Impulso. Expo
July 3, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Impulso. Expo...
Description
1
UNIVERSIDAD UNIVERSID AD NACIONAL“PED NACIONAL“PEDRO RO RUIZ GALLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL SISTEMAS Y ARQUITECTURA ESCUEL
PROFESION L DE INGENIERI
CIVIL
CURSO:
DINÁMICA DOCENTE:
Ing. Msc.Yrma Rodriguez Llontop. TEMA:
Cantidad de movimiento.
INTEGRANTES: Aguilar Aguilar Saavedra Katheryn. (4 2) Calderón Calderón Zulueta Nathaly. Lizana Lizana
(4 3)
Vásquez Rosa Angi. (4 1) Vásquez
2
ÍNDICE INTRODUCCIÓN .......................................................................................... 4 OBJETIVOS ..................................................................................................... 5
PRECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS CONCEPTOS DE IMPULSO Y .................... ......................... ..... 6 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ...................... ............................................ ........................................... .................................. ............. 6 MARCO TEÓRICO ........................................................................................ 8
1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL LINEAL .......................................... .................. ...................................... ................ 8
2. IMPULSO .................................................................................................. IMPULSO .................................................................................................. 11 3. PRINCIPIO DEL IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA. .................................................................................................. PARTÍCULA. .................................................................................................. 12 4. PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS............................................................................. PARTÍCULAS............................................................................. 14 5. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL LINEAL .................. .................. 16 6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partículas ..................................................................................................... partículas ..................................................................................................... 18 7. Choques ................................................................................................... Choques ................................................................................................... 20
7.1 Fases del Choque ............................................................................ 22 7.2 Efectos del choque choque ................... .................................. ...............Error! Error! Bookmark not defined. 7.3 Tipos de choque ...................................... choque ......................................Error! Error! Bookmark not defined. COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN.......................... RESTITUCIÓN..........................Error! Error! Bookmark not defined. EJERCICIOS DESARROLLADOS DESARROLLADOS ..................... ........................................... ........................................... ................................ ........... 34 BIBLIOGRAFÍA ........................................... .................... ........................................... ........................................... ............................ ....... 53
3
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN En los temas anteriores hemos estudiado las ecuaciones que relacionan trabajo y energía deducidas al integrar respecto al desplazamiento la ecuación del movimiento
F = m ⋅ a , como consecuencia observamos que
las variaciones de velocidad pueden expresarse directamente en función del trabajo y en función de la variación de energía total. En este capítulo utilizaremos la segunda ley de newton junto con la cinemática para obtener como resultado el principio del impulso y cantidad de movimiento para una partícula y un sistema de partículas con ello centrar nuestra atención a la integración de la ecuación del movimiento respecto al tiempo y no respecto al desplazamiento. Estas ecuaciones facilitan notablemente la resolución de numerosos problemas en que las fuerzas aplicadas actúan durante intervalos de tiempo cortísim cortísimos os o bien durante intervalos de tiempos específic específicos. os.
4
OBJETIVOS Desarrollar el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal para una partícula, y emplearlo para resolver problemas que involucran fuerza, velocidad y tiempo.
Calcular el tiempo utilizando cinética de partícula: 2° Ley de Newton, Trabajo y energía, y sobretodo Cantidad de movimiento lineal.
Estudiar la conservación de la cantidad de movimiento lineal para partículas.
Estudiar el coeficiente de restitución y sus utilidades. Hallar el
coeficiente de restitución.
Analizar diferentes tipos de choque (impacto).
5
PRECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS CONCEPTOS DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Los conceptos de impulso y cantidad de movimiento tuvieron una evolución histórica, desde aproximadamente el s. XIV hasta el s. XVII. En el siglo XIV, el fraile franciscano William of Ockham (1280-1389) o Guillermo de Ockham, asignó a los objetos obj etos móviles una propiedad responsable del mantenimiento de su movimiento. Así, por ejemplo, una flecha debía transportar lo que él llamo una cierta “carga” (correspondiente a la noción moderna de cantidad
de movimiento), cuya posesión aseguraba la continuidad de su movimiento. Esta idea fue defendida posteriormente por su discípulo Jean Buridan (13001358), Jean Buridan Formuló una noción de inercia intentando explicar el movimiento con la “teoría del ímpetu” y, consideró que la “carga” que
transportaban los objetos móviles, como proyectiles, debía ser proporcional al peso del proyectil por alguna función de su velocidad. Estas ideas llegaron hasta Galileo, Descartes y otros físicos del siglo XVII, que finalmente definieron con precisión el impulso y la cantidad de movimiento.
