Il Calcolo Delle Aree Di Superfici Piane

IL CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE L’area L’area del trapezoide si calcola risolvendo l’integrale defnito con estremi l’intervallo di integrazione Esempi 1) Calcolare l’area rappresentata dalla fgura

= ∫  1dx = [ ln  x] = ln e − ln1 = 1 e

S 

1

e

1

 x

2) Data la parabola  y = ax 2 con a > 0 calcolare l’area del segmento parabolico rappresentato in fgura

S  = 2[ Area rettangolo OABC  − Area triangolo mistilineo OAB ]

Si ha allora

 S  = 2 OA ⋅  AB − ∫  ax  b

0

Cioè S  =

2 3

 x    dx = 2b ⋅ ab − a     3 3

2

b

2

   ab  = 2 ab − 3    3

0

3

     =  

4

ab

3

3

( Area rettangolo  A' ABB')

Calcolare l’area della regione piana limitata dal grafco della unzione

  f  ( x )

=

x

−1

nell’intervallo [1,10] !er "ualun"ue  x  del  del dominio di  sia ha   f  ( x) ≥ 0 "uindi l’area è data da S  =

10

∫  1

 x − 1dx

E#ettuando la sostituzione  x = 10 si ha $ 3

S 

= ∫ 

t dt 

0

=

2 3

[ ] 3

t 

9 0

=

2 3

27

t 

= x − 1 da cui

 =  = dx  ed essendo t  = 0 per  x = 1 e t  = 9 per

dt 

= 18

%vviamente si poteva riportare riportare la primitiva ondamentale ondamentale in unzione di  x  &cioè  &cioè scrivere

∫ 

 x

−1 =

2 3

( x − 1) &e non cambiare gli estremi di integrazione'  3

ESTENSIONE DEL CALCOLO INTEGRALE Estendiamo il calcolo delle aree ai seguenti casi $ 1) La funzione è almeno in pare ne!ai"a (ell’intervallo in cui la unzione è negativa l’integrale ornisce un valore negativo'

%ccorre "uindi scomporre le arre e calcolare gli integrali negli intervalli dove la unzione ha segno costante positivo o negativi) tenendo presente che l’integrale di una unzione negativa va preceduto dal segno meno' Esempio 0

1

0

1

∫  x dx = − ∫  x dx + ∫  x 3

−1

3

−1

0

3

−1

 x 4   x4  1   1 + = −  dx = −   −  + =      4   4  4  −1  4  0

1 2

# ) $ue funzioni $elimiano una %uper&'ie '(iu%a Supponiamo &per esempio di dover calcolare la superfcie racchiusa dalle due parabole  y

=  x 2 − 4 x + 4 e

 y

= −4 x 2 + 16 x − 11 che si intersecano nei punti

 A(1;1)

e

 B (3;1)

L’area S cercata è data dalla di#erenza ra l’area del trapezoide  A’AV’BB’  e  AA’B’B defniti entrambi nell’intervallo [1,3]

*uindi 3

S  =

3

∫  ( − 4 x 1

2

3

3

+ 16 x − 11)dx − ∫ 1 ( x − 4 x + 2 )dx = ∫ 1 ( − 5 x 2

2

 − 5 x 3 20 x 2  + 20 x − 5)dx =  + − 15 x  = 2  3 1

Se la superfcie non si trova tutta al di sopra della’asse  x  si pu+ e#ettuare una traslazione in modo che essa sia tutta al di sopra dell’asse  x '

,llora S  =

b

b

∫ a [ (  f  ( x) + h) − ( g ( x) + h) ]dx = ∫ a [  f  ( x) −  g ( x)]dx

20 3

Esempi