iii-3-deret-dan-transformasi-fourier.pdf

Darpublic

www.darpublic.com

Deret dan Transformasi Fourier Deret Fourier Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponenkomponen sinus. enguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret !ourier. "ika  f #t $ adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan %irichlet, maka  f #t $ dapat dinyatakan sebagai deret !ourier & ∞

 f  (t ) = a0 +

∑ [a

cos(nω 0 t ) + bn sin(nω 0 t )]  

#1$

a n2 + bn2 (cos(nω 0 t  − θ n ) )  

#'$

n

n =1

yang dapat kita tuliskan sebagai ∞

 f  (t ) = a 0 +

∑ 



n =1

(oefisien !ourier a), an, dan bn ditentukan dengan hubungan berikut& a0 = an = bn =

1 T 0

2 T 0

2 T 0

T 0 / 2

∫−

T 0 / 2

T 0 / 2

∫−

T 0 / 2

T 0 / 2

∫−

T 0 / 2

 f  (t )dt   f  (t ) cos(nω 0 t )dt  ; n > 0  

#*$

 f  (t ) sin(nω 0 t )dt  ; n > 0

+ubungan #*$ dapat diperoleh dari #1$. isalkan kita mencari an kita kalikan #1$ dengan cos#k ωot $ kemudian kita integrasikan antara −T o/' sampai T o/' dan kita akan memperoleh T o  / 2

∫−

T o / 2

T o  / 2

∫−

 f  (t ) cos(k ω o t )dt  =

T o / 2

a 0 cos(k ω o t )dt 

 T o / 2 a cos(nω t ) cos(k ω t )dt   0 o  −T o / 2 n  +  T   / 2  o  n =1 + bn sin(nω 0 t ) cos(k ω o t )dt   −T o / 2  ∞

∑

∫

∫

%engan menggunakan kesamaan tigonometri 1

cos α cos β = cos α sin β =

2 1

cos(α − β) +

2

sin(α − β) +

1 2 1 2

cos(α + β) sin(α + β)

maka persamaan di atas menjadi T o  / 2

∫−

T o  / 2

 f  (t ) cos(k ωot )dt  =

T o  / 2

∫−

T o  / 2

a0 cos(k ωot )dt 

 an T   / 2 (cos((n − k )ω0t ) + cos((n + k )ωot ) )dt   ∞  2 −T   / 2   + T   / 2 b   n n =1 +  2 −T   / 2 (sin((n − k )ω0t ) + sin((n + k )ωot ) )dtdt 

∑

∫

o

o

∫

o

o

Sudaryatno Sudirham, “ Deret dan Transformasi Fourier”

1/15

Darpublic

www.darpublic.com

(arena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral di ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu an

2

oleh karena itu

T o  / 2

∫−

an =

T o  / 2

2 T o

an

(cos((n − k )ω 0 t ) )dt  =

T o  / 2

∫−

T o / 2

2

yang  terjadi  jika n = k 

 f  (t ) cos(nω 0 t )dt 

ada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien !ouriernya bernilai nol. (eadaan ini ditentukan oleh kesimetrisan fungsi  f #t $ . (ita akan melihatnya dalam urain berikut ini.

Kesimetrisan Fungsi Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika  f #t $  f #−t $. Salah satu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos# ωt $  cos#−ωt $. ntuk fungsi semacam ini, dari #1$ kita dapatkan ∞

∑ [a

 f  (t ) = a0 +

n cos(nω0t )

+ bn sin(nω0t )]

dan

n =1

∞

 f  (−t ) = a0 +

∑ [a

n cos(nω0t ) − bn sin(nω0t )

]

n =1

(alau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah bn  ), dan f #t $ menjadi ∞

 f  (t ) = a o +

∑ [a

n

cos(nω 0 t )]

#0$

n =1 v(t )

CONTOH-1: entukan deret !ourier dari bentuk gelombang deretan pulsa berikut ini.