6
DESCARTES (1597-1650)
Siendo uno de los fundadores de la filosofía f ilosofía moderna, su faceta como físico fí sico es desconocida por muchos, pero valorada por otros. Pero Descartes no solo sol o proporciona la primera formulación claramente moderna de las leyes de la naturaleza y un principio de conservación del movimiento, sino que también construyó la que sería la teoría más popular del movimiento planetario a fines del siglo XVII. Los logros más importantes de la física de Descartes son las tres leyes de la naturaleza (que en resumen son las leyes del movimiento corporal). Las propias leyes del movimiento de Newton se inspirarían en estas:
7
Todo movimiento, es por sí mismo, a lo largo de líneas rectas. Cuando los cuerpos se mueven en círculos, tienden a alejarse del centro del círculo que están describiendo. Un cuerpo, al entrar en contacto con uno más fuerte, no pierde nada de movimiento, sin embargo al entrar en contacto con uno más débil, pierde, debido a la transferencia que se hace hacia este. Se puede inferir que Descartes contribuyó a sentar las bases de la dinámica moderna (que estudia el movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas). Para René, la conservación de la cantidad de movimiento es uno de los principios rectores del universo. Cuando Dios creó el universo, razona con una cantidad finita de cantidad de movimiento.
MARCO TEÓRICO 1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
⃑
⃑
La cantidad de movimiento, momento lineal o "Momentum Lineal"; es una una magnitud física fundamental de tipo tipo vectorial que se define como el producto de su masa por su velocidad es decir cuando un cuerpo de masa
8
"m"; se mueve con una velocidad "v", se dice di ce que posee o tiene una cantidad de movimiento definida por el producto de su masa por su velocidad y describe el el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría teoría mecánica. mecánica.
El vector de las ecuaciones se representa por el símbolo L o P y recibe el nombre de cantidad de movimiento del punto material. Como m es un escalar positivo, los vectores cantidad de movimiento y velocidad del punto tendrán la misma dirección y sentido. En el sistema SI, la unidad de cantidad de movimiento es el kg.m/s o lo que es equivalente, N.s. ¿DE QUÉ DEPENDE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO QUE POSEE UN CUERPO? CUERPO? Isaac Newton, en su obra clásica “Principia Mathematica” escribió: el cambio en el movimiento
es proporcional a la fuerza aplicada y se produce en la dirección de la línea recta en que se aplica la fuerza. Newton utilizó la palabra movimiento para significar la cantidad de movimiento.
9
¿DE QUÉ FACTORES DEPENDE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO? CUERPO? Si la velocidad es la misma, el
•
de mayor masa posee mayor cantidad de movimiento. movimiento.
Si la masa es la misma, el de mayor
•
velocidad posee mayor cantidad de movimiento.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL TOTAL DEL SISTEMA SISTEMA Tenemos un sistema de partículas de masas 1, 2, 3, … que se mueven con velocidades 1 , 2 3, …Entonces las
⃑ ⃑ , ⃑ cantidades de movimientos de cada una es⃑1, ⃑ 2,⃑ 3, … respectivamente, por lo
tanto:
⃑=⃑+⃑+⃑+…=∑⃑
10
⃑
2 IMPULSO
Llamado también "ímpetu o impulsión"; y es una magnitud física vectorial, se define como la variación de la cantidad de movimiento y dimensiones son fuerza-tiempo. Mide el efecto de una fuerza (f) que actúa sobre un cuerpo durante un tiempo muy pequeño (t) (t) (tiempo que la fuerza actúa), produciendo un desplazamiento del cuerpo en la dirección de la fuerza. En el sistema SI su módulo se expresa en N.s o lb.s que es la misma unidad que se obtuvo para la cantidad de movimiento de un punto material.
11
= ∫ dt = ( − )
La integral
∫ recibe el nombre de impulso de la fuerza.
