Indice Miller

INDICE DE MILLER

ÍNDICES DE MILLER Los Índices de Miller representan una notación cristalográfica que permite describir cualquier plano o dirección espacial para un conjunto de tres números, Para identificar los diferentes planos y Direcciones en un cristal se usan los índices de Miller, para planos ( h k l ), para direcciones [ h k l ]. el cual observaremos en la siguiente imagen:

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Posiciones del Átomo en Celdas Unitarias Cubicas El sistema de coordenadas cartesianas se usa para localizar átomos en una celda unitaria cúbica, estos átomos se localizan usando distancias unitarias a lo largo de los ejes.



el eje y esta hacía la derecha en dirección horizontal.  el eje x esta saliendo hacia afuera del plano.  el eje z esta hacia arriba en la dirección vertical.  las zonas negativas son opuestas a las que se han descrito.

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PUNTOS DE LA RED Cada punto de la red se define mediante tres índices que denotan sus coordenadas cartesianas (x, y, z) en el espacio, con respecto de un origen arbitrario.

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Direcciones Cristalográficas Una dirección cristalográfica se define por una línea que une dos puntos. La notación de la dirección cristalográfica corresponde con la combinación más baja de números enteros. Para determinar los índices de una determinada dirección, se siguen los siguientes pasos: No debemos usar fracciones, por ejemplo x = 1/2, y = 1/2 y z = 1 y su dirección cristalográfica No se representa por obtener la combinación

, sino que se Multiplica por 2 con el fin de

más baja de números enteros, por tanto, la dirección

cristalográfica se representa por [1 1 2] Los índices negativos se representan mediante una línea sobre el índice.

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[0,0,1]

[0,1,1]

[1,0,1]

[0,1,0] [1,1, 0] [1,0,0]

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[1,1,0]

[111]

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Ejemplos: Representación de varias direcciones cristalográficas en la celdilla unidad cúbica.

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Procedimiento para Encontrar Índices de Dirección Dibujar la dirección del vector a partir de la superficie de la celda cubica

z (1,1/2,1)

Determinar las coordenadas del punto de llegada y del origen

(1,1/2,1) - (0,0,0) = (1,1/2,1) y

2 x (1,1/2,1) = (2,1,2)

(0,0,0)

x

Restar las coordenadas del punto de Llegada con las del origen

Los índices de dirección son [212]

NO

Todos son enteros?

Conviértalos al entero mas pequeño posible, multiplicando

SI

por un factor entero.

Hay algún vector negativo ?

NO

SI Represente los índices en un corchete sin comas y sobre el número un símbolo negativo Ejem.:

[1

2 1

]

Los índices se representan por un corchete sin comas Ejem: [ 2 1 2 ]

Ejemplo: Determine los índices teniendo los siguientes datos:

1) Cabeza = 0 1 0 2) Cola =

011

3) Resta = [ 0

=[

-0 0

1-1

0 - 1]

0 4). Convertir enteros [ 0 0 1 ]

-1]

Ejemplo: Punto de la cabeza – Punto de la cola

( 1, 1 ,1/3 ) – ( 0, 0, 2/3 ) = 1, 1, -1/3 Multiplica por 3 para obtener los enteros más pequeños: 3, 3, -1

A=[331]

Ejercicio: Determine los índices de Miller en las siguientes direcciones y planos

A = [1 0 0] B = [1 1 1] C=

Ejemplo Determinar los índices de dirección del vector dado. Los orígenes de coordenadas son ( 3/4 0 1/4). Las coordenadas emergentes son ( 1/4 1/2 1/2).

Debes recordar que se resta las coordenadas de llegada con las coordenadas de origen : (1/4 , 1/2 , 1/2)

- (3/4, 0, 1/4)

= ( -1/2, 1/2, 1/4) Multiplique por 4 para convertir la fracción a enteros

4 x ( -1/2, 1/2, 1/4) = ( -2, 2, 1) Por lo tanto los índices de dirección son:

[221]

Determine los índices de las siguientes direcciones cristalográficas:

Planos cristalográficos

Los índices de Miller de un plano cristalino se definen como el reciproco de las fracciones de intersección que el plano presenta en sus ejes cristalográficos x ,y , z de las tres aristas no paralelas de la celda unitaria cubica. Se debe tener en cuenta que el Plano Cristalográfico bien corta, o bien es paralelo a cada uno de los tres ejes. La longitud de los segmentos de intersección se determina en función de los parámetros de red a, b y c. Z

Z

Y X

Y X

(100) MATERIALES DE INGENIERIA. Mg. LUIS R. LARREA COLCHADO

Z

Y X

(110)

(111)

Consideremos la siguiente superficie /plano:

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Planos Cristalográficos de Distintos Índices de Miller - Para identificar planos cristalinos en estructuras cristalinas se utilizan los índices de Miller que se determinan de la siguiente manera :

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Procedimiento Plano Cristalográfico Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0,0,0) Se determina las intersecciones del plano en función de los ejes cristalográficos Se obtiene el reciproco de las intersecciones (pueden ser fraccionarios ) Existen fracciones?

