Il ponte di Wheatstone

POLITECNICO DI TORINO III Facoltà di Ingegneria

Relazione sperimentale

Il ponte di Wheatstone Misurazione indiretta di una resistenza

Docente Prof. Mario Trigiante

Gruppo 6 Alberto Tibaldi Adrien Yepdieu Yannick Vittorio Giovara

Anno accademico 2006-2007

Capitolo 1 Finalit` a dell’esperienza Con la presente relazione si intende esporre l’esperienza effettuata in laboratorio riguardante la misura di una resistenza mediante il metodo del ponte di Wheatstone. Il ponte di Wheatstone `e costituito da un alimentatore ai capi di un circuito resistivo del quale ci `e ignota una resistenza. Il circuito in questione `e costituito da due rami collegati tra loro da un galvanometro; tramite le leggi di Ohm e di Kirchhoff, `e possibile ricavare la misura di una resistenza incognita, effettuando una misurazione di una resistenza campione e della conseguente variazione della differenza di potenziale tra i due rami, rilevata dal sopra citato galvanometro.

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Capitolo 2 Descrizione della strumentazione Il materiale a disposizione per effettuare l’esperienza `e stato il seguente: • Resistore campione ad alta precisione con preselezionatore digitale; • Generatore di tensione continua; • Voltmetro digitale; • Fili conduttori con set-up a tre terminali e scala graduata; • Insieme di resistenze incognite da misurare in pi` u configurazioni. Come gi`a accennato il ponte di Wheatstone `e composto da un generatore di tensione continua ai capi di un circuito costituito da due rami, tra loro collegati da un galvanometro. Su di un ramo si hanno due resistenze di valore variabile a piacimento e dunque da considerarsi noto; queste due resistenze sono costituite da un unico filamento di sezione e resistivit`a costanti separate da un interruttore, che corrisponde al nodo di contatto con l’altro ramo. Invece sull’ultimo ramo si ha la resistenza incognita che intendiamo misurare e il campione di riferimento. Gli strumenti teorici utilizzati al fine di determinare una misura della resistenza sono le gi`a citate leggi di Ohm e di Kirchhoff. Quelle di Ohm in realt`a non sono vere e proprie leggi, in quanto applicabili esclusivamente ad una ristretta classe di resistori ideali (detti per l’appunto ohmici), poich`e si comportano secondo le suddette relazioni; nell’esperienza vengono studiati oggetti approssimati a conduttori ohmici. La prima legge di Ohm lega la differenza di potenziale con l’intensit`a di corrente elettrica mediante una relazione lineare: la pendenza della retta rappresentante la variazione di differenza di potenziale al variare dell’intensit`a 2

di corrente descrive, per l’appunto, la resistenza opposta da un determinato oggetto al passaggio di corrente. Si usa descrivere la prima legge di Ohm con questa formula:

∆V = R ∗ i La seconda legge di Ohm invece lega il valore della resistenza R a tre parametri: la resistivit` a, la lunghezza della resistenza e la sezione della resistenza. Considerando un filamento di materiale conduttore, la resistenza che il filamento oppone al passaggio di corrente elettrica `e direttamente proporzionale alla lunghezza del filamento e alla resistivit`a, mentre `e inversamente proporzionale all’area della sua sezione. La resistivit`a `e una caratteristica dipendente dal materiale di cui `e composto il filamento e dalla temperatura in cui quest’ultimo si trova; considereremo, nella nostra esperienza, temperatura costante e pari a quella dell’ambiente e non terremo conto quindi della resistivit`a variabile. Si usa rappresentare la seconda legge di Ohm con questa formula: R = ρ Al dove ρ `e la resistivit`a, l `e la lunghezza della resistenza e A la sezione attraverso cui scorre la corrente elettrica. A questo punto, prima di introdurre le leggi di Kirchhoff, `e necessario introdurre alcuni concetti fondamentali utili ai fini della comprensione: ramo, nodo, maglia. • Il ramo `e un collegamento di due o pi` u elementi circuitali attivi o passaivi in un circuito; • Il nodo `e un punto in cui almeno tre rami convergono. Abbiamo un nodo entrante e un nodo uscente: `e entrante quando la corrente si separa in altri due o pi` u rami, e uscente quando pi` u correnti si riuniscono in un unico punto, che sarebbe per l’appunto il nodo uscente; • La maglia `e un insieme di due o pi` u rami, collegati da un nodo, che formano un cammino chiuso; una maglia di fatto sarebbe dunque un circuito chiuso di una rete elettrica in cui, partendo da un nodo, si torna allo stesso senza mai attraversare uno stesso ramo due volte. Le leggi di Kirchhoff descrivono le propriet`a di circuiti elettrici in cui `e possibile trascurare i tempi di propagazione dei segnali e in cui differenza 3