3 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA Consideremos una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F, como se vio en el capítulo anterior; la segunda ley de Newton puede expresarse en la forma:
⃗ = ⃗ = ⃗⃗/ / ⃗ = ⃗
∑ ∫ = ∫ IMPULSO MOVIMIENTO IMPULSO CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Σ = 2 − 1
Σ 1 = 2
12
La cual expresa la cantidad de movimiento inicial de la partícula en el instante t 1 más la suma de todos los impulsos i mpulsos aplicados a la partícula de t 1 a t 2 equivale a la cantidad de movimiento final de la partícula en el instante t 2.
Si cada uno de los vectores en la ecuación se divide en sus componentes , podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes de impulso y cantidad de movimiento lineal.
,,
mvx1 ∑ ∫ Fx ⅆt = mvx2 m(vy)1 ∑ Fy ⅆt = m(vy)2 mvz1 ∑ ∫ Fz ⅆt = mvz2 Estas ecuaciones representan el principio del impulso lineal y el momento para la partícula en las direcciones respectivamente.
,,
13
4 PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO LINEALES PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
El principio de impulso y cantidad de movimientos lineales para un sistema de partículas que se mueven con respecto a una referencia inercial, se obtiene con la ecuación de movimiento aplicada a todas las partículas del sistema es decir:
El
∑Fi = ∑mi
término de lado izquierdo representa solo la suma de las fuerzas externas que actúan en las partículas. Recuerde que las fuerzas internas que actúan entre las partículas no aparecen con esta suma, puesto que de acuerdo con la tercera ley de Newton ocurren en pares colineales iguales pero opuestos y por consiguiente se cancelan. Al multiplicar ambos lados de la ecuación por e integrar entre los limites 1 1 2 2 se obtiene:
= , =
= , =
Σmivi1 Σ ∫ = Σmivi2 Esta
ecuación establece que los momentos lineales iniciales del sistema más los impulsos de todas las fuerzas externas que actúan el sistema t 1 y t 2 son iguales a los momentos lineales del sistema.
14
Como la ubicación del centro de masa G
del sistema se determina a partir de G partículas i es la masa total de todas las partículas i i donde y si luego se considera la derivada con respecto al tiempo tenemos:
mr = ∑m r
m=∑m
mvG = ∑mivi La
cual establece que la cantidad de movimiento lineal total del sistema de partículas equivale a la cantidad de movimiento lineal de una partícula que se mueve a la velocidad del aglomerada “ficticia” de masa centro de masa del sistema. AL sustituir en la ecuación se obtiene:
m = ∑
mvG1 ∑ ∫ Fi ⅆt = mvG2 Aquí
la cantidad de movimiento lineal inicial de la partícula aglomerada más los impulsos externos que actúan en el sistema de partículas de 1 a es igual a la cantidad de movimiento lineal final de la partícula 2 es aglomerada. Por consiguiente, la ecuación anterior justifica la aplicación del principio de impulso y cantidad de movimiento lineales a un sistema de partículas que componen un cuerpo rígido.
t
t
15
5 CONSERVACI CONSERVACIÓN ÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Considere los objetos 1 y 2 de la figura, f igura, F1 es la fuerza ejercida sobre 2 por 1 y F2 es la fuerza ejercida sobre 1 por 2. Esas fuerzas podrían resultar del contacto entre los dos cuerpos, o podrían ser ejercidas por un resorte que los conectara. Como consecuencia de la tercera ley de Newton, esas fuerzas son iguales y opuestas, de manera que:
16
F1 + F2 = 0 Suponga que ninguna otra fuerza externa actúa sobre 1 y 2, o que las otras fuerzas externas son insignificantes en comparación con las fuerzas que 1 y 2 ejercen entre sí. Entonces se puede aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento a cada objeto durante tiempos arbitrarios 1 y 2 :
1 =212 − 111 2 =222 − 212
Al sumar estas ecuaciones, los términos de la izquierda se cancelan y se tiene:
m1v11 m2v12 = m2v12 m2v22
17
Lo que significa que la cantidad de movimiento lineal total de A y B se conserva:
11 22 =
6 Conservación de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partículas Cuando la suma de los impulsos externos que actúan en un sistema de partículas es cero, la ecuación:
18
Σmivi1 Σ = Σmivi2 Se reduce a una forma simplificada:
∑mivi2 = ∑mivi2 Esta ecuación se conoce como la conservación de cantidad de movimiento lineal. Establece que la cantidad de movimiento lineal total de un sistema de partículas permanece constante durante el lapso de tiempo t1 a t2.
