Il Cemento Armato-Aurelio Ghersi

Aurelio Ghersi

IL CEMENTO ARMATO Dalle tensioni ammissibili agli stati limite: un approccio unitario • Criteri di sicurezza, dalie tensioni ammissibili agli stati limite •

I materiali: calcestruzzo e acciaio

•

Sforzo normale

• Flessione semplice • Presso e tensoflessione • Taglio, punzonamento, torsione • Stati limite di esercizio

Aurelio Ghersi

IL CEMENTO ARMATO Dalle tensioni ammissibili agli stati limite: un approccio unitario

DARIO FLACCOVIO EDITORE

Aurelio Ghersi IL CEMENTO ARMATO DALLE TENSIONI AMMISSIBILI AGLI STATI LIMITE! UN APPROCCIO UNITARIO

ÌSBN 88-7758-612-5 Prima edizione: febbraio 2005 © 2005 by Dario Flaccovio Editore s.r.l. - tel. 091202533 - fax 091227702 www.darioflaccovio.it e-mail [email protected]

Tutti i diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica e di riproduzione sono riservati per tutti i paesi. Nessuna parte di questo può essere riprodotta in alcuna forma, compresi microfilm e le copie fotostatiche, né memorizzata tramite alcun mezzo, senza il permesso scritto dell’Editore.

Aurelio Ghersi < 1951 > II cemento armato : dalie tensioni ammissibili àgli stati limite: un approccio unitario / Aurelio Ghersi. — Palermo : D. Flaccovio, 2005. ISBN 88-7758-612-5. 1. Cemento armato. 693.54 CDD-20 CIP - Biblioteca centrale delia Regione siciliana "Alberto Bombace "

Stampa: Prillila» Palermo, febbraio 2005

AGGIORNAMENTI - ERRATA CORRIGE - ADDENDUM Eventuali integrazioni o revisioni al presente testo saranno disponibili alPindìrizzo www.danoflaccovio.it/aggiomainentL È pertanto consigliabile visitare periodicamente tale pagina o iscriversi dalla home page www.darioflaccovio.it alla newsletter gratuita informazioni editoriali, che riporta, tra le altre informazioni, anche gli eventuali aggiornamenti.

Indice Premessa...............................................v......................................... *................ 11 Capitolo 1 INTRODUZIONE............................................................................ :.......... .... 15 1. Dall’arte del costruire alla Scienza e Tecnica delle costruzioni................. 15 2. Definizione del modello di calcolo............................................ .............. ... 18 3. Analisi strutturale.......................................................... ............................. 20 4. Verifica delle sezioni............................................... ................................... 23 Capitolo 2 METODI DI VERIFICA...................................................... ,.............................25 1. Modello del materiale.................................. .................................................25 2. Modello dei carichi.................................................. ......................... ......... ..28 3. Sicurezza strutturale....................................................... ............................ .29 4. Metodo delle tensioni ammissibili.............................................. .......... ...... 29 5. Calcolo a rottura.......................................................... .......................... ...... 32 6. Approccio probabilistico.............................................................. .............. .33 7. Approccio semiprobabilistico..................................................................... .36 8. Metodo degli stati limite :..................................................... ........ :........... .38 8.1. Verifiche allo stato limite ultimo....................................................... .39 8.2. Verifiche allo stato lìmite di esercìzio............................................... .39 Capitolo 3 NORMATIVA............................................................................................. ...... 41 1. Normativa tecnica........................................ .................................. ............ .41 1.1. Normativa italiana...............................................................................42 1.2. Normativa europea........................................................ .................... .44 2. Panoramica delle principali normative..........................................................44 2.1. Decreto Ministeriale 9/1/96............................... .......... .................... .44 2.2. Eurocodiee 2...... .......... ............................................... .............. ...... .46 2.3. Eurocodiee 3......................... ................... .... .................................... .47

6

Indice

3. Azioni e loro valore di calcolo.................................................................... 49 3.1. Classificazione delle azioni................................................................ 49 3.2. Valori di calcolo per verifiche agli stati limite ultimi........................ 50 3.3. Valori di calcolo per verifiche agli stati limite di esercizio............... 51 Capitolo 4 BREVE STORIA DEL CALCESTRUZZO (ARMATO)................ .................59 1. La preistoria del calcestruzzo...................................................................... .59 2. La muratura romana: l’opus caementicium..................................................61 3. La composizione, da Vitruvio al mix design................................................66 4. Il calcestruzzo nella rivoluzione industriale.................................................68 5. Il calcestruzzo, i nuovi elementi strutturali e le nuove forme..................... .75 6. Calcestruzzi strutturali ad alta resistenza: il futuro (?)............................... .82 Capitolo 5 IL CALCESTRUZZO................................................................... ................... 85 1. Aspetti tecnologici....................................................................................... 85 2. Comportamento sotto carichi di breve durata............................................ . 88 2.1. Resistenza a compressione.................... ...................................... :..... 88 2.2. Resistenza a trazione...................................................... ...... .......... 92 2.3. Modulo elastico.................................................................................. 94 3. Indicazioni di normativa................. ............................................................ 94 3.1. Limiti di Rck e controlli di accettazione...................... ............... . 94 3.2. Modulo elastico.................................................................................. 95 3.3. Resistenza a trazione.............................................................. ............ 95 3.4. Resistenza a compressione: limiti per TA e SLU.............................. 96 3.5. Legame tensioni-deformazioni per SLU............................................ 97 4. Comportamento del calcestruzzo nel tempo............................................... 101 4.1. Stagionatura e resistenza............................................................ ........101 4.2. Ritiro.............. ................................................ ....................................102 4.3. Scorrimento viscoso........................................................................... 106 4.4. Variazione delle proprietà chimiche (carbonatazione).......................109 Capitolo 6 L'ACCIAIO PER CEMENTO ARMATO ORDINARIO.................................111 1. Caratteristiche del materiale............................................... .........................111 2. Indicazioni di normativa............................................................................. . 113 2.1. Metodo delle tensioni ammissibili............................ ........................ 113 2.2. Verifiche allo stato limite ultimo........................................................114 3. Aderenza acciaio-calcestruzzo......................... ...........................................115 3.1. Tensioni di aderenza............................................................ ..............115 3.2. Lunghezza di ancoraggio .......................................... ........................117 3.3. Giunzioni per sovrapposizione...........................................................120

Indice

7

4. Ricoprimento e distanza tra le barre................................................... ........122 Capitolo 7 FLESSIONE COMPOSTA - GENERALITÀ....................:............................ 123 1. Simbologia e convenzione dei segni.......................................................... 123 2. Sistemi di misura...................................................................................... .. 125 3. La flessione composta nel cemento armato................................................ 126 4. Comportamento elastico lineare............................................. ................... 131 4.1. Calcestruzzo reagente a trazione (1° stadio).................................... . 131 4.2. Calcestruzzo non reagente a trazione (2° stadio).............................. 133 5. Comportamento non lineare (3° stadio)..................................................... 135 6. Diagrammi limite.....................................................................................136 7. Deformazioni, tensioni e caratteristiche della sollecitazione..................... 137 Capitolo 8 ' SFORZO NORMALE............................. ................................ ........................ 141 1. Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione............................... 141 2. Modello lineare - calcestruzzo non resistente a trazione............ ............... 143 2.1. Trazione....................................................................................... .... 143 2.2. Compressione - verifica della sezione....... ...................... ......... .......145 3. Progetto di una sezione compressa e prescrizioni di normativa................ 146 4. Modello non lineare................................................................................... 149 4.1. Trazione............................................................................................. 149 4.2. Compressione - verifica della sezione........ .................... .................. 150 5. Progetto di una sezione compressa e prescrizioni di nòrmativa.................151 6. Pilastri cerchiati.......................................................................................... 154 Capitolo 9 FLESSIONE SEMPLICE..........................................................:..... ............... . 159 1. Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione... ............................... 159 2. Modello lineare - calcestruzzo non resistente a trazione............................ 164 3. Verifica a flessione retta............................... .............................................. 164 3.1. Sezione rettangolare........................... ...................... .............. ..........164 3.2. Sezioni riconducibili" alla rettangolare.....................:............ ;......... 172 3.3. Sezione generica................................................................. .... ......... 174 4. Progetto della sezione.................. :............................. ...................... ^........179 . 4.1. Progetto di sezione rettangolare a semplice armatura................... !...... 179 4.2. Progetto di sezione rettangolare a doppia armatura...........................183 4.3. Valori dei coefficienti r ed f - metodo delle tensioni ammissibili... 186 4.4. Indicazioni progettuali....................................................................... 188 5. Modello non lineare.................................................................................. 191

8

Indice

6. Verifica a flessione retta.............................................................................. 192 6.1. Valori di β e κ per sezione parzializzata........... ................................ 193 6.2. Sezione rettangolare...................................................... .................... 197 6.3. Sezione generica.................................................................................201 7. Progetto della sezione.................................................................................. 204 7.1. Comportamento ultimo e duttilità.................................. ................... 204 7.2. Progetto di sezione rettangolare a semplice armatura........................208 7.3. Progetto di sezione rettangolare a doppia armatura...........................210 7.4. Valori dei coefficienti r ed r' per lo stato limite ultimo......................211 7.5. Indicazioni progettuali................................ ....................................... 212 8. Considerazioni finali....................................................................................216 Capitolo 10 PRESSO E TENSOFLESSIONE...................................................................... 219 1. La presso e tensoflessione in una sezione omogenea................. .................219 2. Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione................... ...... ..........224. 3. Modello lineare - calcestruzzo non resistente a.trazione.............................227 4. Verifica a presso o tensoflessione retta....................................................... 229 4.1. Sezione rettangolare..................................... :............................. .......229 4.2. Sezioni riconducibili alla rettangolare.............................................. . 239 4.3. Sezione circolare................................................... ............,............... 244 4.4. Sezione generica.................................................................................247 5. Domini M-N................................................................................................. 252 5.1. Diagrammi limite e campi di comportamento................................... 252 5.2. Campi di comportamento per modello lineare del materiale.............252 5.3. Costruzione dei domini M-N............................................................... 254 5.4. Domini M-N per sezione rettangolare................................................ 255 5.5. Considerazioni generali e indicazioni progettuali.......................... . 261 5.6. Presso e tensoflessione deviata..................................................... .....264 6. Modello non lineare..................................................................................... 266 7. Verifica a presso o tensoflessione retta.........................................................266 7.1. Valori di β e κ per sezione tutta compressa....................................... 268 7.2. Sezione rettangolare.......................................... .............................. 272 7.3. Sezione circolare........................................................................... .....276 8. Domini M-N........ .........................................................................................280 8.1. Diagrammi limite e campi di comportamento....................................280 8.2. Campi di comportamento per modello non lineare del materiale... 280 8.3. Costruzione dei domini M-N............. ...................................... ..........282 8.4. Domini M-N per sezione rettangolare................................................ 283 8.5. Sezione rettangolare e circolare - formule semplificate.....................287 8.6. Presso e tensoflessione deviata...........................................................305 9. Confronto tra tensioni ammissibili e stato limite ultimo............................. 308