di potenziale e intensit`a di corrente elettrica sono dunque ben definiti per ogni punto del circuito. La prima legge di Kirchhoff si riferisce ai nodi e afferma che, considerando una superficie chiusa che attraversi un circuito elettrico e racchiuda il nodo in esame, il flusso totale di corrente uscente da tale superficie deve essere nullo affinch`e l’elettricit`a non si accumuli n`e venga sottratta al nodo stesso. In altre parole, dato un circuito in cui `e presente un nodo, la somma algebrica delle intensit`a di corrente del nodo entrante deve essere uguale alla somma delle intensit`a di corrente del nodo uscente. Infine la seconda legge di Kirchhoff riguardante le maglie afferma che, data una maglia e fissato un verso di percorrenza all’interno di essa, la sommatoria delle differenze di potenziale di tutta la maglia `e nulla. Le relazioni si possono allora esprimere come: P P s

r ir

fs =

=0

P s

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Rs i s = 0

Capitolo 3 Descrizione dell’esperienza Sapendo che il ponte di Wheatstone alimentato da una differenza di potenziale pari a V0 , si identifica la resistenza incognita (collegata ad una resistenza totale R1 + R2 ) con Rx e che R0 `e a contatto con R1 , Rx con R2 ; per poter effettuare la misura, `e necessario far s`ı che la differenza di potenziale tra i nodi A e B sia nulla e, di conseguenza, anche l’intensit`a di corrente attraversante il galvanometro sia nulla. A queste condizioni il ponte viene detto bilanciato. Mediante le leggi di Kirchhoff, cerchiamo di interpretare in termini matematici la condizione di ponte bilanciato; considerando dunque il ponte con I3 = 0 si ottiene: M aglia ABEC : R1 I1 − R0 I0 = 0 M aglia ABF D : R2 I2 − Rx I4 = 0 N odo A : I0 − I4 = 0 N odo B : I1 − I2 = 0 Mediante il cursore, `e possibile variare il valore delle resistenze R1 ed R2 : ci`o che si intende ottenere `e un valore indiretto della Rx mediante la relazione prima trovata. Si osserva dalle equazioni precedentemente illustrate che la situazione di equilibrio si ottiene quando il voltmetro segnala differenza di potenziale nulla tra A e B. In tal caso, Rx coincider`a con il valore di R0 e quindi si potr`a attribuire a Rx una misura. Per quanto riguarda la determinazione dell’errore sulla misura di Rx , verr`a effettuato uno studio sull’incertezza in caso di ponte sbilanciato mediante le relazioni precedentemente illustrate: sbilanciando ∆V tra i nodi di ±1 mV (valori con cui intendiamo il potenziale di A rispetto a B), variando infinitesimamente la posizione del cursore dal centro (x1 = x2 ), si otterr, come previsto, una variazione nella misura della resistenza. In caso di esperienza riuscita, si arriva a determinare un errore sulle resistenze non maggiore al 5% 5

sulla misura a ponte bilanciato. Per determinare la misura della resistenza incognita Rx , si osserva che: R I

Rx =

I0 = R1 1 I1 =I2 R0 R2 R2 I2 I4 =I0 R2 I2 −→ −→0 RR2 I12IR1 0 −→ I4 I0 R1

Ma poich`e R1 =

ρ(a−x) S

allora R2 =

ρx S

Il risultato che risulter`a utile al fine di determinare una misura della resistenza sar`a: Rx =

R0 R2 R1

−→ Rx =

R0 x a−x

Per quanto riguarda lo studio dell’errore sulla misura (che si ricorda essere indiretta) si osservi che, studiando la derivata in funzione di x della funzione dRx , si verifica che: dRx =

∂Rx dx ∂x

=

R0 a (a−x)2

Volendo determinare l’errore relativo sulla misura Rx (x), vale |∆Rx (x)| Rx

=

a |∆x| a−x x

Si verifica facilmente, mediante il teorema del test di monotonia di una funzione, che per x = a la funzione presenta un punto di minimo relativo: esso sar`a il punto in cui l’incertezza relativa del ponte sar`a la minore. La condizione del ponte di essere in stato di equilibrio tuttavia `e irrealizzabile, in quanto esistono errori sulla differenza di potenziale ∆V ; bisogna tener dunque conto del fatto che la resistenza incognita, misurata indirettamente, `e funzione di R0 , X, A, VAB . Per poter ricavare l’incertezza massima, studiamo |∆Rx |: x x x ||∆R0 | + | ∂R ||∆x| + | ∂R ||∆a| |∆Rx | = | ∂R ∂R0 ∂x ∂a

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Partendo da questo studio dell’errore, `e possibile ricavare una propagazione delle incertezze in caso di ponte bilanciato o sbilanciato di un valore infinitesimo ∆V; poich`e il ponte `e bilanciato, ∆V = 0 tra i nodi A e B, quindi: ∂Rx ∂R0 ∂Rx ∂x ∂Rx ∂a

