundante.

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En esta nueva estructura se tomaran los índices (h, k, i, l), se asignara un eje respectivo (a1=h, a2=k, a3=i, c=l), el eje a3 radica su existencia en la relación h + k = -i

Ejemplo Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A Desarrollo: Paso 1) Identificar los puntos por donde pasa el plano. (h k i l ) a1=a2=a3= ∞ ; c = 1 Paso 2) Calcular el reciproco (∞ ∞ ∞1) Reciproco (1/ ∞ 1/ ∞ 1/ ∞ 1/1) Paso 3) Simplificar fracciones Paso 4) Determinar valor del plano (0 0 0 1)

Desarrollo: Paso 1) Identificar los puntos por donde pasa el plano. (h k i l ) a1= 1 a2= ∞ a3= -1 ; c = L Paso 2) Calcular el reciproco L unitario distinto de a (1 ∞ -1 1 ) Reciproco (1/ 1 1/ ∞ 1/ -1 1/1) Paso 3) Simplificar fracciones Paso 4) Determinar valor del plano (1 0 1 1)

Ejemplo Determine los índices de Miller-Bravais para los planos B Desarrollo: Paso 1) Identificar los puntos por donde pasa el plano. a1=a2=1 ; a3= -1/2 ; c = 1

-a3=1/2

Paso 2) Calcular el reciproco (1 1 -2 1) Reciproco (1/ 1 , 1/ 1, -1/ 2, 1/1) Paso 3) Simplificar fracciones Paso 4) Determinar valor del plano (1 1 2 1)

Dirección en la celda hexagonal.

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Dados los siguientes puntos 0,0,1 «cabeza» y 1,0,0 «cola», Calcule indice de Miller

Desarrollo: Paso 1) Identificar puntos. Los puntos son: 0,0,1 y 1,0,0 Paso 2) Restar cabeza – cola Cabeza - Cola: 0,0,0 – 1,0,0 = -1,-1,0 Paso 3) Eliminar fracciones y reducir enteros. ¡No existen! Paso 4) Indicar dirección con corchete Valorares negativos, con sombrero [1 1 0]

Dirección en la celda hexagonal.

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Dados los siguientes puntos 0,1,0 «cabeza» y 1,0,0 «cola», Calcule indice de Miller

Desarrollo: Paso 1) Identificar puntos. Los puntos son: 0,1,0 y 1,0,0 Paso 2) Restar cabeza – cola Cabeza - Cola: 0,1,0 – 1,0,0 = -1,1,0 Paso 3) Eliminar fracciones y reducir enteros. ¡No existen! Paso 4) Indicar dirección con corchete Valorares negativos, con sombrero [1 1 0]

Ejercicios en clases: Determine los índices de las siguientes direcciones y plano

Dibuje las direcciones Los planos

y

Obs: plano C en el origen.