III Unidad Metodo de Cross

RESISTENCIA DE RESISTENCIA MATERIAL MA TERIALES ES II

Escuela Académico  Profesional de  Ingeniería Civil   DOCENTE: ING. RUBEN LOPEZ CARRANZA 

TEORIA Y EJERCICIOS DEL MÉT MÉTODO ODO DE DE CROSS CROSS P

q

a

L/2

b L

L

 A

P

B

L/2 L

C

D

MÉTODO DE CROSS - HISTORIA  El Método de Distribución de Momentos o Método de Cross, es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos, desarrollado por Hardy Cross. Publicado por primera vez en 1.930en una revista de la American Society Civil Engineering; el método solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, suficiente para efectos prácticos. Desde esa fecha hasta que las computadoras comenzaron a ser usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de distribución de momentos fue el mas usado.

MÉTODO DE CROSS - INTRODUCCIÓN En el Método de Distribución de Momentos cada articulación de la estructura que se va a analizar, es fijada a fin de desarrollar los Momentos en los Extremo fijos. Después cada articulación fija es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no esta en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos desde el punto de vista matemático puede ser  demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por iteraciones

MÉTODO DE CROSS - APLICACIÓN Para la aplicación del método de cross deben seguirse los siguientes pasos: 1) Momentos de empotramiento en extremos fijos: son los momentos producidos al extremo del miembro por  cargas externas cuando las juntas están fijas. 2) Rigidez a la Flexión: la rigidez a la flexión (EI/L) de un miembro es representada como el producto del Modulo de Elasticidad (E) y el segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la razón aritmética de rigidez de todos los miembros.

3) Factores de Distribución: pueden ser considerados como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus miembros. 4) Factores de Acarreo o Transporte: los momentos no balanceados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo. 5) Convención de Signos: un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la convención de signos usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianos.

EJEMPLO 1 Ejemplo de calculo Nº 1: Analizar la viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura. Donde P= 10.000 Kg, q= 1000 Kg/m y L= 10 mts, Rigideces a Flexión: AB= EI,BC= 2EI, CD= EI P

q

a

L/2

b L

L

 A

P

B

L/2 L

C

D

PARTE I -SOLUCIÓN « Paso I: se procede a realizar los cálculos preliminares de los momento en extremos fijos para cada caso tal y como se muestra. P

M A

MB

a

b L

Caso (a) -M A= P*b2/L2 MB= P*a2/L2 V A= P*b/L VB= P*a/L

M A

MB

q

-M A= q*L2/12 MB= q*L2/12 V A= q*L/2 VB= q*L/2

L

P

M A

Caso (b)

L/2

MB

L/2 L

Caso (c) -M A= P*L/8 MB= P*L/8 V A= P/2 VB= P/2

PARTE II - SOLUCIÓN « Paso II: se procede a la construcción de la tabla de calculo, una vez determinados los Factores de Distribución. Para el calculo de esos factores de distribución debe considerarse la Rigidez Rotacional a un Giro (k) en los casos en que sea la misma 4*E*I/L y también cuando sea un caso como el del ejemplo donde son distintas y seria 3*E*I/L. En esa tabla también se procederá a realizar lo aprendido en ESTATICA sobre los diagramas de Corte y Momento, los cuales nos servirán para el diseño de elementos mas adelante en CONCRETO ARMADO

P

P

q

a

L/2

b L

L

A

L

C

B

EI

1

L/2

D

2EI

EI

Rigideces a Flexion

0,2727 0,7273

0,6667 0,3333

0

-14.700

6.300 -8.333

8.333 -12.500

12.500

14.700

7.350 -1.450 -3.867 2.033 -555 -1.479

Factor de Distribucion

Fijos

-1.933 4.067 2.033 -739

1.017

Iteraciones

5.843

5.138

4.653

-4.157

DIAGRAMA DE

-4.862

CORTE Y MOMENTO -5.347

17.529

1.630

13.075

-11.570

-13.657 -10.190

Ejercicio 2

Ejecución alternativa

Ejercicio 3