Impedancia Mecanica PDF

 

METODO POR LA IMPEDANCIA MECANICA  ( LINEAL ) Ciertos problemas de vibraciones se resuelven ventajosamente por el método de la impedancia impedancia mecánica, el cual hace uso del hecho de que las 2

im impe peda danc ncia iass d del el re reso sort rte, e, el amor amorti tigu guad ador or y la la mas masa a sson on resp respec ecti tiva vame ment nte: e: k , iw y  −mw . E Est stee mé méto todo do pr prod oduc ucir irá á las las re resp spue uest stas as de dell eest stad adoo estacionario de vibraciones forzadas y nos orientara hacia las ecuaciones de frecuencias del sistema de vibración libre. La aplicación de este método puede a los cuatro pasos siguiente, para sistemas múltiples múltiples grados de libertad. 1. Multiplique la amplitud de cada punto de unión o de empalme de sistema, por las impedancias de los elementos unidos a él. 2. Reste de esta cantidad los “términos de perdidas”, los cuales pueden definirse como los productos de las impedancias de los elementos sujetos

al empalme por las amplitudes de sus extremos opuestos. 3. Haga asta cantidad igual a cero para vibraciones libres e igual al valor máximo de la fuerza sinusoidal para vibraciones forzadas. Si se aplica

más de una fuerza al-empalme, se debe tomar valor apropiado de sus relaciones de fase. 4. Resuelva las ecuaciones de las amplitudes de la vibración. La expresión para la amplitud de cada empalme puede expresar en la forma  F   F   A − iB

 

. El El val valor or nu numé méri rico co de la ampl amplit itud ud

2 2  ‾‾‾‾‾‾  A + B

y el el m mov ovim imie ient ntoo ssee rret etra rasa sara ra co con n rres espe pect ctoo a la fuer fuerza za angul angular ar cuya cuya tang tangen ente te es b/ b/a a

 B  A

 

Datos de entrada: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

k1 ≔   400

  N  m

m1 ≔   6   kg

k2 ≔   300

  N 

  m2 ≔  8   kg

k3 ≔   200

m

  N  m

  m3 ≔  10   kg

k4 ≔  0

  N  m

rad   w ≔  1   ― s

c1 ≔   100

 N ⋅ s  N ⋅ s   ― c2 ≔  100   ― m

 F 0 ≔   50   N   

m

c3 ≔   100

 N ⋅ s  ― m

c4 ≔  0

 N ⋅ s  ― m

si: F    0 ⋅  cos w   ⋅t

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k1 +  k2 + 1i  ⋅  c1 ⋅  w + 1i  ⋅  c2 ⋅  w − m   1 ⋅  w

2

⋅ x1 −  k2 ⋅  x2 − 1i ⋅   c2 ⋅  w ⋅ x2 ＝  F 0

k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w

2

⋅ x2 −  k2 ⋅  x1 − 1i ⋅   c2 ⋅  w ⋅ x1 −  k3 ⋅  x3 − 1i ⋅   c3 ⋅  w ⋅ x3 ＝  0

k3 +  k4 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅  w − m   3 ⋅  w

2

⋅ x3 −  k3 ⋅  x2 − 1i ⋅   c3 ⋅  w ⋅ x2 ＝  0

2 ⎡ k1 +  k2 + 1i  ⋅  c1 ⋅  w + 1i  ⋅  c2 ⋅  w − m   1 ⋅  w ⎢ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w ⎢ 0 ⎣

− k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w 2 k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w

0 − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w 2 k3 +  k4 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅  w − m   3 ⋅  w

2 ⎡ k1 +  k2 + 1i  ⋅  c1 ⋅  w + 1i  ⋅  c2 ⋅  w − m   1 ⋅  w ⎢ Δx ≔ ⎢ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w 0 ⎣

− k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w 2 k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w

⎤ ⎥ ⎥ k3 +  k4 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅  w − m   3 ⋅  w 2 ⎦

⎡ 694 + 200i −300 − 100i ⎤ 0 492 + 200i −2 −200 00 − 10 100i 0i ⎥ ⎣ 0 −200 − 100i 19 1900 + 10 100i 0i ⎦

Δx → ⎢ −300 − 100i

 

− k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w

 

 

0 − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ x1 ⎥ ⎢ F 0 ⎥ ⎥ ⋅ x2 ＝ 0 ⎣0⎦ ⎦ ⎣ x3 ⎦

 

Regla de Cramer: 2 ⎡ k1 +  k2 + 1i  ⋅  c1 ⋅  w + 1i  ⋅  c2 ⋅  w − m   1 ⋅  w ⎢ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w ⎢ ⎢ 0

⎢⎢ k1 +  k2 + 1i  ⋅  c1 ⋅  w + 1i  ⋅  c2 ⋅  w − m   1 ⋅  w 2 − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w ⎣

− k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w 2 k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w 2 k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w

 

0 − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w 2 k3 +   k4 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅  w − m   3 ⋅  w   0 − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎦

Regla de Cramer: Hallando   ΔX T  ΔX 1 ≔ k1 +  k2 + 1i  ⋅  c1 ⋅  w + 1i  ⋅  c2 ⋅  w − m   1 ⋅  w ΔX 2 ≔

2

2

  ⋅ k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w ⋅ k3 +  k4 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅  w − m   3 ⋅  w