Indice

9

Capitolo 11 TAGLIO............................................................................................................313 1. Il taglio in una sezione omogenea.............................................................. 313 1.1. Sezione rettangolare................................................................ ......... 317 1.2. Sezione circolare................................................................................318 1.3. Sezione triangolare............................................................................ 319 1.4. Sezione a doppio T............................................................................320 2. Modello lineare - calcestruzzo resistente a trazione...................................322 3. Modello lineare - calcestruzzo non resistente a trazione............................323 3.1. Sezione rettangolare................... ........................ ......................... . 324 3.2. Altri tipi di sezione.................................................................. ..........327 3.3. Considerazioni sullo stato tensionale................................................ 329 3.4. Limiti a taglio nel metodo delle tensioni ammissibili....................... 332 4. Modello lineare - armatura a taglio.................... ................ ........................334 4.1. Armatura con sagomati a 45°.................................... ....................... 335 4.2. Armatura con staffe e ferri di parete................................................. 338 4.3. Armatura con staffe............................................................................340 4.4. Un approccio unificato.......................................................................343 4.5. Minimi di armatura nel metodo delle tensioni ammissibili.........:.... 346 5. Meccanismi e modelli di comportamento oltre il limite lineare.......... ..348 6. Modello non lineare - resistenza in assenza di armature............................ 352 6.1. Il modello “a pettine”.........................................................................352 6.2. Altri contributi alla resistenza del dente........................................ . 355 6.3. Prescrizioni della normativa.............................................................. 357 7. Modello non lineare - armatura a taglio..................................................... 360 7.1. Metodo normale................................................................................. 360 7.2. Metodo dell'inclinazione variabile del traliccio.................................365 7.3. Modello dei campi di tensione...........................................................370 7.4. Traslazione del diagramma dei momenti...........................................372 7.5. Considerazioni sull'armatura con staffe e ferri di parete.................. 374 7.6. Minimi di armatura nel metodo degli stati limite............................. 377 8. Confronto tra stato limite ultimo e tensioni ammissibili ...........................378 Capitolo 12 PUNZONAMENTO......................................................................................... 383 1. Taglio e punzonamento...............................................................................383 2. Modello lineare............................................................................. ............. 384 3. Modello non lineare.................................................................................... 386 3.1. Normativa italiana..................................... ........................................ 386 3.2. Normativa europea............................................................................. 387 4. Confronto tra stato limite ultimo e tensioni ammissibili............................ 393

10

Indice

Capitolo 13 TORSIONE....................................................... ........... .................................... 395 1. La torsione in una sezione omogenea..........................................................395 2. Torsione per congruenza e torsione per equilibrio...................................... 399 3. Modello lineare - stato tensionale................................................................400 3.1. Determinazione dello stato tensionale............................................... 400 3.2. Limiti tensionali nel metodo delle tensioni ammissibili.................... 401 4. Modello lineare - armatura a torsione..........................................................405 4.1. Armatura a spirale, a 45°.................................................................... 406 4.2. Armatura con staffe e barre longitudinali......................:...... ............ 408 4.3. Minimi di armatura nel metodo delle tensioni ammissibili............... 413 5. Modello non lineare..................................................................................... 415 6. Torsione e taglio..................................................*............................... .......421 6.1. Mo dello lineare.................................................................................. 421 6.2. Modello non lineare........................................................................... 422 Capitolo 14 STATI LIMITE DI ESERCIZIO....................................................................... 425 1. Generalità........ .......................................................................................... .. 425 2. Stato limite di fessurazione..........................................................................426 2.1. Comportamento di un'asta tesa al crescere dei carichi.......................426 2.2. Ampiezza delle fessure, secondo la normativa.................................. 434 2.3,. Controllo della fessurazione senza calcolo diretto.............................. 437 3. Stato limite di deformazione........................................................................440 4. Limitazione delle tensioni in esercizio........................................................ 446 Bibliografia........................................................................................................ 451 Appendice........................................................................................................... 453 E giunti alla fine.............................................. ,................................................. 459

Premessa Viviamo in un mondo in cui tutto sembra cambiare con rapidità incredi­ bile e la progettazione strutturale subisce anch’essa gli effetti di tale evoluzione. Nuove normative sostituiscono quelle a cui siamo abituati, proponendo impostazioni che ci lasciano disorientati ed imponendo cal­ coli sempre più laboriosi. Nuovi simboli e nuove unità di misura accrer scono la confusione (il taglio ora è V 9 non T, ed il Newton sostituisce il vecchio chilogrammo). Certo la sostanza rimane la stessa, ma che fatica aggiornarsi! E che incubo passare da un libro a un altro e trovare ap­ procci e simboli differenti e quasi mai coincidenti con quelli della nor­ mativa! “Fortunatamente” i programmi per computer vengono in nostro soccorso, ma diventa sempre più forte il rischio di delegare tutto a loro, tanto da non capire più cosa si sta facendo. E i venditori di software fanno bene il loro mestiere e rincarano la dose, cercando di convincerci che senza programmi non si può più fare niente. . In realtà, è vero che i programmi di calcolo sono uno strumento in­ dispensabile, ma è anche vero che essi sono — e devono restare — solo uno strumento. E le novità, che tanto ci spaventano, sembrano così complicate solo perché non le conosciamo a fondo. Il metodo degli stati limite e le verifiche allo stato limite ultimo presentano alcune differenze concettuali rispetto al metodo delle tensioni ammissibili, ma dal punto di vista operativo continuano a seguire le stesse impostazione del passa­ to e sono addirittura più semplici nelle applicazioni. E anche vero che i libri sull’argomento spesso appaiono complicati, pieni di simboli adimensionalizzati rappresentati con lettere greche e di formule lunghis­ sime; ma spesso chi scrive un libro scientifico tende, anche inconscia-

12

Premessa

mente, a mostrare quanto è bravo e quanto ha approfondito l’argomento, fino ai minimi dettagli. Il tempo fa da filtro e anni di pratica professio­ nale consentono di accantonare tutto quello che non serve e lasciare il nucleo fondamentale, semplice e concreto. Questo è avvenuto per il me­ todo delle tensioni ammissibili, che sta per compiere cento anni, ed ini­ zia ora ad avvenire anche per il metodo degli stati limite, che è ancora un giovincello. Quando, nel marzo 1995, ho iniziato a tenere il còrso di Tecnica del­ le costruzioni ho passato in rassegna i testi “classici” e quelli più recenti, ma alla fine ho scelto una mia impostazione, che mirava soprattutto a evidenziare l’unitarietà dei diversi metodi di verifica (tensioni ammissi­ bili e stato limite ultimo). Non ho pretese di originalità (tanti colleghi in altre università operano come me e meglio di me) ma song rimasto sod­ disfatto della risposta degli studenti e questo mi conforta nell’idea che la mia sia una delle possibili vie dà seguire per' l'aggiornamento della di­ dattica in questo settore. Fin dal primo anno ho sentito la necessità di lasciare agli studenti qualche traccia scritta di quello che andavo insegnando, sotto forma di schemi sintetici degli argomenti principali. Pian piano sono andato or­ ganizzando il materiale didattico, fino a dargli la veste che qui si può vedere. Sono stati anni intensi, di grande e a volte anche travagliata maturazione. Ricordo ancora il giorno in cui durante Una lezione, nel bel mezzo di una dimostrazione sull’armatura a taglio, mi sono reso conto che lo sviluppo logico della dimostrazione avrebbe portato a conclusioni ben diverse da quelle che davo per scontate. “The show must go on” e in quell'occasione da bravo attore ho portato a termine la lezione sorvolan­ do un po’ (“con semplici passaggi si arriva all’espressione finale...”), per poi riprendere il discorso una settimana dopo per esporre, con aria umi­ le e pentita, il frutto di numerose ore di laceranti rifLessioiii ed autocriti­ che. Ricordo i momenti entusiasmanti, ed i fine settimana frenetici, di riflessione sulla pressoflessione, che con lo stimolo e l'aiuto di Marco Muratore hanno portato a formule di verifica e progetto di una semplici­ tà sconcertante. E chi ha avuto per le mani vecchie versióni, provvisorie, di questo testo si accorgerà di quante pagine sulla flessione semplice so­ no state buttate via, quando mi sono réso conto di essere caduto anch’io

Premessa

13

nella trappola della pulizia formale, che porta a formule piene di lettere greche che rappresentano quantità adimensionalizzate, estremamente sintetiche... ma quasi del tutto incomprensibili per il comune lettore. Certo, un lavoro come questo non può mai-dirsi pienamente compiu­ to. Rileggo le pagine che ho scritto e mi verrebbe voglia di modificarle ancora, di tagliare qualcosa qui o. di aggiungere qualcos’altro lì. Sono pe­ rò contento di questa mia insoddisfazione, perché finché si è vivi c’è tempo per migliorare, e finché c’è voglia di migliorare si è veramente vi­ vi. Prima o poi ci rimetterò mano, ma è arrivato il momento di conge­ darsi da queste bozze e pensare ad altro. Per concludere, vorrei ringraziare tantissime persone. Prima di tut­ to, i miei studenti, che tanto mi hanno insegnato e mi hanno fatto riflet­ tere con le loro domande. Li ringrazio per aver colto il mio entusiasmo verso questa materia e per essersi a loro volta appassionati e, spero, an­ che un po’ divertiti nello studiarla. Li ringrazio per il bel rapporto uma­ no che si è creato tra noi, per la stima reciproca e l’amicizia che va al di là del rapporto docente-studente. Molti di loro hanno contribuito indi­ rettamente a questo libro, mettendo a disposizione i loro appunti, tratti dalle mie lezioni ma conditi di giuste riflessioni o stimolanti dubbi; o ri­ leggendo e commentando le pagine di testo che andavo via via scrivendo. Tanti non hanno contrassegnato col loro nome le pagine che mi hanno messo a disposizione, e mi spiace non poterli citare. Ma ricordo e ringra­ zio espressamente Calogero Colina, Claudio Cravotta, Carla Bongiorno, Andrea Garofalo e Michele Privitera. Nessuno di loro ha avuto un voto altissimo in Tecnica delle costruzioni, ma la stima e l’apprezzamento che ho delle persone sono legati alle loro qualità umane, alla volontà di impegnarsi ed alle capacità complessive, ben più che all’esito di un esame. Sono poi grato a tutti coloro che mi hanno dato una mano nel corso: Nino D’Ave ni, Pier Paolo Rossi, Fabio Neri, Bruno Biondi, Edoardo Ma­ rino, Sebastiano Costa, Maria Garofalo, Giuliana Mangano, Marco Mu­ ratore, Salvo Pantano, Melina Bosco, Anna Lombardo si sono susseguiti nel tempo; il corso di Tecnica delle costruzioni è frutto anche delle loro idee e del loro impegno. E cito a parte Antonio Perretti, che ha in comu­ ne con me una' smisurata passione per la didattica e che su vari argo­ menti costituisce un mio punto, di riferimento; non per niente ho affidato

14

Premessa

a lui il compita descrivere un intero capitolo del testo; ed è un peccato che ancora nessuna università abbia voluto utilizzare stabilmente le sue grandi capacità. Non può-mancare un pensiero affettuoso agli amici deiruniversità di Napoli, in particolare a Bruno Calderoni, Zila Rinaldi (ora a Roma) e Pietro Lenza, che si sono sentiti un po’ abbandonati da quando sto a Catania ma mi hanno sempre sostenuto e aiutato nella ricerca scientifica; le discussioni avute con loro sono state spesso determinanti per chia­ rirmi le idee su vari argomenti (anche se non sono ancora riuscito a con­ vincere Bruno con le mie riflessioni sul taglio). Un “grazie” di cuore an­ che a Carlo Majorano, grande amico prima ancora che grande professio­ nista, che ha discusso a lungo al telefono con me del taglio e si è “divora­ to” le pagine della prima edizione del relativo capitolo, fornendomi utili suggerimenti e spunti. In ultimo, il ringraziamento più grande a mia moglie Lia, anche per la pazienza con la quale sopporta il fatto che io lavori a 900 chilometri da casa e che dedichi tanto tempo al lavoro anche nei fine settimana. Vorrei infine dedicare questo mio lavoro ad Aurelio Giliberti. La sua scomparsa ha lasciato un vuoto nel cuore di tutti coloro che sono stati suoi studenti. Indipendentemente dai riconoscimenti accademici, la sen­ sibilità strutturale, la concretezza, la chiarezza didattica e le grandi doti umane che l’hanno contraddistinto hanno plasmato generazioni di inge­ gneri.

Capitolo 1 INTRODUZIONE 1.

