Incremento de Temperatura Estructuras Mixtas

Cálculo de las leyes de esfuerzos y estado tensional en una viga de sección mixta sometida a un incremento de temperatura Δt en la sección parcial de acero.

Sea una viga continua de sección transversal mixta hormigón-acero con una losa de hormigón de 6000 mm de ancho y 180 mm de canto y una sección parcial de acero en cajón con un espesor constante “t” y con las dimensiones que se muestra en la figura 1.

FIGURA 1. VIGA MIXTA. ALZADO Y SECCION TRANSVERSAL

Los materiales se consideran indefinidamente elásticos con los módulos de elasticidad E y coeficiente de dilatación lineal α que se indican a continuación: α s=12 ∙10−6 ° C−1 Es =210000 γ s=78.5

KN m3

α c =10∙ 10−6 ∙C−1

Ec =30000

N 2 mm

N 2 mm γ c =25

KN m3

La viga se ve sometida, por una parte a peso propio, y, por otra, a un incremento de temperatura ΔT en la sección parcial de acero. 1. Momento en el apoyo central debido a peso propio 2. Tensión en el acero (fibra inferior, sección apoyo central) debida a peso propio. 3. Tensión en el hormigón (fibra superior, sección apoyo central) debida a peso propio. 4. Momento en el apoyo central debido al efecto de la temperatura 5. Tensión en el acero en la interfase debida al efecto de la temperatura. 6. Tensión en el hormigón en la interfase debida al efecto de la temperatura. Parámetros del problema: ΔT = 25°C, t = 15 mm 1. Cálculo de la propiedades de la sección:

n=

E s 210000 N /mm2 = =7 E c 30000 N /mm2

;

Ancho

equivalente

de

hormigón

b 6000 = =857.1 mm n 7

Elemento 1 2 3 4

Z c=

b (mm) 857.1 12 12 2970

Cálculo de propiedades de la seccion h (mm) A (mm²) Z (c.d.g) 180 154278 2090 2000 24000 1000 2000 24000 1000 15 44550 7.5 At = ΣA = 246828 Σ(Z*A) =

Σ(Z∗A) 370 775 145 mm2 = =1502.16 mm ΣA 246 828 mm ²

Elemento I (bh³/12) d= (Z-Zc) mm 1 416550600 587.8400141 2 8000000000 -502.1599859 3 8000000000 -502.1599859 4 835312.5 -1494.659986 Ttot= Σ (Ic + (A*d²))=

(Ic + (A*d²)) (mm⁴) 53728220990 14051951635 14051951635 99525912805 1.8135803706E+11

2. Análisis seccional. La deformación unitaria del acero debido a cambio térmico será:

Z * A (mm³) 322441020 24000000 24000000 334125 370775145

será:

−6

−1

ε s=α ∙ ∆ T =12 ∙10 ° C ∙25 ° C=0.0003 2.1 La fuerza axial de tracción ficticia aplicada al hormigón para la igualdad de deformaciones unitaria que el acero será: (utilizando el ancho equivalente y luego el área bruta). σ =E ∙ ε

;

por lo tanto

σ=

N A

 igualando ambas expresiones obtenemos que

N=E ∙ ε ∙ A=210000

N =E ∙ ε A

( 6000 mm ∙ 180mm ) N ∙ 0.0003∙ =9 720 000 N 2 7 mm

(

)

La tensión de tracción uniforme en el hormigón será; σ=

N 68 040 000 N N = =9.00 A 6000 mm ∙180 mm mm ²

2.2 Se aplicará una fuerza axial de compresión, para compensar la fuerza ficticia aplicada, de sentido contrario, sobre la sección mixta y así restituir el equilibrio, aplicándola en el centroide del hormigón a la sección total.

Δ: Dilatación térmica del Acero asumiendo la cero interacción entre ambos materiales.

Fuerza ficticia aplicada en el hormigón para generar la compatibilidad de deformaciones que en el acero.

seccion mixta.

Fuerza de restitución de compatibilidades del equilibrio compensando la ficticia sobre la

equivalente excentrica.

a

la

fuerza

Sistema de restitución

2.3 Tensiones debidas a la fuerza de restitución excéntrica sobre la sección mixta.

Excentricidad=Z Hormigon −Z cgd =2090−1502.16=578.84 mm N=9720 KN M =N ∙ e=9 720000 N ∙ 578.84 mm=5 626 324 800 N ∙ mm

σ s ,inferior =

−N M ∙ Z cdg −9720 000 N 5 626 324 800 N ∙ mm ∙1502.16 N + = + =7.22 2 4 At I tot 246 828 mm 1.8135803706E+11mm mm2

σ s ,superior =

−N M ∙(H acero −Z cdg ) −9 720 000 N 5 626 324 800 N ∙mm ∙ ( 2000−1502.16 ) − = − At I tot 246 828 mm 2 1.8135803706E+11 mm4

σ s ,superior =−54.82

σ c ,inferior =

N 2 mm

σ s ,inferior N =−7.83 n mm ²

σ c , superior =

(

−N M ∙ ( H total−Z cdg ) − At I tot

)

n

800 N ∙ mm ∙ ( 2180−1502.16 ) (¿ −9246720828000mmN − 5626 3241.8135803706E+11 ) =−8.63 7

2.4 Gráficos de estados de esfuerzos debido a cambio térmico.

N 2 mm

+

=

El estado de tensiones es la suma de de las tensiones generadas por la fuerza ficticia en el hormigón y las fuerzas de restitución de equilibrio para compatibilidad de deformaciones en ambos materiales. 3. Análisis de la Estructura Mixta en efecto del cambio térmico.