T

A

−T   /2 0

T   /2 T o

Penyelesaian : 2entuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo  A, perioda T o , lebar pulsa T . ao = an =

=

1 T o

2 T o

T  / 2

∫−

 Adt  = T  / 2

T  / 2

∫−

T  / 2

 At  T o

T  / 2

= −T/ 2

 AT  T o

 A cos(nω o t ) dt  =

; bn = 0 ; 2 A T o ω o n

sin nω o t 

T  / 2

−T  / 2

 A 

 nπT   2 A   nπT     =  2 sin  sin  πn    T o   πn    T o   

ntuk n  ', 0, 3, 4. #genap$, an  ) an hanya mempunyai nilai untuk n  1, *, 5, 4. #ganjil$.  f  (t ) =

 AT 

=

T o

∞

 AT  T o

∑

+

n =1, ganjil

2 A   nπT    cos(nω o t ) sin  nπ    T o  

∞

+

∑ n =1, ganjil

2 A nπ

(− 1)( n−1) / 2 cos(nω o t )

Sudaryatno Sudirham, “ Deret dan Transformasi Fourier”

'/15

Darpublic

www.darpublic.com

Pemahaman : ada fungsi yang memiliki simetri genap, bn   ). leh karena itu sudut fasa o harmonisa tanθn  bn/an  ) yang berarti θn  ) . Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika  f #t $  − f #−t $. 6ontoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin# ωt $  −sin#−ωt $. ntuk fungsi semacam ini, dari #1$ kita dapatkan ∞

−  f  (−t ) = −a 0 +

∑ [− a

n

cos(nω 0 t ) + bn sin(nω 0 t )]

n =1

(alau fungsi ini harus sama dengan ∞

 f  (t ) = a 0 +

∑ [a

n

cos(nω 0 t ) + bn sin(nω 0 t )]

n =1

maka haruslah a0 = 0

dan

an = 0

∞

⇒

 f  (t ) =

∑ [b

n

sin(nω 0 t )]

#5$

n =1

CONTOH-2: 6arilah deret !ourier dari bentuk gelombang persegi di samping ini.

v(t )  A

T  t 

Penyelesaian:  A

− 

2entuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudo  A, perioda T o  T . ao = 0 ; an = 0 ;

bn =

= =

2   T  / 2  A sin(nω o t )dt  +  T    0

∫

2 A Tnω o  A nπ

(− cos(nω t ) o

T  / 2

0

T 

∫

T  / 2

   

−  A sin(nω o t )dt  T 

+ cos(nω o t ) T  / 2

)

(1 + cos 2 (nπ) − 2 cos(nπ))

ntuk n ganjil cos#nπ$  −1 sedangkan untuk n genap cos#nπ$  1. %engan demikian maka bn = bn =

 A nπ  A nπ

(1 + 1 + 2 ) =

4 A nπ

(1 + 1 − 2) = 0

untuk n ganjil

⇒ v(t ) =

untuk n genap

∞

∑ n =1, ganjil

4 A nπ

sin(nω o t )

Pemahaman: ada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, an  ). leh karena itu sudut fasa o harmonisa tanθn  bn/an  ∞  atau θn  7) . Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengah gelombang jika  f #t $  − f #t − To  /'$. !ungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainya  jika diin8ersi kemudian digeser setengah perioda. !ungsi sinus#ωt $ misalnya, jika kita kita in8ersikan kemudian kita geser sebesar π  akan kembali menjadi sinus# ωt $. %emikain pula halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.

Sudaryatno Sudirham, “ Deret dan Transformasi Fourier”

*/15

Darpublic

www.darpublic.com ∞

−  f  (t  − T o / 2) = − a0 +

∑ [− a

n cos(nω0 (t  − π)) − bn sin( nω0 (t  −

n =1 ∞

= −a0 +

∑ [− (−1)

n

π))]

n

an cos(nω0t ) − (−1) bn sin( nω0t )

]

n =1

(alau fungsi ini harus sama dengan ∞

 f  (t ) = a 0 +

∑ [a

n

cos(nω 0 t ) + bn sin(nω 0 t )]

n =1

maka haruslah ao  ) dan n harus ganjil. +al ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyai harmonisa ganjil saja.

Deret Fourier Bentuk Eksponensial %eret !ourier dalam bentuk seperti #1$ sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus. 2entuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti #'$. Sekarang bentuk #'$ akan kita ubah ke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungan α

cos α =

e  j + e

−  jα

.