DalFarte del costruir e alla Scienza e Tecnica dèlie costruzioni

L’uomo ha realizzato costruzioni fin da tempi antichissimi. Alcune opere hanno resistito per migliaia, di anni e destano tuttora la nostra ammirai zione. Si pensi ad esempio alle piramidi di Giza e ai templi di Luxor in Egitto, ai templi greci, alle costruzioni civili e religiose romane; o, an^ dando a tempi relativamente più recenti,. alle cattedrali gotiche con le loro mirabili forme slanciate. Nessuna di queste costruzioni è frutto di un “calcolo”, nel senso che diamo noi oggi a tale parola. Le dimensioni degli elementi ed i particolari costruttivi erano infatti dettati da regole empiriche che si erano andate via via definendo nel tempo. Queste era­ no basate sull'esame del comportamento delle strutture realizzate e dei problemi da esse presentati. 0gni dissesto dava origine a modifiche che quando mostravano di essere efficaci venivano incorporate nelle regole costruttive. Si è trattato in un certo senso di una continua sperimenta­ zione dal vero sulle cui basi è stata fondata l’arte del costruire. Il ricordo di tale modo di procedere permane anche oggi, tanto che una costruzio­ ne ben realizzata viene detta “fatta a regola d’arte”. I primi tentativi di tradurre tali regole in formulazioni matematiche risalgono al 17° e 18° secolo. Fu infatti nel 1638 che Galileo propose le prime formulazioni téoriche della resistenza a rottura di travi inflesse mentre oltre un secolo dopo, nel 1773, Coulomb cercò di definire quanti­ tativamente la resistenza a rottura di archi in muratura. Il principio di

16

Capitolo 1

elasticità lineare, destinato ad essere uno dei pilastri della Scienza delle costruzioni, fu invece formulato da Hooke nel 1678. Il 19° secolo vide giungere a piena maturità la teoria dell’elasticità. Nel 1826 Navier propose un metodo organico per il dimensionamento di strutture, basato sull’ipotesi di comportamento linearmente elastico dei materiali costitutivi, e intorno al 1855 De Saint Venant formulò il suo noto principio e fornì la soluzione del problema della relazione tra carat­ teristiche della sollecitazione e stato deformativo e tensionale in travi prismatiche. Verso la fine del secolo furono infine sviluppati i criteri di resistenza basati sulla crisi puntuale del materiale (Raìikine, 1875; Mohr, 1882; Tresca, 1871). Parallelamente venne affrontato il problema della valutazione delle caratteristiche della sollecitazione nelle strutture iperstatiche. I con­ tributi più rilevatiti in questo secolo furono quelli rivolti alla risoluzione di schemi di travi continue col metodo delle forze (Clapeyron, 1852; Mohr, 1860; Bresse, 1865), All’inizio del 20° secolo vennero redatte le prime normative tecniche (Francia, 1906; Italia, 1907) che seguendo l’impostaziorie di Navier im­ ponevano un’analisi lineare elastica. Grazie alla linearità di comporta­ mento, il margine di sicurezza tra carico di rottura e carico di esercizio può essere garantito lavorando in termini di tensioni; ciò portò a deno­ minare tale modo di procedere “metodo delle tensióni ammissibili”. Suc­ cessivi sviluppi portarono al limit design o calcolo a rottura, finalizzato alla valutazione della capacità portante ultima della sezione (anni ’40 e ’50), all’approccio probabilistico, che tiene conto della variabilità dei ca­ richi e delle caratteristiche dei materiali, e al metodo semiprobabilistico (anni ’50 e ’60). Per quanto riguarda la risoluzione di schemi iperstàtici, nella prima metà del secolo ebbero ampio sviluppo i metodi iterativi, che consenti­ vano l’analisi manuale di telai (Cross, 1930; Grinter, 1937). Il progredire della tecnologia diede infine impulso alla metodologia matriciale, che sfrutta in maniera ottimale le potenzialità offerte dai calcolatori elet­ tronici (anni ’60 e ’70). Il progresso teorico, brevemente delineato nelle pagine precedenti, ha portato ad una chiara indicazione del modo coti cui il progettista deve

Introduzione

17

affrontare lesame di una struttura. Il primo problema è quello della de­ finizione di un modello per lo schema geometrico, per il materiale e per i carichi. L’oggetto reale è sempre abbastanza complesso e nel tradurlo in modello matematico è inevitabile fare una serie di semplificazioni; spes­ so le incertezze sono tali da rendere necessario l’uso di più modelli limi­ te, per individuare una fascia entro cui sia compreso il reale comporta­ mento della struttura. Una volta definito lo schema geometrico e di cari­ co occorre passare alla sua risoluzione, cioè alla‘determinazione di de­ formazioni e tensioni (o di spostamenti e caratteristiche di sollecitazio­ ni); questa fase viene usualmente denominata analisi strutturale anche se questo termine è a volte utilizzato con una accezione più ampia. Infi­ ne occorre effettuare una verifica per controllare che la struttura sia in grado di sopportare le azioni che la solleciteranno durante la sua vita. Le tre fasi qui indicate sono riferite allo studio di una struttura esisten­ te o comunque già idealmente definita dal progettista. Nel caso di co­ struzioni ancora da realizzare, un compito preliminare è quello del di­ mensionamento degli elementi strutturali; questo viene spesso fatto me­ diante un calcolo che segue le linee generali innanzi indicate, ma con modelli estremamente semplificati, anche se nelle situazioni più comuni è l’esperienza stessa del progettista, eventualmente tradotta in formule semplici e di uso immediato, a suggerire le dimensioni da adottare. In tempi ormai lontani tutte le problematiche e le conoscenze teori­ che citate erano racchiuse in un’unica disciplina, la Scienza delle co­ struzioni. Con tale nome è intitolata l’opera di Belluzzi1, che nonostante gli anni trascorsi (la sua prima edizione risale al 1941) costituisce tuttora, secondo me, un valido riferimento per numerosissimi problemi di Scienza e, Tecnica delle costruzioni. Il progressivo aumento delle cono­ scenze ha reso necessario la suddivisione in due filoni, per l’appunto Scienza e Tecnica delle costruzioni, che costituiscono nell’attuale ordi­ namento universitario italiano due raggruppamenti disciplinari, capeg­ giati dalle omonime discipline, che includono materie quali Calcolo ane­ lastico e a rottura, Teoria delle strutture e Dinamica (gruppo Scienza) o Costruzioni di ponti, Progetto di strutture e Ingegneria sismica (gruppo Tecnica). 1

O. Belluzzi, Scienza delle costruzioni, 4 volumi, Zanichelli, Bologna.

18

Capitolo 1

Proprio per la loro origine comune, Scienza e Tecnica delle costru­ zioni si presentano nel segno di una unitarietà che non sempre consente una netta distinzione tra l’una e l’altra. Si può dire in linea di massima che la Scienza delle costruzioni fornisce le basi teoriche generali. Essa ad esempio affronta in maniera esaustiva la teoria della trave, di De Saint Venant, per materiale omogeneo, isotropo, linearmente elastico e sviluppa le relazioni tra caratteristiche della sollecitazione, spostamen­ ti, deformazioni e tensioni. Per quanto riguarda l’analisi strutturale, af­ fronta lo studio di base dei sistemi isostatici (reazioni vincolari, dia­ grammi delle caratteristiche di sollecitazione) e iperstatici (metodo delle forze, metodo degli spostaménti) e fornisce strumenti essenziali quali il principio dei lavori virtuali e i teoremi di deformazione per sistemi ela­ stici. La Tecnica delle costruzioni passa ad applicazioni “tecniche”, più legate alla realtà concreta. Ad esempio affronta il problema della non omogeneità del materiale (tipico del cemento armato) e dell'influenza di legami costitutivi ϭ-ε del materiale non linearmente elastici. Nell’ambito dell’analisi strutturale, analizza procedimenti numerici specifici per la risoluzione di schemi strutturali più comuni (travi continue, telai a maglie rettangolari) per passare poi all'impostazione generalizzata dell’analisi matriciale (ma in questo caso la distinzione tra Scienza e Tecni­ ca delle costruzioni diventa meno netta, perché questo argomento può far parte anche del corso di Teoria delle strutture, del gruppo Scienza). Nel corso di Tecnica vengono inoltre presentati i primi approcci al pas­ saggio da oggetti reali a schemi di calcolo. I corsi successivi del gruppo Tecnica partono invece espressamente dall’esame di oggetti reali (ponte, edifìcio, ecc.) e studiano quali modelli, teorici e tecnici, utilizzare per de­ terminare le caratteristiche di sollecitazione e verificare o progettare le sezioni, nonché tutti i dettagli costruttivi necessari per una corretta ese­ cuzione dell’opera.

2. Definizione del modello di calcolo La definizione del modello di calcolo è il primo passo necessario per ana­ lizzare una struttura. Più precisamente, occorre definire uno schema

Introduzione

19

geometrico ed un modello per i carichi, ma anche un legame costitutivo per il materiale nonché il tipo di analisi da svolgere. Nel passato le potenzialità di calcolo erano molto limitate ed era ne­ cessario adottare modelli molto semplici. Ad esempio, le travi ed i pila­ stri di un edifìcio soggetto a soli carichi verticali venivano analizzati se­ paratamente (con lo schema di trave continua le prime, come singole a ste soggette a sforzo assiale i secondi). In presenza di azioni orizzontali si rendeva necessario ricorrere a modelli più complessi, che tenessero conto delle interazioni tra i diversi elementi, ma diffìcilmente si andava oltre lo schema di telaio piano. Ovviamente, il progettista era ben con­ sapevole dei limiti del modello utilizzato e cercava di compensarne la grossolanità abbondando nelle sezioni e nelle armature. Con l'avvento dei calcolatori elettronici è diventato facile utilizzare modelli anche notevolmente complessi, che ci forniscono indicazioni più dettagliate sul comportamento delle strutture. Non dobbiamo però tra­ scurare alcuni rischi connessi a questa evoluzione. Innanzitutto, il pro­ blema della modellazione è diventato molto più rilevante proprio perché molto più numerose di prima sono le possibilità a disposizione; la scelta è ora più delicata ed il rischio di adottare un modello non appropriato è maggiore. In secondo luogo, il computer non commette errori di calcolo ma chi lo utilizza può sbagliare a fornirgli i dati; tanto più il modello è complicato tanto maggiore sarà, in genere, la quantità di informazioni da fornire e corrispondentemente crescerà la "possibilità di un errore. In­ fine, la disponibilità di modelli sofisticati può generare la falsa convin­ zione di poter conoscere veramente il comportamento delle strutture; non bisogna invece dimenticare che anche il programma di calcolo più avanzato fornisce solo una vaga immagine della realtà* perché quest’ultima è sempre molto più complessa di qualsiasi modello. Qual è allora il modo più giusto di operare? A costo di sembrare ba­ nale, io sono convinto che occorra usare in ogni situazione il modello più semplice (tra quelli validi per il caso in esame) e soprattutto usare solo modelli di cui si capisca bene il significato. Contemporaneamente, è im­ portante usare modelli, anche grossolani, che forniscano immediata­ mente l’ordine di grandezza delle sollecitazioni, in modo da poter con­ trollare i risultati forniti dai modelli più “esatti”.

Capitolo 1

20

3.