De bido a la fuerza que se genera por la restricción que impone la losa de hormigón al efecto de la dilatación de la viga de acero, y a la excentricidad de esta fuerza, la estructura mixta está sometida a un momento interno debido a las fuerzas antes mencionadas.

La viga es simétrica, analizamos la mitad de la viga por el teorema de áreas de momentos a partir de punto de giros y deflexiones conocidas.

El diagrama de momentos será:

Sabiendo que en A el giro y la deflexión son cero y en B la deflexión es cero, hacemos:

M ∫ ¿∙

M ∫ ¿∙ L Σ M b =0 ;

EI ¿ ¿ ¿

;

L ¿ ; ¿ Rb=¿

M∫¿ ∙ Por lo tanto;

L ¿ ; ¿ M a=Rb ∙ L=¿

∫¿ M¿ ¿ M a=¿ M∫ ¿ ∙

Por equilibrio de fuerzas verticales;

Ra=2 Rb ;

L ¿ ¿ Ra=2¿

Por tanto:

∫ ¿=5 626 324 800 N ∙ mm M¿ Rb=281316.24 N

;

Ra=562 632.48 N

M a=8,439 487 200.0

N mm

3.1 El gráfico de fuerzas internas en las que se encuentran sometidas la estructura mixta debido al cambio térmico sería:

3.2 El estado de tensiones en el apoyo central será la suma de tensiones generadas en la sección sin restricciones en los apoyos mas el estado de tensiones generado en el apoyo central debido al momento hiperestático. El estado de tensiones debido al momento hiperestático sería:

∫¿ M¿ ¿ M a=¿

σ s ,inferior =

M ∙ Z cdg 8 439 487200 N ∙ mm∙ 1502.16 mm = =69.90 N /mm2 4 I tot 1.8135803706E+11 mm

σ s ,superior =

M ∙(H acero −Z cdg) 8 439 487 200 N ∙ mm∙ ( 2000−1502.16 ) = =23.17 N / mm2 4 I tot 1.8135803706E+11 mm

σ s ,inferior 23.17 N /mm2 N σ c ,inferior = = =3.31 n 7 mm ²

σ c , superior =

(

M ∙ ( H total−Z cdg ) I tot n

)(

8 439 487 200 ∙ ( 2180−1502.16 ) 1.8135803706E+11 mm4 = =4.51 N /mm2 7

+

)

=

4. Análisis de la estructura ante el peso propio. Cargas que actúan:

Peso del Acero= As ∙ γs=0.092550 m2 ∙ 78.5

KN =7.265 KN /m m3

2

Peso del Hormigón=Ac ∙ γc=1.08 m ∙ 25

KN =27 KN / m m3

Total peso Propio = 34.265 KN/m

Se hace el análisis de la estructura utilizando el teorema de área de momentos a partir de puntos de giro y deflexión conocidos para la mitad de la viga.

Por equilibrio de fuerzas verticales: Ra=2 ( P ∙ L−Rb ) =2 ( P ∙ L−c )

;

5 Ra= PL 4

M a=

P L2 P L2 3 P ∙ L P L2 3 P L 2 −Rb ∙ L= − ∙ L= − 2 2 8 2 8

M a=

PL 8

2

Por lo tanto: 3 PL 3 ∙34.265 KN /m∙ 30 m Rb= = =385.48 KN 8 8 5 5 Ra= PL= 34.265 ∙30=1,284.94 KN 4 4 2

2

P L 34.265∙ 30 M a= = =3,854.81 KN ∙ m 8 8

4.1 Diagramas:

4.1.1 Carga y Reacciones:

4.1.2 Cortantes:

4.1.3 Momentos:

4.2 Estado de tensiones en el apoyo central debido a peso propio:

σ s ,inferior =

M ∙ Z cdg 3,854.81 E 6 N ∙ mm ∙1502.16 mm = =31.93 N /mm2 4 I tot 1.8135803706E+11 mm

σ s ,superior = σ c ,inferior =

M ∙( H acero −Z cdg) 3,854.81 E 6 N ∙ mm∙ ( 2000−1502.16 ) = =10.58 N /mm2 4 I tot 1.8135803706E+11 mm

σ s ,inferior 23.17 N /mm2 N = =1.51 n 7 mm ²

σ c , superior =

(

M ∙ ( H total −Z cdg ) I tot n

)( =

3,854.81 E 6 ∙ ( 2180−1502.16 ) 1.8135803706E+11 mm4 7

4.2.1 Diagramas tensional

Peso Propio

Cambio Térmico

)

=2.06 N /mm2

+ .

=