Impact d'Un Jet Sur Un Obstacle

Travaux pratiques de mécanique des fluides TP n 1 : Impact d’un jet sur un obstacle

I - But de la manipulation Le but de ce TP est le calcul et la mesure des forces engendrées par l’impact d’un jet d’eau sur un obstacle ; car comme nous le savons très bien, l’industrie dépend fortement de l’énergie mécanique extraite de la rotation d’une turbine à aubage par le moyen de vapeur ou de fluide pressurisé par exemple, ou encore l’exemple des barrages qui est bien plus commun. L’utilisation de deux obstacles de formes différentes nous guidera dans notre étude concernant l’importance de la forme de l’obstacle et le moyen de maximiser cette force d’impact par un choix judicieux de celle-ci.

II - Description de l’appareil utilisé Le dispositif expérimental pour ce TP est constitué d’un cylindre transparent renfermant une tuyère verticale orientée vers le centre d’un obstacle suspendu à la base supérieure de celui-ci. Une pompe alimente la tuyère en eau qui en sort verticalement à la vitesse V0 et entre en impact avec l’obstacle encastré à une barre graduée, pour ensuite quitter le réceptacle cylindrique vers le réservoir de la pompe, permettant le chronométrage de la durée de remplissage d’un volume déterminé d’eau. L’étude de l’équilibre de la barre permettra la mesure de la force causée par l’impact du jet. Celle-ci est soumise à cinq forces : -

Son propre poids ; Le poids d’une masselotte qui y sera suspendue ; L’action de l’obstacle ; L’action du ressort la soutenant ; L’action de l’articulation au cylindre située dans la partie opposée à celle qui accueille la masselotte.

Avant d’entamer les mesures relatives à ce travail, des réglages sur le dispositif sont de rigueur : -

-

On vérifie la verticalité de la tuyère en appréciant à l’œil son alignement relatif aux trois supports métalliques situés sur la surface latérale du cylindre ; On règle la position du ressort jusqu’à ce que la barre soit horizontale en présence de la masselotte à la position zéro.

Le dernier réglage est destiné à rendre le calcul des moments des forces restreint à celui de l’action du poids de la masselotte, ainsi que l’action du jet sur l’obstacle.

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III – théorie : Grâce au dispositif expérimental, on peut mesurer le débit par chronométrage ainsi que la distance x lue sur la règle graduée de la barre. Ceci nous permettra par la suite le calcul des grandeurs suivantes :  Le débit massique : Qm (Kg.s-1) = ρ*Qv (l.s-1)= 15/T (ρ = 1 Kg.l-1) ;  La vitesse moyenne à la sortie de la tuyère : V0 = [4*Qv (m3.s-1)] /[π*d0²] (d0 = 1 cm) ;

U1  V02  2 gh  La vitesse moyenne d’impact :  La force expérimentale d’impact :

;

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A

 f

O

y

  P  Mg

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On exploitera la relation donnant la nullité de la somme des moments des forces appliquées à la barre par rapport à l’articulation de celle-ci au reste du dispositif : Les deux relations à exploiter sont celles à l’équilibre (où F et x sont tous deux nuls) et la somme nulle des moments dans le cas où F est non nulle et x donnant l’horizontalité de la barre (horizontalité qui, rappelons-le, sera appréciée à l’œil):

 f * y  M * g * x0  0  f * y  F * x0  ( x0  x) * M * g  0 On aura donc



: Fexp = (x/x0)*M*g

La force théorique d’impact : Pour les deux obstacles, on applique le théorème de la quantité de mouvement à la barre :

    V  v . n  ds  F      Qm *U 2  Qm *U1  F -

Cette relation aboutit directement à la suivante : Dans le cas d’un obstacle plan : la projection sur l’axe vertical donne :

F  qm *U1 -

; dans le cas d’un obstacle de forme hémisphérique : la projection sur le

F  2 * Qm * U1 même axe donne : approximativement égales)

(c’en considérant qu’U2 et U1 sont

IV - Calcul à effectuer : IV - 1 – Tableau des mesures : On commence par ouvrir la vanne à son maximum, pour obtenir le débit le plus important, puis on règle la position de la masselotte pour obtenir l’horizontalité de la barre. En jouant sur la position de la masselotte et en réglant le débit pour obtenir l’horizontalité, on aura les tableaux de mesure voulus.