Analisi strutturale

Un primo aspetto da chiarire nel parlare' di analisi strutturale è se e eome il comportamento della struttura-è influenzato dal modo in cui le azioni che la cimentano variano nel tempo. In generale, una volta supe­ rata la fase transitoria di costruzione una parte dei carichi (ad esempio il peso proprio degli elementi strutturali) si può considerare permanen­ te; un'altra parte invece (i cosiddetti sovraccarichi) varia nel tempo, ma in maniera abbastanza lenta. Si parla in questo caso di carichi statici. Ben diverso è l'effetto delle raffiche di vento su elementi deformabili, come antenne e tralicci, o del moto del terreno durante un sisma. Si par­ la in tal caso di carichi dinamici ed una analisi che tenga espressamen­ te conto della rapida variazione delle azioni nel tempo è detta analisi dinamica. In secondo luogo., occorre esaminare in che modo il comportamento della struttura è influenzato dalla legge costitutiva dei materiali di cui sonò costituiti gli elementi che la compongono. Un legame elastico linea­ re consente di ipotizzare una analoga relazione lineare tra azioni e de­ formazioni. In caso contrario si deve effettuare un’analisi che tenga con­ to delle non linearità meccaniche. Affinché la relazione tra azioni e d:eformazioni sia effettivamente li­ neare è anche necessario che siano trascurabili gli effetti del secondo ordine, ovvero che lo spostamento del punto di applicazione dei carichi non influenzi sostanzialmente l'equilibrio. Quando ciò non avviene, oc­ corre effettuare un'analisi che tenga conto delle non linearità geometri­ che. Altri termini usati per far riferimento a questo problema sono: ef­ fètto P-8, dai simboli utilizzati per la forza assiale e lo spostamento or­ togonale all'asse nelle prime trattazioni, oppure effetto instabilizzante dei carichi verticali, perché un caso molto comune è l'incremento di sol­ lecitazioni flessionali nei pilastri a causa dello sbandamento orizzontale dei traversi su cui sono applicati carichi verticali (fig. 1). Il tipo di analisi effettuato in assenza di complicazioni di tipo mec­ canico o geometrico è denominato analisi lineare. Un aspetto molto im­ portante è: che in essa valgono il principio di sovrapposizione degli effetti e di unicità della soluzione. Ciò comporta vantaggi operativi tali da ren­ dere questo approccio estremamente conveniente. Si finisce così col ri-

Introduzione

21

Fig. 1 - effetto P- 8 o effetto instabilizzante dei carichi verticali correre ad esso anche in situazioni in cui non sarebbe rigorosamente applicabile. Ad esempio, nel metodo degli stati limite, di cui si tratterà più avanti, che mira a valutare la resistenza ultima della struttura si usa convenzionalmente un'analisi lineare per determinare le caratteri­ stiche della sollecitazione indòtte dai carichi e si tiene conto della reale non linearità della legge costitutiva del materiale solo nella fase finale di verifica delle sezioni. Per tenere conto delle non linearità meccaniche occorre innanzitutto definire il legame costitutivo ϭ-ε del materiale e le conseguenti relazioni tra momento M e curvatura χ per la sezione. Ad esempio, per una sezio­ ne a doppio T in acciaio (fig. 2) il momento cresce linearmente con χ fino al valore My, che corrisponde alla curvatura Xy per la quale si raggiunge lo snervamento nel bordo dalla sezione. all'ulteriore crescere di χ la ten­ sione nell’ala rimane costante ed il momento cresce di poco, per il con­ tributo della sola anima. Solo col raggiungimento della curvatura χh per la quale inizia rincrudimento dell'acciaio nelle fibre di bordo il momento riprende a crescere in maniera significativa.. L’andamento del diagramma momento-curvatura si presta ad esse­ re schematizzato con una bilatera, cioè ipotizzando un tratto elastico ed uno perfettamente plastico. Si può così immaginare che, una volta rag­ giunto il momento massimo, all’ulteriore crescere del carico il concio di trave si potrà deformare con rotazione relativa tra Le sue facce senza in­ cremento di momento, come se fosse presente una cerniera. Si può allo­ ra suddividere l’analisi di una generica struttura in più fasi lineari. Ini­ zialmente si risolve lo schema di struttura integra e si valuta il carico

22

Capitolo 1

Fig. 2 - diagramma momento-curvatura per una sezione a doppio T in acciaio per il quale si raggiunge il momento limite nella sezione più sollecitata. Poi si considera uno schema variato, che contiene una cerniera nella se­ zione plasticizzata e si valuta con esso rincremento di sollecitazione in­ dotto da un incremento di carico, sommando i valori del momento a quelli ottenuti nella prima fase. Si continua quindi a variare lo schema finché la struttura diventa labile oppure si raggiunge in corrispondenza di una cerniera un valore di rotazione relativa tanto elevato da portare alla sua rottura completa. Nelle diverse fasi occorre però controllare che la rotazione di ciascuna cerniera continui a crescere nello stesso verso; in caso di inversione, infatti, lo scarico del materiale sarebbe elastico e la sezione si comporterebbe in maniera monolitica. Il termine comune­ mente utilizzato per indicare questo modello di comportamento della se­ zione è cerniera plastica, per differenziarlo dalla cerniera reale che con­ sente rotazioni relative in entrambi i versi. Un'analisi siffatta è deno­ minata analisi elastico-verfettamente plastica. . La figura 3 mostra un semplice esempio di analisi elastico-perfette­ mente plastica. Lo schema è quello di trave continua a due campate di luce uguale, una volta iperstatica, con carico uniformemente distribuito. Nella prima fase il momento massimo si ha in corrispondenza dell’ap­ poggio centrale. Quando tale valore è raggiunto, l’incremento di carico agisce su uno schema nel quale le due campate non sono più continue (nel senso che la rotazione degli estremi di trave a sinistra e a destra dell'appoggio centrale non sono più uguali) e produce quindi solo mo­ mento positivo. Complessivamente si hanno, rispetto all’analisi lineare, valori minori del momento negativo all’appoggio centrale e valori mag­ giori del momento positivo in campata.

Introduzione

23

Fig. 3 - analisi lineare e non lineare di una trave continua Dai risultati ora mostrati si possono trarre indicazioni utilizzabili anche senza svolgere effettivamente un’analisi elasto-plastica. Quando i risultati di un’analisi elastica mostrano in una sezione Valori del mo­ mento flettente un po’ più alti del dovuto, è possibile accettarli comun­ que invocando il comportamento plastico, purché vi sia una sufficiente riserva di resistenza in quelle sezioni nelle quali il momento aumente­ rebbe e a condizione che la sezione abbia sufficiente capacità deformativa plastica (duttilità). Questo mòdo di procedere è sempre stato seguito dagli ingegneri esperti ed è ora codificato nella normativa europea che lo denomina analisi elastica con ridistribuzione e ne definisce i limiti di applicabilità. L'analisi elastico-perfettamente plastica è solo una dei possibili mo­ di per tenere conto delle non linearità meccaniche. Spesso, specie per strutture in cemento armato, il comportamento della sezione è molto lontano da quello che porta al modello di cerniere plastiche. Un’analisi non lineare più sofisticata potrebbe essere svolta suddividendo ogni asta in conci molto piccoli ed utilizzando la reale legge momento-curvatura per determinare la relazione complessiva tra carichi, caratteristiche del­ la sollecitazione e deformazioni. L’onere numerico di tale impostazione la rende però, almeno per ora, inadatta ad applicazioni professionali.

4. Verifica delle sezioni La verifica delle sezioni è l’ultimo passo per esprimere un giudizio sulla sicurezza della struttura. Mi sembra interessante mettere in evidenza come il concetto di sicurezza sia variato negli anni.

24

Capitolo 1

Il Belluzzi nella prima pagina del suo testo afferma che “La Scienza delle costruzioni studia gli effetti prodotti dalle forze che sollecitano una costruzione e determina le condizioni cui devono soddisfare le diverse parti di questa affinché possano sopportare tali forze ” Cinquantanni dopo, la normativa europea (Eurocodice 2, punto 2:1) fissa, come requisito fondamentale della progettazione, il principio che “Una struttura deve essere progettata e costruita in modo che: - con accettabile probabilità rimanga adatta alVuso per il quale è previ­ sta, tenendo nel dovuto conto la sua vita presupposta e il suo costo; - con adeguati livelli di accettabilità sia in grado di sopportare tutte le azioni o influenze, cui possa essere sottoposta, durante la sua realizza­ zione e il suo esercizio, e abbia adeguata durabilità in relazione ai co­ sti di manutenzione” Si può notare una differenza fondamentale tra le due impostazioni. Nella prima si parla di condizioni da soddisfare per sopportare le forze, in una visione deterministica di relazione: causa-effetto. Nella seconda si passa invece ad un approccio probabilistico (accettabile probabilità, ade­ guati livelli di accettabilità). Inoltre nel primo caso ci si preoccupatolo, della resistenza, mentre nel secondo si evidenzia una duplicità di pro­ blemi, legati a fatti quotidiani (rimanere adatta all’uso) ed eccezionali (sopportare tutte le azioni). Queste differenze rispecchiano l'evoluzione di pensiero, cui si è già accennato nel primo paragrafo e che sarà oggetto del prossimo capitolo, che ha portato al cosiddetto “metodo probabilistico degli stati limite”.

Capitolo 2 METODI DI VERIFICA 1.

Modello del materiale

Nel capitolo precedente si è evidenziato che, per effettuare una analisi quantitativa di una struttura reale al fine di garantirne la sicurezza, è necessario definire un modello per la struttura, per il materiale e per i carichi. Soffermiamoci sul materiale, prendendo come esempio l’acciaio che è utilizzato sia da solo, per un’ampia gamma di costruzioni metalliche, che insieme al calcestruzzo nelle costruzioni in cemento armato. La fi­ gura 1 mostra un tipico legame costitutivo cr-s ottenuto sottoponendo una barra metallica ad una prova di trazione.

Fig. 1 - diagramma sperimentale tensioni-deformazioni per l'acciaio

26

Capitolo 2

Come è ben noto, il legame costitutivo è chiaramente non lineare, perché costituito da un primo tratto elastico lineare che cresce con pen­ denza Es (modulo elastico dell'acciaio) fino alla tensione di snervamento fy (in inglese yield strength); da un tratto orizzontale in cui Taccialo snervato si deforma sotto tensione costante; da un tratto di nuovo cre­ scente ma con pendenza variabile (incrudimento, in inglese hardening) fino alla tensione massima, o di rottura, fu (in inglese ultimate strength). Oltre tale valore si ha il fenomeno della strizione, cioè una forte ridu­ zione della sezione traversale (la tensione, valutata convenzionalmente come rapporto tra forza applicata e sezione nominale, appare quindi de­ crescente, ma se si facesse riferimento alla sezione reale risulterebbe ancora crescente). Occorre notare che effettuando una prova di trazione su più barre di acciaio i diagrammi ottenuti differiscono non' nella pen­ denza del tratto elastico E$ ma nei valori della tensione di snervamento fy e di rottura fu. Ciò avviene, nonostante l’accuratezza della produzione industriale* anche per barre ottenute dalla, stessa colata di acciaio. Nel definire un modello per il materiale occorre quindi tener conto in qual­ che modo sia della non linearità del legame costitutivo che delle incer­ tezze sui valori della resistenza. Queste ultime possono essere tenute in conto usando alcuni concetti base della teoria della probabilità, che qui si richiamano. Richiami di teoria delle probabilità Si definisce variabile aleatoria, qui indicata col simbolo X, una variabile che rappresenta il risultato di un esperimento che può fornire valori “casuali”, in­ tendendo con ciò valori non definibili a priori. Il generico valore assunto da es­ sa sarà indicato col simbolo Xi. Come esempio di variabile aleatoria si può cita­ re, nel nostro ambito tecnico, il valore fy della tensione di snervamento fornito da una prova a trazione di una barra di acciaio. Dato un insieme di n valori casuali Xi ... Xn è possibile suddividerli in un numero finito di intervalli (classi). Si indica col termine frequenza il numero di valori che ricadono in una classe, mentre con distribuzione di frequenza si in­ tende l'istogramma che rappresenta i valori della frequenza nelle diverse classi (fig. 2a). Quando si aumenta l'ampiezza del campione (cioè il numero di valori) e si riduce l’ampiezza delle classi l’istogramma tende ad una curva continua che viene detta funzione di densità di probabilità (fig. 2b). L’area sottesa da un tratto di curva, compreso tra i valori Xa e Xb, rappresenta la probabilità di otte-

Metodi di verifica

27

Fig-. 2 - tensione di snervamento fornito da una prova a trazione di una barra di acciaio nere un valore compreso in tale intervallo. L’intera curva sottende un’area uni­ taria, perché in questo caso l’intervallo comprende tutti i campioni (1 indica il 100% dei campioni). Due parametri molto importanti per esaminare un insieme di valori casua­ li sono il valore medio jj. e lo scarto quadratico medio ϭ, definiti rispettivamente da

Si definisce inoltre come frattile il valore al di sotto del quale ricade una asse­ gnata percentuale dei valori aleatori. Ad esempio, il frattile 5% è il valore al di sotto del quale ricade solo il 5% dei valori aleatori, mentre frattile 95% è quello al di sotto del quale ricade il 95% dei valori. Una distribuzione statistica molto utilizzata, sia perché ad essa sono ri­ conducibili molti fenomeni aleatori che per le proprietà di cui gode, è la distri­ buzione normale Gaussiana, la cui funzione di densità di probabilità ha un ca-

Capitato 2

28

ratteristico aspetto a campana. Questo tipo di distribuzione è definita in ma­ niera completa se si conoscono ϭ e μ ed ha come equazione

Per tale distribuzione, un qualsiasi frattile può essere calcolato a partire da ϭ e μ. Si ha ad esempio frattile 5% = μ - 1.64 ϭ frattile 95% = μ + 1.64 ϭ Appare evidente che per tener conto delle incertezze sui valori della re­ sistenza si debba utilizzare nelle analisi numeriche il valore corrispon­ dente ad un opportuno frattile. Prendere il valore medio non sarebbe adeguato, perché in troppi casi la resistenza reale sarebbe minore di quella utilizzata. Di conseguenza si è deciso di far riferimento ad un va­ lore che sia garantito con buona probabilità e si è scelto quindi il frattile 5% (così solo nel 5% dei casi si avrà una resistenza inferiore). Tale valore è denominato valore caratteristico ed è contraddistinto.con il pedice k. Pertanto, indipendentemente dal metodo di. verifica, si utilizza come riferimento fondamentale per la resistenza del materiale il valore carat­ teristico della tensione (in genere, quella di snervamento per 1'acciaio, quella di rottura per il calcestruzzo). 2.