2

%engan menggunakan relasi ini maka #'$ akan menjadi ∞

 f  (t ) = a0 +

∑ 

an + bn (cos(nω0t  − θn ) ) 2

2



n =1

 2 2 e j ( nω t −θ ) + e −  j ( nω t −θ )   an + bn  2   n =1  ∞  an2 + bn2  j (nω t −θ )  ∞  an2 + bn2 −  j ( nω t −θ  +  = a0 + e e 2 2   n =1  n =1    ∞

∑

= a0 +

∑

0

n

0

n

 

n

0

∑

0

#3$



n

)

 

Suku ketiga #3$ adalah penjumlahan dari n  1 sampai n ∞. "ika penjumlahan ini kita ubah mulai dari n  −1 sampai n  −∞, dengan penyesuaian an menjadi a−n , bn menjadi b−n , dan θn menjadi θ−n, maka menurut #*$ perubahan ini berakibat a −n = b−n =

2 T 0

2 T 0

tan θ − n =

T 0  / 2

∫−

T 0  / 2

T 0 / 2

∫−

T 0 / 2

b− n a −n

 f  (t ) cos(− nω 0 t )dt  =

2

− bn an

∫−

T 0

 f  (t ) sin(− nω 0 t )dt  = −

=

T 0  / 2 T 0 / 2

2

 f  (t ) cos(nω 0 t )dt  = a n

T 0  / 2

T 0

∫−

T 0  / 2

 f  (t ) sin(nω 0 t )dt  = −b  

#9$

⇒ θ − n = −θ n

%engan #9$ ini maka #3$ menjadi

 a2 + b2 n  j nω t − θ  n  f  (t ) = e (  2 n=0  ∞

∑

0

n

)

 −∞  a 2 + b 2 n  j nω t − θ +  n e (  n = −1 2  

∑

0



n

)

 

 

#:$

Suku pertama dari #:$ merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n   ) untuk memasukkan a) sebagai salah satu suku penjumlahan ini. %engan cara ini maka #:$ dapat ditulis menjadi

Sudaryatno Sudirham, “ Deret dan Transformasi Fourier”

0/15

Darpublic

www.darpublic.com

  a 2 + b 2  n n −  jθ  f  (t ) = e  2 n = −∞   +∞

∑

n

  +∞   j ( nω t )  j ( nω t )   = cn e  e n = −∞  

∑

0

#7$

0

;nilah bentuk eksponensial deret !ourier, dengan cn adalah koefisien !ourier yang mungkin berupa besaran kompleks. a n2 + bn2

cn =

2

2

a n −  jbn

2

 

#1)$

2

an + bn

cn =

e −  jθ =

∠cn = θn dengan

dan

2

 

#11$

 − b    b   θn = tan −1  n   jika an < 0; θn = tan −1  n   jika an > 0   an    an  

"ika an dan bn pada #*$ kita masukkan ke #1)$ akan kita dapatkan cn =

a n −  jbn

2

=

1 T 0

T 0  / 2

∫−

T 0 / 2

 f  (t ) e

−  jnωnt 

dt   

#1'$

dan dengan #1'$ ini maka #7$ menjadi +∞

∑

 f  (t ) =

cn e

 j ( nω0 t )

  1  T  n = −∞   0 +∞

=

n = −∞

∑

T 0  / 2

∫−

T 0 / 2

 f  (t ) e

−  jnωo t 

 

dt  e

 j ( nω0 t )

 

 

#1*$

ersamaan #11$ menunjukkan bahwa '< cn< adalah amplitudo dari harmonisa ke- n dan sudut fasa harmonisa ke- n ini adalah ∠cn. ersamaan #1)$ ataupun #1'$ dapat kita pandang sebagai pengubahan sinyal periodik  f #t $ menjadi suatu spektrum yang terdiri dari spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa. ersamaan #7$ ataupun #1*$ memberikan  f #t $ apabila komposisi harmonisanya cn  diketahui. ersamaan #1'$ menjadi cikal bakal transformasi !ourier, sedangkan persamaan #1*$ adalah transformasi baliknya. CONTOH-3: 6arilah koefisien !ourier cn dari fungsi pada contoh-1).1. Penyelesaian : cn =

1 T o

T  / 2

∫−

 A e

T  / 2

−  jnωot 

dt  =

−  jnωot     A   e 

T o  −  jnω o  

T  / 2

−T  / 2

 e  jnωoT  / 2 − e −  jnωoT  / 2     = 2 A sin (nω o T  / 2 ) =  nω o T o    j   nω o T o  A

Transformasi Fourier Spektrum Kontinyu. %eret !ourier, yang koefisiennya diberikan oleh #1'$ hanya berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dapat direpresentasikan dengan deret !ourier. ntuk menangani sinyalsinyal demikian ini kita memerlukan transformasi !ourier dan konsep spektrum kontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal pe riodik dengan perioda tak-hingga.

