Il Calcolo Delle Aree Di Superfici Piane

March 23, 2019 | Author: lbertonc | Category: Integral, Calculus, Mathematical Analysis, Mathematical Objects, Physics & Mathematics
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IL CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE L’area L’area del trapezoide si calcola risolvendo l’integrale defnito con estremi l’intervallo di integrazione Esempi 1) Calcolare l’area rappresentata dalla fgura

= ∫  1dx = [ ln  x] = ln e − ln1 = 1 e



1

e

1

 x

2) Data la parabola  y = ax 2 con a > 0 calcolare l’area del segmento parabolico rappresentato in fgura

S  = 2[ Area rettangolo OABC  − Area triangolo mistilineo OAB ]

Si ha allora

 S  = 2 OA ⋅  AB − ∫  ax  b

0

Cioè S  =

2 3

 x    dx = 2b ⋅ ab − a     3 3

2

b

2

   ab  = 2 ab − 3    3

0

3

     =  

4

ab

3

3

( Area rettangolo  A' ABB')

Calcolare l’area della regione piana limitata dal grafco della unzione

  f  ( x )

=

x

−1

nell’intervallo [1,10] !er "ualun"ue  x  del  del dominio di  sia ha   f  ( x) ≥ 0 "uindi l’area è data da S  =

10

∫  1

 x − 1dx

E#ettuando la sostituzione  x = 10 si ha $ 3



= ∫ 

t dt 

0

=

2 3

[ ] 3



9 0

=

2 3

27



= x − 1 da cui

 =  = dx  ed essendo t  = 0 per  x = 1 e t  = 9 per

dt 

= 18

%vviamente si poteva riportare riportare la primitiva ondamentale ondamentale in unzione di  x  &cioè  &cioè scrivere

∫ 

 x

−1 =

2 3

( x − 1) &e non cambiare gli estremi di integrazione'  3

ESTENSIONE DEL CALCOLO INTEGRALE Estendiamo il calcolo delle aree ai seguenti casi $ 1) La funzione è almeno in pare ne!ai"a (ell’intervallo in cui la unzione è negativa l’integrale ornisce un valore negativo'

%ccorre "uindi scomporre le arre e calcolare gli integrali negli intervalli dove la unzione ha segno costante positivo o negativi) tenendo presente che l’integrale di una unzione negativa va preceduto dal segno meno' Esempio 0

1

0

1

∫  x dx = − ∫  x dx + ∫  x 3

−1

3

−1

0

3

−1

 x 4   x4  1   1 + = −  dx = −   −  + =      4   4  4  −1  4  0

1 2

# ) $ue funzioni $elimiano una %uper&'ie '(iu%a Supponiamo &per esempio di dover calcolare la superfcie racchiusa dalle due parabole  y

=  x 2 − 4 x + 4 e

 y

= −4 x 2 + 16 x − 11 che si intersecano nei punti

 A(1;1)

e

 B (3;1)

L’area S cercata è data dalla di#erenza ra l’area del trapezoide  A’AV’BB’  e  AA’B’B defniti entrambi nell’intervallo [1,3]

*uindi 3

S  =

3

∫  ( − 4 x 1

2

3

3

+ 16 x − 11)dx − ∫ 1 ( x − 4 x + 2 )dx = ∫ 1 ( − 5 x 2

2

 − 5 x 3 20 x 2  + 20 x − 5)dx =  + − 15 x  = 2  3 1

Se la superfcie non si trova tutta al di sopra della’asse  x  si pu+ e#ettuare una traslazione in modo che essa sia tutta al di sopra dell’asse  x '

,llora S  =

b

b

∫ a [ (  f  ( x) + h) − ( g ( x) + h) ]dx = ∫ a [  f  ( x) −  g ( x)]dx

20 3

Esempi

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