Modello dei carichi

Passando ai carichi, si può notare che alcuni di essi sono intrinsecamen­ te variabili, ad esempio il carico portato da un solaio (persone ed ogget­ ti). Spesso parliamo di “carico massimo”, ma questa dizione è sicura­ mente impropria perché qualunque valore scegliamo c'è sempre una sia pur piccola possibilità che esso venga superato., Questi carichi devono quindi essere necessariamente analizzati in maniera probabilistica. Altri carichi, invece, appaiono definiti in maniera apparentemente indiscutibile. Ad esempio, una volta stabilita la sezione di un solaio in cemento armato (altezza delle pignatte, spessore della soletta, ecc.) il re­ lativo peso può essere determinato immediatamente, con precisione. Ma quello che noi valutiamo è solo il peso di quello che noi pensiamo debba essere il solaio. Chi ci garantisce che nel realizzarlo la soletta sarà esat-

Metodi di verifica

29

tamente di 4 cm, come abbiamo previsto? Anche valori di questo genere, che di solito vengono denominati “nominali” possono variare con una certa aleatorietà (benché con scarti minori rispetto ai carichi variabili). Di conseguenza, nelle analisi dobbiamo utilizzare un valore dei ca­ richi corrispondente ad un opportuno frattile. In particolare, occorre sce­ glierne uno che abbia bassa probabilità di essere superato; si usa quindi il frattile 95% — e lo si denomina valore caratteristico. Anche se non espres­ samente indicato, sono da intendersi come valori caratteristici sia il va­ lore dei carichi variabili prescritti dalla normativa che i valori nominali dei pesi propri degli elementi strutturali. Solo le normative più recenti sottolineano ciò usando il pedice k per contraddistinguere tali valori.

3.

Sicurezza strutturale

Una volta chiarito il significato dei valori usati come riferimento per re­ sistenze e carichi, si capisce come non sia possibile utilizzare direttamente tali valori nei calcoli. La possibilità di avere una resistenza mino­ re o un carico maggióre, rispetto ai valori usati, comporta un rischio di danni o collasso strutturale non accettabile, perché non sufficientemen­ te basso. Per ora conviene accettare questa affermazione basandosi semplicemente sull'intuizione; più avanti, nel paragrafo dedicato alle analisi probabilistiche, si mostrerà còme valutare quantitativamente la probabilità di collasso, in modo da avere una conferma numerica di quanto ora sostenuto. Come ottenere, allora, una adeguata sicurezza strutturale? Il modo più ovvio consiste nell’applicare un coefficiente di sicurezza; ma come e a chi applicarlo può essere oggetto di discussione ed è, in sostanza^ alla base delle differenze tra i diversi metodi di verifica.

4.

Metodo delle tensioni ammissibili

Il metodo delle tensioni ammissibili ha avuto un’importanza fondamen­ tale per tutto il 20° secolo. Esso è infatti nato con le prime normative tecniche, promulgate a inizio secolo, ed è ancora oggi utilizzato dalla quasi totalità degli ingegneri italiani. Nonostante tanta gloria, il metodo

Capitolo 2

30

sembra però avviato ad un rapido declino. Gli Eurocodici, norme tecni­ che europee», non lo prendono proprio in considerazione ed anche il de­ creto ministeriale del 1996, pur consentendone l’uso, non fornisce indi­ cazioni aggiornate ma si limita a rinviare a un-decreto precedente. Le resistenze da parte di chi non vuole cambiare, soprattutto per la fatica che comporta il rimettersi a studiare ed il doversi abituare a un nuovo modo di procedere, sono state e sono ancora molto forti. Ciò è testimo­ niato anche dal dibattito suscitato dalla nuova norma sismica italiana, emanata come ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri (quindi senza seguire il consueto iter burocratico), che esclude del tutto la possibilità di usare il metodo delle tensioni ammissibili. Nonostante alcuni sperino ancora che tale divieto sia revocato, il fiorire di corsi di aggiornamento per laureati che chiariscono le nuove impostazioni nor­ mative rende facile prevedere che tra pochi anni chi non si sarà adegua­ to resterà inesorabilmente tagliato fuori dal mercato. Per quanto riguarda l'uso dei coefficienti di sicurezza, il metodo del­ le tensioni ammissibili si basa sull’idea di controllare che in nessun punto lo stato tensionale superi un valore limite, detto appunto “tensio­ ne ammissibile”, nettamente inferiore a quello di rottura. I valori am­ missibili delle tensioni sono pari al valore di rottura diviso per un op­ portuno coefficiente di sicurezza, che dipende dal materiale stesso. In particolare, la tensione ammissibile ϭS dell’acciaio è pari a circa i due terzi della sua tensione di snervamento caratteristica fyk mentre la ten­ sione ammissibile ac del calcestruzzo è circa un terzo della sua resi­ stenza cubica caratteristica RCk (fig. 3).

Fig. 3 - tensioni ammissibili per acciaio e calcestruzzo

Metodi di verifica

31

Un’immediata conseguenza di questa scelta è la possibilità di ipo­ tizzare che il legame costitutivo ϭ-ε del materiale sia linearmente elasti­ co. Ciò consente di effettuare un’analisi lineare e rende applicabile tutti i principi studiati nel corso di Scienza delle costruzioni, a condizione che il' materiale sia omogeneo; in particolare, nel caso molto frequente di strutture costituite da aste monodimensionali è possibile utilizzare la teoria di De Saint Venant, che fornisce agevolmente lo stato tensionale corrispondente alle caratteristiche della sollecitazione ottenute dal cal­ colo. Data l’entità dei coefficienti di sicurezza assunti, si può ritenere che l’ipotesi di linearità del legame costitutivo sia verosimile nel valutare lo stato tensionale indotto dai carichi di esercizio. Il metodo non fornisce però informazioni sufficienti sul margine di sicurezza rispetto al collas­ so, perché al crescere del carico la non linearità del materiale diventa rilevante. Il rapporto tra carico di collasso e carico di esercizio può quin­ di essere molto diverso^ in dipendenza dalla forma della sezione, e. dal materiale che la costituisce. Si pensi ad esempio a sezioni in acciaio, materiale per il quale la linearità della legge ϭ-ε si mantiene fino allo snervamento, al quale segue un ampio tratto plastico con deformazioni à tensione costante. Per una sezione a doppio T soggetta a flessione sem­ plice il momento ultimo Mu è maggiore di circa il 15% rispetto al mo­ mento My corrispondente al raggiungimento della tensione di snerva­ mento nelle fibre estreme; la differenza è dovuta al contributo dell’ano ma, nella quale lo stato tensionale può ulteriormente crescere dopo che l’ala si è snervata. Se la sezione fosse rettangolare (piena) questo contri­ buto sarebbe più rilevante ed il momento ultimo Mu sarebbe maggiore del 50% rispetto a My. Nonostante questi limiti, il metodo delle tensioni ammissibili è si­ curamente affidabile. I valori ammissibili delle tensioni sono stati defi­ niti usando coefficienti ben calibrati; inoltre i progettisti esperti adotta­ no semplici regole di ‘"buona progettazione” che aiutano a superare i li­ miti del metodo e ad evitare grossi errori. A riprova di ciò, il comporta­ mento delle strutture ben progettate si è sempre rivelato soddisfacente. Occorre infine osservare che, anche se il metodo delle tensioni am­ missibili tende ormai ad essere considerato come “sorpassato”, l’ipotesi

Capitolo 2

32

di elasticità lineare rimane comunque, dal punto di vista didattico, un ottimo punto di partenza per affrontare il problema della verifica delle sezioni. Inoltre questa metodologia deve essere applicata in tutte le veri­ fiche relative agli stati limite di-esercizio, che costituiscono un aspetto non trascurabile del metodo degli stati limite.

5.

Calcolo a rottura

Il calcolo a rottura è stato sviluppato intorno alla metà del XX secolo, con l'obiettivo di valutare la resistenza ultima delle strutture. Nella sua impostazione più generale esso consiste nella determinazione del mec­ canismo di collasso dell'intera strutturale del carico che porta ad esso, a partire dalla conoscenza dei valori delle caratteristiche di sollecitazione che inducono la plasticizzazione e la rottura di ciascuna sezione. Queste sono ovviamente determinate tenendo conto della non linearità del le­ game costitutivo a-e del materiale. La verifica di sicurezza consiste quindi nel controllare che il carico agente sulla struttura sia adeguatamente più basso rispetto al carico di collasso, cioè nell'applicare il coeffi­ ciente di sicurezza ai carichi. In alcune applicazioni, più semplicemente, si utilizza un'analisi strutturale lineare e si controlla che in ogni sezione le sollecitazioni in­ dotte da carichi maggiorati mediante un coefficiente di sicurezza siano minori del valore di collasso della sezione stessa. Data la linearità dell'analisi, ciò equivale a confrontare le caratteristiche di sollecitazione indotte dai carichi di esercizio con valori pari a quelli di rottura divisi per il coefficiente di sicurezza. Il calcolo a rottura riesce ad ovviare ad alcune critiche rivolte al me­ todo delle tensioni ammissibili, ma non è esso stesso esente da problemi. In particolare, nel caso di strutture in cemento armato si impone lo stesso margine di sicurezza ad acciaio e calcestruzzo, che offrono invece garanzie ben diverse. Inoltre esso trascura del tutto le condizioni di esercizio, che possono invece presentare problemi di diverso genere. La normativa italiana non ha mai pienamente recepito questo me­ todo per la verifica strutturale. È invece interessante notare come que­ sto approccio sia invece lo standard nella verifica geotecnica delle fonda-

Metodi di verifica

33

zioni. Per esse, infatti, si determina il carico limite del plinto o del palo (cioè il carico che porterebbe a collasso il terreno) e si considera accetta­ bile un carico pari ad una opportuna frazione di tale valore.

6.

Approccio probabilistico

L’approccio probabilistico, sviluppato anch’esso intorno alla metà del XX secolo, mira a valutare la probabilità di collasso ed a controllare che es­ sa sia inferiore ad un valore (molto piccolo) considerato accettabile. Per far ciò occorre innanzitutto conoscere la funzione di densità di probabili­ tà dei carichi e della resistenza dei materiali. Si deve quindi determina­ re la relazione tra queste funzioni è la probabilità di collasso, tenendo conto della non linearità del legame costitutivo ϭ-ε del materiale. Se il metodo di analisi strutturale è lineare questo viene fatto separatamente per ciascuna sezione; se è non lineare occorre farlo globalmente per l'intera struttura. Questo modo di procedere può essere chiarito con un semplice esem­ pio. Si consideri uno schema isostatico, una mensola con una forza all’estremo (fig. 4), e si faccia riferimento solo alla sezione di incastro, nella quale il momento flettente è massimo. In realtà questo non è del tutto corretto perché per la casualità della resistenza la rottura potrebbe av­ venire in un’altra sezione, meno sollecitata ma più debole; per semplici­ tà trascuriamo questa eventualità. Immaginiamo che la distribuzione probabilistica della forza F sia gaussiana, con un valore medio di 25 kN ed uno scarto quadratico medio di 10.98 kN. Il valore caratteristico è in tal caso Fk = 43 kN. La densità di probabilità ipotizzata per il carico F è mostrata nella figura j5a.

