Impulso y Cantidad de Movimiento - Dinamica

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO INTRODUCCIÓN Se llama Cantidad de Movimiento (también momentum: importancia que 

adquiere la masa masa con la velocidad) a la magnitud vectorial vectorial Q , igual al producto de la masa de una partícula por su velocidad. 

El vector Q está dirigido en la dirección de la velocidad y con el mismo sentido, es decir tangente a la trayectoria, puesto que la masa es un escalar siempre positivo. 



Q mv



Se llama Impulso del Movimiento a la magnitud vectorial  I  igual al producto de 

la fuerza aplicada a la partícula (o bien a la componente tangencial  F t  ) por el tiempo en que actúa:  

 I    F  . t 

Sea: 



 F   m a  m



d  v dt 





 F  dt   m d  v

entonces





Suponiendo que  F  es constante y de la misma dirección que v , integrando:  t  v  F   2 dt   m  2 dv t 1 v1 





 F  t 2  t 1   m v 2  m v1  

(1 (1)



Según la ecuación (1) el impulso  I    es igual a la variación de la cantidad de movimiento: 





 I   Q2  Q1

Unidades de Impulso 



Unidad de  I   = Unidad de  F  x Unidad de tiempo En el SI (MKS).



 I 

 N 

=

.

 seg 

=

 m  kg    .  seg   2   seg  

.

 seg 

=

 cm   cm  .  seg    g   g      seg 2    seg 

 m  kg  seg   

En el sistema CGS:



 I 

dyn 

=

Unidades de Cantidad de Movimiento



Q



Unidad de Q  = Unidad de masa x Unidad de velocidad En el SI (MKS):



   m   m   k g    Q   k g  .    seg    seg    En el sistema CGS:



   cm  Q    g  .    seg    Podemos verificar con este concepto el Principio de Inercia o Primer Principio de Newton en la ecuación (1) 





 F  t 2  t 1   m v 2  m v1





 si

 F   0



es



m v 2  m v1







v 2  v1  cte

“Si no hay fuerza exterior, el móvil no cambia de velocidad (es un MRU)”

1.

PRINCIPIO

DE

CONSERVACION

DE

LA

CANTIDAD

DE

MOVIMIENTO

DE UNA PARTICULA De las leyes de la Dinámica, del Segundo Principio o Ley Fundamental de la Dinámica, se deduce que solamente las fuerzas pueden modificar la cantidad de 

movimiento Q  de un cuerpo: 





 F   m . a  m

d  v dt 

Si: 



 F   0

entonces

d  v dt 

0





v  cte



 y

m v  cte

Entonces: “Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de todas las fuerzas (exteriores) que actúan es cero, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante”

2.

NECESIDAD

DE

INTRODUCIR

LAS

DOS

CARACTERISTICAS

DINÁMICAS:

CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y ENERGIA CINETICA La necesidad de introducir estas dos características dinámicas obedece al hecho que una sola no es capaz de abarcar las múltiples particularidades del movimiento de una partícula. Por ejemplo: 

Conociendo la cantidad de movimiento de un automóvil Q  (no se dan datos de 

masa ni de velocidad) y la fuerza  F  que actúa sobre él durante el frenado, se 



puede determinar el tiempo que tarda en detenerse. Pero estos datos ( Q  y F  ) son insuficientes para hallar el espacio recorrido durante el frenado. Por el contrario: conociendo la Energía Cinética inicial puede determinarse el espacio recorrido durante el frenado hasta detenerse, pero no el tiempo que le lleva al móvil hacerlo.

Problema A un cuerpo de masa m situado sobre un plano horizontal, que en un punto  M o 



tiene una velocidad V o ,

se le aplica una fuerza  f  r 

(que puede ser la de

frenado) constante y de sentido contrario al movimiento. Determinar: a) El tiempo que tarda en detenerse b) El espacio recorrido hasta que su velocidad es cero.

Solución 

a)  M o es el punto de la trayectoria donde se aplica  F r  cuando t o = 0 . En ese 



punto el cuerpo tiene velocidad V o  y en  M 1  la velocidad V 1 es igual a cero ya que se detiene. 



Sobre el cuerpo actúan las fuerzas  P   (peso),  N   (reacción del plano) donde 





 N    P   y la fuerza de frenado  F r  .

Se orienta al eje X en el sentido del movimiento y entonces tenemos que el impulso es igual a la variación de la cantidad de movimiento.

 I  x

 mv1  mvo

 

(2)

Donde:

 I x  es la sumatoria de los impulsos I de las distintas fuerzas

mv1  0       I  x   F r  t 

siendo





  F r  t    m V o

tenemos





t  

m V o 

(3) tiempo de frenado

 F r 

hallamos el tiempo de frenado en función del concepto de cantidad de movimiento .

b) Para determinar el espacio recorrido de frenado se utiliza el Teorema de las Fuerzas Vivas (o relación de Trabajo y Energía Cinética)



W  F ext  

1 2

m V 1  2

1 2

m V o

2

  pero también V 1  0   y solamente  F r  realiza 

trabajo si “e” es el camino de frenado

  F r  e  

2 1 m V o e   2   F r 

1 2

m V o

2

(4)

Espacio aplicando el concepto de Energía Cinética



De las fórmulas (3) y (4) se deduce que para una fuerza dada  F r  el tiempo de frenado aumenta proporcionalmente a la velocidad inicial V o y el camino o espacio de frenado aumenta proporcionalmente al cuadrado de la velocidad inicial. Esta conclusión es muy importante en la construcción de caminos. 