=

=

x a−x

R0 a (a−x)2

R0 x = − (a−x) 2

Studiando dunque l’errore data la condizione di ponte bilanciato, si ottengono le relazioni appena trovate; sostituendole nelle espressioni dell’incertezza massima e dividendo per la funzione della resistenza incognita in base ai valori prima citati, Rx = Rx (R0 , x, a, VAB ), si ottiene la seguente formula: x 0 | = | ∆R |+ | ∆R Rx R0

a (| ∆x | (a−x) x

+ | ∆a |) a

Si vuole, a questo punto, dopo aver introdotto un’espressione rappresentante la propagazione dell’incertezza in caso di ponte bilanciato, quantificare l’errore in caso di ponte leggermente sbilanciato, ossia in cui ∆VAB sia non nulla. Sar`a necessario riformulare tutto partendo dalle considerazioni fatte sul circuito mediante le leggi di Kirchhoff: riapplicando tali leggi, si ottiene, con una differenza di potenziale tra i nodi A e B, che: M aglia AEBC : R0 I0 = R1 I1 − ∆VAB M aglia ABF D : Rx I4 = R2 I2 + ∆VAB N odo A : I0 = I4 + I3 N odo B : I2 = I1 + I3 Da qui si pu`o ricavare una formulazione dell’errore in caso di ponte sbilanciato, mediante le seguenti osservazioni: Rx R0

=

I0 R2 I2 +∆VAB I4 R1 I1 −∆VAB

−→ (1 +

∆VAB

I3 R2 (I1 +I3 + R2 ) ∆V I4 R1 (I1 − AB R1

Poich`e I3 (l’intensit`a di corrente elettrica tra i nodi A e B) si pu`o ritenere trascurabile (in quanto il ponte `e solo minimamente sbilanciato) e la ∆V `e quasi nulla, `e possibile riesprimere la formulazione precedente, esplicitando R0 , Rserie , Rparallelo , e ∆VAB = (R1 + R2 )I1 , con la seguente:

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|∆Rx (VAB )| Rx

=

a2 ∆VAB x(a−x)V0

Al fine di quantificare l’errore a ponte sbilanciato, sar`a possibile sbilanciare il ponte in modo tale da ottenere una minima variazione del potenziale tra i nodi A e B e poter stimare l’errore mediante la definizione di derivata parziale della resistenza Rx rispetto a ∆VAB come limite del rapporto incrementale; a tal scopo si utilizzano valori del potenziale molto vicini tra loro, ottenendo cos una discreta approssimazione. La valutazione dell’errore a ponte sbilanciato `e stata dunque effettuata mediante il semplice rapporto incrementale con la formula: ∂Rx ∂VAB

=

+ − Rx −Rx − + VAB −VAB

−→

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+ − (Rx −Rx )∆VAB − + Rx VAB −VAB

Capitolo 4 Esecuzione dell’esperienza e analisi dei dati Basandosi su di un valore campione di resistenza R0 , si effettua una misura della distanza da E del cursore, fino a quando si `e rilevata una distanza x tale per cui il valore della ∆V del voltmetro `e nulla. Basandosi sulla relazione ricavata in precedenza: Rx =

R0 x a−x

Si attribuisce dunque in questo modo a Rx una misura; per valutare l’incertezza massima sulla misura a ponte bilanciato si usa la relazione: x x x |∆Rx | = | ∂R ||∆R0 | + | ∂R ||∆x| + | ∂R ||∆a| ∂R0 ∂x ∂a

Infine, per valutare l’incertezza a ponte sbilanciato, si effettuano misurazioni mediante la formulazione precedentemente introdotta, misurando le resistenze con il ponte sbilanciato di ±1mV , mediante il rapporto incrementale ∂Rx ∂VAB

=

+ − (Rx −Rx )∆VAB + − VAB −VAB Rx

Procedendo in questo modo, e infine considerando l’incertezza massima assoluta come la somma delle incertezze a ponte bilanciato e a ponte sbilianciato di ∆V = 2 mV, per poi moltiplicare per Rx , sono stati ottenuti i seguenti dati:

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R1 R2 R3 R1 R1 R1 R1 R1

Parallelo R2 Parallelo R2 Parallelo R3 Serie R2 Serie R2 Serie R3 Serie R2 Parallelo R3

Tabella 4.1: R0 (Ω) Rx (Ω) 70 97 70 96 70 97 70 48 70 32 70 196 70 298 70 147

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Err. Bil. Err. Sbil. 2 1 2 1 2 1 1 1 1 0 4 2 7 2 3 2

Err. Tot. 3 3 3 2 1 6 9 5

Err. % 3,092784 3,125 3,092784 4,166667 3,125 3,061224 3,020134 3,401361