Fig. 4 - schema considerato nelTesempio

34

Capitolo 2

Fig. 5 - densità di probabilità di carico e momento sollecitante La densità di probabilità p(Ms) del momento die sollecita la sezione di incastro Ms (fig. 5b) può essere ricavata immediatamente, poiché il momento è ottenuto moltiplicando la forza per la lunghezza della men­ sola (l = 2.00 m, che si suppone assegnata in maniera deterministica). Il suo valore medio è quindi 50 kNm, lo scarto quadratico medio 21.96 kNm, il valore caratteristico è Msk — 86.0 kNm ed è espressa da

Ipotizziamo che Tasta sia un profilato IPE 240 in acciaio Fe360. Facciamo riferimento alla tensione di snervamento, che si suppone ab­ bia anch’essa una distribuzione gaussiana, con valor medio 250 MPa, scarto quadratico medio 9.15 MPa, valore caratteristico 235 MPa (fig. 6a). Il momento resistente può essere ricavato moltiplicando la tensione di snervamento per il modulo di resistenza plastico (Wpl = 366.6 cm3, che si suppone assegnato in maniera deterministica). Il suo valore medio è quindi 91.65 kNm, lo scarto quadratico medio 3.35 kNm, il valore carat­ teristico è Mnk — 86.2 kNm. La funzione densità di probabilità p(Mr) del momento resistente è mostrata nella figura 6b ed è espressa da

Fig. 6 - densità di probabilità di resistenza e momento resistente

Metodi di verifica

35

Occorre ora confrontare il momento sollecitante col momento di rot­ tura. Un approccio possibile sarebbe quello di prendere a caso un valore del carico ed uno della resistenza (conformemente alla densità di proba­ bilità) e vedere se la sezione riesce a sopportare le sollecitazioni indotte dal carico. Ripetendo questa operazione un numero estremamente grande di volte e conteggiando in quanti casi la sollecitazione supera la resistenza si avrebbe una indicazione della probabilità di collasso. Se le espressioni analitiche delle funzioni densità di probabilità del momento sollecitante e del momento resistente sono note, lo stesso ri­ sultato può essere ottenuto più direttamente. Con riferimento a un ge­ nerico valore Mi del momento, la probabilità che Ms sia uguale a Mi, o più precisamente che sia contenuto in un intervallo di ampiezza dM centrato su Mi, è pari al valore della funzione densità di probabilità in Mi moltiplicata per dM, cioè all’area tratteggiata in figura 7. Analoga­ mente la probabilità che Mr sia minore di Mi è fornita dall’area sottesa dalla parte della curva densità di probabilità di Mr posta a sinistra di Mi, che si può ottenere come integrale di p(Mr) esteso da -oo a Mi. La possibilità che entrambe le condizioni si verifichino è data dal prodotto i delle due aree e la probabilità di avere Mr < Ms è fornita dall’integrale del prodotto delle due aree, cioè dall’integrale doppio

Nell’esempio proposto, effettuando il calcolo si ottiene una probabi­ lità di collasso appena superiore al 3%. Tale valore, pur basso, è sicura­ mente inaccettabile. Poiché i dati erano stati scelti in modo da avere un valore Msk leggermente inferiore a Mrk , si ha con ciò una conferma della necessità di adottare un coefficiente di sicurezza. L’approccio probabilistico è comunque un po’ troppo complesso per un uso comune. Esistono soluzioni analitiche del problema solo per casi semplici, in particolare in ambito lineare, mentre la soluzione numerica è sempre possibile ma estremamente onerosa. Per questi motivi esso viene utilizzato solo in ambito di ricerca.

Capitolo 2

Fig. 7 - densità di probabilità di momento sollecitante e momento resistente e valutazione della probabilità di collasso

7.

Approccio semiprobabilistico

Il fatto che la probabilità di collasso sia calcolabile come integrale del prodotto della due aree innanzi descritte porta alla considerazione, sem­ plice ed intuitiva, che essa sarà tanto più bassa quanto più “disgiunte” saranno le due funzioni di densità di probabilità. Ciò può essere fatto confrontando il momento sollecitante dovuto a un carico corrispondente ad un opportuno frattile, maggiore del 95%, con il momento resistente garantito da una tensione di snervamento corrispondente ad un frattile

Metodi di verifica

37

minore del 5%. Nell'esempio precedente, se si usa il frattile 0.995 per i carichi e 0.005 per la tensione di snervamento la probabilità di collasso diventa 10-3, mentre se si usano rispettivamente i frattili 0.9998 e 0.0002 la probabilità scende a 10'5. Da questa considerazione nasce un'impostazione che è detta semiprobabilistica perché consente di. effettuare una verifica che abbia una valenza probabilistica ma sia eseguita seguendo la stessa metodologia utilizzata in situazioni “deterministiche”. Allo schema vengono infatti assegnati carichi ben definiti (corrispondenti al frattile prescelto) ed in base ad essi si determinano le caratteristiche della sollecitazione (con analisi lineare o non lineare). Separatamente vengono calcolati i valori limite delle caratteristiche di sollecitazione nella sezione, sulla base di valori assegnati della resistenza ed utilizzando un opportuno legame co­ stitutivo non lineare per il materiale. Il confronto tra caratteristiche di sollecitazioni di calcolo e caratteristiche di sollecitazioni limite consente di esprimere un giudizio sulla sicurezza della struttura (fig. 8).

Fig. 8 - verifica semiprobabilistica, mediante confronto tra momento sollecitante e momento resistente di calcolo

Capitolo 2

38

I valori del carico e della resistenza da utilizzare sono denominati valori di calcolo e sono indicati col pedice d (iniziale della parola inglese design, cioè progetto) e possono essere messi in relazione con i valori ca­ ratteristici mediante opportuni coefficienti. In particolare, il valore di calcolo Fd di una azione è ottenuto amplificando il valore caratteristico Fk mediante un coefficiente yf, mentre il valore di calcolo fd della resi­ stenza è messo in relazione al valore caratteristico fk mediante un coef­ ficiente riduttivo

I valori più idonei per yf e ym possono essere determinati mediante analisi probabilistiche. In effetti numerosi sono stati gli studi effettuati per ottenere indicazione quantitative, ma i valori proposti dalla norma­ tiva sono stati definiti anche in maniera tale da avere una buona con­ cordanza con il metodo delle tensioni ammissibili. Si noti che a differenza del metodo delle tensioni ammissibili e del calcolo a rottura, che applicano il coefficiente di sicurezza rispettiva­ mente al materiale e ai carichi, il metodo semiprobabilistico applica con­ temporaneamente coefficienti di sicurezza ad entrambe le grandezze. Per questo motivo esso è detto anche metodo dei coefficienti parziali. 8. Metodo degli stati limite Il metodo degli stati limite rappresenta la formulazione completa del criterio di verifica, alternativo al metodo delle tensioni ammissibili, che integra l'approccio semiprobabilistico con verifiche nelle condizioni di esercizio. Si definisce in generale come stato limite uno stato al di là del quale la struttura, o una sua parte, non soddisfa più le esigenze di com­ portamento per le quali è stata progettata. Occorre distinguere tra due situazioni limite completamente diffe­ renti, denominate rispettivamente stato limite ultimo e stato limite di esercizio. Lo stato limite ultimo corrisponde al valore estremo della ca­ pacità portante (limite di collasso) o ad altre forme di cedimento strut­ turale che possono mettere in pericolo la sicurezza delle persone (quali Cy

A"*JL

'ir1"

-------- ------------------------------------------------------------------------

Metodi di verifica

39

ribaltamento o instabilità). Lo stato limite di esercizio, è uno stato al di là del quale non risultano più soddisfatti i requisiti di esercizio prescrit­ ti; comprende quindi situazioni che comportano un rapido deteriora­ mento della struttura (come tensioni di compressione eccessive o fessu­ razione, per il calcestruzzo) o la perdita di funzionalità (deformazioni o vibrazioni eccessive).

8.1. Verifiche allo stato limite ultimo Per garantire una sufficiente sicurezza nei confronti del collasso sarebbe a rigore necessario esaminare il comportamento della struttura con ana­ lisi non lineari, ma ciò comporterebbe un onere di calcolo non accettabile per un comune progettista. È quindi prassi comune adottare l'analisi li­ neare anche quando ci si preoccupa dello stato limite ultimo. Le norma­ tive consentono anche di effettuare, in casi particolari, redistribuzioni del momento per tener conto in maniera approssimata di un comporta­ mento inelastico globale. Ovviamente un'analisi non lineare è sempre consentita, ma tale possibilità non è in genere sfruttata. Il criterio di verifica adottato è quello già definito come metodo se­ miprobabilistico o metodo dei coefficienti parziali. Il valore di calcolo della generica azione F è quindi determinato moltiplicando il valore ca­ ratteristico Fk per il coefficiente parziale yf, mente il valore di calcolo della generica proprietà / del materiale (resistenza o altro) è ottenuto dividendo il valore caratteristico fk per il coefficiente parziale jm. Nel va­ lutare le caratteristiche limite della sollecitazione in una sezione si uti­ lizza sempre una legge costitutiva ϭ-ε del materiale non lineare.

8.2. Verifiche allo stato limite di esercizio Poiché in condizioni di esercizio lo stato tensionale è ben distante dai valori di rottura, sia la legge costitutiva ϭ-ε del materiale che il metodo di analisi strutturale adottato sono sempre lineari. In quanto ai carichi, si utilizzano per essi valori aventi una probabilità di essere superati maggiore rispetto a quelli utilizzati per le verifiche allo stato limite ul­ timo (e quindi più bassi). Si distinguono condizioni di carico rare, fre­ quenti o quasi permanenti, con probabilità di superamento via via mag­ giori e valori del carico progressivamente minori.

Capitolo 2

40

Confronto tra i diversi metodi di verifica Metodo delle tensioni ammissibili ~ si assegna il carico, come valore caratteristico - si definisce la resistenza del materiale, come valore ammissibile ridotto ri­ spetto al caratteristico mediante un coefficiente di sicurezza - si determinano le caratteristiche di sollecitazione, con analisi lineare - si determina lo stato tensionale, con legge costitutiva del materiale lineare - si confronta la tensione massima con il valore ammissibile simbolicamente Calcolo a rottura - si assegna il carico, come valore caratteristico, ed il coefficiente di' sicurezza nei confronti del carico di collasso - si definisce la resistenza del materiale, come valore caratteristico - si determinano i valori ultimi delle caratteristiclie di sollecitazione, con leg­ ge costitutiva del materiale non lineare - si determina il carico di collasso, corrispondente ai valori ultimi delle carata teristiche di sollecitazione, con analisi non lineare - si confronta il valore caratteristico del carico con il valore di collasso diviso per il coefficiente di sicurezza simbolicamente Verifica allo stato limite ultimo - metodo semiprobabilistico - si assegna il carico, come valore di calcolo amplificato rispetto al caratteri­ stico mediante un coefficiente di sicurezza - si definisce la resistènza del materiale, come valore di calcolo ridotto rispet­ to al caratteristico mediante un coefficiente di sicurezza - si determinano i valori resistenti delle caratteristiche di sollecitazione, con legge costitutiva del materiale non lineare - si determinano i valori sollecitanti delle caratteristiche di sollecitazione, con analisi lineare o non lineare - si confrontano i valori sollecitanti delle caratteristiche di sollecitazione con i valori resistenti simbolicamente

Capitolo 3 NORMATIVA 1. Normativa tecnica “Le regole servono a chi non sa regolarsiHo sentito citare più volte questa frase, attribuita di volta in volta a differenti personaggi, tutti au­ torevoli, e non saprei a chi darne realmente la paternità. Come ogni fra­ se presa a se stante, si presta a numerose interpretazioni, anche contra­ stanti. A me piace citarla per ricordare che la responsabilità di un pror getto è sempre del singolo ingegnere e ciò che è veramente importante è la sua capacità di affrontare e risolvere un problema con la sua testa. Con ciò non intendo dire che le norme non contano. Ritengo anzi che la normativa debba essere vista come una guida autorevole, da prendere sempre in considerazione. Essa però non deve mai essere accettata in maniera acritica: per fare un buon progetto non è sufficiente rispettarla alla lettera, ma occorre a volte integrarla e interpretarla; inoltre ogni norma contiene anche prescrizioni prive di validità generale, la cui ap­ plicazione può essere a volte inutile. Non tutti concordano con questa mia visione della norma. In parti­ colare, per quanto riguarda le norme tecniche italiane l’interpretazione più comune è che esse debbano considerarsi cogenti, cioè che le regole applicative in esse contenute devono essere obbligatoriamente rispetta­ te, fin nei dettagli. La frase che ho citato all’inizio può forse essere vista anche come un segno di insofferenza nei confronti di una impostazione tanto restrittiva.