19
7 Choques
Un choque entre dos cuerpos se define como una interacción fuerte entre
los cuerpos, ya sea por contacto directo o por la naturaleza de su proximidad, que dura un tiempo relativamente corto. Suele ir acompañado de fuerzas de reacción entre los cuerpos relativamente intensas, lo que da lugar a fuertes cambios de velocidad de uno o ambos cuerpos.
Las
intensas fuerzas de reacción también originan una deformación considerable de los cuerpos en colisión y en consecuencia la conversión de energía mecánica en sonido y calor.
En
todo choque se cumple que: La cantidad de movimiento antes del choque es igual a la cantidad de movimiento después del choque:
20
= m1v1 m2v2 = m1v1 m2v2 Donde: Donde:
m1 y m2: Masas (kg). (m/s). V1 y V2: Velocidades antes del choque (m/s).
V´1 y V´2: Velocidades después del choque (m/s).
21
7.1 Fases del Choque El choque de dos cuerpos consta de dos fases que se acompaña de una generación de calor y sonido y son las siguientes: Fase Fase
de compresión o deformación: En esta fase, que transcurre
desde el instante de contacto hasta el de máxima deformación, los dos cuerpos se encuentran comprimidos por la intensa fuerza de interacción. Al final de esta fase, los cuerpos ni siguen aproximándose ni se separan.
Fase de restitución o restauración: En esta fase, que transcurre desde Fase el instante de máxima deformación hasta el de separación total, los cuerpos van separando a causa de que las fuerzas interiores de los cuerpos actúan de manera que les devuelvan la forma original. Por lo general, sin embargo, la recuperación de ésta no es total. Parte de la energía inicial se disipa, durante el choque, a causa de la deformación residual permanente de los cuerpos y de las vibraciones sonoras que se originan.
22
7 3 Tipos de choque 1) Por su Elasticidad: Elasticidad: ELÁSTICOS:
Es un choque en el cual no hay perdida de energía cinética como resultado del choque. Durante el choque elástico, la restricción de conservar la energía cinética del sistema, implica que durante la colisión no se emite sonido, calor ni se producen deformaciones permanentes en los cuerpos como consecuencia del impacto.
⃑
⃑′
⃑
⃑′
23
= + ′ ′
INELÁSTICAS:
Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se conserva. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura. La principal característica de este tipo de choque es que existe una disipación de energía, ya que tanto el trabajo realizado durante la deformación de los cuerpos como el aumento de su energía interna se obtiene a costa de la energía cinética de los mismos antes del choque.
24
Disipación de energía térmica y sonido
PERFECTAMENTE ELÁSTICO (C. PLÁSTICO) De un choque se dice que es "perfectamente inelástico" (o "totalmente inelástico") cuando disipa toda la energía cinética disponible, es decir, cuando el coeficiente de restitución vale cero. En tal caso, los cuerpos permanecen unidos tras el choque, moviéndose solidariamente (con la misma velocidad).
25
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
11 22 = 1 2 = 111 222 ENERGÍA CINÉTICA
= 12 112 + 12 222 1 + 1 2 E = 1 +2 = 2 + 2 E
26
2) Con respecto a la dirección de las velocidades respecto a la
línea de impacto. CHOQUE DIRECTO:
Cuando las velocidades iniciales de los cuerpos en colisión tengan la dirección de la línea de impacto se dirá que es un choque directo. El choque directo es una colisión frontal. frontal. Cuando la línea de movimiento de los cuerpos, antes y después del choque, es la misma.
27
LÍNEA DE IMPACTO PLANO DE CONTACTO CONTACTO
Son perpendiculares
28
CHOQUE OBLICUO: CHOQUE
Cuando las velocidades iniciales de los cuerpos en colisión no tengan la dirección de la línea de impacto diremos que es un choque oblicuo. Cuando la línea de movimiento de los cuerpos, antes y después del choque son diferentes.