Situar una ‘barra’ sobre los índices negativos

Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto mas pequeño de números enteros que estén en la misma proporción que las intersecciones

Encerrar en paréntesis (h k l) donde h, k, l Son los índices de Miller de una plano cristalino cúbico para los ejes x, y, z. Ej: (111)

•

Ejemplos z

•

(100) y

•

x x

• • •

•

Los interceptos del plano en los ejes x, y, z son 1, ∞ , ∞ Tomando el reciproco obtenemos (1,0,0). Los índices de Miller son (100). ******************* Los interceptos son 1/3, 2/3, 1. Tomando el reciproco obtenemos (3, 3/2, 1). Multiplicando por 2 para hacer enteros, tenemos (6,3,2). Los índices de Miller son (6 3 2).

Representaciones de diversos Planos Cristalográficos

Obs: Estas reglas dejan de ser válidas para cualquier plano que pase por el origen

de coordenadas

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2

• Graficar el plano (101) Tomando el reciproco de los índices obtenemos (1 ∞ 1). Los interceptos del plano son x = 1, y = ∞ (paralelo a y),z = 1. *************************

• Graficar el plano (2 2 1) Tomando los recíprocos de los índices obtenemos (1/2 1/2 1). Los interceptos de los planos son: x = 1/2, y = 1/2, z = 1.

• Graficar el plano (110) Los recíprocos son (1,-1,∞) Los interceptos son x = 1, y = (paralelo al eje z)

Para mostrar este plano el origen se mueve a lo largo de la dirección positiva del eje.

-1, y, z = ∞ (1 1 0)

z

y

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Considérese ahora el plano cúbico cristalino que tiene las intersecciones ⅓, ⅔, 1. Los recíprocos de estas intersecciones son 3, 3/2, 1. Dado que estas intersecciones no son enteros, estas intersecciones deben multiplicarse por dos para simplificar la fracción 3/2. Por tanto, el recíproco de las intersecciones se convierten en 6, 3, 2 y los índices de Miller son (6 3 2). No olvidar que los tres números del plano se representan entre paréntesis, los negativos se identifican con una línea horizontal sobre el número

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Determinar los índices del siguiente Plano:

1). Anotar intersecciones: 2). Recíprocos: 1/∞ 3). Plano

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(0 2 0 )

∞ -1/2 ∞

- 2 1 /∞

DISTANCIA INTERPLANAR La magnitud de la distancia entre dos planos de átomos contiguos y paralelos (es función de los índices de Miller (h, k, l) así como de los parámetros de la red. Por ejemplo, para estructuras cristalinas con simetría cúbica la distancia interplanar será:

Donde a es el parámetro de la red (longitud de la arista de la celdilla unidad).

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Determinar los índices de Miller cuyos interceptos son [1/2 1 3/4] que dicho plano pertenezca a una estructura cristalina. Luego hallar la distancia interplanar a partir de dichos índices si se sabe que se tiene unos parámetros de red de 3,5 A.

d

d

a h k l 2

2

2

3.5 6 3 4 2

d  0.44 A

2

2

CÁLCULO DE DENSIDADES Densidad volumétrica

v 

Densidad planar

masa átomos en celda.unit aria. volumen celda.unit aria

Nro. equivalent e de átomos cuyo centro está intersectado

p 

por el área selecciona da Área selecciona da

Nro. equivalent e de átomos diametralm ente intersectados

Densidad lineal

por una longitud selecciona da de una línea en una

l 

dirección dada Longitud línea selecciona da

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Densidad Atómica Planar •

Densidad atómica planar:



p

=

Num equivalente átomos cortados por el área seleccionada Área seleccionada

Ejemplo: Calcular la densidad atómica planar en el plano (110) de la red BCC del Hierro  en átomos por mm². a = 0.287 nm. Numero equivalente de átomos = (4 x ¼ ) + 1 = 2 átomos Área del plano 110 =

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2a  a  2a 2

Densidad Atómica Lineal Densidad atómica lineal:



l

Numero de diámetros atómicos cortados por la longitud seleccionada de la línea en la dirección de interés

=

Longitud seleccionada de la línea

Ejemplo:- Calcule la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la red cristalina de cobre en átomos por mm. El cobre es FCC y tiene un parámetro de red de 0.361 nm. 

Por lo tanto, los interceptos ½ + ½ + 1 = 2 diámetros atómicos. Longitud de línea Longitud de línea =

2 a

2  0.361nm

Determinar los valores de la intersección con los ejes x, y, z de un plano cuyos índices de Miller son (3 6 2). Suponiendo que dicho plano pertenezca a una estructura cristalina cúbica de parámetro de red igual a 3.5 °A, calcular la distancia interplanar. Sol: A partir de los índices de Miller (3 6 2) se obtienen los cortes fraccionarios

1/3,

equivalentes

con

1/6, los

1/2

números

y

se

reducen

enteros

a

menores

fracciones posibles

(aplicando el mcm = 6), obteniéndose 1/2 ,1 , 1/3. Los cortes con los ejes serán, por tanto x = 2, y =1, z = 3. La distancia entre estos planos se obtiene a partir de:

El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atónico de 0.1278nm. Considerando a los átomos como esferas rígidas que se tocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCC como se muestra, calcule el valor teórico de la densidad de cobre en megagramos por metro cúbico. La masa atómica del cobre es de 63.54 gr/mol.

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