42

Capitolo 3

La normativa tecnica europea è stata invece concepita con una im­ postazione prestazionale, che privilegia gli obiettivi da conseguire. In essa vi è una chiara distinzione tra principi, cioè affermazioni generali, requisisti e modelli analitici per i quali non è ammessa alternativa, e regole di applicazione, che hanno più un carattere orientativo e possono essere sostituite da altre, che consentano di raggiungere gli stessi obiet­ tivi. Questo almeno nelle intenzioni del legislatore, perché in realtà la classificazione fatta per i singoli punti della norma non è del tutto esen­ te da critiche. 1.1.

Normativa italiana

L’attuale normativa italiana è basata su due leggi: - Legge 5/11/71. n. 108.6 Norme per la disciplina delle opere di conglo­ merato cementizio armato, normale e precompresso, ed a struttura metallica; - Legge 2/2/74 n.64: Provvedimenti per le costruzioni con particolari prescrizioni per le zone sismiche. Queste leggi definiscono i principi generali e affidano al ministero dei lavori pubblici il compito di emettere periodicamente decreti ministeria­ li contenenti indicazioni più specifiche. Gli ultimi decreti emessi sulla base delle indicazioni della legge 1086_sono: - D.M 1.4/2/92: Norme tecniche per l’esecuzione delle opere in c.a. nor­ male e precompresso e per le strutture metalliche; - D.M. .9/1/96: Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle strutture in c.a. normale e precompresso e per le strutture me­ talliche. Il decreto del 96 ha sostituito il precedente, che però è rimasto valido per la parte che riguarda le verifiche col metodo delle tensioni ammissi­ bili. Esso inoltre ha consentito l’uso degli Eurocodici 2 e 3. , Sulla base delle indicazioni della legge 64 sono stati emessi i se­ guenti decreti: - D.M. 16/1/96: Norme tecniche relative ai “criteri generali per la veri­ fica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”; - D.M. 16/1/96: Norme tecniche per le costruzioni in zona sismica.

Normativa

43

Esistono inoltre documenti preparati dal Consiglio Nazionale delle Ricerche (Istruzioni CNR) che sono solo orientativi e non hanno valore di normativa, anche se in qualche caso i decreti ministeriali fanno espressamente riferimento ad essi. In particolare: - CNR 10011/96: Costruzioni in acciaio. Istruzioni per il calcolo, l'ese­ cuzione, il collaudo e la manutenzione; ~ CNR 10022/84: Costruzioni di profilati di acciaio formati a freddo. Istruzioni per l’impiego; CNR 10024/86: Analisi mediante elaboratore: impostazione e reda­ zione delle relazioni di calcolo. In definitiva, per quanto riguarda i metodi di verifica strutturale l'attuale normativa italiana consente queste tre possibilità: - metodo delle tensioni ammissibili, regolato dal D.M. 14/21/92; - metodo degli stati limite, regolato dal D.M. 9/1/96; - metodo degli stati limite, regolato dagli Eurocodici 2 e 3, con i para­ metri fissati dal D.M. 9/1/96. La tendenza normativa è però chiaramente orientata verso un completo recepimento degli Eurocodici. Ciò è stato sottolineato da una recente norma, che ha suscitato un ampio dibattito, sia per il contenuto che per il fatto di essere stata emessa senza seguire riter tradizionale. Si tratta infatti di una ordinanza del presidente del consiglio dei ministri: - O.P.C.M. n. 3274 del 20/3/03: Primi elementi in materia di criteri ge­ nerali per la classificazione sismica del territorio nazionale e di nor­ mative tecniche per le costruzioni in zona sismica. Essa contiene innanzitutto i “Criteri per ¡’individuazione delle zone si­ smiche — Individuazione, formazione ed aggiornamento degli elenchi nelle medesime zone” che, introducendo una quarta zona a bassa sismi­ cità, estendono di fatto a tutto il territorio nazionale l’obbligo di rispet­ tare la normativa sismica. Essa poi contiene “Norme tecniche per il pro­ getto, la valutazione e l’adeguamento sismico degli edifici”, “Norme tec­ niche per il progetto sismico dei ponti”, “Norme tecniche per il progetto sismico delle opere di fondazione e sostegno dei terreni” che ricalcano la normativa sismica europea (Eurocodice 8), basata sul metodo degli stati limite. Quando, e se, questa norma entrerà pienamente in vigore non sarà più possibile utilizzare il metodo delle tensioni ammissibili.

Capitolo 3

44

1.2. .Normativa europea Col procedere dell’unificazione europea si è sentito il bisogno di norme tecniche che guidassero i progettisti strutturali in maniera unica in tut­ ti i paesi dell'Unione Europea. Sono così nati gli Eurocodici, che stanno man mano affiancando le normative nazionali, con l'obiettivo di sosti­ tuirle del tutto. Sono pronti, o in fase di completamento, una norma ge­ nerale, che fissa criteri di base, e nove norme relative ai diversi materia­ li o problemi strutturali: - EN 1990: Basi della progettazione strutturale; - EN 1991, Eurocodice 1: Azioni sulle strutture; - EN 1992, Eurocodice 2: Progettazione delle strutture di calcestruzzo; - EN 1993, Eurocodice 3, Progettazione delle strutture di acciaio; - EN 1994, Eurocodice 4, Progettazione di strutture miste acciaio-calcestruzzo; - EN 1995, Eurocodice 5, Progettazione di strutture in legno; - EN 1996, Eurocodice 6, Progettazione di strutture in muratura; - EN 1997, Eurocodice 7, Progettazione geotecnica; - EN 1998, Eurocodice 8, Progettazione di strutture in zona sismica; - EN 1999, Eurocodice 9, Progettazione di strutture in alluminio. Queste norme sono ancora nella fase ENV (norme europee provvisorie) ma stanno ormai per diventare norme definitive. Esse dovranno venire recepite dai governi dei singoli stati membri delFUnione Europea, che nel farlo devono integrarle con documento di applicazione nazionale (NAD, National Application Document). In Italia sono state recepite, al momento, solo la parte 1.1 delTEurocodice 2 e dell'Eurocodice 3 (Regole generali e regole per gli edifici). Il D.M. 9/1/96 indica infatti, espressamente, che è possibile utilizzarle e contiene i relativi NAD come sezióne III della parte I e della parte II.

2. 2.1.

Panoramica delle principali normative. Decreto Ministeriale. 9/1/96

Il decreto è stato pubblicato sul supplemento ordinario alla “Gazzetta Ufficiale” n.29 del 5/2/96. Esso è organizzato nel modo seguente:

Normativa

45

Decreto contiene le formule di rito di approvazione delle norme tecniche riportate in allegato; nell’art.l specifica che è ammesso l’uso del metodo degli stati limite, del me­ todo delle tensioni ammissibili (secondo le indicazioni del D.M. 14/2/92) e delle -norme europee sperimentali Eurocodice 2, parte 1-1 ed Eurocodice 3, parte 1-1; nell’art.2 impone che il progettista adotti in maniera unitaria ed integrale uno (e uno solo) dei metodi citati. Parte generale contiene le considerazioni generali, comuni al cemento armato e all'acciaio; rinvia al D.M. 14/2/92 per quanto riguarda il metodo delle tensioni ammissi­ bili; > fornisce indicazioni sulle combinazioni delle azioni da considerare per le ve­ rifiche agli stati limite ultimi ed agli stati limite di esercizio. Parte I. Cemento armato normale e precompresso .. Simbologia Sezione I. Prescrizioni generali e comuni fornisce indicazioni su calcestruzzo (par. 2.1), acciaio da cemento armato normale (par. 2.2) e acciaio da cemento armato precompresso (par. 2.3), non­ ché prescrizioni sul collaudo statico (par. 3) Sezione II. Calcolo ed esecuzione fornisce indicazioni sui metodi per il calcolo delle sollecitazioni (par. 4.1), sulle verifiche allo stato limite ultimo (par. 4.2) e sulle verifiche allo stato limite di esercizio (par. 4.3); contiene inoltre regole pratiche di progettazione (par. 5), norme_di esecuzio­ ne (par. 6) e norme complementari relative ai solai (par. 7). Sezione III. Eurocodice 2 costituisce il Documento di Applicazione Nazionale (o NAD, National Appli­ cation Document) dell’Eurocodice 2 e contiene le prescrizioni sostitutive, in­ tegrative o soppressive da applicare nell'utilizzare tale normativa in Italia. Parte II. Acciaio Simbologia Sezione I. Prescrizioni generali e comuni fornisce indicazioni sull'acciaio (par. 2.1-2.3), sulle saldature (par. 2.4), su bulloni e chiodi (par. 2.5-2.7), nonché prescrizioni sul collaudo statico (par. 3)

46

Capitolo 3

Sezione II. Calcolo ed esecuzione fornisce tra l’altro indicazioni sugli stati limite (par. 4.0), sul materiale base (par. 4.1), sulle unioni con bulloni e chiodi (par. 4.2-4.4), sulle unioni saldate (4.5); contiene inoltre norme di calcolo relative alla verifica di stabilità (par-, 5), indicazioni sulle prove su strutture e modelli (par. 6) e regole pratiche di progettazione e di esecuzione (par. 7). Sezione III. Eurocodice 3 contiene le prescrizioni sostitutive, integrative o soppressive da applicare nell’utilizzazione decEurocodice 3. Parte IIL Manufatti prefabbricati prodotti in serie Parte IV. Costruzioni composte da elementi in metallo diversi dall'acciaio Parte V. Norme per travi composte "'acciaio-calcestruzzo” Allegati 1-7 prescrivono i controlli da effettuare sui divèrsi materiali. 2.2.

Eurocodice 2

L’Èurocodice 2, parte 1-1, è stato approvato dal Comitato europeo di normalizzazione (CEN) nel dicembre 1991 come norma europea provvi­ soria (ENV). La traduzione ufficiale italiana è stata pubblicata nel gen­ naio 1993 dall'UNI (ente italiano di unificazione). Il già citato D.M. 9/1/96 autorizza Fuso di tale norma e fornisce spe­ cifiche prescrizioni integrative, sostitutive e soppressive delle indicazio­ ni contenute neirEurocodice stesso; la parte I, sezione III, del decreto costituisce il Documento di Applicazione Nazionale (NAD) previsto dal Comitato europeo di normalizzazione. L’Eurocodice 2 è organizzato nel seguente modo: Cap. 1. Introduzione indica lo scopo dell’Eurocodice e riporta la simbologia. Cap. 2. Basi del progetto . riporta i requisiti fondamentali (punto 2.1), le definizioni generali relative a stati limite, azioni e proprietà dei materiali (punto 2.2), le combinazioni di carico da usare per verifiche agli stati limite ultimi e agli stati limite di esercizio (punto 2.3), indicazioni sulla schematizzazione della struttura e sui metodi di analisi (punto 2.5).