29
3) Según su la posición del centro de masa: masa: CHOQUE CÉNTRICO:
Este choque se da cuando los centros de masa de ambos cuerpos se hallan sobre la línea de impacto.
m1
m2
30
CHOQUE EXCENTRICO:
Este choque se da cuando los centros de masa m asa de ambos cuerpos no se hallan sobre la línea de impacto. Este tipo de impacto ocurre a menudo cuando uno o ambos cuerpos están restringidos a girar con respecto a un eje fijo.
31
CUADRO COMPARATIVO ENTRE CHOQUE, COLISIÓN E IMPACTO
CHOQUE
COLISIÓN
Encuentro violento de Choque o rozadura dos cuerpos entre sí. que se produce entre dos cuerpos.
IMPACTO Choque de un proyectil o de un objeto contra otro.
Se define como el impacto entre un vehículo en movimiento contra un vehículo estacionado, o sea un cuerpo en movimiento contra otro estático.
Se define como el choque violento entre dos cuerpos en movimiento (uno contra otro).
Se define como algún tipo de choque o golpe que ocurre entre dos o más partes.
Considera la energía generada por uno de los dos cuerpos en contacto.
Suma o resta energía: C. por alcance (se resta). C. lateral y frontal (se suma).
Marca, huella o señal que produce un choque.
32
Ejemplos: Auto con Ejemplos: Auto Auto con
Ejemplos: Una pelota
poste o puede ser con
auto o contra camión,
golpea un vidrio, un
un árbol, algo fijo al piso.
carreta, etc.
meteorito impacta en otro, el golpe de un martillo sobre un clavo. clavo.
33
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1) 1) Las 2 cajas mostradas mostradas se sueltan sueltan desde el reposo. Sus m masas asas son = 20 y =80kg, y las superficies son lisas. El ángulo θ=20°. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la caja A después de 1s?
Solución: Los diagramas de cuerpo libre son como se muestra. Las sumas de las fuerzas en la dirección Y es igual a cero:
= − (20) (9.81) 20° = 0
∑
N=184 (Newton)
= − − (20) (9.81) 20° = 0 = 992 ∑
Caja B: 34
0)……… (1)
Caja A: 0]……………… (2)
Restar la ecuación (2) a partir de la ecuación (1) = (80+20) v Respuesta: v= 0.723 m/s. 2) Durante los primeros 5s del recorrido de despegue de un avión de 14,200kg, el piloto aumenta el empuje del motor a una razón constante de 22kN hasta alcanzar su empuje total de 112kN. a) ¿Qué impulso ejerce el empuje sobre el avión durante los 5s? b) Si se ignora otras fuerzas, ¿qué tiempo total se requiere para que el avión alcance su velocidad de despegue de 46 m/s?
35
Solución: m= 14200 kg F= (22000+18000t) (N) Impulso = Impulso=22000t + 9000 a)
2
Impulso = 335000 N-s = 355 Kn-s
335000 3350 00 + 112000t 112000t = (14200)(46 (14200)(46)) 11200 112000(t-5) 0(t-5) + 335000 = (14200)(46) (14200)(46)
b)
T= 7.84s m= 14200 kg F= (22000+18000t) (N)
Impulso=
36
Impulso=22000t + 9000
c)
2
Impulso = 335000 N-s = 355 Kn-s
335000 3350 00 + 112000t 112000t = (14200)(46 (14200)(46)) 112000 112000(t-5) (t-5) + 335000 335000 = (14200)(46) (14200)(46) d)
T= 7.84s
3) El jeep de tracción en las 4 ruedas de 1.5 Mg se utiliza para empujar dos embalajes idénticos, cada uno de 500 kg de masa. Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas y el suelo es =0.6, determine la rapidez máxime posible que el jeep puede alcanzar en 5s, sin que las llantas patinen. El coeficiente de fricción cinética entre los embalajes ye l suelo es =0.3.