Si  F r  fuera la fuerza de rozamiento, conociendo el coeficiente de rozamiento cinético

 c :



 F r  

 c

. P  

 c

m  g 

Entonces reemplazando en las ecuaciones (3) y (4) se tiene que: t  

m V o 

 F r 

3.

m V o



 c

m g 



V o  c  g 

2 2 1 m V o 1 V o  2  c m g  2  c . g 

e

y

PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN  SISTEMA DE MAS DE DOS PARTICULAS AISLADAS.

Si tenemos un sistema de partículas y la fuerza resultante sobre una de ellas que ejercen las otras: 

n 

 F     F i i 1





Podemos escribir que:  F   m. a   M .



d  v c dt 





d ( M . v c ) dt 

 (7) está escrito para un sistema

de partículas donde la masa total será M y la aceleración es la del centro de 

masas o sea que a c 



d  v c dt 



Siendo

v c : velocidad del centro de masas

M: masa total del sistema 

M. v c : cantidad de movimiento del sistema de partículas Entonces por lo ya visto en centro de masas sabemos que: 

 mi vi  m v    M  . v c   M   i i  mi 

(8)



siendo mi  v i   la cantidad de movimiento de la pésima partícula. Por lo tanto la expresión (8) significa que: “La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es la SUMA de las cantidades de movimiento de todas las partículas que lo forman”

La expresión (7) muestra que: “Si la sumatoria de las fuerzas exteriores es cero, la cantidad de movimiento del  sistema de partículas permanece constante, independientemente de cómo sean las fuerzas interiores”.

Este enunciado es el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento aplicado a un sistema aislado de partículas.

La fórmula (7) puede escribirse así: 



 F  dt  d ( M vc )





t 2 v  F  dt   c 2 t 1 vc





e integrando entre t 1  y t 2   y entre v c1  y v c2



1



dM v c  M (v c2  v c1 )  

(9)

El primer miembro de esta igualdad es el impulso de las fuerzas exteriores, así que la fórmula (9) expresa: El impulso de las fuerzas exteriores es igual a la variación de la cantidad de movimiento del sistema”. (Otra forma de expresar el principio de conservación de la cantidad de movimiento). La cantidad de movimiento (9) queda expresada en sus componentes ortogonales). t 

 M (v c x  v c x )   2  F x dt  t 1 2 1  M (vc y

t 

2

 vc y )  t 2  F y dt  1

1

t 

 v c z  )  t 2  F z  dt   z 2 1 1

 M (v c

La conservación de la cantidad de movimiento no implica que también se conserve la energía, puesto que las fuerzas interiores del sistema pueden ser disipativas.

1. Un proyectil de 2 kg es disparado por un cañón cuya masa es de 350 kg. Si el proyectil sale con una velocidad de 450 m/s, ¿cuál es la velocidad de retroceso del cañón? Datos

Fórmulas

m1 = 2 kg

m1U1+ m2U2 = (m1v1+ m2v2).

m2 = 350 kg v1 = 450 m/s v2 = ?

Como el proyectil y el cañón están en reposo, antes del disparo, la cantidad de movimiento inicial es cero, donde: 0 = (m1v1+ m2v2). - m1v1= m2v2. Despejando a v2: v2 = - m 1v1/ m2

V2 = - 2 kg x 450 m/s = -2.57 m/s. 350 kg El signo negativo, indica que el cañón se mueve en sentido contrario al movimiento del proyectil.

2. Una persona de 70 kg corre a una velocidad de 7 m/s. Calcular a) ¿Cuál es su cantidad de movimiento? B) ¿qué velocidad debe llevar una persona de 60 kg para tener la misma cantidad de movimiento que la persona de 70 kg? Datos

Fórmulas

m1 = 70 kg

C=mv

m2 = 60 kg

v2 = C/m

a) C = ?

Sustitución y resultados:

b) v2 = ? C = 70 kg X 7 m/s = 490 kg m/s. V2 = 490 kg m/s = 8.16 m/s. 60 kg

3. Una

bola

de

billar

choca

a

una

velocidad

de

4 m/s con otra bola igual que está parada. Después del choque, la primera bola se mueve en una dirección que forma 30º con la inicial, y la segunda con  – 60º con la dirección inicial de la primera. Calcula el módulo de la velocidad final de cada bola. m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1  + m2 · v2 ’

’

Descomponiendo la ecuación vectorial en dos escalares:  x) m · (4 + 0) m/s = m · [v 1’· cos 30º + v2’· cos (-60º)] y) m · (0 + 0) m/s = m · [v 1’· sen 30º + v 2’· sen (-60º)] 4 m/s = 0,866 v 1’ + 0,5 v2’ 0 m/s = 0,5 v 1’ –  0,866 v2’ Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos:

v1  = 1,732 m/s ; v2  = 2 m/s ’

’

4. Una canica de 8 g lleva una velocidad constante de 4 m/s, y golpea una bola de madera de 200 g que está en reposo. Si como resultado del choque la canica sale rebotada con una velocidad de 2 m/s, calcula la velocidad con que comienza a moverse la otra bola. m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1  + m2 · v2 ’

’

8 g ·4 m/s i + 200 g · 0 i = 8 g ·( – 2 m/s) i + 200 g · v2

’

Despejando v2  obtenemos: ’

32 g·m/s i + 16 g·m/s i v2  = ——————————  200 g ’

= 0,24 i m/s