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Huit mesures seront effectuées pour l’obstacle hémisphérique et six pour l’obstacle plan. Le tableau de mesures est comme suit : -

pour l’obstacle hémisphérique :

Essai n°

x (mm)

Δx (mm)

T (s)

ΔT (s)

1 2 3 4 5 6 7 8

152 134 120 110 95 80 70 65

1 1 1 1 1 1 1 1

30 34 36 39 40 47 48 55

1 1 1 1 1 1 1 1

-

pour l’obstacle plan :

Essai n°

x (mm)

Δx (mm)

T (s)

ΔT (s)

1 2 3 4 5 6

76 70 60 50 40 30

1 1 1 1 1 1

33 31 34 42 49 50

1 1 1 1 1 1

IV - 2 – calcul de Q, V0, U1, Fexp et Fth : Les expressions données dans la partie théorique permettent le calcul de ces valeurs à partir des quantités mesurées. Notons que toutes les mesures notées ci-après sont accompagnées d’incertitudes, dont le calcul est donné par les formules suivantes : (On prend :

x  1mm T  1s

x Pour la position Pour la mesure du temps par chronométrage)

En découle les autres incertitudes exprimées comme suit :

Fex  

x Mg x0

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q v  q v 

V0  

t t

q v S

2 0

 

U 1 

2U 1 U 1  2V0 V0

U  V  2 gh 2 1

6

, alors

V0 V0 U1

donc

Pour l’obstacle plan :

Fth  Qm * U1  U1 * Qm 

Pour l’obstacle hémisphérique :

Fth  2 * (Qm * U 1  U 1 * Qm ) Les tableaux suivants affichent les valeurs numériques des grandeurs requises ainsi que la valeur de leur incertitude : Ess ai N°

Pour l’obstacle hémisphérique :

Qv (m3/s)

1

0,0005

2 4

0,0004411 76 0,0004166 67 0,0003846 15

5

0,000375

6

0,0003191 49

7

0,0003125

8

0,0002727 27

3

ΔQv (m3/s) 1,66667E05 1,29758E05 1,15741E05 9,86193E06 0,0000093 75 6,7904E06 6,51042E06 4,95868E06

Qm (kg/s)

ΔQm (kg/s)

0,44117647 1 0,41666666 7 0,38461538 5

0,0166666 67 0,0129757 79 0,0115740 74 0,0098619 33

0,375

0,009375

0,5

0,31914893 0,0067904 6 03 0,0065104 0,3125 17 0,27272727 0,0049586 3 78

V0 (m/s) 6,3694267 52 5,6200824 28 5,3078556 26 4,8995590 4 4,7770700 64 4,0655915 44 3,9808917 2 3,4742327 74

ΔV0 (m/s) 0,2123142 25 0,1652965 42 0,1474404 34 0,1256297 19 0,1194267 52 0,0865019 48 0,0829352 44 0,0631678 69

U1 (m/s) 6,3152907 41 5,5586532 99 5,2427694 35 4,8289728 5 4,7046464 68 3,9802430 33 3,8936870 55 3,3739581 15

ΔU1 (m/s) 0,2141342 28 0,1671232 48 0,1492708 29 0,1274660 77 0,1212652 14 0,0883568 12 0,0847926 97 0,0650452 29

-

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Pour l’obstacle plan :

Ess ai N°

Qv (m3/s)

ΔQv (m3/s)

Qm (kg/s)

ΔQm (kg/s)

V0 (m/s)

ΔV0 (m/s)

U1 (m/s)

ΔU1 (m/s)

1

5

0,000454 54 0,000483 87 0,000441 17 0,000357 14 0,000306 12

1,37741E05 1,56087E05 1,29758E05 8,5034E06 6,2474E06

0,4545454 55 0,4838709 68 0,4411764 71 0,3571428 57 0,3061224 49

0,013774 10 0,015608 74 0,012975 77 0,008503 40 0,006247 39

6

0,0003

0,000006

0,3

0,006

5,790387 95 6,163961 37 5,620082 42 4,549590 53 3,899649 03 3,821656 05

0,175466 30 0,198837 46 0,165296 54 0,108323 58 0,079584 67 0,076433 12

5,730784 64 6,108004 56 5,558653 29 4,473485 67 3,810585 59 3,730731 15

0,177291 24 0,200659 05 0,167123 24 0,110166 43 0,081444 77 0,078295 93

2 3 4

Les valeurs numériques des forces théorique et expérimentale pour chacun des essais est comme suit : - Pour l’obstacle hémisphérique :