Solución: Diagrama de cuerpo libre: El diagrama de cuerpo libre del jeep y cajas se muestran en las figuras. A y B, respectivamente. Aquí, la fuerza de
37
conducción máximo para el jeep es igual a la fricción estática máxima entre los neumáticos y el suelo, es decir = =0.6N La =0.6N La fuerza de fricción que actúa sobre la caja es (. (. ) c= =0.3 Principio de impulso y
cantidad de movimiento:
(+ ) m
1500(0) +
)y
(5)- 1500(9.81) (5) = 1500(0)
= 14715 N (+
)m
)x
1500(0) + 0.6(1475) (5)- p (5) = 1500v V=29.43 – 3.333(0.0001) P ……………………… (1)
Al considerar la figura b, (+ )
m
1000(0) +
)y
(5) – 1000(9.81) (5) = 1000(0)
= 9810 N (+
)
m
)x
1000(0) + P (5) – 0.3(9.81) (5) = V= 0.005P – 14.715……………………………………
1000v (2)
38
Resolviendo la ecuación (1) y (2) V= 11.722 m/s = 11.8 m/s P= 5297.4 N
4) Un 4) Un proyectil de 4 kg viaja con una velocidad horizontal de 600 m/s antes de que explote y ser rompa en dos fragmentos A y B de 1.5 kg y 2.5 kg de masa, respectivamente. Si los fragmentos viajan a lo largo de las trayectorias parabólicas mostradas, determine la magnitud de la velocidad vel ocidad de cada fragmento justo después de la explosión y la distancia horizontal donde el segmento A choca con el suelo en C
Solución: Conservación de la cantidad de movimiento: Al movimiento: Al referirse al diagrama de cuerpo libre del proyectil justo después de la explosión se muestra en la Fig. una, nos damos cuenta de que el par de fuerzas impulsivas F genera durante la explosión se anulan entre sí, ya que son internos al sistema. Aquí, WA y WB son fuerzas no impulsivas. Puesto que la fuerza impulsiva resultante a lo largo de los ejes x e y es cero, el momento lineal del sistema se conserva a lo largo de estos dos ejes.
39
(+) m( ) = ( )x + ( )x 4(600) =-1.5vA cos 45° + 2.5vB cos 30°
2.165 VB – 1.061vA = 2400……………………… (1)
(+) m( ) = ( )y + ( )y 0 = 1.5vA sin 45° - 2.5vB sin 30° vB = 0.8485vA ………………………………………………… (2)
Resolviendo a la ecuación (1) y (2) vA = 3090.96 m>s = 3.09(103) m>s Rpta vB = 2622.77 m>s = 2.62(103) 2 .62(103) m>s Rpta Considerando el eje x y y con el segmento A
(+ ) ( ) = ( 0)y + ( 0yt + 1/2
2
-60= 0 + 3090.96sin45° + 1/2(-9.81)
2
4.905 2 – – 2185.64 – – 6 0= 0 Resolviendo la ecuación positiva
= 445.62
= (Y ) x + ( ) xt = 0 + 3090.96 cos 45° (445.62) 0
0
= 973.96 (0.0001) m = 974 km Rpta.
40
5) El bloque A pesa 16.1 lb y se encuentra viajando hacia la derecha sobre el plano liso de 50 pie/s. El bloque B pesa 8.05 lb y está en equilibrio con el resorte que justamente le impide resbalar sobre el tramo rugoso del plano. El cuerpo a golpea al B; el coeficiente de restitución e = 1/2. Encuentre la deformación máxima del resorte
Sabiendo que cuando el bloque A llega a recorrer el plano inclinado, se originan nuevas fuerzas que actúen sobre él: él :
41
Los impactos entre los bloques se tratarán por separado, por tanto, se dividirá en:
1.- Conservación de la energía:
+ = +
2.- Conservación de Cantidad de movimiento Sabiendo que el impacto es elástico e=1/2=0.5. Tenemos lo siguiente:
42
Reemplazamos β en α: 580.10876 = 16.1 = 36.0316
+ 8.05(18.0158 + ) → = 18.0158, ′
′
′
′
3.- Por teorema del trabajo y la energía tenemos:
= ∆
43
Por tanto, la deformación máxima será de 11.98 pies
6) Determine las velocidades de los bloques A Y B 2 dos segundos después que son liberados del reposo. Desprecie la masa de las poleas y cables.
Solución:
44
Cálculo de velocidades de A Y B en 2 seg. La longitud L de la cuerda que pasa por las poleas es constante. Dónde:
+ 2 =
2
derivando
= −
Por el principio del impulso y momentun en la dirección vertical sobre el bloque A:
Por el principio del impulso y momento en la dirección vertical sobre el bloque B:
45
Sabemos que
= −; y dividiendo las ecuaciones 1 y 2 obtenemos
Resolviendo Con lo cual B baja.