Normativa

47

Cap. 3. • Proprietà dei materiali fornisce indicazioni sul calcestruzzo (punto 3.1), sugli acciai per armature (punto 3.2), sugli acciai per precompressione (punto 3.3) e sui dispositivi di precompressione (punto 3.4); Finterò capitolo è sostituito dai punti 2.1, 2.2, 2.3 e 4.3.4.1 del D.M. 9/1/96. Cap. 4. Progetto delle sezioni e degli elementi fornisce indicazioni sui requisiti di durabilità (punto 4.1), riporta i dati di progetto per i materiali (punto 4.2), le prescrizioni da seguire per gli stati limite ultimi (punto 4.3) e per gli stati limite di esercizio (punto 4.4). Cap. 5. Prescrizioni costruttive fornisce tra l’altro indicazioni sulla disposizione delle armature, ancoraggi e sovrapposizioni (punto 5.2) e sugli elementi strutturali (punto 5.4). Cap. 6. Esecuzione e qualità delVesecuzione Cap. 7. Controllo di qualità

•

Appendici 1-4 riportano ulteriori disposizioni relative agli effetti della deformazione del cal­ cestruzzo dipendenti dal tempo, all’analisi non lineare, agli stati limite ultimi indotti da deformazioni strutturali, alla determinazione delle deformazioni. 2.8. Eurocodice 3 UEurocodice 3, parte 1-1, è stato approvato dal Comitato europeo di normalizzazione (CEN) nell’aprile 1992 come norma europea provvisoria (ENV). La traduzione ufficiale italiana è stata pubblicata nel giugno 1994 dall'UNI (ente italiano di unificazione). Il già citato D.M. 9/1/96 autorizza l'uso di tale norma e fornisce spe­ cifiche prescrizioni integrative, sostitutive e soppressive delle indicazio­ ni contenute nell'Eurocodice stesso; la parte II, sezione III, del decreto costituisce il Documento di Applicazione Nazionale (NAD) previsto dal Comitato europeo di normalizzazione. l'Eurocodice 3 è organizzato nel seguente modo: Cap. 1. Introduzione indica lo scopo dell'Eurocodice e riporta la simbologia. Cap. 2. Principi di progettazione riporta i requisiti fóndamentali (punto 2.1), le definizioni generali relative a stati limite, azioni e proprietà dei materiali (punto 2.2), le combinazioni di * carico da usare per verifiche agli stati limite ultimi e agli stati limite di e-

Capitolo 3

48

sercizio (punto 2.3), indicazioni sulla durabilità (punto 2.4) e sulla resistenza al fuoco (punto 2:5). Cap. 3. Materiali fornisce indicazioni sull’acciaio strutturale (punto 3.2) e sugli elementi di giunzione, come bulloni e chiodi (punto 3.3). Cap. 4. Stati limite di servizio fornisce principalmente i valori limite degli spostamenti verticali ed orizzon­ tali. Cap. 5. Stati limite ultimi fornisce i valori dei coefficienti parziali γm ed i criteri generali di verifica (punto 5.1) e indicazioni sui metodi di anàlisi, sulla schematizzazione, sulle imperfezioni e sui problèmi di stabilità (punto 5.2); riporta una classificazio­ ne delle sezioni trasversali in base alla capacità di deformazione plastica (punto 5.3); fornisce le prescrizioni da seguire per verificare la resistenza delle sezioni trasversali (punto 5.4), la resistenza delle membrature all'instabilità (punto 5.5), la resistenza all'instabilità per taglio (punto 5.6), la resistenza dell'anima alle forze trasversali (punto 5.7), nonché prescrizioni specifiche per strutture a maglie triangolari (punto 5.8) e membrature composte (punto 5.9). Cap. 6. Collegamenti soggetti a carichi statici fornisce tra l’altro i valori dei coefficienti parziali γm da usare nella verifica dei collegamenti . (punto 6.1), una classificazione dei collegamenti stessi (punto 6.4), indicazioni sui collegamenti bullonati (punto 6.5) e saldati (pun­ to 6.6), nonché prescrizioni specifiche per i collegamenti trave-colonna (pun­ to (6.9) e per i giunti di base (punto 6.11). Cap. 7. Fabbricazione e montaggio. riporta indicazioni sulle tolleranze nella preparazione dei pezzi e nel mon­ taggio Cap. 8. Progettazione integrata da prove Cap. 9. Fatica Appendici riportano ulteriori disposizioni, normative o informative, relative a problemi specifici; nel documento approvato dal CEN sono state inserite solo le ap­ pendici B, C, E, F, J, K, L, M, Y. Si tenga presente che le indicazioni qui riportate si riferiscono alla versione ENV. Sono attualmente pronte per entrambi gli Eurocodici le versioni EN, da sottoporre al voto dei membri dell’Unione Europea.

Normativa

49

3. Azioni e loro valore di calcolo Le problematiche fondamentali relative alle azioni vengono prese in esame nella parte generale del D.M. 9/1/96 e, in maniera un po’ più det­ tagliata, nei punti 2.2.2 e 2.3 degli Eurocodici 2 e 3. L’entità delle azioni (carichi variabili, neve, vento, variazioni termiche) è definita nel D.M. 16/1/96: Norme tecniche relative ai “criteri generali per la verifica di si­ curezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”. La norma euro­ pea corrispondente a quest’ultimo è l’Eurocodice 1, non ancora utilizza­ bile in Italia.

3.1. Classificazione delle azioni Le azioni vengono distinte principalmente secondo la loro vàriazione nel tempo. Si ha: - azioni permanenti G peso proprio, carichi fissi - azioni variabili Q carichi variabili di esercizio, carichi di vento o di neve - azioni eccezionali A esplosioni, urto di veicoli - precompressione P Quest’ultima è in realtà un’azione permanente, ma viene trattata sepa­ ratamente per ragioni pratiche. Le azioni possono però essere distinte anche in base alla loro varia­ zione nello spazio. Si ha: - azioni fisse se sono applicate in una posizione ben definita (per esempio il peso proprio) - azioni libere se possono essere applicate in posti diversi, dando luogo a diverse disposizioni di carico (carichi mobili) Si indica col pedice k il valore caratteristico delle azioni (Gk Qk Ak Pk ) che viene definito in genere dalle norme e coincide col valore utiliz­ zato nel metodo delle tensioni ammissibili. Per le azioni variabili, oltre , al valore caratteristico si considerano altri valori, corrispondenti ad una probabilità di superamento via via maggióre: - valore di combinazione - valore frequente - valore quasi permanente

50

Capitolo 3

I coefficientiψ sono definiti dalle norme; il D.M. 9/1/96 prescrive:

3.2. Valori di calcolo per verifiche agli stati limite ultimi Il valore di calcolo del carico è ottenuto amplificando il valore caratteri­ stico mediante il coefficiente yp . In presenza di più carichi variabili in­ dipendenti occorre sceglierne uno come principale e ridurre gli altri prendendone il valore di combinazione; questa scelta sarà ovviamente fatta in modo da massimizzare le caratteristiche di sollecitazione ed in caso di incertezza occorrerà provare le diverse alternative. In maniera simbolica il valore di calcolo del carico è fornito dall’espressione

Gli Eurocodici 2 e 3 (punto 2.2.2.z) precisano che per le azioni per­ manenti occorre definire normalmente un unico valore caratteristico; in particolare, il peso proprio di un elemento può essere valutato in base alle sue dimensioni nominali ed al peso specifico medio del materiale. E necessario definire due valori caratteristici distinti, uno superiore Gk,sup ed uno inferiore Gk,inf, solo nel caso di azioni permanenti caratterizzate da un valore elevato del coefficiente di variazione o che sono suscettibili di variazione durante la vita della struttura (per esempio alcuni càrichi permanenti addizionali). I valori di calcolo .superiore ed inferiore delle azioni permanenti so­ no ottenuti mediante il valore massimo e minimo del coefficiente yg (punto 2.2.2.4). E' necessario considerare indipendenti la parte favorevoN

Normativa

51

le e quella sfavorevole delle azioni permanenti, utilizzando quindi valori di calcolo differenti, solo quando ciò è veramente rilevante, in particola­ re nel caso di verifiche di equilibrio statico (punto 2.3.2.3). In tutti gli al­ tri casi, in particolare per travi continue e telai, si deve applicare uno stesso valore di calcolo delle azioni permanenti per tutte le parti della struttura (quello che risulta più gravoso). Si noti che alcuni autorevoli personaggi suggeriscono di differenzia­ re sempre i carichi permanenti superiore ed inferiore, per massimizzare le caratteristiche di sollecitazione. Personalmente, ritengo estremamen­ te improbabile dal punto di vista statistico una tale variazione, almeno nei casi quotidiani. Àd esempio, la soletta di un solaio può avere uno spessore diverso dal previsto (in più o in meno), ma è difficile riscon­ trarne sensibili variazioni tra una campata e l'altra di uno stesso solaio. Pertanto io seguo le indicazioni del punto 2.3.2.3.(2) e, ad esempio, in una trave continua moltiplico il peso proprio ed i carichi fissi per 1.4 in tutte le campate, anche quando metto i carichi variabili solo in alcune campate per massimizzare i momenti positivi o negativi. 3.3. Calori di calcolo per verifiche agli stati limite di esercizio Nelle verifiche agli stati limite di esercizio si possono definire tre com­ binazioni di carico: - combinazione rara - combinazione frequente - combinazione quasi permanente Si utilizzerà l’una o l’altra di queste combinazioni in funzione del tipo di verifica da effettuare e delle indicazioni della normativa. Quando vi è un solo carico variabile, il valore di calcolo del carico è definito in maniera univoca. Invece quando vi sono più carichi variabili indipendenti occorre scegliere come carico variabile principale quello che genera le massime caratteristiche di sollecitazione; non sempre è immediato capire quale sia la situazione più gravosa e in caso di incer­ tezza è necessario provare tra più alternative.

Capitolo 3

52

Esempio 1. Dato un solaio a due campate,,di.luce 5.50 m e 4.50 m, avente peso proprio gik—2.5 kN/m2, altri carichi permanenti g2k=2.3 kN/m2, carichi variabi­ li (per abitazione) qk-2.0 kN/m2, si determini il valore del massimo momento flettente negativo da usare nel metodo delle-tensioni ammissìbili ed i valori da usare nel metodo degli stati limite; per verifiche allo stato limite ultimo ed agli stati limite di esercizio. Il massimo momento negativo all’appoggio centrale si ottiene applicando il ca­ rico massimo in entrambe le campate. Se si opera col metodo delle tensioni ammissibili si ha (fig. 1) q = 2.5 + 2.3 + 2.0 = 6.8 kN/m2 e risolvendo lo schema di trave continua si ottiene neirappoggio centrale M = -21.9kNm Per una verifica allo stato limite ultimo occorre incrementare, i carichi perma­ nenti mediante il coefficiente yg —1.4 ed i carichi variabili mediante il coefficien­ te yq= 1.5; Si ha quindi q ± 1.4 x (2.5 + 2.3) +1.5 x 2.0 = 9.72 kN/m2 M --31.3 kNm Il massimo momento negativo (ottenuto con analisi lineare) è quindi quasi il 45% in più rispetto al valore ottenuto per le tensioni ammissibili. Per quanto riguarda gli stati limite di esercizio, per la combinazione rara si usano i valori caratteristici del carico, quindi gli stessi delle tensioni ammis­ sibili. Per la combinazione frequente e quella quasi permanente occorre invece ridurre il carico variabile, rispettivamente mediante il coefficiente ψ1 = 0.5 e ψ2 = 0.2, ottenendo così per la combinazione frequente q = 2.5 + 2.3 + 0.5 x 2.0 = 5.8 kN/m2 e per quella quasi permanente

M = -18.7 kNm

q = 2.5 + 2.3 + 0.2 x 2.0 = 5.2 kN/m2

M = -16.7 kNm

Fig. 1 - schema geometrico e carichi del solaio

Normativa

53

Fig. 2 - carichi del solaio che rendono massimo il momento in campata Esempio 2. Con riferimento al solaio dell’esempio precedente, si determini il valore del massimo momento flettente positivo nella prima campata da usare nel metodo delle tensioni ammissibili ed i valori da usare nel metodo degli stati limite, per verifiche allo stato limite ultimo ed agli stati limite di esercizio. Il massimo momento positivo nella prima campata si ottiene applicando in essa il carico massimo e nell’altra il carico minimo, cioè peso proprio ed altri carichi permanenti. Se si opera col metodo delle tensioni ammissibili si ha (fig. 2) qx = 6.8 kN/m2 q2 =2.5+ 2.3 = 4.8kN/m2 e risolvendo lo schema di trave continua si ottiene come massimo momento po­ sitivo nella prima campata il valore M —16.8 KNm Per una verifica allo stato limite ultimo, il carico massimo nella prima campata è ottenuto incrementando i carichi permanenti e variabili mediante i coefficien­ ti yg e 7g. Nella seconda campata occorre invece considerare i soli carichi per­ manenti, incrementati di yg. Si ha quindi q{ = 9.72 kN/m2