Essai N°

1 2 3 4 5 6 7 8

Fth (N)

ΔFth (N)

6,3152907 0,2123219 41 59 4,9046940 0,1458586 87 99 4,3689745 0,1228763 29 8 0,0966484 3,7145945 21 3,5284848 0,0895805 51 16 2,5405806 0,0552264 59 37 2,4335544 0,0518472 1 43 1,8403407 0,0344699 9 79

Fexp (N)

ΔFexp (N)

5,96448

0,03924

5,25816

0,03924

4,7088

0,03924

4,3164

0,03924

3,7278

0,03924

3,1392

0,03924

2,7468

0,03924

2,5506

0,03924

Travaux pratiques de mécanique des fluides TP n 1 : Impact d’un jet sur un obstacle -

Pour l’obstacle plan :

Essai N°

1 2 3 4 5 6

Fth (N)

ΔFth (N)

2,6049021 13 2,9554860 81 2,4523470 44 1,5976734 54 1,1665057 94 1,1192193 47

0,1595233 58 0,1924313 53 0,1458586 99 0,0773849 98 0,0487383 16 0,0458731 69

Fexp (N)

ΔFexp (N)

2,98224

0,03924

2,7468

0,03924

2,3544

0,03924

1,962

0,03924

1,5696

0,03924

1,1772

0,03924

IV – 3 – graphes de F mesurée et calculée en fonction du débit de quantité de mouvement : Les graphiques représentant les nuages de points des valeurs théorique et mesurée de F en fonction du débit de quantité de mouvement viendront après la description de la méthode d’obtention des droites de ces graphes. Il est à noter que toutes les droites représentées sur les deux graphes sont obtenues par la méthode des moindres carrés, et les carrés d’incertitude sont représentés dans le même graphe pour chacun des points. La méthode des moindres carrés est comme suit : En posant : E (a,b) = 



(y(xi) – a*xi -b) , le minimum de E est atteint pour les valeurs de a et de b telles que : dE/da = dE/db = 0 -

Pour l’obstacle hémisphérique :

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9

7 6

f(x) f(x) = = 2x 1.64x + 1.01

5 4 F (en N) (bleue=expérimentale)

3 2 1 0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

débit de quantité de mouvement (en Kg.m/s²)

-

Pour l’obstacle plan :

3.5

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10

3.5

3 1x f(x) = 0.83x + 0.49 2.5

2

F (en N) (bleue=ex périmentale)

1.5

1

0.5

0 1

1.5

2

2.5

3

3.5

débit de quantité de mouvement (en Kg.m/s²)

IV – 4 – Comparaisons et commentaires : On remarque que les résultats expérimentaux sont, comme prévu, légèrement différents des résultats théoriques. Ceci est dû à l’erreur sur la lecture et l’appréciation de l’horizontalité de la barre, qui sont toutes faites à l’œil. La supposition sur la vitesse est elle aussi nuisible aux résultats car l’on ne peut déterminer la nature exacte du contact entre l’eau et l’obstacle au point d’impact, en ayant supposé que l’adhérence du fluide sur la paroi de l’obstacle soit parfaite. On remarque surtout, et ce qui est plus important, que la force d’impact F est différente pour chaque type d’obstacle : l’obstacle plan donne une valeur de F proche de celle du débit de quantité de mouvement calculé précédemment, alors que l’hémisphérique donne un résultat approximativement égal à deux fois cette même valeur. Aussi l’erreur sur l’obstacle plan est-elle faible relativement à celle de l’hémisphérique.

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IV – 5 – dans le cas où l’angle avec lequel le jet quitte l’obstacle plan est non nul : Dans ce cas particulier, l’expression de la force F obtenue par le théorème de la quantité de mouvement est donnée par : Fth = Qm*(U1 – sin (1°)*U2 ) En différenciant cette même formule, on obtient l’expression de l’erreur introduite par cette hypothèse sur la valeur de F :

∆Fth = [∆Qm/Qm + (∆U1 + sin (1°)*∆U2) / (U1 – sin (1°)*U2)]*Fth

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