T=2.6667 lb
= −= 21.46667 pies/seg donde el bloque A sube y el bloque
7) 7) Una pelota de 300 g. es pateada con una velocidad de 25 m/s en el punto punto A, como se muestra. Si el coeficiente de restitución entre la pelota y el campo es e=0.4, determinar la magnitud y dirección de la velocidad de la pelota rebotando en B.
Cinemática: La Cinemática: La trayectoria parabólica del fútbol se muestra en la Fig. a. Debido a las propiedades simétricas de la trayectoria, vB = vA = 25 m/s y θ = 30°.
46
Conservación del Momento Lineal: El Lineal: El momento lineal se conserva a lo l o largo del eje x.
Coeficiente de Restitución: Debido Restitución: Debido a que el suelo no se mueve durante el impacto, el coeficiente de restitución se puede pu ede escribir como:
Por lo tanto, la magnitud es: Y la dirección θ es:
47
8) A la bola blanca A se le confiere una velocidad inicial de 5 m/s. Si choca directamente con la bola B, vB = 0 (e=0.8), determine la velocidad de B y el ángulo θ justo justo después de que rebota en la banda C (e’=0.6). Cada bola tiene una masa de 0.4kg. Ignore el tamaño de cada bola.
48
lineal: Conservación de Cantidad de Movimiento lineal:
mA (vA)1 + mB (vB)1 = mA (vA)2 + mB (vB)2
(0.4) (5) + 0 = 0.4 (v A)2 + 0.4 (vB)2 5= (vA)2 + (vB)2
(vB)2 = 5 - (vA)2 ……. (1)
Coeficiente de Restitución:
Reemplazamos (1) en (2): 5 - (v A)2 - (vA)2 = 4
(vA)2 = 0.50 m/s m/s (vB)2 = 4.50 m/s m/s
Conservación de Cantidad de Movimiento lineal en el eje y: Cuando B
golpea la banda en C. mB(vBy)2 = mB (vBy)3 (vBy)3 0.4(4.50 sen 30°) = 0.4 (vB )3 sen θ (vB )3 sen θ = 2.25 …….. (3) (3) Coeficiente de Restitución en x: x:
49
De (3): (vB)3 sen θ = 2.25 2.25
De (4): (vB)3 cos θ = 0.6 x 4.50 x cos30°
(vB)3 cos θ = 2.34 2.34 Dividimos ambas ecuaciones
Así:
tan θ = (2.25/2.34)
θ = 43.9 ° ° (vB)3 = 3.24 m/s Por lo tanto: (v
9) Las magnitudes y direcciones de las velocidades de las esferas lisas idénticas antes de que choquen se indican en la figura. Suponiendo que el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,90 . Determine: (a) la magnitud y dirección de las velocidades de ambas después del choque y (b)
la pérdida de energía cinética debido al choque.
50
SOLUCION:
•
Descomponiendo las velocidades de las esferas en componentes normal y tangencial al plano de contacto.
) = cos 30°
(
(
) = 7.8/
) = sen 30° ( ) = 4.5 / () = − cos 60° () = −60 / ) = sen 60° () = 10.4 /
La componente tangencial de las esferas es conservada. ( ̀ ) = ( ) = 4.5 /
•
51
) = 10.4 /
( ̀ ) = (
Se conserva el momento lineal del sistema en dirección normal
•
() + () = ( ̀ ) + ( ̀ ) (7.8) + (−60) = ( ̀ ) + ( ̀ ) ( ̀ ) + ( ̀ ) = 1.8
Coeficiente de restitución
•
) − ()] ( ̀ ) − ( ̀ ) = 0.90[7.8 − (−60)] ( ̀ ) − ( ̀ ) = 12.4
( ̀ ) − ( ̀ ) = [(
Resolviendo
•
simultáneamente las ecuaciones componentes normales de cada velocidad.
se
determina
las
52
BIBLIOGRAFÍA
DINÁMICA – HIBBELER -
DÉCIMO SEGUNDA EDICIÓN
53
DINÁMICA – BEER JOHNSTON – NOVENA DINAMICA – BEDFORD – QUINTA
EDICIÓN
EDICION
http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_restituci%C3%B3n http://www.fis.puc.cl/~rbenguri/ESTATICADINAMICA/cap4.pdf
54
View more...
Comments