"ika diingat bahwa ω)  'π/T ) , maka #1*$ menjadi Sudaryatno Sudirham, “ Deret dan Transformasi Fourier”

5/15

Darpublic

www.darpublic.com ∞

 f  (t ) =

  1  T  n = −∞   0

∑

=

1

∞

T 0 / 2

∫−

T 0 / 2

∑   ∫−

 f  (t ) e

T 0 / 2

2π n = −∞

T 0 / 2

−  jnω0t 

 

dt  e

 jnω0t 

 

 f  (t ) e

−  jnω0t 

 

   

dt  ω 0 e

#10$

 jnω0t 

(ita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T ) diperbesar. (arena ω)  'π/T ) maka  jika T )  makin besar, ω)  akan makin kecil. 2eda frekuensi antara dua harmonisa yang berturutan, yaitu ∆ω = (n + 1)ω0 − nω 0 = ω 0 =

2π T 0

 juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu jumlah harmonisa semakin banyak. leh karena itu jika perioda sinyal T ) diperbesar menuju ∞ maka spektrum sinyal menjadi spektrum kontinyu, ∆ω  menjadi d ω  #pertambahan frekuensi infinitisimal $, dan nω) menjadi peubah kontinyu ω. enjumlahan pada #10$ menjadi integral. "adi dengan membuat T ) → ∞ maka #10$ menjadi  f  (t ) =

1   ∞ ( ) −  jωt     jωt   f  t  e dt  e d ω =  2π − ∞   − ∞ 2π   1

∞

∫ ∫

∞

∫−∞ F (ω) e

 jωt 

d ω  

#15$

dengan F #ω$ merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian rupa sehingga  F (ω)

=

∞

∫−∞  f  (t ) e

−  jωt 

dt   

#13$

dan F #ω$ inilah transformasi !ourier dari  f #t $, yang ditulis dengan notasi F [ f  (t )] = F (ω)

roses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan #15$.  f  (t ) = F

−1

(ω)

CONTOH-4: 6arilah transformasi !ourier dari bentuk gelombang pulsa di samping ini.

v(t ) A

Penyelesaian :

−T   /2

0

T   /2

2entuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyai nilai antara −T /' dan =T /', sedangkan untuk t   yang lain nilainya nol. leh karena itu integrasi yang diminta oleh #13$ cukup dilakukan antara −T /' dan =T /' saja.  F (ω)

=

T  / 2

∫−

 A e

−  jωt 

T  / 2

=  AT 

dt  = −

 A  jω

T  / 2

e

−  jωt 

= −T  / 2

 jωT  / 2  A  e − e −  jωT  / 2 



ω / 2 

 j 2

 

sin(ωT  / 2)

ωT  / 2

(ita bandingkan transformasi !ourier #13$  F (ω)

=

∞

∫−∞  f  (t ) e

−  jωt 

dt 

dengan koefisien !ourier

Sudaryatno Sudirham, “ Deret dan Transformasi Fourier”

3/15

Darpublic

www.darpublic.com

cn =

a n −  jbn

2

=

1 T 0

T 0 / 2

∫−

T 0 / 2

 f  (t ) e

−  jnωnt 

#19$

dt 

(oefisien !ourier cn  merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda T )  yang terdiri dari spektrum amplitudo < cn< dan spektrum sudut fasa ∠cn, dan keduanya merupakan spektrum garis #tidak kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentu yang diskrit$. Sementara itu transformasi !ourier F #ω$ diperoleh dengan mengembangkan perioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita anggap sebagai sinyal periodik yang periodenya tak-hingga. !aktor 1/ T )  pada cn  dikeluarkan untuk memperoleh F #ω$ yang merupakan spektrum kontinyu, baik spektrum amplitudo ambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-0. Penyelesaian :

Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu < F # j ω$