− k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w   ⋅ − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w ⋅ k1 +  k2 + 1i  ⋅  c  1 ⋅  w + 1i  ⋅  c2 ⋅  w − m   1 ⋅  w

2

2

ΔX 3 ≔

k3 +   k4 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅   w − m   3 ⋅  w

ΔX T ≔ ΔX    1 − ΔX    2 +  ΔX 3

⋅ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w  ⋅ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w

  ΔX T  → 115 115351   35120 20 + 2205280 22052800i 0i

Hallando   Δx AT  ⎡ F 0   − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w 2 ⎢ 0 k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w ⎢0 ⎢ F 0   − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w ⎣0 (+ ) (- )

k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w

2

 

0 − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w k3 +  k4 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅  w − m   3 ⋅  w 2   0 − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w

Δx    A1 ≔  F 0 ⋅ k2 +  k3 + 1i  ⋅  c 2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w Δx    A2 ≔  F 0 ⋅  − k3  + 1i  ⋅  c3 ⋅  w

 ⋅ − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w

Δx AT ≔ Δx A1 −  Δx A2 → 217 217400   40000 + 2360000 2360000ii

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⋅ k3 +  k4 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅  w − m   3 ⋅  w

2

2

 

Hallando   Δx BT  2 ⎡ k +  k + 1i  ⋅  c ⋅  w + 1i  ⋅  c ⋅  w − m   1 ⋅  w  F 0   0 1 2 1 2 ⎢ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w   0 − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w ⎢ ⎢ 0 0 k3 +  k4 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅  w − m   3 ⋅  w 2 2 ⎢ k +  k + 1i  ⋅  c ⋅  w + 1i  ⋅  c ⋅  w − m   1 ⋅  w  F 0   0 1 2 1 2 − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w   0 − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w ⎣

(+ )

Δx    B1 ≔ 

0

(- )

Δx    B2 ≔

− k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w ⋅ F 0 ⋅ k3 +  k4 + 1i  ⋅  c 3 ⋅  w + 1i  ⋅  c4 ⋅  w − m   3 ⋅  w

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

2

Δx BT ≔ Δx B1 −  Δx B2 → 235 2350000   0000+ 245000 2450000i 0i

Hallando   ΔxCT  2 ⎡ k1 +  k2 + 1i  ⋅  c1 ⋅  w + 1i  ⋅  c2 ⋅  w − m   1 ⋅  w ⎢ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w ⎢ 0 ⎢ 2 ⎢ 1   k2 1 w 2 w 1 w k   c   c m ⎢ + + 1i  ⋅ ⋅ + 1i  ⋅ ⋅ −   ⋅ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w ⎣

F 0 ⎤ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w ⎥ 2 k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w 0⎥ − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w   0⎥ ⎥ F 0 ⎥ − k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w 2 k2 +  k3 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w + 1i  ⋅  c3 ⋅  w − m   2 ⋅  w 0⎦

(+ )

Δx   C1 ≔

− k2 + 1i  ⋅  c2 ⋅  w   ⋅ − k3 + 1i  ⋅  c3 ⋅  w ⋅ F 0

(- )

Δx   C2 ≔ 

0

ΔxCT ≔ ΔxC1 −  ΔxC2 → 2500 2500000   000 + 250 250000 0000i 0i

 

⎛b⎞ 2 2 Si las ecuaciones: ΔX    ＝  a + bi ;  X    ＝   a + b ;  Φ ＝ atan ⎝a⎠ Δx AT  ΔX T 

= 0.1245 0.124514 14 − 0.0334 0.033452i 52i  X 1 ≔

 2  2  ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ 0.124514   + 0.033452 ⋅ m

Φ1 ≔ atan

⎛ −0.033452 ⎞ 180   ⋅ ⎝ 0.124514 ⎠ π

   X 1 =  0.1289  m Φ1 =   −15.04

Δx BT 

― 0.130996 96 − 0.038043i 0.038043i ΔX T  = 0.1309  X 2 ≔

 2  2  ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ 0.130996   + 0.038043 ⋅ m

Φ2 ≔ atan

⎛ −0.038043 ⎞ 180   ⋅ ⎝ 0.130996 ⎠ π

   X 2 =  0.1364  m Φ2 =   −16.19

Δx CT 

ΔX T 

= 0.1 0.13557 3557 − 0.0 0.0424 42452i 52i  X 3 ≔

Φ3 ≔ atan

 

 2

0.13557   + 0.042452 ⎛ −0.042452 ⎞ 180   ⋅ ⎝ 0.13557 ⎠ π

 2

⋅m

   X 3 =  0.1421  m Φ3 =   −17.39

 

 Asi que qu e la rrespuest espuesta a del e estado stado e estaci stacionari onario o de la lass masas es:  float ,  3

x1   t

≔ X 1 ⋅  cos   w ⋅ t + Φ1 ―

→ 0.129 ⋅  m ⋅  cos t −  15.0  float ,  3 x2   t ≔ X 2 ⋅  cos   w ⋅ t + Φ2 ― → 0.136 ⋅  m ⋅  cos t −   16.2 x3   t

 float , → 3 0.142 ⋅  m ⋅  cos t −  17.4 ≔ X 3 ⋅  cos   w ⋅ t + Φ3 ―

t ≔  0 , 0.0 0.011 ‥ 20

0.2 0.16 0.12 0.08 0.04 0

x1   t   m 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

x2   t   m

-0.04

x3   t   m

-0.08 -0.12 -0.16 -0.2

t